人教版九年级数学上册：公式法（讲义）

第二十五章一元二次方程

25.2.2公式法

知识网络

理我脉络£佣奉®M

r判别式一△=廿一4以一使用条件一ANO

求根公式一当△NO时，根为.=b±，A

2a

「化一O多式一确定a,b,c的值一（存『：,桂炉一3幻+2=0Ta=l,b=—3,c=2）

知识清单一步骤一求△—△=1

L代入求根公式计算根一代入公式得。=--

「定义一一元二次方程aa?+阮+c=0（Q#0）中一用于判断根的情况的代数式

ra*0—保证方程是一元二次方程

1判别式一「使用条件一-

L△20一方程有实数根的前提

-△二产一4ac1△>0今两个不相等的实数根

△一00两个相号的实数根

△vOo无实效费

公式法

使用前提a*0且A>0

学法指导一解题步骤一化标准式一定abc一算△一代公式求解

【易错提醒系数符号、公式结构、△计算

r根据求根公式判断一元二次方程★

用公式法解标准形式的存二;欠方程★

•用公式法解^标准形式的一元二次方程★

不解方程，判断根的情况★

常见考题

已知方程根的情况，求参数的取值范围★★

应用判别式证明方程根的情况**

、含参方程的标的情况分类讨论★★★

〔判别式与几何图形综合★★★

知识梳理

线理教村A4实基一

分知识点一公式法解一元二次方程

求根公式的定义：一般地，对于一元二次方程。/+以+。=（）（2工0）,当△=〃—44CN0时，方程a/+

一b±J/?2-44c

bx+c=0（aH0）的实数根可写为工=-=-^--------的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.

2a

公式法定义：求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程a/+b%+c=0的结果，解一个具体的

一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式

法。

【解读】

1）求根公式是专门用来解一元二次方程的，故首先明确a#0.又因为开平方运算时，被开方数必须是非负

数，所以第二个条件是82—4C（20,即求根公式使用的前提条件是狎0且〃—4ac20.

2）适用范围：适用于所有一元二次方程，求根公式为x=——3-------

2a

用公式法解一元二次方程的一般步骤:

方法典例5x+l=3d

将一元二次方程整理成一般形式；将原方程化为一般形式：3.v：-5工-1=0

确定公式中a、b、c的值；=3,4=-5»r=-1

（易错点：忽略系数前面的符号）

求出〃2-4址的值；二胪-到涵=邹'>®

当斤一4。。20时，将将a、b、c的值代入求根公5士后5+庄5-百

12

—1）4--Jb2—4dC66'6

式：-------，从而请求出方程的解.

2a

分即学即练

••••

1.（25-26九年级上•广东广州•期口）用公式法解一元二次方程3/-2工+3=0时，首先要确定。、b、c的

值，下列叙述正确的是（）

A.a=3,b=2,c=3B.a=—3,b=2,c=3

C.a=3,b=2,c=-3D.a=3,b=-2fc=3

【答案】D

【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式，即可求解.

【详解】解：3x2-2x+3=0

:.a=3,b=-2,c=3

故选:D.

2.（25-26九年级上•新疆・期末）若一个一元二次方程的根为1=一（一9）士」一9）2-4x6x2,贝!该一元二次

2x6

方程为（）

A.-9/+6x+2=0B.-6X2+9X+4=0

C.6X2-9A+2=0D.6.r-9x-2=0

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，

通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数一次项系数b和常数项C的值，从而得到方程.

【详解】解：•.•一元二次方程求根公式为'=-"士扬-4”,

2a

给定根为x_-(-9)±J(-9『-4X6X2,

2x6

.•--/?=-(-9)=9,故6=-9,

2a=2x6=12,故a=6,

XZ>2-4ac=(-9)2-4x6x2=81-48=33,

4ac=48,代入。=6,得4x6xc=48,即24c=48,故c=2,

因此方程为以2+6+°=0,

即6/-9X+2=0,

故选：C.

3.(24-25九年级上•广东江门•期口)一元二次方程2/-4x-3=0的解为.

