2026人教版九年级数学上册 第2课时 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 教案

2026新教材人教版九年级上册数学26.3第2课时利用二次函数的图象求一元

二次方程的近似解救案

26.3二次函数与一元二次方程

第2课时利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解

26.3笫2课时二次函数y=ax'+bx+c的图象

课题授课人

与X轴交点情况的探究

1.灵活运用根的判别式处理二次函数图象与x轴的交点问题.

2.解决有关二次函数取值以及两个函数值的大小比较问题.

教学目标

3.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，

进一步体会数形结合的思想.

掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用函数图象求一元二次方程

教学重点

的近似解.

理解二次函数的图象与X轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的

教学难点

关系.

授课类型新授课课时1

教学步骤师生活动设计意图

情境导入学生观察图象填空：通过创设

4情境，以

二、y-ax'+b.x+c

问题形式

引导学生

复习己学

(1)a<0；(2)b>0；(：3)c沙内容，为

(4)△=b2—4ac^0；(5)a+b+c>0；后面学习

(6)a-b+c<0；(7)i+b<0；新课做好

(8)方程ax?+bx+c=04勺根为xi=l,X2=m；铺垫

(9)当y>0时，x的范围为m<x<1；

(10)当yVO时，x的范F同为xVm或x>1；

学生自主解答问题，教师根据学生的回答做好总结，从而引

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入新课.

探究新知利用函数图象求一元二次方程的五反似解通过具体

完成以下两道题：例子，让

问题：画出函数y=2x2-4〉L1的图象，求方程2X2-4X—1=0学生观察

的解•（精确到（）.1）函数图

画出抛物线y=2x2-4x-1&j图象如图所示.象，启发

j学生思

考，归纳

出二次函

1/11j

r

I1数的图象

和性质，

让学生在

由图象知，当x=2.2或心:一（）.2时，y=0.即方程2X2-4X—1

实践中感

=0的近似解为xi-2.2,X2--（）.2.

悟，提高

我们可以通过不断缩小村U所在的范围估计一元二次方程的

学生利用

根.

数形结合

问题提示：（1）教师引导,学生利用列表、描点、连线的步骤

思想解次

进行画图；

问题的能

（2）教师巡视指导，与学2生合作、交流；

力.

（3）教师引导学生观察函数F金象，体会得到问题答案的过程；

（4）学生分组讨论、交流，,，总结二次球数与一元二次方程之

间的关系.

典例精析【例1】（教材p48例2）利用函数图象求一元二次方程X2本环节为

—2x—2=0的实数根（精确到0.1）.学生提供

【解】作二次函数y=x?--2x-2的图象，如图，了多次观

察、比较、

归纳的活

动过程，

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教学时应

让学生进

行充分的

探索和交

流，注重

类比是帮

它与x轴的公共点的横坐标xik—0.7,X2H2.7,

助学生正

所以一元二次方程x2—2x—2=（）的实数根为xi=—（）.7,X2N27

确理解概

【方法总结】

念的有效

用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：

方法.

（1）画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数；

（2）由图象交点位置确定横坐标的范围；

（3）估计方程的近似根.

【例2】二次函数y=ax2+bx+c（a和）的图象如图所示,

根据图象解答下列问题：

（1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x1（

填或"W"）;

（2）写出二次函数户ax?+bx+c的顶点；

（3）写出不等式ax2+bx+c>0的解集；

（4）当0VxV5时，y的取值范围是.

【解】（1）・・•抛物线的对称轴为直线x=l,开口向下，

・••当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是让1.

故答案为：>;

（2）.・,二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴的交点为（-1,

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0),(3,0),

/.y=a(x+1)(x-3),

代入(0,3)得，3=-3a,解得a=-l,

.\y=-(x+1)(x-3)=-X2+2X+3=-(X-1)2+4,

，二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(1,4).

故答案为：(1,4)；

(3)由图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集为-1VxV3

•

故答案为：・1VXV3；

(4)•.,x=5时，y=-(x-1)2+4=12,x=l时，y=4,

・••当0VxV5时,y的取值范围是-12Vya.

故答案为：-12y<4.

【方法总结】

利用二次函数的图象解不等式，关键是准确画出函数图象

,y>0时，右应的范围是x轴上方的图象；y<0时，对应的

范围是X轴下方的图象.

师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并

及时给予指导和帮助，最后山师生共同完成解答.

随堂检测1.二次函数户x2-x-2的图象如图所示，则不等式x2-x-2V0通过设置

的解集是()随堂检

测，及时

获知学生

对所学知

识的掌握

情况.

A.x<-lB.x>2

C.-l<x<2D.x<-l或x>2

解：由图可知，抛物线与x轴的交点为(-1,0)、(2,0

所以，不等式x2-x-2V0的解集是-1Vx<2.

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故选：c.

2.二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，当函数值yVO时

,自变量x的取值范围是.

解：函数值yVO时，自变量x的取值范围是-1VXV3.

故答案为：-1VXV3.

3.小颖用计算器探索方程ax?+bx+c=O的根，作出如图所示

的图象，并求得一个近似根x=-3.4,则方程的另一个近似根（

精确到0.1）为.

解：•・•抛物线与x轴的一个交点为（・3.4,0）,又抛物线

的对称轴为：x=-l,

・•・另一个交点坐标为：（1.4,0）,

则方程的另一个近似根为1.4,

故答案为：1.4.

4.利用二次函数的图象估计一元二次方程X2-2X-1=（）的

近似根（精确到0.1）.

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..t

...1..U-i.kAJ

解：作出二次函数y=x2—2x—1的图象，如图所示.

由图象可知方程有两个根，一个在一1和0之间，另一个在2

和3之间.

先求一1和（工之间的根.当x=—（）.4时，y=-0.（）4；当x=—

0.5时，y=0.25；

因此，x=-0.4（或x=-0.5）是方程的一个近似根，

同理，x=2.4（或x=2.5）是方程的另一个近似根.

故一元二次方程X2-2X-1=0的近似根是xlh—0.4（或一

0.5）,x2~2.4（或2.5）.

师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点

评、讲解.

课堂小结【课堂小结】巩固所学

引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方知识，加

法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？深对利用

1.方法层面二次函数

学习了利用二次函数图象求一元二次方程的近似解，牢牢紧的图象求

扣数形结合的核心思想，通过绘制函数图象、定位交点位置来估与元二次

算方程的根，体会以形助数、逼近取值的解题方法，掌握从图象方程的根