2026年高考一轮复习讲义：椭圆（复习讲义）附答案

§8.5椭圆

【课标要求】1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、

离心率）.3.掌握椭圆的简单应用.

・落实主干知识・

I.椭圆的定义

把平面内与两个定点Fi，B的距离的和等于（大于IEBI）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做

椭圆的,两焦点间的距离叫做椭圆的.

注意：⑴当动点M满足|MQ|+|M/R=常数＞尸仄|时，动点M的轨迹为椭圆；

（2）当动点M满足=常数二|QBI时，动点M的轨迹为以尸2为两端点的线段；

（3）当动点M满足仁常数＜阴&|时，动点M的轨迹不存在.

2.椭圆的简单儿何性质

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

杆

图形

标准方程圣+91"0)春+会13*0）

范围

顶点

轴长短轴长为________,长轴长为_________

焦点

焦距|居周=_______

对称性对称轴：____________,对称中心：_________

离心率

4,b,C的关系

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打或"X”）

（1）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.（）

（2）椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.（）

（3玲表示焦点在），轴上的椭圆.（）

（4）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（）

2.已知平面内一动点P到两定点人（-2,0）,广式2,0）的距离之和为8,则动点P的轨迹方程为（)

X2y2X2y2

A.J匕=1B.jJ

1641612

X2y2X2y2

dD.JJ

952016

3.（2024.黔东南模拟）椭圆芸+9=1（胆＞0）的离心率为（）

5m3zn

A粤B1*

22

4.若椭圆C：^=1,则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（

43)

A.3B.2+V3

C.2D.V3+1

a微点提醒

椭圆中常见结论：

月为椭圆上任意一点，Fi，尺分别为椭圆的左、右焦点，设NF产尸2=仇如图所示.

（1）当P为短轴端点时，6最大,SA&PF2最大；当点P为长轴端点时，。最小为。

（2）|P尸I|max=〃+c,IPF1\min=a-C.

（3）|P『lHP尸2|W（如用电）2=/

222

（4）4C=|PFI|+|PF2|-2|PF1||PF2|COS^

（5）焦点三角形的周长为2（a+c）.

・探究核心题型•

题型一椭圆的定义及其应用

例1（1）已知动圆M和圆G：（x+l）2+V=36内切，并和圆C2：（41）2+9=4外切，则动圆圆心M的轨迹

是（）

A.直线

B.圆

C.焦点在X轴上的椭圆

D.焦点在)，轴上的椭圆

(2)(2025♦长沙模拟)已知点。为坐标原点，椭圆白〈二1的左、右焦点分别为A,B，点P在椭圆上,

设线段PFi的中点为M,且|OF2|=|OM,则的面积为()

A.yflS巳亨C.3x/7D.4715

思维升华椭圆定义的应用技巧

(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.

(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长利面积问题.

跟踪训练1(1)设R,B为椭圆C：9+产勺的两个焦点，点p在。上，若函窃=0,则|尸尸小上曰|等

于()

A.lB.2C.4D.5

(2)已知B分别为椭圆C：三白1(4>方>0)的左，右焦点，A为椭圆C的上顶点，且AARB为等边

16B乙

三角形；过B且垂直于A&的直线与椭圆C交于。，E两点,则AAOE的周长为.

题型二椭圆的标准方程

例2⑴过点（-3,2)且与白】二1有相同焦点的椭圆的标准方程是()

94

A.工

225100

v2x2

c.—+—=1

225100

(2)已知椭圆。的焦点在坐标轴上，旦经过人(-V5,-2)和8(-2百，1)两点，则椭圆。的标准方程

为.

思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法

(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.

(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的。，〃.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求

椭圆的方程为加¥2+〃户1。〃>0,心0,m^n);与椭圆色嗓Fm〉/2。)共焦点的椭圆方程可设为

含蓝十黄嬴=1,m>-b2)；与椭圆今■嗫=l(a>比>0)有相同离心率的椭圆方程可设为a+弃=]或

y

2+^=A[a>b>0,z>0).

跟踪训练2⑴（2024・九江模拟）已知椭圆C：奈那的左、右焦点分别为B,F?,过Q且倾

斜角为斗勺直线交。于第一象限内一点A.若线段AP的中点在），轴上，△AaB的面积为2百，则椭圆

6

。的方程为（）

AY+）,2=］BY+£1

3732

CA^=1D.匕以1

9396

（2）己知椭圆的中心在原点且过点P（3,2）,焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，则该椭圆的方程

为

题型三椭圆的几何性质

命题点1离心率

例3（2024.大庆模拟）已知椭圆C：1+瞑1（公＞/»0）的左、右焦点分别为R,B，B（0,b）,若经过B

的弦A8满足|A8|二|ABI，则椭圆C的离心率是（）

A.3B.3c.渔D.渔

3434

思维升华求椭圆离心率或其范围的方法

（1）直接求出。，C,利用离心率公式e=£求解.

a

⑵由。与〃的关系，利用变形公式-求解.

⑶构造。，c的方程.可以不求出。，。的具体值，而是得出。与。的关系，从而求得e.