【答案】七=21普，w=2z普

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关犍.用公式法求解即可二

【洋解】解：2X2-4X-3=0,

a=2,b=-4,c=-3,

A=Z?2-4«c=(-4)2-4x2x(-3)=16+24=400,

.一力±而_(-4)土同4±2丽_2±痴

2a2x242

2+V102->/10

:,X\=-，X2=2,

故答案为：Q乎，々=嘤.

.知识点二根的判别式

定义：一般地，式子从—4ac叫做一元二次方程c储+饭+。=03工0)根的判别式，通常用希腊字母△表

示，即△=〃?一4〃c.

一元二次方程根的情况与判别式的关系：

.一h4-VK2-4ac

1)△=〃一4双>00方程&+c=0(。工0)有两个不相等的实数根:X=------------；

2a

2)△=〃一4〃。二00方程ar?+云+。=0(。工0)有两个相等的实数根：Xi=X2=——-：

3）△=从-4acV（）u＞方程ax2+公+c=0（。/0）没有实数根.

【解读】

1）在实数范围内，一•元二次方程a』+kE+c=0（。工0）的根的情况由△=/一4%?确定.

2）已知一元二次方程有两个根，隐含着△=6-4〃。之0.

3）一元二次方程根的判别式只运用于一元二次方程，当无法判定方程是不是一元二次方程时应对方程进行

分类讨论.

4）若关于x的方程分2+。（+。=（）有实数根，应分为两种情况讨论：当户0时，b#）；

当a和时，△=b2-4ac＞0.

【注意】

1）使用一元二次方程根的判别式时，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的方程；

2）当△=〃-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个实数根

分即学即练

♦♦♦♦

1.（25-26九年级上•河南周口•期天）一元二次方程f-2x+g=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

【答案】A

【分析】先确定一元二次方程的各项系数，计算根的判别式，再根据判别式的意义判断根的情况.

【详解】解：•••一元二次方程/-2.丫+[=0中，«=1,b=-2,c=l

22

.­.A=/?2-4izc=（-2）2-4xlxl=4-2=2＞0

原方程有两个不相等的实数根.

【点睛】本题考查一元二次方程《/+法+c=0（。工0,。、b、。为常数）的根的判别式△=从一4比的

应用，理解判别式对应的根的三种情况是解题的关键，当△＞（）时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）

时，方程有两个相等的实数根；当△＜（）时，方程无实数根.

2.（25-26九年级匕江苏扬州•期末）已知关于x的方程皿?7=2有两个实数根，则加的取值范围是

（）

A.且/〃00B.且"？00C.m<D.且〃?00

8888

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及判别式的性质，先将方程整理为一元二次方程的标准形

式，根据一元二次方程的定义（二次项系数不为0）及判别式的性质（有两个实数根则判别式△之0）求解

小的取值范围即可.

【详解】•.・将方程皿2-x=2整理为标准形式得病-x-2=0

又•••方程有两个实数根

，此方程为一元二次方程，

故二次项系数加工0且判别式△=/-4acN0,

其中。=机，b=-\,c=-2,

A=（-1）~-4X/77X（-2）=14-8/7/＞0

解得，葭-]

O

•••1,1的取值范围是加之一:且〃件0.

O

故选：D.

3.（25-26九年级上.山西晋中.期末）若关于x的一元二次方程9-34-4=0无实数解，请你写出一个符合

题意的女的值是.

【答案】-3（答案不唯一）

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式需小于零，计

算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键.

【详解】解：••・关于”的一元二次方程/一3%-攵=0无实数解，

...△=（-3）2-4x1x（-攵）＜0,

9

解得：＜--,

4

二符合题意的々的值是-3,

故答案为：-3（答案不唯一）.

题型号破孤位快2£臾履步支

A题型01根据求根公式判断一元二次方程

典I例I精I机

1.（25・26九年级上•河北唐山•期天）用公式法解关于x的一元二次方程，得I-“jx4xl,则该一

2x4

元二次方程是（）

A.2A--6x+4=0B.4x2-6x4-4=0

C.4x2+6x+1=0D.lx2+6x+l=0

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题口给出的根的表达式与求根公式对

比，确定。、b.C的值，从而得到原方程.

