高中数学基础练习题-复数题型归纳精讲精练（解析版）

7.7复数题型归纳精讲精练

模块一：题型分类...................................................2

题型一：复数的基础概念..........................................2

题型二：复数的分类..............................................3

题型三：复数的几何意义..........................................5

题型四：复数相等及应用..........................................7

题型五：复数的模................................................7

题型六：复数代数形式的四则运算.................................10

题型七：共挽复数...............................................12

题型八：复数的乘方运算.........................................13

题型九：复数范围内解方程.......................................14

题型十：求辅角主值.............................................15

题型十一：复数的代数形式与三角形式的互化.......................16

题型十二：三角形式下的复数的乘、除运算.........................19

题型十三：复数的最值问题.......................................21

题型十四：复数的综合问题.......................................24

模块二：综合巩固..................................................26

7.7复数题型归纳精讲精练

模块一：题型分类

题型一：复数福础概念

1.下列四种说法正确的是（）

A.如果实数Q=b,那么a—匕+（a+b）i是纯虚数.

B.实数是复数.

C.如果a=0,那么z=Q+bi是纯虚数.

D.任何数的偶数次暴都不小于零.

【解题思路】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解.

【解答过程】对于A中，若a=b=0,那么a-b+（a+b）i=0WR,所以A错误；

对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确；

对于C中,若a=0日力=0时.复数z=a+bi=0€R.所以C不正确：

对于D中，由虚数单位》2=-1,可得D错误.

故选：B.

2.在复数l-2i,2+V3,-5+V2i,0,7+（遍-2）i中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

其中虚数的实部与虚部分别是什么？

【解题思路】根据复数的分类，以及实部、虚部的定义即得解

【解答过程】由复数的分类，对于复数z=a+bi

当b=0时，z为实数；

当bwO时，z为虚数；当。=0而金0时，z为纯虚数.

故在上述复数中，0,2+VJ为实数；l—2i,-5+V2i,7+（、居一2）i为虚数；5为纯虚数

对于1-23实部为1,虚部为・2；

对于齐实部为0,虚部为最

对于-5+«i,实部为-5,虚部为包；

对于7+（遍-2）L实部为7,虚部为再-2.

3.设则是“复数z=（〃--2机-3）+（〃?-l）i为纯虚数〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据复数2=(〃，-2川-3)+(〃?-)为纯虚数得到机=3或-1,然后判断即可.

【详解】若复数z=(〃J-23)+(〃-l)i为纯虚数，贝“/二2〃：-3=0,解得〃?=3或口，

[m-\工0

所以—=7”是"复数z=(m、2m-3)+(w-l)i为纯虚数”的充分不必要条件.

故选：A.

4.在复平面内，复数z=&H二所对应的点位于()

2+3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】先利用虚数单位的性质化简[刘力再利用复数的四则运算法则，化简式子，从而得到该复数相对

应的点，由此得解.

【详解】因为产凶=产504+3=。4)$0\/=7,

-(l-i)i20'9(l-i)(-i)(2-3i)(-l-i/2-31)-5+i51.

2+3i(2+3i)(2-3i)13131313

所以z所对应的点为上得七｝位于第二象限.

故选：B.

"4■阴

5.已知a为实数，若复数z=(/-l)+(a+l)i为纯虚数，则竺」=()

1+i

A.iB.-iC.1D.-I

【答案】B

【分析】由给定复数为纯虚数求出。，再利用复数的乘方运算及除法运算求解作答.

【详解】因为复数z=(/-l)+(a+l)i为纯虚数，贝U1解得”=1，

g“a+i20231—i(1-i)2-2i

所以------=----=---------=---=-1.

1+i1+i(l+i)(l-i)2

故选：B

题型二：复数的分类

1.已知复数z=血2+爪一6+(7水+5m+6)i(i为虚数单位)，求适合下列条件的实数〃?的值；

(1R为实数：

(2)z为虚数；

(3＞为纯虚数.

【解题思路】根据复数的有关概念依次求解即可.

