2026新高一数学暑假学习讲义含答案

题型1乘法公式的应用 3题型2立方和、立方差公式的应用 4题型3根式的求值化简（含二重根式的化简） 5题型4指数与指数幂的运算 6题型5分式的化简求值 7题型6分式型函数图像：分离常数与函数平移 8 8题型1提取公因式和公式法 题型2不含参数的十字相乘法 题型3含参数的十字相乘法 题型4分组分解法 题型1解一元二次方程 题型2解二元二次方程组 题型3试根法解一元三次方程 题型4一元二次方程的根的判别式 题型5利用韦达定理求参数 题型6利用韦达定理求对称式的值 题型7根和系数与判别式的综合应用 题型8根据根的分布情况求参数 题型1判断是否构成集合（确定性） 题型2.元素与集合的关系 题型3用列举法表示集合 题型4用描述法表示集合 题型5利用集合的互异性求参数 题型6利用集合相等求参数 题型7利用集合中的元素个数求参数 题型1判断集合的包含关系 题型4判断两个集合是否相等 题型5空集的概念及性质应 题型6根据集合的包含关系求参数 题型7根据两个集合相等求参数 题型1交集的概念与运算 题型2并集的概念与运算 题型3补集的概念与运算 题型5交、并、补的混合运算 题型6由集合的混合运算求参数 题型7Venn图在集合运算的应用 题型8容斥定理的应用 题型1命题的判断 题型4由条件关系求参数的取值范围 题型5充要条件的证明 题型1全称量词命题、存在量词命题的辨析 题型2全称量词命题、存在量词命题的真假 题型3全称量词命题、存在量词命题的否定 题型4根据全称量词命题的真假求参数 题型5根据存在量词命题的真假求参数 题型6常用逻辑用语与集合问题的综合考查 题型3利用不等式性质判断命题真假 题型5利用不等式的性质证明不等式 题型1基本不等式的辨析 题型2利用基本不等式比较大小 题型3直接法求最值 题型4配凑法求最值 题型5常数代换法求最值 题型7利用基本不等式证明 题型8实际问题中的基本不等式 题型1解不含参的一元二次不等式 题型2解含参的一元二次不等式 题型4由一元二次不等式的解求参数 题型6一元二次不等式的根的分布情况 题型7一元二次不等式的恒成立问题 题型8一元二次不等式的有解问题 题型9一元二次不等式的实际应用 题型1函数的概念 题型2具体函数的定义域 题型3抽象、复合函数的定义域 题型4一次、二次、反比例函数的值域 题型5分式型函数的值域 题型6根式型函数的值域 题型7判断两个函数是否相等 题型8根据函数定义域或值域求参数 题型9求函数值或由函数值求参数 题型10函数的表示法 题型11待定系数法求解析式 题型12换元、配凑法求解析式 题型13方程组法求解析式 题型14分段函数及其运用 题型1定义法判断或证明函数的单调性 题型2求函数的单调区间 题型3复合函数的单调性 题型4利用函数的单调性求参数 题型5利用函数的单调性比较大小 题型6利用函数的单调性解不等式 题型7抽象函数的单调性问题 题型8求函数的最值 题型9利用函数的最值求参数 题型1函数奇偶性的判断 题型2由函数奇偶性求函数值、解析式 题型3利用函数的奇偶性求最值 题型4利用函数的奇偶性求参数 题型5利用函数的奇偶性解不等式 题型6函数图象的识别与判断 题型7抽象函数的奇偶性问题 题型8函数性质的综合运用 题型1幂函数的概念 题型2求幂函数的函数值、解析式 题型3根据幂函数求参数 题型4幂函数的定义域、值域问题 题型5幂函数的图象及其应用 题型6幂函数过定点问题 题型7幂函数的单调性问题 题型8幂函数的奇偶性问题 题型9幂函数的比较大小问题 题型10幂函数性质的综合问题 乘乘法公式知识点1+b)(ab)3知识点2指数知识点2nn个a4、幂运算法则：mn,nnbnmn根根式知识点3式子(a≥0)叫做二次根式，其性质如下：如果有xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数.知识点4分知识点41、形如其中B中含有字母）的式子叫作分式.2、分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.用式子表示为 理式，而·x2不是无理式4、分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化5、有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有：6、繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算.题型题型1乘法公式的应用例1、式子(a-b)(a2+b2)可恒等变形为()A．a3-b3B．a2-2ab+b22-a2b-b3D．a3-ab2+a2b-b3【变式训练1】若(x2+9)(x+322-ab-ac-bc【变式训练4】【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形.（1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图1中S阴影=，图2中S阴影=；（2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为用含字母a，b的式子表示【应用】请应用这个公式完成下列各题：【拓展】计算222428…264+1题型题型2立方和、立方差公式的应用例2、阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方差公式：x3-y3=(x-y)(x2+xy+y23xx2+2x根据材料和已学知识，先化简，再求值，其中x=3.【变式训练5】阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方差公式：x3-y3=(x 根据材料和已学知识解决下列问题(1)因式分解：a3-8；(3)利用材料因式分解：x3+3x2-4=0的两根立方和为17.