2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷（提高）（人教A必修二）解析版

2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷(提高篇)

参考答案与试题解析

第I卷(选择题)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.(5分)若复数2满足5+2=-3+3贝”的共规复数在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解题思路】根据复数运算得z=-3-3i,利用共规复数的定义和几何意义得解.

【解答过程】由4i+z=-3+i,可得z=-3-3i,Mz=-3+3i,

所以5在复平面内对应的点在第二象限.

故选：B.

2.(5分)已知向量五=(1,2),b=(2,0),c=(0,1),若G〃(5+41),则4=()

A.--B.-C.4D.2

22

【答案】C

【解题思路】本题可先求出b'+我的坐标，再根据两向最平行的坐标关系列出方程，进而求解;I的值.

【解答过程】已知3=(2,0),c=(0,l),

可得。+Ac=(2,0)+(0,A)=(2fA).

已知3=(1,2),且苍〃@+「引,所以1x4-2x2=0,

即4—4=0,解得4=4.

故选：C.

3.(5分)已知正三棱柱48。-必生。1的底面边长为2,高为5,一质点从4点出发，沿着三棱柱的侧面绕

行两周到达4点的最短路线长为()

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A.屈B.10C.5V5D.13

【答案】D

(解题思路】根据侧面展开图可得最短距离.

【解答过程】由己知，需绕三棱柱的侧面绕行两周，

则将三棱柱沿展开，并沿底边扩大2倍，

如图所示，

444

则展开图是以2x3x2=12为底，5为高的矩形，

则最短路径即为其对角线长为VIN彳手=13,

故选：D.

4.(5分)已知复数Zi=1-2i是关于x的方程%2+p%+q=0(p,qwR)的一个根，则z?=p+qi在复

平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解题思路】根据复数的乘法、加法运算化简复数，结合复数相等列方程组得p,q的值，确定复数Z2,由复数

的几何意义确定象限即可.

【解答过程】由题知(l-2i)2+p(l-2i)+q=0,

整理得(p+q-3)-(2p+4)i=0,即-温；7d解得Fq：；'

所以Z2=p+qi=-2+5i在复平面内的对应点为(一2,5),位于第二象限.

故选；B.

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5.(5分)△ABC外接圆半径为2&,sinA+sinC=¥，2b=a+c,则△ABC的面积为()

4a

A.5aRC.V3-1D.6V2-3V7

【答案】D

【解题思路】根据题设及正弦定理易得sinB=f,b=2,Q+C=4,结合平方关系可得cosB二手，进而结

44

合余弦定理求得知=12(4-714),再根据三角形的面积公式求解即可.

【解答过程】由28=Q+C,根据正弦定理得2sin8=sin/1+sinC=/,

则sin8=—♦又b=2RsinB=4V2x—=2,则a+c=2b=4,

44

显然Q<bV。或a>b>c,则8为锐角，

所以cosb=V1—sin2B=

又/=a2+c2-2accosB,则4=a2+c2-^-ac,

则4=(a+c)2一当QC—2ac,

贝M?+2)川=12,即如=日=就=12(4—g),

所以△力BC的面积为^acsinB=1x12(4-x(14)x曰=6\[2-3收

故选:D.

6.(5分)如图，在楂长为3+5的正方体内有两个球。1、。2相外切，两球又分别与正方体内切，则两球

体积之和的最小值为()

A.9nB.8nC.12nD.6TT

【答案】A

【解题思路】做出对角面，设两球半径分别为RI,过。1，%分别作A。,8c的垂线，垂足分别为邑F,结合

A01+。1。2+02c=AC求得R+r=3,再结合体积公式即可求解.

【解答过程】如图，设两球半径分别为R,r,球心0】和。2在正方体体对角线AC上，

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过01，。2分别作4。,8。的垂线，垂足分别为E,F，

B'----------

由图可得4。1+。1。2+O2C=AC

即信+(r+/?)+V3/?=V3(3+V3)

(V3+l)(/?+r)=3V3+3,所以R+r=3,

故两球体积之和为V=-7t(/?3+r3)=-Tt(r+R)(R2-Rr+r2)

33

=4n[(R+r)2-3rR]=4n[32-3R(3-R)]=4ir(3/?2-9R+9)

由二次函数性质可知：

当且仅当R=r=%寸，P有最小值9m

故选：A.