【解答过程】(1)当z为实数时，m2+5m4-6=0,解得m=-3或?n=-2；

(2)当z为虚数时，m2+5m4-60,解得m3且m工一2；

(3)当z为纯虚数时，[厅+产一%=?,解得m=2.

(m2+5m+6H0

2.已知复数z为纯虚数，旦满足z(2-3i)=5+加，则实数m的值为()

10101515

A.——B.——C.——D.——

3322

【答案】A

【分析】结合复数运算公式化简求*根据纯虚数定义列方程求

【详解】由题意得，2=智=常罂需=*+^^，

2-31(2-31)(2+31)1313

因为复数Z为纯虚数，

10-3m=0解得胆=与，

所以

15+2/〃00

故选：A.

3.已知为虚数单位，则“复数z=?是纯虚数〃是“回+同工0〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先根据复数的除法运算化简复数z,再根据纯虚数的定义及充分条件和必要条件的定义即可得解.

-

【洋解】-i+i-(l+i)(l-i)2，

因为复数2=坐是纯虚数

~,[a+b=0[a=-b—

所以《A〃即入，故。力不同时为0,

"6w0a^b

所以|。|+忸工0,

当4=八1时，Z="+1不是纯虚数,

2

所以“复数N=皆是纯虚数”是“同+IU=0”的充分不必要条件.

故选：A.

题型三：算数的几何意义

1.已知复数z=2+i,则z在复平面内对应第（）象限

A.-B.二C.三D.四

【解题思路】利用复数的几何意义可得出结论.

【解答过程】复数z=2+i在复平面内对应的点的坐标为（2,1）,该点位于第一象限.

故选：A.

2.在复平面内，复数z=-'+3i对应的向量为次，复数z+l对应的向量为丽，那么向量前对应的复数

22

是（）

A.1B.-1C.V3iD.-V3i

【答案】A

【分析】根据复数的几何意义判断即可.

/厂、/厂、

【详解】由题意得彳彳与，Bg手,万=（1,0）,

7\/

则荏对应复数1.

故选：A.

3.已知复:数z满足z+，l+i）=3+i（i为虚数单位），其中彳为zR勺共筑更数，则复:数z在复平面上的对应点

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】设z=〃+6i,由向量相等列出方程组，求出。力，得到复数z在复平面上的对应点坐标，求出答

案，

【详解】设复数z=a+bi（。，/>€R）,则W=a-加，

由题得（a+1i）+（a-bi）（l+i）=3+i,即2a+Z）+ai=3+i,

2a+b=31

,解得

a=1b=1

z=1+i>

则复数z在复平面上的对应点为（1,1）,位于第一象限.

故选：A.

4.已知复数2=匕坐，彳为z的共挽复数，则|z|-3在复平面表示的点在（）

1+V3i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】首先利用除法运算化简复数z,并求彳和|z|,再根据复数的几何意义，即可求解.

1一6i-2-2/3i1『3.

【详解】N=-----L=7~L\=--------：-----=—―^1，

1+V3i(1+V3i)(l-V3i)422

所以目-亍=|-等i,对应的点为［最-理，在第四象限.

故选：D

5.已知复数z=(m2+2m)+(m2-m-6)i,meR,i是虚数单位，

⑴若复数z在复平面内对应的点在直线y=-1%±,求m的值；

•L

(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.

【解题思路】(1)根据复数对应点所在直线，将对应点坐标代入直线求参数值即可;

(2)根据复数对应点所在象限的特征列不等式组求参数范围.

【解答过程】(1)由题设，复数z的对应点为(加2+2叫皿2一血一6),

所以m?-m-6=-；(m2+2m),整理得3m2-12=0,解得m=±2.

/一、m2+2m=m(m4-2)>05但八一

(2)由题意24,〜Ie、C，解得0vmv3.

(m2-m-6=(m-3)(m+2)<0

6.已知复数z=(zn2—1)+(m2—ni—2)i,m€R.

