第十二章 定义 命题 证明（单元自测-提升卷）-苏科版七年级数学下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测

第十二章定义命题证明•能力提升

建议用时：60分钟，满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下面各个命题中，定义为（）

A.两点之间，线段最短

B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C.在正数前加上符号“一”的数叫做负数

D.今天的天气很好

2.下列语句是命题的是（）

A.作一个角等干已知角B.负数小干正数吗？

C.连接力，8两点D.-1是一个负数

3.下列命题中，是真命题的是（）

A.如果两个角相等，那么它们是对顶角

B.在同一平面内，如果a16,b1c,那么ale

C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等

D.如果〃力，那么a〃c

4.要说明命题“若问＞人，贝此＞5''是假命题的反例可以是（）

A.a=4,6=2B.a=-2,b=\

C.a=-!,/?=-2D.a=2,b=0

5.定理“等腰直角三角形的两个锐角都是45。”的逆定理是（）

A.两个锐角都是45。的三角形是等腰直角三角形

B.等腰直角三角形的角都是45°

C.两个角不是45。的三角形不是等腰直角三角形

D.有一个角是45。的三角形是等腰直角三角形

6.命题“如果|x|=[y],那么/=尸，的逆命题是（）

A.如果打彷明，那么/犷B.如果肉=%，那么/犷

C.如果/=/,那么忖=例D.如果/抄那么|中加

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7.命题“度数之和为90。的两个角互为余角”的条件是（）

A.90°B.两个角C.度数之和为90。D.度数之和为90。的

两个角

8.下列说法中，错误的是（）

A.基本事实是真命题，但真命题不一定是基本事实

B.定义是命题，并且是真命题

C.“两点之间，线段最短”是基本事实

D.“两点之间，线段最短”是定理

9.下列可以作为定理的有（）

①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；@25与x的平均值是3；④

三角形内角和为180。.

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.用三个不等式肛＞0,x+y＞0中的一个不等式与作为条件，余下的其中

xy

一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11.一个命题是由两部分组成.

12.写出一个你学过的数学学科的真命题：.

13.“如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角”的逆命题是命

题（选填“真”“假”）.

14.把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：.

15.命题”如果一个数能被3整除，那么它一定能被6整除”是命题.（填“真”“假”）

16.能说明命题“若〃＜方，则是假命题的一组实数。，6的值为a=,b=

an

17.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45。”时，首先应该假设这个三角形

中.

18.用三个不等式出）＞0,中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式

作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为个，请同学们写出一个真命题

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三、解答题(共7小题，共66分)

19.下列各语句中，哪些是命题？其中，哪些是真命题？是真命题的，请先将它改写为“如

果……那么……”的形式，再找出命题的条件和结论.

(1)已知点P到48两点的距离PA,PB之和等于线段AB的长，则点P在线段AB上.

(2)已知点P到4夕两点的距离尸4PB之和大于线段AB的长，则点P在直线AB上.

(3)当时，有/=/.

(4)当/=〃时，有。=6.

20.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.

(1)两条直线被第三条直线所截，内错角相等.

(2)如果同=例,那么a=b.

(3)两个钝角的和一定大于180°.

(4)异号两数相加和为零.

21.如图，已知48〃。，射线力H交BC于点F,交CO于点。，从。点引一条射线。E,

又=/2(已知)，

."CFD=_(_),

BC//DE(_),

ZC+_=180°(_),

又(已知)，

•••〃=_(_),

.•./8+NCQE=180。(_).

写出本题所用到的互逆命题：

22.证明：等角的补角相等.

23.已知〃是正整数，求证：(〃+1)2-(耳-1)2能被4整除.

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24.(1)已知：如图，直线CD、即被直线所所截，/8+N尸=180。,/2=/3.求证:

Z5+Zl=180°.

(2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来.

25.小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：”有

两个数。和6.若a>b.则一定有片>〃,,，两人提出了如下问题：

(1)小扇说：“这个命题一看就是假命题.”请你帮他们举一个反例说明.

(2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数。和机若a>6>0,则一

定有/>川.”小启说：“这样一改肯定是直命题.可是不太好讦明啊.”请你用所学的知识

帮助他们证明这个命题.

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1.c

【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意；

B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，且原说法

错误，不符合题意；

C、在正数前加上符号“一”的数叫做负数，是定义，符合题意；

D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意.

2.D

【分析】根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，只需判断各选项语句是否对一件

事情作!I明确判断即可得到结果。

【详解】解：•••命题的定义是：判断一件事情的语句叫做命题。

A选项作一个角等于已知角是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题；

B选项负数小于正数吗？是疑问句,没有对一件事情作出判断,不是命题：

C选项连接4,8两点是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题；

D选项-1是一个负数对-1的属性作出了明确判断，符合命题的定义.

3.D

【分析】根据对顶角定义，同•平面内直线的位置关系，平行线的性质，平行公理的推论逐

一判断选项.