7.(5分)已知P是边长为2的正八边形/8CDEFG”内的一点，。为其中心，则方•丽+布•布的取值范

围是()

A.(一2或,4+2或)B.(-4,4+2&)

C.(-2,4)D.(-4,4)

【答案】A

【解题思路】先由正八边形的对称性和向量的运算法则将丽・丽+丽•而转化为而•万，然后求出正八边

形的内角大小，根据数量积而•万的几何意义，将问题转化为求解I而|cose的最值，结合图形可得取得最

值时P的位置，最后结合平面几何知识求得结果.

【解答过程】由正八边形的对称性可知，

OE-AP+OB-AP=-OA•而+方•Q=•(而-07)=而•超，

易知正八边形的每个内角为(8一2)广8。。=135。，

O

设而与刀的夹角为0,则而•AB=[AP\[AB\cos0,

所以当|而|cosJ最大时，丽而取得最大值，当|而|cos。最小时，丽•而取得最小值.

如图，过点C作CT垂直48的延长线于点T,过点H作HS垂直84的延长线于点S,

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可知当P在线段CD上时，|而|cos。取得最大值，|而|cos6=HB+BCcos45o=2+&,

此时而-45=2x（24-72）=44-272.

当P在线段GH上时，|而|cosJ取得最小值，此时|而|cose=AHcosl35o=-VI

此时而•丽=2x（一&）=-2a

故而•松的取值范围为（一2企,4+2V2）.

故选：A.

8.（5分）在中，角4从C所对的边分别为a,b,c,若诉』=胃胃,边BC卜一点Q

满足｛0=1,b-BD=c-CD,贝!4c+b的最小值为()

A.5+&B.7C.9D.5+2式

【答案】C

【解题思路】先由余弦定理和正弦定理结合题设可得力=g,由小80=「CD可得4。为角4的平分线，再利

用等面积法S△做=S.ABD+可得3+”1，进而利用基本不等式求解即可.

b+c-a

【解答过程】由

sin/1+sinB+sinCsind

cb+c-a

根据正弦定理得,

a+b+cb

则(b+c)2-a2=be,即Z)2+c2-d2=-be,

所以COS/=b当—"=

又＜6（0m）,所以

因为b-BO=c-CD,即士=黑，故力D为角力的平分线，且4。=1,

cBD

由Sg8C=S^ABD+S^ACD，贝叶bcs[ng=；c-AD•s吗+》b•40•sin

CD/D/D

故即

Z?+c=Z?c,bc

所以4c+b=(4c4-b)Q+^=54-y+^>5+2J募.，=9.

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当且仅舞.即b=2c=3时等号成立,

则4c+b的最小值为9.

故选:C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.(6分)已知向量d=(1,2),b=(-1,1),则()

A.b(a+b)=3B.(2a+b)//(a+2b)

C.向量2五一B与值一2石的夹角为：D.向曷五在方方向上的投影向量为

43

【答案】AC

【解题思路】对于ABC,根据平面向量的基本知识即可求解；对于D,求出五在3方向上的投影向量表达式,

再根据表达式求解即可.

【解答过程】对于A,a+5=(1-1,24-1)=(0,3),

S-{a+S)=(―1)X04-1x3=3,故A正确；

对于B,2a+h=2(1,2)+(-1,1)=(1,5),

a+2b=(1,2)+2(-1,1)=(-1,4),

因为1x4-(-1)x5=4+5=9w0,

所以2日+3与G+2石不平行，故E错误；

对于C,设向量2d与五-23的夹角为。,

2a-5=2(1,2)-(-1,1)=(3,3),

a-2b=(1,2)-2(-1,1)=(3,0).

rcS-(2d-」)・伍-2b)_3X3_巫

C0Sy-\2a-b\\a-2b\~3^3~

又ew[o,n],所以。=%故c正确；

对于D,设G和B的夹角为例

则问量d在B方向上的投影向量为-|a|cos^=i|i*|a|，＜存=器3,

Pl\b\同曲1\b\

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d-5=1x(-1)+2x1=1,\b\=(-I)2+I2=2,

则萼3故D错误.

kl2

故选：AC.