(1港z是纯虚数,求右的值;

(2)若z在复平面内对应的点在直线％-y+1=0上，求〃?的值：

(3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求〃?的取值范围.

【解题思路】(1)由复数的类型得到方程和不等式，得到，〃的值；

(2)由题意得到方程，求出胆的值；

(3)由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出,〃的取值范围.

210

【解答过程】(1)若z是纯虚数，贝Wf-=n,

Im2-m-200

：.m=1,则阳的值为1；

(2)若z在复平面内对应的点在直线x-y+1=0上,

则TH?-1—(m2—m—2)4-1=0,解得m=-2

(3)若Z在复平面内对应的点在第四象限，则，-1O0A

-m-2<0

/.l<m<2,则胆的取值范围为(1,2).

题型四：复数相等及应用

1.已知i为虚数单位,'J为实数，若已+负)+2=(3-4i)+2ji,则'+)，=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】由题意(x+yi)+2=G+2)+W=(3-4i)+2yi=3+(2尸4)i,

Y।2=3

所以.；/解得》=l,y=4,所以x+y=5.故选：D.

2.适合、-31=(8工一>)项的实数八y的值为()

A.x=0且y=3B.x=0且y=-3C.x=5且y=3D.x=3且y=0

【答案】A

Y0x—0

【解析】根据复数相等的定义可得，'；,解得<.一二.故选：A.

-3=&8x-yJ=3

3.已知xjeR,i为虚数单位，且x-2+yi=-l+i,贝ljx+y=.

【答案】2

【解析】由x-2+yi=-l+i可得J一一一，解得J1,故x+y=I+l=2.

y=1[y=]

4.已知复数4=("/+1)+2疝(M£1<),22=方丽*25此+41,0€(0,乃)，若4=Z2,求实数。的取

值范围.

【答案】[10,e)

【解析】z,-Z2,.-.asind-+l,2sin6^+4-2m,

,4

asin。=sin,e+4sine+5,a=sin19+-----+5

sin<9

e(0,ic),0<sin^<1,令£=sin6t(0,l],

根据对勾函数单调性可知函数a=f+±+5在(0』上严格单调递减，

4

5

+-+O

1所以。的范围为［1。，+8).

题型五：复数的模

1.设复数z=3-4i,则z的共拆复数的模为()

A.7B.1C.5D.25

【解题思路】根据共朝复数的定义得出z的共枕复数，即可根据复数的模的求法得出答案.

【解答过程】复数z=3-41的共挽复数为2=3+4i,

则其模团="32+42=5,

故选；c.

2.已知复数二满足(l+i)z=5i-z,则|z-l|二()

A.3B.2C.41D.1

【答案】B

【分析】先求出复数z的代数形式，再求卜-1|即可.

【详解】由(l+i)z=5i-z,得(2+i)z=5i,

所以“且尸心)”》,

2+i5

所以|z-lH(l+2i)-l|=2.

故选：B.

3.已知z是复数.三是其共乐复数,则下列命题中正确的是()

A.z2=|z|2B.若同=1,则|z-”i|的最大值为上+1

C.若z=(l-2i＞，则复平面内£对应的点位于第一象限D.若1-3i是关于x的方程

x?+px+q=O(p,qwR)的一个根，则4=-8

【答案】B

【分析】设出更数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数I判断C；利用复数相

等求出判断D.

【详解】对于A,设2=。+砥生匹刈,贝心|2=。2+/?=("万)2=。2一〃+2防，z2w|z『，A错误；

对于B,由囱=1知，在复平面内表示复数Z的点在以原点为圆心的单位圆上，

可看作该单位圆上的点到点(1,1)的距离，因为圆心到(1,1)的距离为行，

则该单位圆上的点到点(1,1)的距离最大值为我+1，B正确；

对于C,z=(l-2i)2=-3-4i,z=-3+4i,则复平面内I对应的点位于第二象限，C错误；

对于D,依题意，(l-3i)2+p(l-3i)+t/=0,整理得(p+g—8)+(—3p—6)i=0,

而〃应eR,因此:“〃八，解得〃=-2国=10,D错误.