命题点2与椭圆有关的范围（最值）

例4（多选）已知椭圆Fi，B为左、右焦点，3为上顶点，P为椭圆上任一点，则（）

164

A.Sg&Fz的最大值为4百

BJPBI的取值范围是［4-2百，4+2百］

C.不存在点P使

D.|P用的最大值为2遥

思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

（1）利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

（2）利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

跟踪训练3(1)(多选)已知椭圆/，=1(0<人<3)的左、右焦点分别为为，出,过点a的直线/交椭圆于

4,A两点，若|A8|的最小值为4,贝1」()

A.椭圆的短轴长为连

B.IABI+IBEI的最大值为8

C.离心率为4

D.椭圆上不存在点P,使得

(2)己知椭圆cW+q=i(a>o)的左、右焦点分别为a,F2,A为。上一动点，则需的取值范围

Q43QN\AF2\

是.

答案精析

落实主干知识

1.常数焦点焦距

2.-〃WxWa且-bWyWb-bWxWb且-aWyWaA\(-a,0),Az(a,0),£?)(0,-b),&(0,b)4(0,-a),Aa(0»

a),BK-b,0),Bg0)2b

2aFi(-c,0),B(c,0)Fi(0,-c),F?(0,c)2cx轴和)，轴原点

e=^(Xe<1)a2=b2+c2

自主诊断

l.(l)X⑵<(3)X(4)X

2.B3.A4.A

探究核心题型

例1(1)C［设动圆的圆心M的坐标为。，y),半径为r,

因为动圆M与圆Ci：(x+l)2+y=36内切，且与圆Ci：(1-1)2+产4外切，

可得IMG|=6.r,|MCE2,

所以|MGI+|MC2|=8>|GC2|=2,

根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以G,C2为焦点的椭圆，且〃=8,2c=2,

可得<7=4,c=\,

贝ijZ?=Va2-c2=VT5,

所以动点M的轨迹方程为24=1,

1615

所以其轨迹为焦点在X轴上的椭圆.1

⑵A［由题意可得。=3,h=V5,C=79-5=2.

.A

如图，因为。，M分别是和PR的中点，

所以|PBI=2|OM|二2|OF2|=2C=4,

根据椭圆定义，可得|PFi|=2a-|PBI=2,又因为尸如|二2―4,

所以△PQF2为等腰三角形，且尸2到。凡的距离为

任J|PF2『一(等)2=715,

故△PQB的面积为glPFiM二后.]

跟踪训练1(1)B[因为椭圆C：,

所以a=2,b=\,c=y/3,

又因为丽•布:0,

所以耐_1_耐，即PF\±PF2,

设|PR|=〃?(〃?>0),\PF2\=n(n>0),

则m+〃=4,①

且加+〃2=Q8产，②

由①2-②得2mn=4,即mn=2,

所以|P尸止|尸6|=2.]

⑵16

解析由C：\+，=1(4>/»0),得<7=4,

因为为等边三角形，

过凡且垂直于AB的直线与椭圆C交于D,E两点，

所以直线DE为线段AB的垂直平分线，

S|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,

则MADE的周长为|AO|+|AE|+|OE|=|QF2l+|EBI+|OMI+IEH\=2a+2a=4a=4X4=16.

例2(1)B［由题意得椭圆1+4=1的焦点坐标为(花，0),(-V5,0),

94

22

因为所求椭圆与椭圆？+一=1有相同的焦点，

94

设所求椭圆的方程为1+乜=1(公俑，

由于该椭圆经过点(-3,2),则将点代入方程得，4+-^7=1.

Q4Q4-5

解得<72=15(«2=3舍去)，

故所求椭圆的标准方程为今*1.］

AOXv

(2事以1

''155

解析设所求椭圆的方程为/7ir+/rr=l(/?2>0,/?>0,为?)，将A和8的坐标代入方程得

凿+}=：，解得『中

112m+九=1,(几=工,

则所求椭圆的标准方程为31=1.

aLDO

跟踪训练2(I)D［如图，<。为线段*B的中点，8为线段AR的中点，

：.OB//AF2,

又轴,

轴.

在RiAABB中，,

6

设怩河二心0),

则HF11=2/，向F21s.

•••△4代入的面积为2V5,

A|XV3/Xr=2V3,t=2.

••・2。二恒分|+八6|=3勺6,。=3,

2c=|FiF2|=x/3/=2V3,c=y/3,

/=〃2_廿=6,

22

则椭圆C的方程为尹卷=1.]

蝠为＜4=1

解析若焦点在x轴上，设该椭圆的方程为

禄嗫=13>〃>0),

2a=3x2b,

则由题意得

++表=1，

解得优：?

22

・••该椭圆的方程为;

455

若焦点在)•轴上，设该椭圆的方程为

y242

HQ=W>°)，

2a=3x2b,

则由题意得

a2=85,

解得,705

・••该椭圆的方程为《雇=i.

85—

9

例3A[由题可知，

所以嘱旭款

(1*|=2'

解得3a

1伍1一T，

由cosZAF}F2+COSZBF\F2=0,

得住y+(2?2—偿『,M+(2c)2-a2

何2--2C2a-2c'

整理得〃=3C2,

所以e=-=^-.]

a3

x

例4AB[对于A,依题意知〃=4,b=2,c=2V3,当P为短轴端点时,(SApF1F2)max42cX/?=4V3,故A

正确；

对于B,由椭圆的性质知|P*|的取值范围是他-c,a+c],即[4-2V5,4+2V31，故B正确；

对于C,sinZF2B6>^=y,所以,所以/尸出心斗，即NQPB的最大值为号，最小值为()，所

以存在点尸使，故C错误；

对于D,设P(xo,yo),

所以P8|=J端+Qo-2产,

又善如，所以匹=64所,

所以|P用力16-4据+(