题型题型3根式的求值化简（含二重根式的化简）【变式训练9】观察与计算： 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进【应用】【变式训练10】化简根式：题型题型4指数与指数幂的运算例4、设a>0，下列运算中，正确的是()a23a32326a326【变式训练11】阅读理解：如果a—我们可以先将等式两边同时平方得到2=1，再根x2【变式训练13】（1）下图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：.（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：2和a22的值；②已知x求x2+的值.题型题型5分式的化简求值例5、若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是()【变式训练14】关于分式下列说法错误的是()【变式训练15】先化简再求值：【变式训练17】定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.2(1)给出下列分式：①x；②x2；③x2序号化简若该式的值为整数，求x的整数值.题型题型6分式型函数图像：分离常数与函数平移例6、已知函数是由反比例函数平移得到的，求k的值.【变式训练18】已知函数的取值范围.【变式训练19】求函数的对称中心.【变式训练20】已知函数的取值范围和对称中心.题型题型7齐次式计算：比值消元【变式训练22】已知：x2+5xy-6y2=0，则.【变式训练24】若x2-3y2=2xy，求一、单选题1、在函数自变量x的取值范围是()2、下列结论正确的是()2001002004、如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个公式(2b222222二、多选题6、下列计算正确的是()42C．(xy)2=x2y28、已知实数Q，β满足Qβ=1，Q+β=6，则()2+β+β三、填空题9、若分式的值为0，则x=.22四、解答题2+y2-3xy的值. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，·,这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简以上这种化简的步骤叫做分母有理化.【解决问题】22的值.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为x的大正方形切去一个边长为y的小正方形，剩余部分的面积为x2-y2，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形则甲的面积为(x-y)2，乙的面积为y(x-y)，丙的面积为y(x-y)，所以x2-y2=(x-y)2+2y(x-y)=(x-y)(x-y+2y)=x2-y2=(x-y)(x+y)，【尝试应用】（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：992-12=；（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为x3-y3=；【拓广探索】若x-y=2，xy=1，且x>0，y>0．求的值.公公式法知识点1【公式1】平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)【公式2】完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2【公式3】立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)【公式4】立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)知识点2十字相乘知识点2+(p+q)x+pq型的因式分解利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.2、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1,a2,c1,c2排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的一次=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx1x知识点3分组分解知识点3对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.知识点4求根公式知识点4对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0ax2.此时对应的二次三项式ax21)(x-x2).题型题型1提取公因式和公式法例1、把下列各式分解因式：(1)-5a2b3+20ab2-5ab；(2)(x+y)(x-y)-(x+y)2；(3)8a(x-y)2-4(y-x)3.【变式训练1】分解因式：(1)-4ab-8b2+10b；(2)2(n-m)2-m(m-n)；(3)15y(a-b)2-3y(b-a).【变式训练2】若a(a-b)=3，则(a+b)(a-b)+(a-b)2的值为.【变式训练3】计算：2-(2x-3y)2.2（第三步）回答下列问题：(1)该同学第二步到第三步运用了.A．提取公因式B．平方差公式C．完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底填“彻底”或“不彻底”若不彻底，则该因式分解的最终结果为.题型题型2不含参的十字相乘法将x2+2x35分解因式，我们可以按下面的方法解答：我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.试用上述方法分解因式：2【变式训练5】已知方程2x2-5x-k=0的两根是x1=3，x2=-那么二次三项式-2x2+5x+k分解因式得()【变式训练6】阅读：用“十字相乘法”分解因式2x2--x3的方法.