-3/?-6=0

故选：B.

4.在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为(-2sinl2(T,-2cosl20。)，贝小+2阎=()

A.2B.2百C.373D.1+73

【答案】A

【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.

【详解】因为(-2sinl20。,-2cosl20。)可化为(_6」)，

所以点Z的坐标为则z=-G+i,

所以2+2百=-石+i+2百=x/5+i,

所以卜+2冲J(扬2+俨=2.

故选:A.

5.已知|zj=3,冈=5,卜+Zz|=6,则B-221=.

【答案】班

【解析】设Z1=a+8i,z2=c+di(a,b,c,dER),

222222:2

v|zi|=>/«+b=3,|z2|=5/c+d=5,/.a+b=9»c+cl=25,

.1Z[+z2r=(a4-c)~+(bi-d)'=a~+b~+c2+d'+2ac+2bd=34+lac+2bd=36，解得：ac+bd-1,

2222222

|Z1-z21=(a-c)+(/)-^)=a+/>+c+J-2/c-2d=34-2=32,

.*.|Z,-Z2|=4>/2.

6.(多选)已知复数马对应的向量为西，复数Z?对应的向量为近，则下列说法正确的是()

A,若函=1,则马=±1或土i

B.若々=4+3i,z,=3+4i,则存=0,—1)

C.若B+Z2|=|z「Z2|，则苏，西

0.若(应;+近)_1(西一区}则㈤=忆|

【答案】CD

【解析】当Z]=g+4i时，满足|西|=1,故A错误；

在二西一西二(3,4)—(4,3)=(74)，B错误；

设z1=a+bi,z2=c+dita,b,c,deR,

若L+ZzkL-ZzI，则(4+4+e+d『=(4—C『+e—

化简得：ac+bd=0f故药•运=4+儿/=0,所以西J,运，C正确；

设Z=a+6i,z2=c+d\,a,b,c,t/eR,

贝！IOZ}+OZ2=(a+c,b+d),OZ}-OZ2=(a-c,b-d),

2222

若IQZ2)_L(O4OZ2y则(aic)(ac)i(bId\bd)=aIbcd=Of

所以/+〃=°2+/,贝”|=%|,D正确.故选：CD

7已知复数z=Tn24-771—2+(m—l)i(mER).

(1)若z为纯虚数，求实数m的值；

(2)若z在复平面内对应的点在直线y=上，求|z|.

【解题思路】(1)根据纯虚数的概念列出方程或不等式，即可求得答案.

(2)根据z在复平面内对应的点在直线y=:霓上列出机满足的方程，求得z,即可求得答案.

【解答过程】(1)若Z为纯虚数，贝山m2+加一2：(),解得加=一2.

(m-100

(2)由题意可得m-1=*血2+瓶-2),

解得m=1,

所以z=0,所以⑵=0.

8.已知复数z=(m2+m-6)+(7几2+m-2)i(meR)在复平面内所对应的点为4

(1)若点力在第二象限，求实数机的取值范围；

(2)求|z|的最小值及此时实数〃?的值.

【解题思路】(1)由点力在第二象限，列出不等式组求解即可；

(2)由模的公式得|z『=(m2+m-6)2+(nt?+m-2)2,令m?+m-2=t,利用二次函数的性质求

出最小值.

【解答过程】(1)由［加；+加一?<?，解得一3Vm<-2或

Im'+m-2>0

(2)|z|2=(m2+m-6)2+(rn2+m—2)2,

2

令7n2+ni-2=3Vt=(m+^j一京W+8),

则z\2=2t2-8t+16=2(t-2)2+8,

所以当t=2,即捞=匚磬时，有最小值2M.

题型六；复数代数形式的四则运算

1.已知复数z在复平面内对应的点为(1,一2),则z-22=()

A.-1—6iB.-1+6i

C.l-6iD.l+6i

【解题思路】由复数的坐标表示，共枕复数定义可得答案.

