排列组合方法【十二大方法+十三大题型】（原卷版）-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第三册）

排列组合方法【十二大方法+十三大题型】

【解题方法】

I.优先法：特殊元素/位置先排例：甲必须排头一先排甲，再排其他人。

2.捆绑法：元素必须相邻步骤：

相邻元素捆成一个整体整体内部再排列

3.插空法

元素不能相邻步骤：

先排无限制元素

再把不相邻元素插进空隙

4.间接法（排除法）

正面难算一用总数-不符合条件符合=总排法-反面

5,定序法：某些元素顺序固定定序元素的排列数全排列

6.平均分组：分n组且每组数量相同，要除以组数的阶乘去重。

7.隔板法：相同元素分给不同对象，每对象至少1个n个相同球分给k个不同盒

8.先选后排：先组合选取，再排列：先选C-后排A

三、常见题型一句话总结

相邻：捆绑

不相邻：插空

特殊：优先

正面难：间接

顺序固定：定序除阶乘

相同元素分堆：隔板

分组有重复：平均分组要除重

先选再排：先组合后排列

【方法归纳】

方法一、捆绑法

法

方法五、隔板法

方法六、倍缩法解决部分定序问题

@排列组合方法

方法七、不平均分组问题

方法八、平均分组问题

方法九、部分平均分组问题

方法十、特殊位置法

方法十一、涂色问题

方法十二：排数问题

【题型探究】

题型一、捆绑法

2

【例1】.（24-25高二下•湖北•期末）某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5名学生志愿者参与.要求每

个活动项目至少安排1名志愿者，至多安排2名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活动项目，那

么不同的人员分配方案共有（）种？

A.18B.24C.30D.36

【举一反三】

1.（24-25高二下•河南商丘•期中）现有甲、乙等5人并排站成一排，如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么

不同的排法种数有（）

A.24B.36C.48D.60

2.（24-25高二下•福建福州•期中）在电影《哪吒之魔童闹海》宣传海报中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿

童五个主人公站成一排，其中哪吒和敢丙必须相邻，且太乙真人和申公豹不能相邻，那么共有多少种不同的站法

（）

A.18B.12C.28D.24

3.（24-25高二下•广东深圳•月考）4,B,C,D,£五人并排站成一排，如果力，B两人必须相邻，那么不同

的排法种数有（）

A.24种B.48种C.72种D.96种

题型二、插空法

【例2】.（24-25高二下•广东•期中）高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已

知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右

边，则不同的排法种数共有（）

A.1152种B.384种C.288种D.144种

举一反三

1.（2025•贵州黔南•模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展示阳明文化,

山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化.规定阳明文化与红色文化不相邻，饮食文化展板放最

后.则展板的不同排列方式有（）

A.12种B.14种C.16种D.18种

2.（24-25高二下•山东青岛•期中）甲、乙、丙、丁、戊、己6人排成一列，要求甲、乙不相邻，则不同排法种数

是（）

A.120B.240C.360D.480

3.（24-25高二上•辽宁•期末）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8

个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学

顺序不变，则不同的方法种数为（）

3

A.84B.120C.504D.720

题型三、特殊元素法

【例2】.（2025高二•全国•专题练习）从A,B,C,石这5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、

外语竞赛，其中4不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案有（）种.

A.24B.48C.72D.120

【举一反三】

1.（24-25高二下•青海西宁•期末）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场,

则不同排法的种数是（）

A.240种B.360种C.480种D.600种

2.（2025・四川绵阳•模拟预测）某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不

能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（）

A.42种B.36种C.6种D.12种

3.（24-25高二上•江苏常州•期末）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、英

语、体育、艺术、通技各一节课的课表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同的排法种数是（）

A.96B.192C.384D.768

题型四、间接法

【例4】.（24-25高三上・江苏常州•期中）有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说：甲不是5人中分

数最高的，乙不是5人中分数最低的，而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有（）

A.42种B.72种C.78种D.120种

【举一反三】

1.（23-24高二下•山东青岛•期末）口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，

至少有一个红球的取法种数是（）

A.20B.26C.32D.36

2.（23-24高二下•湖北•期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第I名到

第5名为名次,甲和乙去询问成绩,回答者对甲说：“很遗域,你没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会是最差

的从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（）种不同的情况.