（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(-3)+2×1=-1，等于像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式：2(2)3x2-5x-122-5(x+2)-12【变式训练7】因式分解：题型题型3含参的十字相乘法例3、分解因式x2-4xy-5y2=.【变式训练8】因式分解：【变式训练10】x2-(2-a)x-2a可因式分解为.【变式训练12】因式分解：2-(a2题型题型4分组分解法例4、分解因式：(1)ab-2a-b+2；(2)8x3+4x2-2x-1；(3)x2-xy-2y2-2x+7y-3；【变式训练13】因式分解22【变式训练14】请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解：432(3)x32-4x-12+xy-6y2-2x+19y-15(5)2a3+8b-2a2b-8a一、单选题1、在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是()2B．4m2-16mC．-x2-y2D．-x2+162、下列变形是因式分解的是()2-4B．x2-1=x(a-1)2D．x2-2x-6=x(x-2)-63、已知x3+2x2-3x+k因式分解后，其中有一个因式为(x+2)，则k的值为()4、不能用十字相乘法分解的是()A．x2+x-2B．3x2-10x+32-6xy-8y2二、多选题5、下列代数式变形中，属于因式分解的是()33…①,我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是()A．(x+4y)(x2-4xy+16y2)=x3+64y3B．(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3+y33x2-3x+9)三、填空题7、若多项式x2-(m-1)x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为.8、分解下列因式：2 （2）x2-2x-4=；2+ab-nb2=.四、解答题2（2）分解因式：a2(a-b)+b2(b-a)；（3）利用因式分解计算：762-32×76+162.教材中把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如：①分解因式：x2+2x-3：x2x2+2x②求多项式2x2+4x-3的最小值：2x2x2+2xx2+2x2-5:2(x+1)2-5≥-5，:当x=-1时，2x2+4x-3有最小值，最小值是-5.【解决问题】(1)按照上述方法分解因式：x2-4x+3；(2)多项式3x2+6x+k的最小值为4，请求出k的值；知识点1一元二次方程根的判别式知识点1≠0)，用配方法将其变形为由于可以用b24ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b24ac叫做一元二次24ac.222知识点知识点24a24ac所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系这一关系式也被称为韦达定理.题型题型1解一元二次方程例1、一元二次方程(x-3)2=25的根是()2=-5，x2【变式训练1】若将一元二次方程x2-6x-2=0化成(x+m)2+n=0的形式，则2m-n的值为()【变式训练2】解方程：22【变式训练3】若(a2+b2)-2(a2+b2)-3=0则代数式a2+b2的值为()2A．-1或3B．1或-3C．-1D．3【变式训练5】已知-x2=2x+4，则代数式5-2x2-4x的值是.题型题型2解二元二次方程组例2、解下列方程组：【变式训练6】解方程组题型题型3试根法解一元三次方程例3、解方程:x3-3x2+4=0【变式训练9】解方程：3-32+4=0【变式训练10】解方程：x3-9x+10=0题型题型4一元二次方程的根的判别式例4、一元二次方程x2—6x+10=0的根的情况是()A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．只有一个实数根【变式训练11】已知x1，x2是关于x的方程x2—mx—3=0的两个根，下面结论一定正确的是()22【变式训练12】已知关于x的一元二次方程(k—1)x2+2x范围是()+=0有实数根，则m的取值范围是()题型题型5利用韦达定理求参数例5、若关于x的一元二次方程3x2—6x—5=0的两个实数根分别为x1和x2，则+的值是()x1x2mn【变式训练16】已知两个不等实数m，n满足3m2-m-2=0，3n2-n-2=0，则+的值为()mnnm题型题型6利用韦达定理求对称式的值例6、已知x1,x2是方程x2-3x-1=0的两个实数根，则(x1-2)(x2-2)=.【变式训练17】已知关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x+m2=0.(1)若方程有两个实数根，求m的取值范围；【变式训练18】已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+3x-2=0两个实数根，则(x1-1)(x2-1)= .【变式训练19】关于x的方程x2-2mx+9=0的两个实根分别为α,β,则(α-1)2+(β-1)2的最小值是.题型题型7根和系数与判别式的综合应用x1x2值为()则k的值是.(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；值为.(2)方程4x212x1=0的两个实数根分别为x1、x2，求的值.x1x2【变式训练23】已知关于x的一元二次方程2x2+4mx—3=0的两个根为x1,x2，其中m>0，且题型题型8根据根的分布情况求参数例8、已知关于x的方程x2+(m+1)x+m1=0有两个负根，则实数m的取值范围是()【变式训练24】已知关于x的方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为.