【详解】解：A选项：相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行形成的同位角相等里不

是对顶角，因此A是假命题；

B选项：♦.•在同一平面内，blc,：.aHc,因此B是假命题；

C选项：只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，选项未说明两条直线平行,

因此C是假命题；

D选项：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线互相平行，

:工口c,因此D是真命题.

4.B

【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义.

假命题的反例需满足命题的题设Ia|>"但不满足命题的结论据此分析选项即可.

【详解】解：•••当。=-2,b=l时,

.•.同=卜2|=2,2>1,即1。1>〃成立，

答案第1页，共9页

又-2V1,即a>b不成立，

，此例可作为原命题的反例，

故选：B.

5.A

【分析】本题考查了逆定理.原定理的条件是“等腰直角三角形”，结论是"两个锐角都是

45。”，逆定理需将条件和结论互换.逆定理是原命题的条件与结论互换，需严格对应.

【详解】解：•••原定理：若三角形是等腰直角三角形，则两个锐角都是45。.

逆定理：若两个锐角都是45。，则三角形是等腰直角三角形.

故选：A.

6.C

【分析】交换题设和结论，即可得到答案.

【详解】解：“如果|x|=M那么N=*，的逆命题是:如果N=*那么|x|=b，|,

故选：C.

【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的

题设与结论.

7.D

【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是己知事

顶，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果

的后面，把结论写在那么的后面.

命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么

的后面是题设.

【详解】解:命题“度数之和为9()。的两个角互为余角”写成:如果两个角的度数之和等于9()。,

那么这两个角互为余角，

•••命题”度数之和为90c的两个角互为氽角，，的条件是度数之和为9()c的两个角.

故选：D.

8.C

【分析】本题考查基本事实、定理、命题与定义的概念辨析，关键是明确基本事实是无需证

明的公认真命题，定理是经过逻辑推理证明的真命题，定义是对概念的准确描述且属于真命

题.

【详解】解：选项A：基本事实是经过长期实践公认的真命题，而真命题包含基本坐实、定

答案第2页，共9页

理等，该说法正确；

选项B：定义是对■概念的明确表述，是能够判断真假的陈述句，且表述内容正确，该说法正

确；

选项C：“两点之间，线段最短”是初中几何中的基本事实，该说法正确；

选项D：“两点之间，线段最短”是无需证明的基本事实，并非经过推理证明的定理，该说法

错误.

故选：C.

9.A

【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的

命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理.首先利用定理的

定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证；经过判断可以得到①、②、

③是假命题,④是直命题.是经过推理论讦的.据此可以解决问题.

【详解】解：能被2整除的数未必能被4整除，所以①是假命题，不能作为定理；

相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；

25与x的平均值是三，所以③是假命题，不能作为定理；

三角形的内角和为180。，经过证明是正确的，所以④可以作为定理..

故选：A.

10.B

【分析】本题考查命题的判定和不等式的性质，在等式的两边同时加上或者减去同一个数,

不等号的方向不变.根据题意得出6个命题，由不等式的性质和举反例判断真假即可.

【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合，

①若不，>0,则x+y>0,取x=-l,y=-2,满足xy>0,10

x+^=-3<0,故该命题是假命题；

②若x>九号>(),则xy>(),即故该命

Ayxyxyyxxy

题是真命题；

③若则x+7>o,取x=-i,y=-2,满足x>y,fix+；；=-3<o,

xyxy

故该命题是假命题；

111|11v—X

④若则刘>0,:.----<0,即^—<0,：x>y

xyxyxyxyy

答案第3页，共9页

••・孙>0,故该命题是真命题：

⑤若X>y,x+y>0,则孙>0,取x=2,y=-\,满足x>y,”+丁>0,但中=_2<0,

故该命题是假命题；

⑥若x+y>。，则取x=2,y=-h满足x>»,x+y〉o,但故该

xyxy

命题是假命题，

故其命题一共有2个，

故选：B.

11.题设（或条件）和结论

【分析】此题考查了命题的组成.命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论.据此【可答

即可.

【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成.

故答案为：题发（或条件）和结论

12.对顶角相等（答案不唯一）

【分析】本题考查了真命题：正确的命题即为真命题，举例一个例子即可作答.

【详解】解：依题意，写出一个你=学过的数学学科的真命题：对顶角相等，

故答案为：对顶角相等（答案不唯一）.

13.假

【分析】首先得出命题的逆命题，进而得出是否是真命题.

【详解】逆命题是：如果一个三角形有两个角是锐角，那么三角形另一个角是钝角，是假命

题.

故答案为：假.

【点睛】此题主要考查了逆命题与定理，正确把握相关定义是解题关键.

14.如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数

【详解】解：把命题“负数的绝对值是正数''写成"如果……，那么……”的形式为：如果一个

数是负数，那么这个数的绝对值是正数.

15.假

【分析】根据命题真假的判定方法，若存在满足命题题设，不满足命题结论的例子，即可判

定命题为假命题，只需找出反例即可判断.

【详解】解：举反例，例如9,

答案第4页，共9页

9能被3整除，即9+3=3,

9不能被6整除，即9+6=1.5,

该数满足命题的题设，不满足命题的结论，因此原命题是假命题.

