2027年高考数学一轮复习：人教A版知识点清单

必修一知识点模块一集合、常用逻辑用语、不等式1.常用数集符号：正整数集N*或N+,自然数集N(包含0),整数集Z,有理数集Q,实数集R,复数集C2.集合的运算：3.摩根定理：解题时，要注意空集的特殊性，如研究AcB,常分A=与A≠两种情形求解解题时，要注意空集的特殊性，如研究AB,常分A=与A≠两种情形求解5.集合的子集个数：含有n个元素的集合A的子集个数是2”,真子集个数是2”-1,非空子集个数是2”-1,非空真子集个数是2”-2.(针对A,Ø进行减1、减我)6.充分条件与必要条件(充分性、必要性):(1)如果“若p,则q”为真命题，则记作p→q(2)若p⇔q,则p是q的充分必要条件，简称充要条件7.全称量词命题：Vx∈M,p(x);其否定为：3x∈M,-p(x)存在量词命题：3x∈M,-p(x);其否定为：Vx∈M,p(x)全称量词命题与存在量词命题的否定：改量词，否结论(写补集)8.基本不等式：(平方和不等式、均值不等式)a+b≥2√ab(a,b>0),当且仅当a=b时等号成立【一正、二定、三相等】常用于求积ab的最大值))当且仅当a=b时等号成立不等式链：a>0,b>0,(当且仅当a=b时等号成立);相关的勾号函数与飘带函数9.一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式与韦达定理：第3页共35页{x<x或x>x}R11.分数不等式：分类讨论，转化整式不等式如：)等价于也可以等价于12.指对不等式：化同底利用单调性模块二函数基本性质1.单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,(1)当时x<x₂,都有f(x₁)<f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上时增函数。变式：,(x-x₂)[f(x,)-f(x₂)J>0(2)当时x<x₂,都有f(x₁)>f(x₂),那么就说函数f(x)在区间D上时减函数。2.单调性的基本运算性质：(1)在定义域内，增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减。y=f(g(x))为增函数(减函数)4.函数奇偶性定义：(研究函数问题，一定要先确定好函数定义域)一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果Vx∈I,都有-x∈I,【f(x)=f(-x)=…】【f(x)=-f(-x)=…】函数奇偶性应用：f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=05函数的对称性：(1)函数的定义域为I,Vx∈I,有：①f(a+x)=f(b-x)⇔y=f(x)的图像关于直(2)函数的奇偶性与对称性的关系：对称性、周期性判断口诀：同周异对(x同号：周期性；x异号：对称性)。有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得8.成立、恒成立命题的处理，一般优先考虑分离参数法：第5页共35页(3)若λ=f(x)有解，则λ∈{yy=f(x)}(aˣ=N⇔x=logaN(a>0,且a≠1)(1)a⁸aN=N;(2)logaaˣ=x;(3)loga1①当α>0时，图像过点(0,0),(1,1),图像呈“抛物线型”,在(0,+∞)上是增函第6页共35页数。②当α<0时，图像过点(1,1),图像呈“双曲线型”,以x轴，y轴为渐近线，在(0,+∞)上是减函数。6.(1)指数函数y=a(a>0且a≠1)的图像和性质：图象y=1-0,1)o性质定义域R(0,十∞)过定点过定点(0,1),即x=0时，y=1函数值的变化当x<0时，0<y<1;当x>0时，y>1。当x>0时，0<y<1;当x<0时，y>1。(2)底数与指数函数图像的关系：y=a(a>0且a≠1)的图像在第一象限内具有“底大图高”的特征。7.(1)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像和性质：y=logax(a>0,且a≠1)图象 0定义域(0,十∞)第7页共35页在(0,+∞)上是增函数函数值特点x∈(0,1)时，y∈(一∞,0);x∈[1,十∞]时，y∈0,十∞)x∈(0,1)时，y∈(0,十∞);x∈[1,十∞]时，y∈(一∞,0)函数y=logax与y=log₁x的图象关于x轴对称a在第一象限内，当x>1时，“底大图低”;当0<x<1时，“底大图高”。模块四三角函数1.与角α终边相同的角的集合Bβ=a+2kπ,keZ}2.