【详解】解：一元二次方程的一般形式为以2+/»+C=0（。=0），其求根公式为工=一土”"4时

2a

题目中给出的根的表达式为x=一6±,624x4xl,与求根公式对比可得：

2x4

2。=2x4,故。=4；

-b=-6,故〃=6；

44c=4x4x1,故c=l.

因此，该•元二次方程为4』+6x+l=0;

故选:C.

变I式I巩I固

I.（25-26九年级上•安徽芜湖・期口）用公式法解方程3/一7=-5%时，得工=曲区三三包，贝「W"

2x3

处应填（）

A.-5B.5C.-7D.7

【答案】A

【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键.

将方程化为标准形式ai2+/u+c=0,确定系数。再根据求根公式％=判断“口”处应

2a

填-6.

【详解】解：•.•原方程3/-7=-5*，

移项得3/+5X-7=0，

tz—3»b=5,c——7♦

求根公式为％="土dac=-5±j52-4x3x（-7）,

2a2x3

处应填-5.

故选A.

2.（25-26九年级上•福建厦门・期口）关于x的一元二次方程的根是（）

22

Ab±\lb+4c口b±y）b-4c

22

22

r-b±yJb+4cn-b±yjb-4c

22

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，熟记求根公式是解题的关键.直接应用一元二次方程求根

公式，代入对应系数计算.

【详解】解：方程x2-bx-c=0中，。=1,一次项系数为力，常数项为-J

代人求根公式工=山土加-4ac,得：

2a

(~b)±J(询btJ/?'+4c

212

与选项A一致，

故选：A.

3.(25-26九年级上•河南南阳•期口)以.=T±J12-4xlx(—2)为根的一元二次方程是.

2x1

【答案】X2+X-2=0

【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键.

通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程.

【详解】解：给定的求根公式为/二1±J」4xlx(—2),标准求根公式为“=心士五三1,

2x12。

对比可得：-b=-\,因此。=1,

2a=2x1,因此a=l,

根号内部表达式为从一痴=12-4xlx(-2)=l+8=9,得C=—2,

因此一元二次方程为加+云+c=o,即f+尸2=0

故答案为：x2+x-2-0.

A题型02用公式法解标准形式的一元二次方程

典I例I精I机

1.(25-26九年级上•上海•月考)点M在线段A8上，且如果M3=2,那么4W的长为

()

A.非)B.\[s+1C.5/5—1D.2y/5

【答案】B

【分析】本题主要考查了一兀二次方程的应用，设AM=x,则A8=AM+M4=x+2,根据题意口」得方程

X2=2(X+2),解方程即可得到答案.

【详解】解：设^\AB^AM+MB=x+2,

AM2=ABMB^

.-.x1=2(x+2),

.-.X2=2X+4,HPX2-2X-4=0,

解得x=石+1或X=-方+1(舍去)，

故选：B.

因7式丁巩「固

I.(25-26九年级上•全国•课后作业)用公式法解方程4/-12x=3时所得到的解正确的是()

A-3±V6口3±V6

A.x=-------B.x=------

22

「-3±2>/3n3±2G

C.X=--------L).x=-------

22

【答案】D

【分析】本题考查解•元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，利用公式法直接求解即可■得到答案，熟

悉一元二次方程的常见解法是解沃问题的关键.

【详解】解：4口一⑵=3,

4x:-12x-3=0»

a=4,Z?=-12,c=-3,

.-.A-(-12)2-4X4X(-3)-144+48-192>0,

_-(-l2)±Vl92_12±8x^_3±2A/3

,•x=-------------=--------=-------•

2x482

故选：D.

2.(25-26九年级上.陕西榆林・月考)定义一种新运算：:°=ad-bc,例如：

bd

—2—1x()5—x

=(-2)x4-3x(-l)=-5.若；=0,则x的值为_____.

341lx

【答案】在

4

【分析】本题主要考查了新定义运算及•元二次方程的解法，根据新定义可得2/-(0.5-力=0,解方程即

可.

【洋解】解：1。=2x2-0.5-X=0,

12x

解得x=土更，

4

故答案为％=二1i@.