10.(6分)如图，该几何体是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该几何体底面边长和上面正

四棱锥的侧棱长均为10cm,则卜.列选项中正确的是()

A.正四棱锥的高为5&cm

B.该几何体的表面积为(100V5+200或)cm?

C.该儿何体的体积为空警cm?

D.一只小蚂蚁从点七爬行到点S,它所经过的最短路程为、/150+50乃cm

【答案】ACD

【解题思路】求出四棱锥的高判断A；求出表面积判断B；求出体积判断C：将长方形"ZM及正力8置于

同一平面,求出SE判断D.

【解答过程】对于A,正四棱锥S-ABCD底面半径。4=5或，高SO=心不一。炉=5vL故A正确：

对于B,几何体的表面积为lO2+4Ox5&+4x^xl()2=ioD+2ooV^+ioobcm2,故B错误：

4

对于C,该几何体的体积为102x5或+：xio2x5鱼=空警地3,故C正确；

对于D,观察图形知，小蚂蚁从点E爬行到点S的最短路径为沿表面越过棱48或4D,

由对称性，不妨取长方形力及正△S48,将它们置于同一平面内，连接SE,如图，

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取EF中点M,连接SM,则SM=5^+5vL而EM=5,

所以最短路程为SE=VFM2+SM2=J52+（5V2+5V3）2=V150+50V6cm,故D正确.

故选：ACD.

li.（6分）已知△4BC,内角48,C分别对应边Q,Ac则下列命题中正确的是（）

A.若siM/l+siMB+cos2c<1,则△ABC为钝角三角形

B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立

C.若力8=，5,力。=1,8=30°,则448。的面积为日

D.若8话,a=2百，且△4BC有两解，则b的取值范围是（3,26）

【答案】ABD

【解题思路】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A,利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断B,利

用正弦定理求C,结合内角和公式求4根据三角形面枳公式求则△力8c的面枳判断C,结合图象，根据边

角的关系与解的数量判断D.

【解答过程】选项A：△ABC中,若siMn+siMB+cos?。=sin?4+siMB+1—siMCv1,

即siMA+sin2F-sin2c<0,所以由正弦定理得a24-b2—c2<0,

又由余弦定理得cosC=<。所以。6《刀），△ABC为钝角三角形，A正确；

选项R：因为是锐角三角形，所以Ovcv],所以=/+BVTC,

乂A,BE（of,所以>8<0弓），

又因为y=sin%在（0,；）单调递增，所以sin4>sin傅-8）=cosB,B止确；

选项C：△力BC中，若A8=V5/C=1,B=3O。，则由正弦定理得冬=1解得sinC=£

sinBsinC2

所以C=60。或C=120°,

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若C=60。，则心力=90。，△力8c的面积S=・力C・sinA=g

2z

若C=120。，则/A=30。，△48。的面积5=；48・4。7也力=渔，C错误;

24

选项D：如图所示，

若△48。有两解，则asinB<b<Q,

所以2d5xsinW〈b<2b，故3VbV2b，D正确；

故选：ABD.

第n卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）己知复数z的共规复数5在复平面内对应的点为（2,-4）,则|捻卜.

【答案】付

【解题思路】根据题意先求出复数z，然后代入息|中计算即可.

【解答过程】由题意：z=2+4i,

所CH煞=IS?I=1等卜|3+“=E=m.

故答案为：m.

13.（5分）在A4BC中，点P是中线4D上一点（不包含端点），且加=x瓦？+y近，则二+2的最小值是

xy

【答案】25

【解题思路】利用向量的共线定理即可得出x+2y=1,再利用基本不等式的乘“1”法，即可求解.

