实际问题与一元二次方程 同步练习-2025-2026学年人教版九年级上册数学

25.3实际问题与一元二次方程

一.选择题(共10小题)

1.普洱市思茅区是“云咖”主产区，当地通过品种改良和标准化种植提高生咖啡豆亩产量，

亩产量从2023年的95kg增长到2025年的120kg.若设生咖啡豆亩产量的年平均增长率

为x,则可列方程为()

A.95=120B.95(1+x)2=120

C.95(1+?)=120D.95(1+x)=120

2.我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势,2025年1月新能源汽车月销量达94.4万辆，

2025年前三个月新能源汽车总销量达到307.5万辆.若设2025年1月至3月新能源汽车

销量的月平均增长率为x，则符合题意的方程是()

A.94.4+94.4(1+x)+94.4(l+x)2=307.5

B.94.4(l+3x)=307.5

C.94.4(l+x)2=307.5

D.94.4X3(l+x)=307.5

3.如图，小明的爸爸用一段15〃？长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长6〃?)的矩形花园，

其面积为24〃?，在花园侧面中间位置留一个宽的门(由其他材料制成)，设4C边的

长为人•〃?，那么x满足的方程是()

墙

BI_____\c

1

A.-x(15+1-x)=24B.1x(15-x)=24

1

C.-x(15-1-x)=24D.x(15+1-x)=24

4.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分

率相同，求每次降价的百分率.设每次降价的百分率为x,下面所列的方程中正确的是

()

A.560(l+x)2=315B.560(I-x)2=315

C.560(I-2x)2=315D.560(1-x2)=315

5.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为()

A.9人B.10人C.11人D.12人

6.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照

片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为()

A.x(x+1)=1056B.x(x-1)=1056X2

C.x(x-1)=1056D.2x(x+1)=1056

7.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；

若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多

少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是()

A.(3+x)(4-0.5A)=15B.(x+3)(4+0.5x)=15

C.(x+4)(3-0.5A)=15D.(x+1)(4-0.5x)=15

8.如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设。=1,则〃=()

图1图2

V5-1V5+1V5+3

A.-------B.-------C.-------D.V2+1

222

9.欧几里得的《原本》记载，形如/+办=户的方程的图解法是：画R[Z\4BC,使/ACB

=90、，BC=^,AC=b,再在斜边A3上截取40=£则该方程的一个正根是(

A.4c的长B.A。的长C.8c的长D.CD的长

10.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份

平均每月的增长率为笳那么广满足的方程是()

A.50(1+x)2=182

B.50+50(1+x)+50(1+A)2=182

C.50(l+2v)=182

D.50+50(1+x)+50(1+2%)=182

二.填空题(共8小题)

11.某科研小组在湿地生态研究中发现，某种珍稀候鸟的种群数量在繁殖期增长迅速.监测

数据显示，该候鸟种群在繁殖期的4月份与6月份统计的个体数量分别约为100只和169

只.假设该种群在此期间的增长符合“增长率恒定模型”（即月平均增长率相同），则该

种群的月平均增长率是

12.如图，在一块长A8=14〃?、宽BC=10m的长方形场地A8CO上,中间的阴影部分是一

条宽度处处相等的小路，空白部分为劳动实践基地.如果劳动实践基地的面积为125皿2,

那么小路的宽度为m.

13.某钢铁厂计划今年第一季度I月的总产量为500吨,3月的总产量为720吨,假设平均

每月的增长率相同.则第一季度平均每月的增长率为

14.如图，在RtZXABC中，NBAC=90“，AB=AC=\6cm,AO为8。边上的高.动点尸

从点A出发，沿A-Q方向以/的速度向点。运动.设AABP的面积为S,矩形

PDFE的面积为S2,运动时间为［秒（0VfV8）,则］=秒时，Si=252.

15.有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一

个人传染了个人.

16.如图，某小区规划在一个长30机、宽20〃？的长方形A8CQ上修建三条同样宽的通道,

使其中两条与AB平行，另一条与平行，其余部分种花草.要使每一块花草的面积都

为78〃落那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为xm,由题意列得方

程

17.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六

一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施.经调查，如果每件童装降价1元，那么平

均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多

少元？设每件童装应降价X元，可列方程为.

18.某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等

条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛.设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x

满足的方程为.

三.解答题（共5小题）

19.常州梳篦是国家级非物质文化遗产之一，被誉为“宫梳名篦”，深受广大游客的喜爱.某

商店销售一批梳篦，每把梳篦的成本为60元，若按每把85元的售价销售，则每周可卖

100JC.经市场调查发现，在不亏本的前提下，每把梳篦的售价每降低1元，每周便能多

卖10把.要使每周总利润为3000元，旦尽可能给顾客优惠，则该商店应将梳篦的单价

降多少元？

20.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每

天可售出100斤，通过调杳发现，这种水果每斤的优价每降低0.1元，每天可多伐:520

斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用

含x的代数式表示）；

（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

21.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈

利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销化:，发现

销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.

（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；

（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

22.已知关于x的一元二次方程（a+c），+2/状+（a-c）=0,其中a、b、c分别为乙48。

三边的长.

（1）如果x=・1是方程的根，试判断△A6C的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△A8C的形状，并说明理由：

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

23.如图，老李想用长为70〃？的栅栏，再借助房屋的外堵（外墙足够长）围成一个矩形羊

圈ABCD,并在边上留一个2〃?宽的门（建在所处，另用其他材料）.