圆心角的弧度数满足：(1为弧长，r为半径)角度制)第8页共35页(2)设@终边上任意一点P的坐标为(x,y),它到原点的距离为r=|OP=√x²+y²,则三角函数在各象限的符号，巧记：一全正、二正弦、三正切、四余弦。5.同角三角函数的基本关系：(1)平方关系：sin²x+cos²x=1(正余弦转化，1的代换)(2)商数关系：(弦切转化)sinx+cosx,sinx-cosx,sinx·cosx三者的知一求三(结合平方关系，完全平方制造和差与积关系)6.诱导公式：①诱导公式一：③诱导公式三：⑤诱导公式五：tan(a+2kπ)=tana.②诱导公式二：④诱导公式四：⑥诱导公式六：三角函数的图像和性质(k□Z):RRR最值当x=2kπ时，Ymax=1.当x=π+2kπ时，Ymin=-1.无奇偶奇上单调递增单调递增对称中心：(kπ,0)对称轴方程：x=kπ8.函数y=Asin(ax+φ),y=Acos(ax+φ)(w>0)最小正周期T=2函数9.掌握“五点作图法”作出y=Asin(ax+4)的图象：令,2π,求出五个x及相应的函数值y10.图象变换：由函数y=sinx的图象经过变换的到y=Asin(ax+φ(A>0,①>0)的图象的两种常见途径1第10页共35页模块五三角恒等变换1.两角和与差：(2)cos(a±β)=cosacosβfsinasinβ【对于(3),要注意它们的变式(和差与积)的应用】2.二倍角公式：(1)sin2α=2sinacosa(2)cos2α=cos²α-sin²α=2cos3.降幂公式：【辅助角公式逆用、变形用(主要用于解三角形中求最值)】5.给值求值的问题的解决，关键在于发现未知角与已知角、特殊角之间的联系：第11页共35页必修二知识点模块六平面向量及其应用1.向量的加法、减法运算的三角形法则与平行四边形以及它们的坐标运算：2.向量的共线定理向量与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ,使得b=λa(短变长，长变短，或平行转移)3.平面向量基本定理：有且只有一对实数λ,22,使得任意向量a=Ze+ze,其中，向量e,e不共线4.平面向量的坐标运算：设向量a=(x,y)b=(x₂,y₂),则5.三角形中线向量定理： 直线BC也称为等和线】7.平面向量与三角形重心，若0为△ABC的重心，则：②若△ABC三个顶点坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃),,则△ABC的重心坐标为第12页共35页①a=2RsinA,b=2Rsin(R为三角形外接圆的半径);若sinA>sinB>sinC,可得a>b>c,则A>B>C。值小于0,则这个角为钝角。③cos(A+B)=-cosC;cos(B+C)=-cosA;co第13页共35页第14页共35页公式不用背，关键要会运算过程 7.复数z=a+bi(a,b∈R),复平面内的点Z(a,b),平面向量OZ=(a,b),三者之间是一一对应关系8.|z₁-z₂|的几何意义：两个复数Z₁,z₂在复平面上对应Z₁,Z₂两点间的距离9.在复数范围内，实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的求根公式： (1)当△≥0时；模块九立体几何初步1.空间几何体(柱体、椎体、台体、球)的表面积与体积：(2)圆锥的侧面积(侧展图是扇形)圆锥的表面积S=πr²+πrl(3)圆台的侧面积S=π(r'+r)L(侧展图是扇环)圆台的表面积S=(zr'2+nr²)+(nr'l+nrl)(7)S球=4πR²;;截面圆性质:过球心与截面圆心的直线垂直于该截面(类似于垂径地理);截面圆的直径一般用正弦定理求2.四个基本事实,以及确定平面的三个推论,等角定理:基本事实1过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的直线推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面基本事实4平行于同一条直线的两条直线平行等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么两个角相等或互补内)、平面与平面的位置的位置关系(相交、平行)4.空间中线、面平行与垂直的判定于性质(从普通语言、符号语言、图形语言三中角度理解并掌握,注意证题过程中表达的严谨性)(1)直线与平面平行的判定:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直(2)直线与平面平行的性质:一条直线和一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相(3)平面与平面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这(4)平面与平面平行的性质:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.