【解答过程】由题意知z=1-2bz=1+2i,则z-2Z=1-2i-2(1+2i)=-1-6i.

故选：A.

2.化简下列复数

(I)(6-5Q4-(3+2i)

(2)(5-6Q+(-2-0-(3+4Q

【解题思路】利用复数的加减运算法则求解.

【解答过程】(1)(6—51)十(3十2<)，

=[6+3)+(2-5)。

=9-3i.

(2)(5-6i)+(-2-t)-(3+4i),

=(5-2-3)+(-6-1-4)i,

=-Hi.

3.若—_L+在i是关于X的实系数方程加+及+1=0的一个复数艰，且z=4+6i,则三=()

221+z

A13.D13,「3Lc3L

55555555

【答案】A

【详解】根据一元二次方程复数根的特点及韦达定理即可求出。、bt再由复数的运算和共规复数可得结

果.

【分析】若」+在i是关于X的实系数方程以2+反+]=0的一个复数根,

22

则另一个复数根为-，-五3

22

1V5.Y1\

I22人22Ja=1

由韦达定理可得得“，解得，

16.16.bb=\

-..+-----I-----------I=----

2222a

则z=1+i,所以蓼=1一i,

z13

1+z2+i(2+i)(2-i)555

故选：A.

4.已知复数4=3+4i,z2=-2i,i为虚数单位.

(1)若2=三，求Z的共规复数：

Z2

⑵若复数，弓+%在复平面上对应的点在第四象限，求仪:数。的取值范围.

【答案】⑴-2-*；

【分析】(1)由复数除法运算求得心再由共挽复数定义得结论;

(2)求出O4+Z2,再根据第四象限点的特征列不等式组求解.

【详解】(1)z=A=2±li=2ii4!l=-2+^i,所以1=一2-m；

z2-21-2122

(2)azt+z2=tz(3+4i)-2i=3£?+(4a-2)i,对应点坐标为(3a,4a-2),

3。＞01

由题意)人-八，解得0＜。＜彳.

4a-2＜02

题型七：共甄复数

1.已知复数z满足z=；-i,三为z的共挽复数，z-W等于()

A.2iB.-2iC.1D.-i

【答案】B

【分析】根据共枕复数的概念及复数加减运算法则计算即得.

【详解】z=1-i,故Z=；+i,则+=

故选：B

2.已知i为虚数单位，复数z=(l+i)(2-3i),彳为z的共挽复数，则|"i|=()

A.5B.4C.729D.V37

【答案】C

【分析】根据复数的乘法求出z,即得三以及％+i，再根据复数的模的计算公式，即可求得答案.

【详解】由题意得z=(l+i)(2—3i)=5—i,故彳=5+i，则*i=5+2i

故彳+i|=折+22=晒，

故选：C

3.已知i为虚数单位，若2=三，则zS=()

1+1

A.VIB.2C.-2iD.2i

【答案】B

【分析】由复数的运算及共挽复数的定义即可求出结果.

2i2i(l-ii2i(l-i)

【详解】因为Z=L="不=—1=1+i,所以彳=l-i,

l+i(l+i)7-7(rl-i)2

z-z=(l+i)(l-i)=2.

故选：B.

题型八：复数的乘方运算

L若2=1+F+『+1，贝1J彳=()

A.l-2iB.l+2iC.1-iD.l+i

【答案】D

【解析】由题，z=l-i+i-i=l-i,则£=l+i.故选：D.

2.i+方？+%3+…+2O22i2022+2023产=.

【答案】-1012-1012/

【解析】V2i2=-2,3i3=-3i,4i4=4,Ai+2i2+3i3+4i4=i-2-3i+4=2-2i,

贝!)5i5+6i6+7i7+8/=2-2i,…,202li2021+2O22i2022+2O23i2023+2O24i2024=2-2,

故原式=506x(2—2i)-2024=-1012-1012i.

