2025-2026学年甘肃省兰州某中学等校高二（下）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年甘肃省兰州二中等校高二(下)期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.曲线歹=e'在点力(0,1)处的切线斜率为()

A.IB.2C.eD.

2.若向量1=(2,0,-1),向量1=(0,1,-2),则2彳-石=()

A.(-4,1,-4)B.(-4,1,0)C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)

3.下列求导运算正确的是()

”、11

A.1JB.E01I>

X.A

C.(20'=2XD.(sinv)'=-cosx

4.已知4(0,4,0),4(3,0,0)C(0,0,2),则平面44。的一个法向量可以为()

A.(4,3,6)B.(-4,3,6)C.(4,-3,6)D.(4,3,-6)

5.已知，(2)=1,则、二［®=()

A.1B.2C.-1D.-2

6.在平行六面体/AC。-/田Ci。|中，AB=AD=2AA\=4,^AA\=LDAAI=6()°,乙B4D=90°,M是由。i的中

点，则NAZ的长为()

A.2,5B.皿C.Jv/7D./“

7.曲线尸Inx上的点到直线x-_y+l=0的最短距离是()

A.，2B.2C.v/2fD.C0,

8.已知空间四点4(1,2,3),/?(1,1,2),C(2,1,1),Z)(1,1,I),则下列选项正确的是()

A.ABKDB.1广与TJ/j夹角的余弦值为:

C.AC1BDD.ABLCD

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.如图是函数_y=/'(x)的导函数.y=f(x)的图象，则以下说法正确的为()

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A.-2是函数内'（x）的极值点

B函数月（x）在尸1处取最小值

C.函数在尸0处切线的斜率小于零

D.函数），=f（x）在区间（-2,2）上单调递增

10.直线/的方向向量为两个平面a,p的法向量分别为诉•司，则下列命题为真命题的是（）

A.若小工后，则直线/I平面a

B.若〃；一〃:，则平面al平面0

C.若，“、〃；・〃：:，则平面a,。所成锐二面角的大小为:

D.若皿，/.疥＞=曲，则直线/与平面a所成角的大小为:

11.已知函数〃1）一”竺，则（）

A.f（A-）的递增区间为（-8,e）B./（x）极大值为।

f:

C.fCx）的极大值点为eD.⑵

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知空间向量1=（1,一22）,]=则・石=—.

13.我国占代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱

锥称为阳马.如图，四棱锥P-44CD为阳马，P力1平面/BCD,EAB=AD=AP=3.

FC2P京则.比D户—.

14.在空间直角坐标系中，平面a的一个法向量的坐标为（4,4,-7）,直线/的一个方向向量的坐标为（8,

-4,1）,则直线/与平面a所成角的余弦值为一.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

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15.(木小题13分)

已知函数/(x)=(x-2)-

(1)求函数y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)求函数/(x)的单调区间.

16.(本小题15分)

如图，在正方体力4C。-力囚GQi中，棱长为2,E,F,G分别是8小，DiBi,的中点.

(1)求证：EFL4Q；

(2)求证：E*面4OG.

17.(本小题15分)

已知函数/(x)=Inx+a(1-x).

(1)讨论人x)的单调性;

(2)当火x)有最大值，且最大值大于2小2时，求。的取值范围.

18.(本小题17分)

已知函数/(x)=-/+3"1,xE[-2,2].

(I)求/(x)的值域；

(2)讨论函数g(x)-a的零点个数.

19.(本小题17分)

如图，在四棱锥尸-48。0中，21_L底面力4CQ,四边形/4CO为平行四边形，其中P.l\/'A,AB=\,AD=2AB,

且ZJ8C=6O°,点E为P。的中点.

(I)证明：AEC.

(2)求点〃到平面4EC的距离.

(3)求平面PBC与平面4EC所成锐二面角的余弦值.

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1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

II.【答案】BCD

12.【答案】6

13.【答案】3

14.【答案】卜5

9

15.【答案】解：(1)*./(x)=(x-2)eS./(0)=-2,

且/(x)=(x-1)eS.•/(0)=-1,

.,届数产/'(x)在点(0,/(0))处的切线方程为j=x-2,即x+y+2=0.

(2)(x)=(x-2)ex,f(x)的定义域为R,

•••由(1)得，(x)=(x-1)d.

令/(x)=0,解得x=l,

.••当xW(-8,1)时，，(X)<0,函数/(x)在(-8,1)上单调递减：

当(1,+8)时，f(x)>0,函数/(x)在(I,+8)上单调递增，

即函数/(X)的单调递减区间为：-8,1),单调递增区间为(1,+8).

16.【答案】在正方体48cz中，棱长为2,E,F,G分别是89，DiBi，48的中点,

以。为坐标原点，。力所在直线为x轴，。。所在宜线为y轴，。。所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系。为，z,如图，

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则,4i(2,0,2),。(0,0,0),E(2,2,1),尸(1,1,2),G(2,1,0),

则£7=(/，J，1)，[1了=(。2，0,-2),

♦•哥・'了=(-1)X(-2)+1X(-2)=0,

•­EFLA\D.

设面力1OG的法向量为〃'=(x,y,z),

vRi]=(2,0,2),(2,1,0),

MDT+2;-0

则令x=l,得n=(1,-2,-1),

77J53=2j-+y=O

.77=(-1)X1+(-1)X(-2)+1X(-1)=0,

-l~f1”，

又E/W：面/IOG,二£7可面4£>G.

17.【答案】解：(1)/(x)J/(x>0),

若“WO,则/(x)>(),.•.函数/(x)在(()，+8)上单调递增,

若(7>o,则当,隹川・！)时，f(x)>0,

a

当工6(1・+x)时，f(x)<0,

a

所以/(/)在”上单调递增，在J单调递减.

aa

(2)由(1)知，当aWO时，/(x)在(0,+8)无最大值，

当口>0时，/'(X)在尸取得最大值，

a

最大值为/J)=ln।+41