4

3.(25-26九年级上•吉林白山•期天)解方程：x2-10x4-6=0.

【答案】X,=5+719,^=5-719.

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可.

【详解】解：x2-10x+6=0

a=1,Z?=-10,c=6,

...A=/?2-4ac=(-10)2-4xlx6=76>0,

-6±"2-4"]0土伍10±2N/19

：•x=------------------=-----------=------------

2a22

解得玉=5+M，X2=5-V19.

A题型03用公式法解非标准形式的一元二次方程

典］例［精n

1.(25-26九年级上•四川绵阳•期口)若方程-2x+1=。是关于x的一元二次方程，财方程的根是

()

口x/5-1V5+1

B-X2=~^~

D.以上答案都不对

【答案】D

【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次

为2的整式方程叫做一元二次方程，据此确定m的值，然后代入方程求解根，与选项对比即可得到答案.

【详解】解：•.•方程(〃?-2)/-2.1+1=0是关于工的一元二次方程，

网=2

加一2w0

m=-2,

二原方程为(一2-2).V2-2X+1=0,即4x2+2x-I=0,

2

VA=2-4X4X(-1)=20>0,

-2±2石

•••x=-----------，

8

故选：D.

变I式I巩I固

1.(25-26九年级上•全国•课后作业)一元二次方程(x+2)(x-3)=3x-8的根的情况是()

A.没有实数根B.有一个正根，一个负根

C.有两个正根，且都小于3D.有两个正根，且有一根大于3

【答案】D

【详解】一元二次方程a+2)(x-3)=3x-8化简，得/一4%+2=0.

•.•a=l,b=-4,c=2,/.A=(-4)2-4x1x2=8,

_-(-4)±V8

•.A=，

2

即为=2+应,/=2-夜.

Q2+V2>3,2-V2>0,

•••该方程有两个正根，且有一根大于3.

2.(25-26九年级卜・广东揭阳•期天)对干实数a,b,定义：a*b=a+b,〃#〃=".若xX).日满足

(l*x)#(l#x)=l,贝疗=.

【答案】避二1

2

【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程.理解新定义运算是解题的关键.

根据新定义运算，将给定表达式转化为关于x的方程，然后求解二次方程，并根据x>0的条件选取合

适的根.

【详解】由定义4*人=4十力和，得1*入一1十匹1#A-1x：A-XI/PJ

(l*x)#(l#x)=(l+x)#x=(l+x)xx=x(l+x)=l.

即f+x-l=O.

A=l2-4xlx(-l)=5,

-1±V5

x~,

由于0.故取x=—~

2

故答案为：工=叵1.

2

A题型04不解方程,判断根的情况

典！例1精四

1.(25-26九年级上•广东江门・期口)一元二次方程2Y+3x-4=0的实数根的情况是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式与。的大小关系，即可判断方程实数根的情

况.

【详解】•••一元二次方程2f+3x-4=0中，。=2,b=3,c="4,

22

...A=Z?-4«c=3-4x2x(-4)=9+32=41>0,

该方程有两个不相等的实数根.

因7式丁巩「固

I.（25-26九年级上•湖北襄阳•期天）方程V+2x+3=0的根的情况是（）

A.两实根的和为—2B.两实根的积为3

C.有两个不相等的正实数根D.没有实数根

【答案】D

【分析】本题考杳了一元二次方程根的判别式的意义：

利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可.

【详解】解：在方程f+2x+3=0中，a=\,b=2,c=3.

A=22-4xix3=4-12=-8<0，

•••方程没有实数根.

故选:D.

2.（25-26九年级上•河南周口•期天）将4个数a,b,c,d排成2行、2歹4，两边各加一条竖直线记成

abab-12

」，定义，=，以一儿，则方程2二-2的根的情况为（）

cdcd3xx

A.有两个不相等的实数根B.只有一个实数根

C.没有实数根D.有两个相等的实数根

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

先根据新定义将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况.