A.54B.72C.78D.84

3.（22-23高二下•河北唐山期末）从4名男生和2名女生中选2人参加会议，至少有一名男生，不同的安排方法

有（）种.

A.13B.14C.15D.16

4

题型五、隔板法

【例5】.（23-24高一下•黑龙江哈尔滨•期末）经哈三中数学组集体备课研究，预计每周（五天）安排8堂数学课，

每天至少1堂，不同的安排方法有（）

A.35种B.126种C.495种D.1001种

【举一反三】

1.（24-25高二上•全国•课后作业）将8个相同的小球放入5个编号为1,2,3,4,5的盒子，每个盒子都不空的

方法数为，恰有一个空盒子的方法数为.

2.（2023高二・江苏•专题练习）某校将7个优秀团员的推荐名额分到3个班级中，则每个班级至少分到一个名额

的方法数有种.

3.（24-25高二下•江苏淮安•月考）将6个不同小球装入编号为1,2,3,4,5的5个盒子，不允许有空盒子出现,

共种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共种放法.（结果用数字作答）

题型六、倍缩法解决部分定序问题

【例6】.（22-23高二下•北京•期末〕某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4

位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（）

A.10B.20C.24D.3（）

【举一反三】

1.（23・24高二下•河北沧州•月考）用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若2,4,6的顺序一定,则符合条件

的七位数有（）个

A.840B.210C.640D.410

2.（24・25高三上•湖北•期末）贴春联、挂红灯笼是我国春节的传统习俗.现准备在大门的两侧各挂四盏一样的红灯

笼，从上往下挂，可以一侧挂好后再挂另一侧，也可以两侧交叉着挂，则挂红灯笼的不同方法数为（）

A.8B.1680C.140D.70

3.（23-24高二下•新疆喀什•期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1,2,

3.到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取I串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同

取法种数为.（结果用数字表示）

5

■

题型七、不平均分组问题

【例7】.（25-26高二上•全国•期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略领

先的关键，其中数学学科尤为重要.某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算术》《古今数学

思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，至少

选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式种数

为（）

A.25B.40C.150D.240

【举一反三】

I.（23-24高二下•江苏镇江•期中）某单位计划安排“五一”假期间值班人员，若安排甲、乙、丙，丁四人值班5天,

每天均有一人值班，每人至少值班一天，则不同值班的方法数为（）

A.60B.180C.240D.300

2.（22・23高二上・江苏南京•期末）某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少

派1名教师，则不同的分配方法种数为.

3.（24-25高三下•上海黄浦•期中）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2

名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有一种.

题型八、平均分组问题

【例8】.（2024•广西桂林•三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1

名老师与2名同学，不一样的分法共有（）

A.45种B.90种C.180种D.270种

举一反三

1.（23-24高三下•山西•开学考试）“畅通微循环，未来生活更舒适”.我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活

服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心

6

城市，便民商业体系向高品质发展.某调研机构成,I5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研,

每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（）

A.120B.240C.360D.480

2.（2。23・辽宁・模拟预测）某市要建立步行15分钟的核酸采样点，现有9名采样工作人员全部分配到3个采样点，

每个采样点至少分配2人，则不同的分配方法种数为（）

A.1918B.11508C.12708D.18

3.（22-23高三上•甘肃张掖•月考）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了

很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多，比如：黄山、九华山、天柱山.某校开设了研学旅行课程，计划将5

