定值问题（原卷版）2026高考数学

第24讲定值问题

一.解答题（共19小题）

1.已知中心为坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线。过点。（2,弓），且点。在x轴上的

射影恰为该双曲线的一个焦点£

（I）求双曲线C的方程；

（II）命题：“过椭圆上+E=i的一个焦点尸作与x轴不垂直的任意直线/”交椭圆于力、

2516

8两点，线段W8的垂直平分线交元轴于点则上为定值，且定值是W”.命题中涉

\FM\3

及了这么几个要素•：给定为圆锥曲线E,过该圆锥曲线焦点厂的弦力8,48的垂直平分线

与焦点所在的对称轴的交点的长度与尸、M两点间距离的比值.试类比上述命题,

写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明.

（III）试推广（H）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圈、双曲线、抛物线）的统一的一般

性命题（不必证明）.

2.已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的椭圆C过点0（1,|）,且点0在x轴的射影恰

为该椭圆的一个焦点

（I）求椭圆。的方程；

（II）过椭圆C的一个焦点”作与x轴不垂直的任意直线/交椭圆于力、8两点，线段相

的垂直平分线交x轴于点则型是否为定值，若为定值，求出该定值，若不为定值,

\FM\

说明理由.

3.已知椭圆C:「+E=1（4>6>O）,离心率<?=且春丹分别为左、右焦点，椭圆C上一

a~b~2

点M满足MF.1MF2,EAMFE的面积为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点7（1,0）作斜率为*（*>0）的直线/交椭圆。于4.A两点.过点。且平行于/的直

线交椭圆于点Q，证明：7夕为定值.

|OP『

4.已知椭圆C：二+5=15>/）>0）的离心率为正，上顶点M到直线瓜+y+4=0的距

a'b~2

离为3.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点r（i,i）作直线人与椭圆c相交于P,。两点，且（而+而），求4直线方程;

（注意用两种方法作答，每种方法4分）

（3）设直线/过点（4,-2）且与椭圆。相交于力，8两点./不经过点证明：直线A"的

斜率与直线MB的斜率之和为定值.

5.已知椭圆C:：+5=l,（a>b>0）的离心率等于正，点P（2,G）在椭圆上.

a'b"2

（1）求椭圆C的方程：

（2）设椭圆C的左右顶点分别为力，4,过点02,0）的动直线/与椭圆C相交于N两

点，是否存在定直线/'：》=/，使得1与4N的交点G总在直线8M上？若存在，求出一

个满足条件的/值；若不存在，说明理由.

6.在平面直角坐标系xQy中，椭圆+?=的离心率为当，上顶点（0力）在

直线x+y-1=0上.

（I）求椭圆「的方程：

（II）过原点的直线与椭圆「交于/,〃两点（力，8不是椭圆厂的顶点）.点C在椭圆「上,

且/CJL48,直线8c与x轴、y轴分别交于P,0两点.

⑴设直线8C,4P的斜率分别为4，右，问是否存在实数，，使得尢=/e?若存在，求出

，的值；若不存在，请说明理由：

（H）求NOPQ面积的最大值.

7.已知椭圆C:二+:=15>6>0）的离心率为立，”为椭圆。的右焦点，彳是右准线

a~b~2

与x轴的交点，且4户=1.

（1）求椭圆C的方程：

（2）过椭圆C上顶点8的直线/交椭圆另一点。，交x轴于点若瓦7=3而，求直线

/的方程；

（3）设点0弓,0），过点E且斜率不为零的直线〃，与椭圆。交于S,7两点，直线7。与直

线x=2交于点号，试问耳•彳是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

已知椭圆。:二+匕

8.=1的右焦点为尸，过尸作与坐标轴不垂直的直线/,交椭圆于力、

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B两点,线段力〃的中垂线r交X轴于点〃.

(1)若8产=2,求8点坐标；

(2)问：丝是否为定值.