-12

【详解】解：由题意知。，=（-2*-A6=-X2-x,

3xx

一r—6x=-29

整理得f+6x-2=0,

2

vA=6-4xlx（-2）=36+8=44>0,

方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

3.（25-26九年级上•山东济宁•期天）下列方程无解的是（）

A.X24-X-6=0B.4x2-6x=0

C.x~~^/3x——=0D.x2=8x—17

4

【答案】D

【分析】本题考查了•元二次方程的判别式.通过计算每个•元二次方程的判别式A：/—%,,若

A<0,则方程无实数解，据此进行逐项分析，即可作答.

22

【详解】解：A,VA-+X-6=0,.•.A=1-4X1X(-6)=1+24=25>0,方程有解，故该选项不符合题意；

B、v4x2-6x=0>.,.△=(-6)~-4x4x0=36>0,方程有解，故该选项不符合题意；

C.VX2-V3X-1=0,.•.A=(-V3)2-4X1X^=3+1=4>0,方程有解，故该选项不符合题意；

222

D.VX=8X-17,AX-8x+17=0,A=(-8)-4xlxl7=64-68=-4<0,方程无解，故该优项符合题

意；

故选：D.

A题型05已知方程根的情况，求参数的取值范围

典1例I精画

1.(25-26九年级上•江苏扬州・月考)一元二次方程依2+2彳-1=0有两个不等实根，则k的取值范围是

【答案】且左H0

【分析】本题主要考查•元一次方程的定义和根的判别式，根据•元一次方程的定义可知，.次项系数不

为0,再由方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0.

【详解】解：因为近2+2x-l=0是一元二次方程，

所以女工0.

因为方程有两个不相等的实数根，

所以方程根的判别式△>()，即(一2)2-4"(-1)=4+公>0

解得女>一1.

所以攵的取值范围为k>-1且&4).

变］式工巩［固

1.(25-26九年级上•安徽阜阳•期天)若关于工的一元二次方程f+2x+f-l=0有实数根，则实数/的取值

范围是_________.

【答案】/<2

【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数即可，掌握相关知识是解题的关键.根据一元二次方

程有实数根的条件，判别式大于或等于零.

【详解】解：一元二次方程W+2x+r-1=0中，〃=1,b=2,c=i-\,

判别式A=/?2-4«c=22-4xlx(r-l)=4-4(r-l)=4-4r+4=8-4r,

由ANO,得8-4r>0,即8>4r,

所以t<2.

故答案为：t<2.

2.(25-26九年级上•甘肃武威・月考)关于x的一元二次方程2/+犬+m=0没有实数根，那么阳的值可以是

.（写出一个即可）

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当4">0时，方程有两个

不相等的实数根：当从一4讹=0时，方程有两个相等的实数根；当从-4a<0时，方程没有实数根.

根据一元二次方程根与判别式的关系，当判别式小于零时，方程没有实数根，由此求出〃?的取值范围，并

选取一个符合条件的值.

【详解】解：由题意得，△=〃-4ac=12-4x2x5=l-8〃?vO.

解得

O

因此，，〃的值可以是1.

故答案为：1（答案不唯一）.

3.（25-26九年级上•湖南湘西•月考）若关于变量x的方程（a-3）W—4x+l=0有且仅有一个实机则。=

【答案】3或7/7或3

【分析】本题主要考查了方程的根，分类讨论是解题的关键；

方程有且仅有一个实根需分两种情况讨论：当二次项系数为零时为一元一次方程，有一个实根；当二次项

系数不为零时为一元二次方程，判别式为零.

【详解】解：方程（«-3）X2-4X+I=0,

当。-3=0即a=3时，方程化为-4x+l=0,解得x=。，有且仅有一个实根.

4

当3Ho即时，方程为元二次方程，

判别式△=（-4『-4x（a-3）x1=】6-4（a-3）.

令△=（）,得16-4（«-3）=0,即16—4a+12=0,整理得28-4«=0,

解得。=7.

验证a=7时，々-3=4工0,符合条件.

故答案为：3或7.

A题型06应用判别式证明方程根的情况

典I例I精I析

1.（25-26九年级上•云南文山・期口）已知关于x的方程f—（〃]+2）x+2m=0.

⑴求证：此方程总有实数根；

⑵若方程有两个相等的实数根，求加的值.