（I）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640〃?2的羊圈？

（2）羊圈的面枳能达到650〃a吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明埋由.

AD

BEF

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.【解答】解：根据题意可得95(x+1)2=120.

故选：B,

2.【解答】解：・・・2025年1月新能源汽车月销量达94.4万辆，且2025年1月至3月新能源

汽车销量的月平均增长率为-

A2025年2月新能源汽车月销量达94.4(1+x)万辆，2月新能源汽车月销量达94.4(l+x)

2万辆.

根据题意得：94.4+94.4(1+x)+94.4(1+x)2=307.5.

故选：A.

1

3.【解答】解：设8c边的长为m?，则A8的长为5(15+1-x)m,

由题意得：~x(15+1-x)=24,

2

故选：A.

4.【解答】解：设每次降价的百分率为-由题意得：

560(1-x)2=315,

故选：B.

5.【解答】解：设参加酒会的人数为工人，

根据题意得：$(X-I)=55,

整理，得：%2-%-110=0,

解得：Xl=11,X2=-1()(不合题意，舍去).

答：参加酒会的人数为11人.

故选：C.

6.【解答】解：•・,全班有人名同学，

・••每名同学要送出(x-1)张；

又•・•是互送照片，

・•・总共送的张数应该是x(X-I)=1056.

故选：C.

7.【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得

(3+x)(4-0.5X)=15,

故选：4.

8.【解答】解：依题意得(〃+〃)2=b(b+a+b),

而。=1,

J.b1-b-1=0,

・・・力=零，而〃不能为负，

故选：B.

9.【解答］解：画RtAABC,使NAC8=90°,BC=%AC=b,再在斜边A4上截取3。=多,

设AQ=x,根据勾股定理得：(x+少2=房+(£)2,

整理得：-〃2=()(々wo,〃#0),

'：A=a2+4/?2>0,

，方程有两个不相等的实数根，且两根之积为-房<0,即方程的根一正一负，

则该方程的一个正根是AD的长，

故选：B.

10.【解答】解：依题意得五、六月份的产量为5()(1+x)、50(1+x)2,

A50+50(1+x)+50(l+x)2=182.

故选：B.

二.填空题(共8小题)

11.【解答】解：设该种群的月平均增长率为此

根据题意得：100(1+1)2=169,

解得：川=0.3=30%,X2=-2.3(不符合题意，舍去)，

即该种群的月平均增长率是30%,

故答案为：30%.

12.【解答】解：设小路的宽度为笛小

利用平移的性质，将俄影部分向左平移x机拼成了一个如图所示的长方形EFCB,

AB

D1—1~1---------------1c

F

，由劳动实践基地的面积为125序可得10(14-x)=125,

解得x=1.5.

故答案为：1.5.

13.【解答】解：设第一季度平均每月的增长率为达

根据题意得：500(l+x)2=720,

解得：*=0.2=20%,4=-2.2(不符合题意，舍去).

即第一季度平均每月的增长率为20%,

故答案为：20%.

14•【解答】解：••卡［△ABC中，N84C=90°,AB=AC=l()cm,AO为边上的高,

:,AD=BD=CD=Wlcin,

又,：AP=扬,

则51=^AP*BD=1x8\/2xS=8t,尸。=8&-6

YPE//BC,

・•・△APES^AOC,

PEAP

••_•_=__一,

DCAD

：.PE=AP=V2/,

：.S2=PD・PE=(8V2-V2/)-V2r,

-SI=2S2,

・・・8/=2(8V2-V2r)*/2b

解得：f=6.

故答案为：6.

15•【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得

x+\+(x+1)x=169

x=12或x=-14(舍去).

答：每轮传染中平均一个人传染了12个人.

故答案为：12.

16.【解答】解：设道路的宽为不小由题意得：

(30-2r)(20-x)=6X78，

故答案为：(30・2x)(20-x)=6X78.

17•【解答】解：设每件童装应降价x元，可列方程为：

(40-x)(20+2x)=1200.

故答案为：(40-x)(20+2x)=1200.

18.【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛(X-1)场，但2队之间只有I场比赛，

所以可列方程为：(x-1)=2X5.

2

故答案为：$(x-1)=2X5.

三.解答题(共5小题)

19.【解答】解：设该商店应将梳篦的单价降x元，则每把梳篦的销售利润为(85-X-60)

元，每周可卖出(100+10工)把，

根据题意得：(85・x・60)(IOO+IOA)=3000,

整理得：A2-15x+50=0,

解得：xi=5,4=10,

又•・•要尽可能给顾客优惠，

Ax=10.

答：该商店应将梳篦论单价降10元.

20.【解答】解.：(1)将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+^x20=

(100+200.V)(斤)；

(2)根据题意得：(4-2-A)(100+200.0=300,

解得：k2或％=1,

当x=时，销售量是I00+200X1=200<260；

当x=l时，销售量是100+200=300(斤).

•・•每天至少售出260斤，

:x=1.

答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.

21•【解答】解：(1)若降价3元，则平均每天销售数量为20+2X3=26件.

故答案为：26；

(2)设每件商品应降价上元时，该商店每天销售利涧为1200元.

根据题意，得(40■据(20+2x)=1200,

整理，得/-