3.要数3―的虚部为____-(“i”是虚数单位)

，闱吟=1

【答案】0

【解析】v(l-i)'4=[(l-i)2J=(-2i)7=27i

57

.桓痴(1—J，fl+iY_2i\贵=32日•••其虚部为0.

.・复数x1.—1—xi

2+2i(V2J2+2i

4.计算:

(l+i丫x/2+V3i

(1)-7+—F=——L；

11-iJG-V2i

小V31.(1#3.

〔22只22J

【答案】(1)-l+i；(2)-1

【解析】⑴色;广篇目

，(表+6i)(V5+jW)」V6+2i+3i+^6i2

(6-6)(6+6)一一5

⑵因为住+书)=3+学+=

122

//~\6//-、9

所以需175.

―4-——1=-1x1=7

22

题型九：复数范围内解方程

1.在复数范围内方程/+2》+2=0的根为为，巧，则|力=（）

心

A.—B.V2C.2D.1

2

【答案】B

【解析】由V+2x+2=0得（x+1），=-1,解得x=-l+i或x=-l-i,

若石=-l+i,则闻=6;若N=T-i,则|石|=&;

综上所述：|小=&.故选：B.

2.若复数3-i为方程a/+bx+l=O（a,8wR）的一个根，则该方程的另一个复数根是（）

A.3+iB.-3-iC.-i+3D.-3+i

【答案】A

【解析】因为两根互为共枕复数，所以另一根为3+i.故选：A.

3.已知关于x的方程--如+帅=0,其中a,人为实数.

（1）设x=l-Gi（i是虚数单位）是方程的根，求a,b的值；

（2）证明：当，且〃时，该方程无实数根.

a4

【答案】（1）a=2,b=2；（2）证明见解析

【解析】（1）,.,工=1-ei是方程的根，・・・1+百i也是方程的根，

由一元二次方程根与系数的关系得1-后+1+/=a,

得（I-后）（1+百i）=",解得a=2,b=2；

（2）—~~—>0,4a（4b—a）>0,即

a4a44a

・•・△=/-4"<0,I.原方程无实数根.

4.已知关于x的二次方程V-(tar©+i)x—(i+2)=0.

(1)当。为何值时，这个方程有一个实根？

(2)是否存在0,使得原方程有纯虚数根？若存在，求出0的值；若不存在，试说明理由.

【答案】(1)0=0兀+；化wZ)；(2)不存在，理由见解析

【解析】(1)设/是方程的一个实根，

则X：_(tan®+i—(i+2)=0,即(x；-lan。•/-2)-i(/+1)=0.

根据复数相等的意义知卜。:丁/一2=0

x0+1=0

解得：.％=-1,318=1,®=A兀+/A邑Z).

所以，当0=E+：(A”Z)时，原方程有一实根七=7.

(2)假定方程有纯虚数根为(〃wR,且〃工0),

代入原方程得传i)‘-(tan0+i)•历-(i+2)=0,

即一//+6—2—(/)taii0+l)i=0.

-b2+b-2=0

由复数相等意义知

-{btan8+1)=0

但方程一〃+力_2=0即〃_〃+2=()无实数解，即实数人不存在.

所以，对任何实数心原方程不可能有纯虚数根.

题型十：求辅角主值

1.z=1-(i是虚数单位)，则z的辐角主值arg(z)=()

A.-nB.—nC.--D.--

3636

【解题思路】复数可以写成2="8§。+1411。)(048<22的形式，即可求得复数的辐角主值.

【解答过程】z=1-V3i=2Q-yi)=2(cosF+ising),所以复数z=1-x^3i的辐角主值arg(z)=

故选：A.

2.任意复数z=a+bi(a、beR,i为虚数单位)都可以写成z=r(cos。+isinO)的形式，其中r=

而不忘(00。<2兀)该形式为匆数的三角形式，其中。称为里数的辐角主值.若及数z=曰+?,则z的辐

角主值为()

A.%B.gC*D谭

【解题思路】将复数写成三角形式，可得结果.

【解答过程】复数z=f+3=cos£+isi吗因此，复数z=^+；i的辐角主值为？

LLOO//O

故选：A.