【变式训练25】关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是()【变式训练26】关于x的方程x2+x+2a=0有两个根，其中一个大于1，另一个小于1时，则a的取值范围为()一、单选题1、下列方程中，属于一元二次方程的是()C．x22-1D．3x2-2y+1=02、某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程()22223、若a，b是方程x2+2x-2026=0的两个根，则a2+3a+b的值是()A．2026B．2025C．2024D．20234、若关于x的方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是()6、若关于x的一元二次方程3x2一6x一4=0的两个实数根为x1和x2，则的值是()x1x22)，则下列结论正确的是()222二、多选题8、已知一元二次方程ax2+bx+c=0，下列说法正确的有()>4ac，则方程有两个不等的实数根=0有两个不相等的正实数根.则()210、已知a∈R，关于x的方程ax22ax3=0有两个不相等的正实数根x1,x2，则x+x可取的值为正确的结论有()C．当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t>1；D．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0<m≤三、填空题2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是.四、解答题15、已知关于x的一元二次方程kx2一6x+9=0有实数根.(1)求k的取值范围；(2)若方程有一个根为x=1，求k的值及另一个根.16、已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根a，β(2)若a+β+aβ=0．求m的值.17、已知关于x的方程3mx2+3px+4q=0（其中m,p,q均为实数）有两个不等实根x1,x2(x1<x知识点知识点11、元素与集合的概念及表示(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a,b,c…表示.(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A,B,C…表示.(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.2、元素的特性(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”.(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”.(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”.知识点知识点2属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∈A.知识点知识点3常用数集正整数集整数集有理数集实数集数学符合NN*或N+ZQR列举法与描述法知识点列举法与描述法知识点41、列举法(1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.注：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．(2)集合中的元素必须是明确的.(3)集合中的元素不能重复．(4)集合中的元素可以是任何事物.2、描述法(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线.(1)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.题型题型1判断是否构成集合（确定性）例1、下列对象能构成集合的是() A．我国近代著名的数学家B．2的所有近似值C．所有的欧盟成员国D．2025年全国高考数学试题中所有难题【变式训练1】以下四组对象，能构成集合的是.A．最大的正实数B．最小的整数C．平方等于1的实数D．最接【变式训练2】(多选)下列各组对象能组成集合的是()A．大于6的所有整数B．高中数学的所有难题C．被3除余2的所有整数D．函数y=图象上所有的点题型题型2元素与集合的关系 *，④中正确命题的个数为()【变式训练3】已知A={(x,y)y=x2,x∈R}，则()的个数是()【变式训练5】已知集合M={0,1}，则集合N={(x,y)x∈M,y∈M}中所含元素的个数为()【变式训练6】已知集合A={x2mx-3>0,m∈R}，若1∈A且3∈A，则实数m的取值范围是()题型题型3用列举法表示集合【变式训练7】已知集合则用列举法表示A=()【变式训练8】用列举法表示下列集合：x(x-1)(x+2)=0}；.题型题型4用描述法表示集合例4、对集合{1,,,,J)}用描述法来表示，其中正确的是()【变式训练9】已知集合M={1,5,9,13,17}，则M=()}【变式训练10】用描述法表示下列集合：(1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合；(2)抛物线y=x2-4上的点组成的集合；(3)使函数有意义的实数x组成的集合.【变式训练11】(多选)下列各组中M,P表示不同集合的是(){yy2}{yy2-1,x{(x,y)y=x2-1,x}题型题型5利用集合的互异性求参数},若3∈A，则m的值为()A．1B．-C．1或-D．