【答案】（1）见解析

（2）2

【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程加+云+。=0("0)的根与△=6_4讹有如下关系：当

△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当八<0时，方程无实数

根，也考查了解一元二次方程，掌握根的判别式是解决本题的关键.

(1)先计算根的判别式的值得到△=(6-2)220,然后根据根的判别式的意义得到结论；

(2)利用根的判别式的意义得到△=(/〃-2『=0,则可得到m=2.

【详解】(1)证明：=［一(加+2)丁一4x1x2/〃

=rn2+4m+4-8，〃

=nr-4m+4

=(^-2)2>0,

•••方程总有实数根：

(2)解：•.•方程有两个相等的实数根，

/.△=(/〃—2)~=0,

解得m=2.

变I式T巩［固

I.(25-26九年级上•江苏连云港•月考)已知关于x的一元二次方程f+(〃?-4)x-4〃?=0.

(1)求证：无论加取何值，方程总有实数根；

(2)若方程有一个根不小于5,求m的取值范围.

【答案】(1)见解析

⑵in<-5

【分析】本题考查了一元二次方程加+加+c=0("0)的根的判别式A=6-4ac：当AX),方程有两个

不相等的实数根；当△=(),方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

(1)根据根的判别式求出△的值，再进行判断即可：

(2)解方程得到』=-m，々=4,根据方程有一个根不小于5,得到不等式，解不等式即可得到结论.

【详解】⑴

证明：v«=1,b=m-4,c=-4m,

h2-4ac=(m-4)'-4xlx(-4//z)=/n?+8〃?+16=(〃z+4)~,

；(/〃+4)2是非负数，

'•b2-4ac>0.

・•・无论机取何实数时，原方程总个实数根；

(2)

解:x2+("?-4)工一4〃?=0,

解得芭=一机，£=4,

:原方程有一个根不小于5,

-m>5,

:•m<-5.

2.(25-26九年级上•江苏扬州•期口)关于工的一元二次方程〃V+(〃Z+2)X+2=0.

(1)求证：此方程必有实数根；

(2)若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根.

【答案】(1)见解析

(2)菁=W=-1

【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关

键；

(1)根据一元二次方程根的判别式可进行求解；

(2)由(1)可知m=2,然后问题可求解.

【详解】⑴证明：•.•"式2+(加+2卜+2=0是关于x的一元二次方程，

:.a—m*0,b=m+2,c=2,

/.A=〃-4/=(〃?+2[-=(〃?-2)2>0,

二•方程必有的实数根；

(2)解：由(1)可知：当△=(〃?-2『=0时，方程有两个相等的非零实数根，

方程即寸+2工+1=0,

解得X=*2=-1.

3.(25-26九年级上•江苏扬州•期口)关于x的方程31+(〃7+3.+m=0.

(1)求证：不论，〃取何值，方程总有两个实数根：

(2)若方程有两个相等的实数根，请求出〃?的值并求此时方程的根.

【答案】(1)见解析

(2)m=3,此时方程的根为r一巧--1

【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程；

(1)由根的判别式△=(〃?-31之。，可证出：不论“取何值，方程总有两个实数根；

(2)由关于x的方程3/+(〃?+3沈+〃?=0有两个相等的实数根，可得出根的判别式△=(〃?-31=0,解之

可得出加的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解方程即可.

【详解】(1)证明：*.*A=(m+3);-4x3xrn

=nr+6/77+9-12///

=iir—+9

=(源-3-20,

••・不论小取何值，方程总有两个实数根；

(2)解：•••关于x的方程3/+(出+3口+〃?=0有两个相等的实数根，

•*.A=(/〃-3)2=0,

解得：町=，%=3.

将〃7=3代入原方程得：3x2+6x4-3=0,

即3(X+1)2=O

解得：%=9=-1，

••・，〃的值为3,此时方程的根为玉=%=7.

A题型07含参方程的根的情况分类讨论

典I例I精I标

I.(25-26九年级上•江西景德镇•期中)若关于刀的方程(攵+1)/+4犬-1=0有实数根，则々的取值范围是

【答案】k>-5

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.

分两种情况讨论：当&+1=0时，方程变为一次方程，有实数根；当&+1W0时，方程为一元二次方程，利

用根的判别式求解.