3.求下列复数的模与辐角主值：

(1)-1+1

（2）->/2

n、l百.

（3”i

（4）-y+fi

【解题思路】（1）宜接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；

（2）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；

（3）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；

（4）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值.

【解答过程】⑴|-l+i|=V（-l）2+l2=V2,其对应的点为（一1,1）,辐角主值为半

（2）|-V2|=V2,其对应的点为（-四,0）,辐角主值为兀

⑶.-争|=的）2+（-=1，其对应的点为&一务辐角主值为空

（4）|-号+争|=」（-穿+（身=1，其对应的点为（-9,纨其辐角主值为尊

4.已知复数2满足（2+1）。+1）=怙|2,且言是纯虚数.

⑴求Z：

⑵求Z的辐角主值.

【解题思路】（1）设2=工+.,x.yeR,由条件列方程求x,y即可，（2）根据辐角主值的定义求解.

2

【解答过程】（1）设z=x+yitx,yeR,因为（z+1）（2+1）=|z『,所以（x+yi+l）（%-yi+1）=|x+yl\,

所以（x+l）2+y2=/+y2,故工二一3

所以竺-（亨必2）_堂巴空

所与n一手彳一（打贝）康贝）一泊2，

又宗是纯虚数，所以W+y2=0,所以”士亨，

所以z=-狂争

（2）设复数z的辐角主值为8,则6€设,2冗）,

当z=—>小时，|z|=l,所以cos”—%sin”?,0e[O,2n）,所以昨与，故复数z的辐角主值

4t2n

为了•5；

当2=—；—Ji时，|z|=1,所以cos8=—sinO=—0E[0,2ir）>所以8=f,故复数z的辐角主值

痔

题型十一；复数的代数形式与三角形式的互化

1.复数—g+?i的三角形式是()

A.cos600+isin60°B.-cos6004-isin60°

C.cosl20°+isin60°D.cosl20°+isinl20°

【解题思路】利用复数的三角形式即可得解.

【解答过程】依题意，令z=-1+yi=r(cos0+isin0)(r>0,Oc<0<360°),

cos。=--

则r=|z|=1,所以｛,

sin。=—

2

因为0°<0<360",所以8=120°,

所以一I+的三角形式是cosl20°+isinl200.

故选：D.

2.以下不满足更数J-仔i的三角形式的是().

A.cos(Y)+isin(一»

B.COS(y)+isin(y);

C.cos(9+isin⑨

D.cos(手)+isin(岸).

【解题思路】逐一计算每个选项即可得答案.

【解答过程】对于A：cos(4)+isin(-以二：一争，符合；

对于B：cos偿)+isin管)=：-争，符合；

对于C：cosQ)+isin。=[+争，不符合；

对于D：cos(詈)+isin(手)=»争，符合

故选：C.

3.分别指出下列复数的模和辐隹的主值，并将复数表示成代数形式.

(I)4(cos-+isin-)；

66

(2)2(cos^-isin^)

【解题思路】(1)复数4(cosg+ising)为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为a+

66

的形式；

(2)先把复数2(cosg-is呜)，转化为二角形式2kos*+tsin等],再写出具模和辐角的主值，然后再

转化为。+尻(0,。£/?)的形式;

【解答过程】(1)复数4(cos£+isin£)模r=4,辐角的主值为。=3

OOO

4(cos^+isin^)=4cos14isin^=4x?+4x，i=2V3+2i.

27r

(2)2(cosg-isin§=2COS(2TT--j+isin(-j)]=2[cos巾+isin》

复数的模为2,辐角的主值为

2(cosg-is呜)=2cosy+2isiny=2x1+2x(-y)i=1-V3i.

4.把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量.

(1)6；(2)1+i：

(3)1-V3i(4)一仔+J.

【解题思路】对(1)(2)(3)(4)中的复数，先画出图像，结合图像求得辐角主值和模，从而求得其三

角形式.