第16页共35页(5)直线和平面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.1⊥a,l⊥b,acα,bca,a∩b=0→l⊥α(6)直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.a⊥a,b⊥α→a//b(7)两个平面垂直的判定：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.(8)两个平面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另个平面垂直.5.异面直线的判定：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线6.三个角：异面直线所成角，直线与平面所成的角，二面角的平面角.如图7.三个距离：点到平面的距离，直线到平面的距离，两个平行平面间的距离(面面距离转点面距离，线面距离转点面距离，点面距离①构造直角三角形，求线面角，三角函数求点面距离；②直接套点面距离公式；③等体积法，换角度、切割、补齐等)模块十统计与概率1.随机抽样：(1)简单随机抽样(抽签法、随机数法)(2)分层抽样(每层等比例抽取)2.用样本的数字特征估计总体的数字特征：众数、中位数、平均数、方差(在频率分布直方图中，通常假定数据在组内均匀分布)(1)最高矩形所在区间中点的横坐标即为众数(2)累计频率为0.5(即累积面积S=0.5)时的横坐标即为中位数第17页共35页(3)各矩形中点的横坐标和对应区间的频率的积之和即为平均数(也称期望)(4)各矩形中点横坐标与均值之差的平方乘以对应区间的频率的积之和即为方差【说明：平均数与方差可以与正态分布服从的参数联系起来，在某区间取值的频率可以与二项分布联系起来】(5)总体百分位数的估计：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值数据的方差：3.古典概型：,其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数m,n4.(1)如果事件A与事件B互斥，则(2)若事件A与事件B互为对立事件，则(3)对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称独立。(说明：若事件A与事件B相互独立，则A与B,A与B,A与B也相互独立)(4)设A,B是一个随机试验中的两个事件，则第18页共35页选必一知识点模块十一空间向量与立体几何1.空间向量共线定理：对空间任意两个向量a,b≠0),a₁1⇔存在实数λ,使得a=λb(短变长，长变短，或平行转移)2.空间向量共面定理：若向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面⇔存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb空间向量共面定理可用于证明四点共面、线面平行3.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数对(x,y,z),使得p=xa+yb+zc..其中a,b.c叫做表示空间向量的一个基底，a,b,c都叫做基向量4.空间向量的坐标运算：设a=(x₁,y,z),b=(x₂,y₂,z₂),a·b=|al|b|cos/a,b)=x₁5.充分利用直线的方向向量和平面的法向量(找而定之，设而求之)第19页共35页证明空间中——线、面的平行、垂直，求夹角、求距离设直线1,m的方向向量分别为a,b,平面的法向量分别为u,v,,则【线线关系】【线面关系】面面关系】【面面关系】(7)【线线角】设异面直线1,m夹角为θ,其方向向量分别为a,b,则(8)【线面角】设直线1与平面α所成角为θ,直线l的方向向量为a,平面α的法向量为μ,则(9)【面面角】设平面α与平面β所成角为θ,μ,分别为平面α,β的法向量则6.(1)点到直线的距离：已知A是直线1上一点，P是直线1外一点，直线1的单位向量为u,设AP=a,则向量AP在直线1上的投影向量AQ=(a-p,所以点P到直线l的距离为第20页共35页(2)点到平面的距离：设PA为平面α的一条斜线段，n为平面的法向量，则P点到平面α的距离为模块十二直线和圆的方程1.