【解答过程】点P是中线40上一点（不包含端点），且前=工而+、前，

BP=xBA4-yBC=xBA+2yBD.

因为4P,。三点共线，故X+2y=l,

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-+-=(-+-)(x+2y)=17+^+—>17+2l^x—=25,

xy\xy/v/xyyjxy

当且仅当§=崇即2%=y1时，等号成立.

故答案为：25.

14.(5分)多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多

面体(各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等).数学

家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体,

如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为.

【解题思路】根据正八面体的结构特征确定球心位置，令正八面体的棱长为2,有外接球半径/?=&,再由

等体积法求得内切球的半径r二4,即可得.

【解答过程】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，旦为体对角线的交点，

令正八面体的棱长为2,外接球和内切球的半径分别为R,r,则外接球半径R=&,

各侧面积S=：x2X2xsin60°=瓜构成正八面体的两个正四棱锥的高为企，

所以正八面体的体积V=8xi-r5=2x1xV2x2x2,可得r=

所以外接球和内切球的表面积比为陵：产=2：1=3:1.

故答案为:3:1.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)已知复数Zi=3-4i,z2=2+ai,其中Q£R.

(1)当Q=1时,求黄：

(2)若复数z1Z2在复平面内所对应的点位于第三象限，求a的取值范围.

【答案】(正一争

⑵(-8,母

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【解题思路】(1)根据复数的除法运算求解；

(2)可以复数的乘法运算求解Z/2,再根据复数的几何意义列式求解.

【解答过程】(1)当。=1时，Z2=2+i,

lilll幺-3-4i_(3-4i)(2T)_6-3i-8i+4i2_2_11.

人与=TH=(2+i)(2-i)=-4^2-=5-TL

(2)因为Zi=3-4i,z2=2+a\,所以2隹2=(3-4i)(2+ai)=6+4a+(3a—8)i.

因为Z】Z2在复平面内所对应的点位于第三象限，所以得十黑：,

解得”一方即〃的取值范围是(一8,—|).

16.(15分)已知向量五=(1,2),b=(3,-2).

⑴求|五-同；

(2)若n=VTU,且(2d+=l。求向量d与向量1的夹角;

(3)^|c|=V29,且(2日十方)〃3求向量^的坐标.

【答案】⑴2遍

(2咛

(3)3=(5,2)或^二(-5,—2)

【解题思路】(1)利用向量的坐标表示，再借助坐标计算向量的模作答.

(2)由向最的模，结合向最的数量积运算律转化求出向最的数量积，再求出夹角作答.

(3)运用向量平行的坐标结论计算即可.

【解答过程】⑴因为五=(1,2),3=(3,-2),所以五一3=(-2,4).

所以怔-b\=〃-2)2+42=2V5.

(2)因为(2五+5)1.总所以(2五+63=0.即2d々+产=0.

所以2|d||3|cos(d,。+\c\2=0.即2xV5xVToxcos(d,c)+10=0,

所以cos〈d,K)=-，.

因为＜d©€[0m],所以

4

(3)因为,=(1,2),b=(3,-2),所以22+3=(5,2).

因为(2G+B)〃3设5=4(26+3)=(5九2/1),

则同=再＞=a，.

解得入=±1,

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故Z=(5,2)或3=(-5,-2).

17.(15分)圆锥P。的底面直径是2,其侧面展开图是一个顶角为120。的扇形.

(I)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥恻面爬行一圈回到点A,求爬行的最短路程；

(2)过P。的中点名作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱(如图所示)，求剩下几何

体的表面积和体积.

【答案】(1)375

(2)5=(4+V2)n,U=M

【解题思路】(I)作出侧面的展开图，最短路程即为44的长，由余弦定理可求解；

(2)求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积.