名优秀学生分别派往这三个地方进行研学旅行，每座山至少有一名学生参加，则不同的安排方案种数是（）

A.150B.120C.160D.180

题型九、部分平均分组问题

【例9】.（24-25高二下•广东深圳•期中）某高校的教授为了完成一个课题，将4名研究生助理分配到3个实验室

进行为期•周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验，且每个实验室

至少安排1名研究生助理，则不同的安排方法的种数为（）

A.72B.54C.48D.36

【举一反三】

1.（24-25高二下•湖南长沙・月考）若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个

服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（）

A.36种B.48种C.96种D.108种

2.（2024高三・全国•专题练习）近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充

分展示了国内文旅消费潜力.甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个

地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（）

A.-B.—C.—D.—

3183672

3.（22-23高二上•江西赣州•期末）5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少

分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（）

A.60B.90C.150D.240

题型十、特殊位置法

【例10】.（22・23高三上•河北衡水•月考）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的口常生活,

7

选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有

（）

A.540种B.180种C.360种D.630种

【举一反三】

1.（2025•辽宁大连•一模）某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4x100m接力比赛，已知甲不能站在第

一位，乙不能站在第二位，则可能的安排排列顺序有（）

A.8种B.14种C.18种D.24种

2.（23-24高二下•北京海淀•期末）将分别写有2,0,2,4的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首

位不为0）,则组成的不同四位数的个数为（）

A.9B.12C.18D.24

3.（23-24高二下•江苏连云港•期中）现有5名男生（含I名班长）、2名女生站成一排合影留念，要求班长必须

站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（）

A.216B.432C.864D.1728

题型十一、涂色问题

【例11].（22-23高三•全国•中职高考）从编号为1,2,3,4,5的5个球中任取4个，放在编号为/,B,C,D

的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在"盒中的不同的方法数是（）

A.24B.48C.54D.96

【举一反三】

1.（2。25高二・全国•专题练习）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…，9的9个小正方形，使得任意

相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则共有（）种涂

B.36C.54D.108

2.（24-25高二下•安徽池州•期中）如图，现要用5种不同的颜色绐池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边

8

的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（）种不同的着色方法.

A.180B.120C.60D.240

3.（24-25高二下•广东广州•期中）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交

界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有4种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为

（）

A.96B.144C.480D.600

题型十二：排数问题

【例12].（24-25高二下•广东梅州,期末）用0,1,2,3组成没有重复数字的四位偶数有（）个

A.8B.10C.12D.16

【举一反三】

1.（24-25高一下•河南南阳•期末）从1,357.9中任取3个数字,从024,6.8中任取2个数字,用这S个数字组成的

没有重复数字的五位数的个数为（）

A.7200B.19200C.11040D.12000

2.（24-25高二下•江苏苏州・期末）从0,1,2,3,4五个数字中任选3个数字，可组成无重更数字的三位数的个

数为（）

A.48B.60C.72D.10（）

9

3.(23-24高三下•广东广州•月考)在04,2,3,4中不重复地选取4个数字，共能组成()个不同的四位数.

A.96B.18C.120D.84

题型十三：排列组合方法的综合应用

【例13].(24-25高二下•河北承德・期中)4名男生和3名女生共7人排成一排.(下列问题的结果全部用数字表

示)

(1)如果男生甲不站在队伍的两头，有多少种不同的排法；

⑵如果全部男生相邻，有多少种不同的排法；

(3)如果女生不能相邻，有多少种不同的排法；

(4)如果队伍的两头均是女生且男生甲不站中间，有多少种不同的排法.

【举一反三】

1.(24-25高三•上海•随堂练习)某兴趣小组有10名学生，若从10名学生中选取3人，则选取的3人中恰有1名

3

女牛的概率为百，口女牛人数超过1人,则

⑴该小组中男生、女生各多少人？

(2)若10名学生排成一排，其中男生不相邻，且男生的左右相对顺序固定，问有多少种站队方法？(要求用数字作

答)

(3)若10名学生均为学校管弦乐队成员，其中有3名男生只会萨克斯，有4名女生只会小提琴，其他同学既会萨克

斯又会小提琴，现从这10名学生中任选6人，其中3人吹萨克斯，3人拉小提琴，则有多少种不同的选法？(要求

用数字作答)

2.(23-24高二下•广东佛山•期中)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球.