直线方程：局限已知条件点斜式不能表示斜率不存在的直线(x₀,yo)是直线上一定点，k是斜率式不能表示斜率不存在的直线k是斜率，b是直线在y轴上的两点式(x₁,y₁),(x₂,y₂)是直线上的两式原点的直线a,b分别是直线在x轴、y轴上的一般式3.两条直线的位置关系：第21页共35页(当B₁B₂≠0时，可得对称点P'(x₂,y₂)的坐标为(2xo一x₁,2yo-y₁)。第22页共35页③直线关于点对称：直线l:Ax+By+C=0关于点(x₀,yo)对称的直线为：法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.6.①直线到角的公式：直线l₁:y=k₁x+b₁逆时针旋转到与直线l₂:y=k₂x+b₂过的最小的正角为θ(θ∈(0,π)),(两直线的斜率存在)∈。(两直线的斜率存在)(r>0),圆心坐标为(a,b),半径为r.圆的问题尽量与圆心、弦的中点联系起来【该圆上的点的坐标可设为(a+rcosθ,b+rsinθ)】思考：上、下、左、右的半圆方程怎么表示?(D²+E²-4F>0),圆心坐标,半径9.直线与圆的位置关系：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则(1)相离⇔d>r;(2)相切⇔d=r;(3)相交⇔d<r【还要掌握：求过一点与圆相切第23页共35页11.公共弦所在直线方程，由两圆方程相减(消去二次项)得到12.阿波罗尼斯圆：到两个定点的距离比为常数的点的轨迹；任何一个圆都可以用阿波罗尼斯圆的定义表示别为A、B,则切点弦AB所在的直线方程为：(x₁-a)(x-a)+(y₁-b)(y-b)=r²。模块十三椭圆、双曲线、抛物线1.椭圆的标准方程和几何性质：定义PF₁I+|PF₁I=2a>|F₁F₂I(P为椭圆上的一点)图形焦点顶点a,b,c的关系范围对称轴：x轴，y轴；对称中心：坐标原点离心率当e越接近1时，c越接近a,椭圆越扁；当e越接近0时，c越接近0,椭圆越圆。通径长：第24页共35页2.椭圆焦点三角形的性质：P为椭1(a>b>0)上异于长轴端点的点，F₁、F₂为两个焦点，则△F₁PF₂称作焦点三角形，设∠F₁PF₂=θ。①△F₁PF₂的周长为2a+2c。③4c²=|F₁F₂I²=|PF₁I²+|PF₂I²-2|PF₁3.直线与椭圆的位置关系：直线y=kx+m与椭匿1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联消去y得到一个关于x的一元二次方程.直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及4的取值的关系如表所示.直线与椭圆4的取值两个不同的公共点一个公共点没有公共点定义IPF₁I-IPF₁I|=2a(0<2a<|F₁F₂I)(P为双曲线上的一点)焦点在x轴焦点在y轴图形顶点对称轴：x轴，y轴；对称中心：坐标原点离心率e越大双曲线开口越大，渐近线与实轴的夹角也增大渐近线第25页共35页通径长：5.双曲线焦点三角形的性质：P为双曲(a>0,b>0)上异于顶点的点，F₁、F₂为两个焦点，则△F₁PF₂称作焦点三角形，设∠F₁PF₂=θ,则6.直线与双曲线的位置关系：设直线l:y=kx+m(m≠0),①双曲线C:(a>0,b>0),②(1)当b²—a²k²=0,即,直线1与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点。4>0→直线与双曲线有两个公共点；4=0→直线与双曲线有一个公共点；4<0→直线与双曲线有0个公共点。7.抛物线的标准方程与几何性质：图形范围对称轴x轴x轴y轴y轴离心率8.直线与抛物线的位置关系：直线y=kx+b与抛物线y²=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程解的个数，即二次方程k²x²+2(kb—p)x+b²=0解的个数.当k≠0时，若△>0,则直线与抛物线有两个不同的公共点；若4=0,直线与抛物线有一个公共点；若4<0,直线与抛物线没有公共点.当k=0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点.9.圆锥曲线的弦长公式：若斜率为k(k≠0)的直线与圆锥曲线相交于A(x1,y1),B(x₂,y₂)两点，则：10.椭圆有关解题大招：(1)与椭圆有关的最值问题：①椭圆上的点P到焦点的距离最大值为a+c,最小值为a-c;②当椭圆上的点P在短轴端点时，∠F₁PF₂最大。