【解答过程】(I)由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为A4'的长，设[为圆锥的母线长，

由2n可得，=3,即母线4P=3,

在△4P4中，由余弦定理可得44=J32+(3)2-2x3x3xcosy=3>/3

所以爬行的最短路程为3遮：

(2)因为圆锥的母线长为4P=3,所以圆锥的高为九二不二于二2企，

从而挖去的圆柱的高为企，从而挖去的圆柱的侧面积为2n*•夜=V2n,

又圆锥的表面积为IT-I2+x2n•1-3=4m

所以剩下几何体的表面积S=4n+\[2n=(44-

剩下几何体的体积为V=[IT•1-2\/2—TT-(，・>/2=

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18.(17分)在①(sinH-sinC)sin(i4+B)=sin2/1—s\n2B,(2V5sin8cos8--cos2^=1,③bcosC=a-

2

号csinB这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.

已知a,b,c是△ABC的三个内角的对边，且.

⑴求从

(2)若匕=2,求锐角A/IBC的周长的取值范围.

【答案】(I)选①®③，答案均为;

⑵(2+273,6]

【解题思路】(1)选①，由正弦定理得到。2+/-炉=。的利用余弦定理得到8=3选②，利用恒等变

换得到sin(28-9=1,结合0<8<n,求出8=去选③，由正弦定理和三角恒等变换得到tanB=b，

求出答案；

(2)由正弦定理得到a==拶sinC,变形得到△48C的周长以诋=2+4s\n(A+力，利用△48C

33\6/

是锐角三角形，所以5<力<£结合正弦曲线求出取值范围.

62

【解答过程】(I)选①，由(sin/1—sinC)sinG4+B)=siM/l—siMB,

可得(siru4—sinC)sin(4+B)=(sin/1—sinB)(sir)i4+sing),

因为4+B+C=五及正弦定理，可得(a-c)sinC=(a-b)(sia4+sinfi),

所以(a—c)c=(a—b)(a+b),整理得a?+c2-b2=ac,

则cosB=°-"=L,因为OvBvm所以B=E；

2ac23

选②，由VSsin8cos8-]cos2B=1,可得V5sin2B-cos2B=2,

即sin(28—§=1,

因为0<B<n,可得一？v2B—?v2n,所以28一3=;即B=%

666623

选③，由bcosC=a——csinB,由正弦定理得sin8cosc=sinA--sinCsinB,

33

即sin8cosc=sin(8+C)-gsinCsinB,

UPsinBcosC=sin8cosc+cosBsinC-"sinCsinB,

整理得sinC(cosB一号sin8)=0,

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因为0<C<n,sinC>0,可得cos8一:sinB=0,

即tanB=J5,因为0VB<TT,所以8二二

3

(2)由B=pb=2,可得，_=上==这

sin4sinCsinB3

故a=竽sinA,c=竽sinC,

所以周长[△48c=a+b+c=2+：(sin/l+sinC),

又由/l+8+C=n,可得力+。二不,

4V3475c”)]

I^ABC=2+—(sin力+sinC)=2+sin/l+sin

o3

4返/x/31\4A/3/3V3

=2+——Isin?l+—cos4+-sin/lI=2+——I-sin/14-—cosA

o\乙乙/◊、乙乙

=2+殍•代sin(4+勺=2+4sin(4+已)，

又因为△/18C是锐角三角形，所以0V/1V；,0<c<

即OVAV(0<y-^<p解得汴4<会

可得；VA+汴手所以日vsin(4+JW1,

所以2+2V5V2+4sin(4+JW6,

所以△48C的周长的取值范围为(2+2V3,6],

19.(17分)设平面内两个非零向量而，五的夹角为氏定义一种运算“区T：万⑥元=|访||宿sin。.试求解下

列问题：

⑴已知向量落百帝足五=(1,2),向=1,a-b=2,求五G)B的值；

(2)①若石=b=(x2>y2)»用坐标%i，%，%2,均表示&区)9；

②在平面直角坐标系中，已知点4(2,1),夕(一1,2),C(0,t),△旗。的面积为(求t.

⑶，知向量日=(焉