FM

9.已知椭圆C:1+与=1(。>〃>0)的离心率为如，E、鸟是椭圆C的左、右焦点，P为

椭圆上的一个动点，且△PCK面积的最大值为3及.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过椭圆C的右焦点名作与x轴不垂直的直线4交椭圆于力，4两点，第一象限点M在

椭圆上且满足MRJ.X轴，连接M4,记直线48,加力，的斜率分别为2,尢，

k2,探索叱$一”是否为定值，若是求出：若不是说明理由.

10.已知椭圆c：=+4=ig〉b>0)的离心率为巫，过椭圆。的左焦点耳(-0,0)且不与

a"b~2

坐标轴垂直的直线/交椭圆C于"，N两点，且椭圆C截直线x=c•所得弦长为夜.

(1)求椭圆C的方程：

(2)线段MN的垂直平分线与x轴交于点P,求点P横坐标的取值范围；

(3)试问在x轴上是否存在一点0,使得西・丽恒为定值？若存在，求出点。的坐标及

该定值；若不存在，请说明理由.

11.在平面直角坐标系直方中，椭圆C:土+」一=1.

m8一///

(1)若椭圆。的焦点在X轴上，求实数/〃的取值范围；

(2)若〃?=6,

①P是椭圆。上的动点，M点的坐标为(1,0)，求月必的最小值及对应的点P的坐标;

②过椭圆。的右焦点尸作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆C于力，8两点，线段为8的垂

直平分线/交'轴于点N,证明：募是定值，并求出这个定值.

12.已知左焦点为6(-1,0)的椭圆过点21，¥),过右焦点弱分别作斜率为K,内的椭圆

的动弦力8,CD.设点M,N分别为线段48,CZ)的中点.

(1)求椭圆的标准方程：

(2)求三角形。力8面积的最大值：

(3)若k^h=l,

①求证：直线经过定点了，并求出定点7的坐标.

②求证：点7到直线48,CO的距离的平方和为定值.

13.已知椭圆C：《+E=lS>0)中，以0(-2,1)为中点的弦力8所在直线的方程是

12b-

x-2v+4=0.

(1)求椭圆。的方程:

⑵设点小。)为椭圆。长轴上的一个动点，过点尸作斜率为击的直线,交椭圆。于S,

T两点,证明：|雄『+|07|2为定值.

14.如图，已知抛物线C:f=2/»，(〃>0)的焦点/到直线x-y-2=()的距离为手.是

过抛物线。焦点尸的动弦，O是坐标原点，过力，8两点分别作此抛物线的切线，两切线

相交于点P.

(1)求证：PA1PB.

(2)若动弦44不经过点〃(2,1),直线力〃与准线/相交于点N,记M4,MB,MY的斜

率分别为勺，人.问：是否存在常数4,使得占+为=」一在弦力8运动时恒成立？

'21+/

若存在，求4的值；若不存在，说明理由.

15.已知石，人分别为椭圆。:^+*~=1(。＞力＞0)的左、右焦点，焦距为2,过名作斜率

存在且不为零的直线/交C于力，8两点，且△片彳8的周长为8.

(1)求椭圆C的方程：

(2)已知弦18的垂直平分线机交x轴于点P,求证：匹!为定值.

\AB\

16.已知圆C的圆心坐标为C(3,0),且该圆经过点力(0,4).

(1)求圆C的标准方程；

(2)若点6也在圆。上，且弦力4长为8,求直线的方程：

(3)直线/交圆。于M,N两点，若直线力M,彳N的斜率之积为2,求证：直线/过一个

定点，并求出该定点坐标.

(4)直线/交圆。于M,N两点，若直线4何，/N的斜率之和为0,求证：直线/的斜率

是定值，并求出该定值.

17.已知圆。的方程为/+9=13,直线/:."工+为y=13,设点力(%,%).

(1)若点/为(3,4),试判断直线/与圆。的位置关系；

(2)若点力在圆。上，且%=2,%＞0,过点力作直线/M,4V分别交圆。于M,N

两点，且直线4W和4N的斜率互为相反数.

①若直线AM过点O,求直线MN的斜率；

②试问：不论直线4W的斜率怎样变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值;

若不是，说明理由.

18.已知椭圆C:捺+%=15＞人＞0）的左、右焦点分别是G（-c,O）,&（c,0）,直线

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