16.-1（答案不唯一）1（答案不唯一）

【分析】只需找到满足。〈人但不满足的一组实数即可.

ab

【详解】解：当。=-1,6=1时，满足条件〃</）,此时』=-1,1=1,且故不满

abab

足故可以说明该命题是假命题.

ab

17.每一个内角都大于或等于45。

【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立.

【详解】解:用反证法证明"钝角三角形中必有一个内角小于45。”时，

应先假设这个三角形中每一个内角都不小干45。,即每一个内角都大干或等干45。

故答案为：每一个内角都大于或等于45。.

【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时

要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多

种情况，则必须一一否定.

18.3如果ah>0那么■或如果">〃，—<7,那么。力>0或如果

fabab

—,ab>0,那么a>b

ab

【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取

a>b,必〉0作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变

ah

方向即可证明；当选取。>〃，作为条件，/>0为结论时，根据不等式两边同时乘以

ab

一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取必>0作为条件。>6为结论时，

ab

据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明.

【详解】解：当选取。>6,<力>0作为条件，为垢论时，

ab

vab>0,a>h,

ab11

•••—>—，即an工>一，

anahba

此时命题是真命题；

答案第5页，共9页

当选取a>b,作为条件，必>0为结论时，

ab

11

.•・当时>0时，则-ab<^ab,^a>b,符合题意；

an

当时<0时，则--ab>\-ab1即〃>〃，不符合题意；

ab

此时命题是真命题：

当选取。6>0作为条件为结论时，

ab

ab>0,—<―,

ab

.'.—■ab<—ah,即a>力，

ab

・•.此时命题是真命题；

综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果。>3ab>0,那么如果

ab

a>b,—<y,那么4方>0；如果，<?，ab>0,那么a>b.

abab

故答案为：3：如果a>b,M>0,那.么Leg或如果。>〃，那么/>0或如果

abab

—<-J-,ab>0,那么a>b.

ab

19.⑴是命题，是真命题；改写：如果点P到小“两点的距离P4尸8之和等于线段48的

长，那么点P在线段48上；条件：PA+PB=AB；结论：点P在线段力8上；

（2）是命题，假命题

（3）是命题，真命题，改写：如果。=〃，那么/=/；条件：a=b；结论：a2=b2

（4）是命题，假命题

【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握命题及真假命题的定义是解题的关

键；

（1）根据命题及真假命题的定义可进行求解；

（2）根据命题及真假命题的定义可进行求解；

（3）根据命题及真假命题的定义可进行求解：

（4）根据命题及真假命题的定义可进行求解.

【详解】（1）解：是命题，且是真命题，

改写成“如果…那么….”的形式为加果点P至I」/、B两点的距离04PB之和等于线段月8的

答案第6页，共9页

长，那么点P在线段48上：

条件是21+08=48；结论是点尸在线段48上：

(2)解：是命题；

当点。在直线初外时，也可以满足点。到44两点的距离04P8之和大于线段44的长,

所以原命题是假命题；

(3)解：是命题，且是真命题；

改写成“如果…那么…的形式为如果。=力，那么/=/；

条件：a=b；结论：a2=b2;

(4)解：是命题，

因为当/=/时，则有。=±6,所以原命题是假命题.

20.(1)是假命题，反例见解析(答案不唯一)

(2)是假命题,反例见解析(答案不唯一)

(3)是真命题

(4)是假命题，反例见解析(答案不唯一)

【分析】本题考查r平行线的性质，绝对值的意义，钝角的定义以及有理数的加法法则，分

析题目是否为真命题，需要分别分析各题是否能推出结论，从而作出判断.

(1)缺少“两直线平行”的前提条件；

(2)绝对值表示一个数到原点的距离，当两个数绝对值相等时，它们可能相等，也可能互

为相反数；

(3)通过“钝角是大于90,小于180"的角”即可判断为真命题；

(4)举出绝对值不等的异号两数相加的例子即可判断.

【详解】(1)是假命题，两条相交直线被第三条直线所截，形成的内错角不一定相等.

(2)是假命题，如卜3卜|3|,但3/-3.

(3)是真命题.每一个钝角都大于90。，故两个钝角的和一定大于180工

(4)是假命题，如一3和2异号，但-3+2=-1。0.

21.见详解

【分析】利用平行线的性质和等量代换可得出结论.

【详解】证明：•••/1+/。尸。=180°,Z2+ZFDF=180\

又•.•N1=N2(已知)，

答案第7页，共9页

:"CFD=/FDE（等角的补角相等）,

：.BC//DE（内错角相等，两直线平行），

••.NC+NCQ£=180。（两直线平行，同旁内角互补），

又•:AB"CD（已知），

A=ZC（两直线平行，内错角相等），

.•.N8+NCOS=180。（等量代换）.

写出本题所用到的互逆命题：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.

22.见解析

【分析】本题考查了补角性质的证明;由等式的性质得/3=180。-/2