【详解】解：当攵+1=0,即左=-1时，方程为4x-1=(),解得％=),有实数根；

当上+1工0,即任一1时，方程为一元二次方程，判别式A=42—4x(&+l)x(-l)=16+4(A+l)=4k+20,

由ANO得4女+2020,解得左N-5,

综上，实数女的取值范围是42-5.

故答案为：kN—5.

变I式T巩［固

1.(24-25九年级上•北京海淀•期口)若关于1的方程("LIA?-4x+2=。有实数根，则”的取值范围是

【答案】m<3

【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义.当〃一1=(),即〃?=1时，原方程为一元一次方

程，解得可得出x的值，进而可得出机=1符合题意；当〃L1/0,即小工1时，利用根的判别式A",可

得出关于〃，的一元一次不等式，解之可得出〃?的取值范围，进而可得出〃?W3且〃7/1.综上，即可得出，〃

的取值范围.

【详解】解：当"7-1=0,即小=1时，原方程为-4x+2=0,

解得：”=；,

二/力=1符合题意；

当〃L1¥O,即〃?工1时，A=(-4)2-4x(/n-l)x2>0,

解得：m<31

:.”43且加工1.

综上所述，机的取值范围是〃3.

故答案为：〃叱3.

2.(24-25九年级上•全国•期中)已知方程收2+但4+3)x+Z=6有实数根，则4的取值范围是_______

【答案】

4

【分析】本题考查了根据•元二次方程根的情况求参数，对于•元二次方程”2+a+c=o(aw()),若

△一〃一4a八0,则方程有两个不相等的实数根：若△—〃2-4〃—0,则方程有两个相等的实数根：若

△="一4改<0,则方程没有实数根.分类讨论当&=0时和时两种情况，即可求解.

【详解】解：当女=0时，原方程为3x=6,解得x=2,满足题意；

当心。时，原方程可化为4+(2攵+3)1+06=0

由题意得：A=(2A+3)2—4&—6)之0,解得：AN—；；

综上所述：k>~,

4

故答案为：kN

4

3.(2025九年级上•全国・专题练习)已知关于x的方程(％T*-6x+9=0.

(1)若方程有实数根，求攵的取值范围.

(2)若方程有两个相等的实数根，求〃的值，并求此时方程的根.

【答案】(1比的取值范围为&V2

(2)k=2.%=%=3

【分析】(1)分两种情况讨论，当后0时，该方程为一元二次方程；当2=0时，该方程为一元一次方程,

再分别求得k的取值范围即可；

(2)只要让根的判别式△="-4阳=0,求得女的值，进而求得方程的解即可.

【详解】解：(1)当攵=1时，方程为一元一次方程，有解，满足题意；

当人工1时，方程为一元二次方程.

•/方程有实数根，A=b2-4ac=(-6f—36仕-1)=72—36Z20,

解得k£2,则AW2且d.

综上所述，%的取值范围为ZW2.

（2）•.•方程有两个相等的实数根，

.•.△=72-36%=0,且女一100,解得2=2,

•••原方程为f-Gx+gnO，解得％=々=3.

【点睛】本题主要考杳一元二次方程根的判别式及解法，熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法是解题

的关键.

A题型08判别式与几何图形综合

典i例T精说

I.（25-26九年级上•四川宜宾•月考）已知关于x的一元二次方程（2攵+l）x+F+攵=0.若VABC的两边

AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边8C的长为5,当VABC是等腰三角形时，攵的值为（）

A.3或4B.4或5C.5D.4

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的解和等腰三角形，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.

先利用公式法求出方程的解为％=女,9=2+1,然后分类讨论：左+1=5或2=5时为等腰三角形，然后求

出上的值.

【详解】解：•・•△=（2k+1）2—4（公+左）=45+42+1—4%2-4女=1,

解得％=2,巧=k+1,

-AB,AC的长是这个方程的两个实数根，

：.AB^AC,

..AB，AC中有一个数为5.

当k+1=5时，解得攵=4,此时三边分别为4,5,5,能构成三角形，则VA8C是等腰三角形，

当