(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球个数少的取法有多少利

(2)将4个不同的红球，分给甲、乙两人，每人至少分得1个球，则共有多少种不同的分配方法？

3.(22-23高二下•江苏•月考)某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物埋、体育、英语共6节课.

(I)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？

(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？

(3)原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相

对顺序不变，则有多少种不同的排法？

10

【专题训练】

1.（2026•浙江・一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且

前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（）种.

A.216B.360C.432D.672

2.（2026•安徽合肥•一模）国庆假期，某人计划去4氏CRE五个不同的景点游览.在确定景点的游览顺序时，

要求力在8之前，。与。相邻，则不同的游览顺序共有（）

A.18种B.24种C.48种D.60种

3.（25-26高三上•山西太原•期末）某次市运会跳水项目的预赛中有6名参赛选手，其中4校有3名，8校有2名,

C校有1名.现要求"校2名选手的出场均不能和C校选手的出场相邻，则这6名选手不同出场顺序的种数为（）

A.144B.288C.360D.432

4.（2。26,浙江•模拟预测）《水浒传》、《三国演义》、《西游记》和《红楼梦》被称为中国古代四大名著.书架

的某一层上有4本不同的文学书，现将四大名著各一本插入这4本书的5个空隙中，要求原有书的顺序不变且四大

名著中至少有3本相邻，则不同的插法共有（）

A.120种B.240种

C.480种D.600种

5.（25-26高二上•安徽淮北•期末）中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂''第

三课中就有人提问：如何能成为•名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中？已知航天员选拔时要接受特殊环境的

耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭

功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（）

A.28种B.36种C.48种D.64种

6.（25-26高二下•辽宁•开学考试）如图，在4£CD,比厂六个区域中种植4种不同植物，同一区域只种植1种

植物,相邻两区域所种植物不同，则不同的种植方案种数为（）

A.48B.96C.120D.192

II

7.（24-25高二下•广东肇庆•月考）用0,1,2,3,4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不正确的

是（）

A.共有96个数B.偶数有60个

C.大于31000的数有24个D.数字2和数字4不相邻的数有60个

8.（25-26高二下•黑龙江•开学考试）某社区组织文化活动，现有书法艺术展示、传统戏曲表演、民间手工艺制作、古

典诗词朗诵、现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活

动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为

（）

A.1500B.1800C.2100D.2400

9.（2026•辽宁•模拟预测）已知I、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满足任

意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（）个.

A.432B.257C.282D.504

二、多选题

10.（25-26高二下•浙江温州•月考）将7个小球放入3个盒子中，结合小球的相同与不同属性、盒子的相同与不同

特征，以及不同的放置限制条件，卜.列说法正确的有（）

A.若小球相同、盒子不同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15

B.若小球相同、盒子不同，且允许有空盒子，则不同的放法种数为21

C.若小球不同、盒子相同，且每个盒子至少放1个球，则不同的放法种数为301

D.若小球相同、盒子不同，且恰有1个盒子放2个球，其余盒子至少放1个球，则不同的放法种数为15

11.（24-25高二下•广东肇庆•月考）下面正确的是（）

A.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法；

B.将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有5、种不同的放法；

C.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有6种不同的放法；

D.将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有”种不同的放法.

12.（25-26高二上•江苏南通•期末）文娱晚会中，学生的节目有9个，教师的节目有2个，贝ij（）

A.如果教师的节目不排在最后，那么不同排法的种数为

12

B.如果教师的节目不排在两端，那么不同排法的种数为C；A；

C.如果教师的节目必须相邻，那么不同排法的种数为A汰］

D.如果教师的节目不能相邻，那么不同排法的种数为A；A：。

13.（25・26高二上♦江西景德镇•期末）五一假期即将来临，小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学决定到南京的

著名景点“夫子庙”、“中山陵”、“玄武湖”游玩，每名同学只能选择一个景点，则卜.列说法正确的有（）

A.所有可能的方法有125种

B.若小张同学必须去“夫子庙”，则不同的安排方法有64种

C.若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种

D.若每个景点必须有同学去，且小张