(2)椭圆中点弦的相关结论：设椭圆的弦AB的中点为P,则：①椭圆方程(a>b>0),(3)椭圆的切线方程：过椭1上一点P(xo,yo)处的切线方程为(4)椭圆的切点弦方程：过椭外一点P(xo,yo)作椭圆的两条切线，切点分别为A和B,则切点弦AB所在的直线方程为(5)椭圆中斜率乘积为定值的相关问题：设A、B是椭(a>b>0)上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A、B的任一点，则(6)椭圆与蒙日圆：椭(a>b>0)的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是蒙日圆：x²+y²=a²+b²。11.双曲线有关解题大招：(1)双曲线的切线方程：过双曲线(a>0,b>0)上一点P(xo,yo)处的切线方程(2)双曲线切点弦方程：过双曲线作双曲线的两第27页共35页(3)双曲线焦点到渐近线的距离常用结论：设双曲线1(a>0,b>F(±c,0),渐近线方程则焦点到渐近线的距离为b。(4)双曲线中点弦结论：若双曲线与直线1交于AB两点，M为AB中点，且kAB与kom斜率存在时，(焦点在x轴上);(焦点在y轴上)。(5)双曲线斜率乘积为定值相关问题：设A、B是双曲(a>0,b>0)上关于原点对称的两点，点P是该双曲线上不同于A、B的任一点，则(6)双曲线与蒙日圆：双曲线1(a>0,b>0)的两条互相垂直的切线的交点P12.抛物线有关解题大招：(1)抛物线焦点弦性质：AB是过抛物线y²=2px(p>0)焦点的弦，A(x₁,y₁),B(xz,y2),焦点,准线1:,AP⊥1,BQ⊥l,α②④直角梯形APQB的对角线交于原点0,且⑤以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切；以PQ为直径的圆与AB相切于点F。(2)抛物线中点弦结论：设直线1与抛物线y²=2px(p>0)相交所得的弦AB的中点(3)抛物线的切线方程：过抛物线y²=2px上的点P(xo,yo)的切线方程是y₀y=p(x+x₀)。选必二知识点模块十四等差数列与等比数列1.数列的单调性：递增数列an+1>an,递减数列an+1<an,常数列an+1=an,周期数列2.an与Sn的关系：(具体应用时，要观察是否可以合二为一)3.等差数列的定义：第28页共35页an+-a,=d(常数),a,+an+2-=2an+1若a,A,b成等差数列，则A叫a,b做的等差中项，即(从第m项起等差数列，必须用这个公式)d(基本量型)=An²+Bn,显然数列为等差数列(4)若m,p,n为等差数列，则am,ap,an成等差数列.即m+n=2p,则am+an=2a(5)等差数列{an}的连续m项的和构成的数列：Sm.S₂m-Sm,S³m-S₂m仍为等差数列(阶段和性质)4.等比数列的定义：(常数),an·an+2=a²+1(1)通项公式：a=aq”-¹,a=amq”-m(从第m项起等比数列，必须用这个公式)②当q≠1时，(4)若m,p,n为等比数列，则am,ap,an成等比数列.即m+n=2p,则am·aₙ=a²(5)等比数列{an)的连续m项的和构成的数列：SmS₂m-Sm,S³m-S₂m仍为等比数列(阶段和性质)(q=-1,且n为偶数的情况除外)5.数列求通项公式方法：(1)归纳猜想：列出前几项，找的到a与n关系式(仅限于选填，或解答题走投无路时)第29页共35页(2)公式法：等差数列或等比数列(3)已知Sn与an关系式：①Sn转化为an,找an与相邻项间的关系；②a转化为Sn,找S,与相邻项间的关系.(关注n=1n≥2分类讨论)(很像等差(比)数列的定义，采用等差(比)数列通项公式推导方法求解——累加(乘)法)(5)构造法：①形如an+1=pan+q(p③形如an=pan-1+gn,构造：1(两边同除以q")。6.数列求和的方法：(1)归纳猜想法：列出前几项，看看他们和的规律(如周期，仅限于选填，或解答题走投无路时)(3)分组求和法：等差±等比；等比±等比(4)裂项相消法：(关注裂项式子是否等价)(5)错位相减法：等差×(÷)等比(利用系数为等差，乘以公比位置错开相减，使得系数变为公差以致系数相等，转化成等比数列求和)模块十五一元函数的导数及其应用,因此切线方程式：第30页共35页原函数导函数f(x)=c(c为常数)f(x)=x"(a∈Q且α≠0)f(x)=a(a>0且a≠1)fx)=e(a>0且a≠1)f(x)=logax(a>0,且a≠1)函数不等式中所含结构构造原函数xf'(x)+f(x)>0或xf'(x)+f(x)<0xf'(x)+kf(x)>0或xf'(x)+kf(x)<0xf'(x)-f(x)>0或xf'(x)-f(x)<0f'(x)+f(x)>0或f'(x)+f(x)<0f'(x)-f(x)>0或f'(x)-f(x)<06.常见放缩：①eˣ≥x+1(x∈R);②Inx≤x-1(x>0)。第31页共35页第32页共35页模块十六排列与组合、二项式定理1.两个计数原理：(1)分类加法计数原理；(2)分布乘法计数原理【捆绑法、插空法、优