【解答过程】(1)设复数的模为r,辐角主值为8.6对应的向量如下图中西，・・・『=6,cos。=l,sin0=0,

又BG[0,2n),*.0=0,：・6=6(cosO+isinO).

y

6

(2)设复数的模为r,辐角主值为8.1+i对应的向量如下图中两，

Vr=\^2,cosO=7^,sin。=*,又6€[0,2ir),A0=-,/,1+i=\/2(cos4-isin-).

M

(3)设复数的模为r,辐角主值为。.1-V3i对应的向量如下图中西，

Vr=V1+3=2,cos®=；,sin8=-噂，又6w[0,2。A9=^,Al-V3i=2(cos^+isin^).

44IJJ

Vr=1,cosG,sin0=又8E[0,2it),：.0=—-i=cos—+isin—.

226f2266

题型十二：三角形式下的复数的乘、除运算

1.计算2(8$75。+15比75。)・©-3)的值是()

A42.V6V2.

A.-------1----1B.——I——1

2222

c近•瓜.c衣1遍.

c.T-T1D.T+T1

【解题思路】根据复数的三角运算公式运算即可.

【解答过程】因为»3=当住一争)=苧(cos315。+isin315。)

所以2(cos750+isin75°)-Q-=2(cos75°+isin75°)~(cos3150+isin3150)，

所以2(cos75。+isin75°)-Q-=V2(cos390°+isin390°)=乎+争,

故选：B.

2：4(cos/r+isizur)+2(cosg+isin§=()

A.1+V3iB.1-V3iC.-14-V3iD.-1-V3i

【解题思路】根据复数三角形式的除法法则，进行计算即可.

【解答过程】4(cos7r+isinn)-r2(cosg+ising)

=2[cos(元一+isin(n-g)

/27r

=2(^cos—4-isin

=-1+V3i

故选：C.

3.计算：

(1)8(cos^+isin0.2(cos^+isin-^)：

(2)8(cos240°+isin240°)+2(cosl500-isinl50°).

【解题思路】(1)利用复数三角形式的乘法法则直接进行计算作答.

(2例用复数三角形式的除法法则直接进行计算作答.

【解答过程】(l)8(cos.+isin沙2(cos"+isin^)=16(cos^+isin:)=16(乎+争)=8V2+8扬.

24

⑵8(324。。+isin24。。)+2(cosl5。。-isinl5。。)=二黑常黑黑)

=4(cos390°+isin390°)=4(cos30°+isin300)=2\[3+2i.

4.计算：

(1)3(cos:+isin.)x2(cos-isinJ

(2)[V6(cosg+isinf]+[K(cos(-isin()]

(3)(-1+yi)x(cosisin

(4)(1-i)+(cosg+isin3)

【解题思路】(1)直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

(2)直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

(3)直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

(4)直接利用复数的三角形式的运算法则计算得到答案.

【解答过程】(1)3(cos/+isinjx2(cos/一isinJ=6(cos^+isin^)x(cos(—J4-isin(—J)

=6(cosG-9+isinG-9)=6

(2)卜后(cosm+isin[)]-e-[V5(cos(-isin^j

=V2('cos?4-is呜in)+(cos(H)+isin(-勃=&(cos^+isin])=、②.

3

(3)(一升争)x(cosH-isin^)=(cos+isinx(cos(一习+isin(一勃

nn

=cos-+isin-

(.4)(1-i)+(cos：+is%)=V2(cos(-+sin(-：))+(cos^+isin

nn

=\/2cos+sE(-H))

46

=回俘/一枭步(%畀枭别=竽一竽L

题型十三：复数的最值问题

L若复数z满足卜-6-i|=l(i为虚数单位)，则|z|的最大值为()

A.1B.2C.3D.73+1

【答案】C

【分析】设z=o+6i(〃/eR),根据已知可得出卜-6『+9-1)2=1.根据几何意义，结合三角恒等变换

化筒，即可得出答案.

【详解】设z—(7+6i(a/eR),则z—J5—i=a—J5+0