-1或【变式训练12】（多选）若集合A={a2+2a,3a+2,8}，则实数a的取值可以是()(1)若-3∈A，求a的值；(2)是否存在a和x的值使得A=B，若存在，求出a和x的值；若不存在，请说明理由.题型题型6利用集合相等求参数【变式训练16】含有3个实数的集合可表示为又可表示为{a2,a+b,0}，则题型题型7利用集合中的元素个数求参数例7、若集合{xbx2+4x+1=0}只含有一个元素，则实数b的取值范围为.【变式训练17】若集合A={xkx2中有2个元素，则k的取值范围是.一、单选题2、已知集合A={0,1,2}，则集合B={(x,y)∣x≤y,x∈A,y∈A}中元素的个数是()3、以下选项中，是集合A={(x,y)∣2x+y-1=0}的元素的是()5、若-3∈{a-3,2a-1,a2-1}，则a的值为()二、多选题6、一次函数y=2x-3与y=x-2的图象的交点组成的集合是()三、填空题7、已知集合恰有一个元素，则k的取值集合为四、解答题9、选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集.(1)大于1且小于70的正整数构成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合C；(3)方程2x2x3=0的实数根组成的集合D；(4)函数y=2x2+x图象上的所有点组成的集合E；(5)不等式2x3<5的解组成的集合F.知识点1知识点1一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个 集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A∈B（或B彐A读作“A包含于B”在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为Venn图。则上述集合A和集合B的包含关系，可以用如下Venn图表示：注：①子集的定义可以理解为：若任意的x∈A，都有x∈B，则A②规定：空集是任何集合的子集；③任何一个集合是它本身的子集，记作A∈A；⑤集合A是集合B的子集不能．理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0∈N．3、真子集如果集合A∈B，但存在元素x∈B，且x生A，我们称集合A是集合B的真子集，记作ACiB（或BA）.读作“A真包含于B”或“B真包含A”.注：①空集是任何非空集合的真子集；③若A∈B，则A与B有两种可能的关系：即ACiB或A=B；知识点2空集知识点21、定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作⑦;2、空集的性质：①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即A≠⑦;③空集是任何非空集合的真子。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；知识点3集合相知识点3如果集合A是集合B的子集（A∈B且集合B是集合A的子集（B∈A此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。注：两个集合全等的方法，即预证A=B，只需证A∈B且B∈A都成立即可；②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；⑤集合中的关系与实数中的结论类比实数集合A∈B包含两层含义：A=B，或AiB题型题型1判断集合的包含关系例1、下列各式正确的是()xx<2}【变式训练2】若集合，a=4则下面结论中正确的是()【变式训练3】已知集合，则A．M∈NB．M=NC．M≥ND．M与N的关系不确定题型题型2求集合子集、真子集【变式训练4】（多选）下列各个选项中，满足{xx2-2x-3=0}∈A⫋{-1,0,1,3}的集合A有()【变式训练5】（多选）已知集合M满足{1,2}∈M⫋{1,2,3,4}，则这样的集合M可能为()则满足条件的M的个数是()题型题型3子集、真子集的个数2}的真子集个数为.【变式训练7】已知集合的非空子集的个数是.【变式训练8】已知集合则集合A的真子集个数为()【变式训练9】若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合，集合M=的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为【变式训练10】若集合有且仅有2个子集，则实数k的最小值为()2.(1)若集合B有且仅有两个子集，求实数a的取值范围；(2)若B≤A，求实数a的取值范围.题型题型4判断两个集合是否相等例4、（多选）下列各组中M，N表示不同集合的是(){yy=2k-1,k∈Z}【变式训练12】（多选）下列集合中，与集合{-1,1}相等的是()【变式训练13】（多选）下面关于集合的表示正确的是()yy=x2+π,x【变式训练14】（多选）下列说法中正确的是()A．任何集合都是它自身的真子集B．集合{a,b}共有4个子集}题型题型5空集的概念及性质应用例5、下列四个集合中，是空集的是()2=-x2,x,y【变式训练15】下列四个集合中是空集的是()2}x|x2}【变式训练16】（多选）下列选项中正确的是()2x【变式训练17】（多选）给出下列选项，其中正确的是()题型题型6根据集合的包含关系求参数2xx<a}，若A∈B，则实数a的取值范围是()【变式训练21】已知集合M={x|x≥2}，N={x|x>a}，若M⫋N，则实数a的取值范围是()取值范围是.(1)若M∈N，求实数a的取值范围；(2)若M≥N，求实数a的取值范围.题型题型7根据两个集合相等求参数A．-1或2B．-1或1C．-1D．1【变式训练25】若集合{a,b}={x|x2-12x+32【变式训练26】已知集合，集合B＝，若A＝B，则实数a的值为一、单选题{x0<x<4}，且M∈P，则M可以是()2、下列表述中正确的是()3、已知集合A={-4,4},B={-2,4,m-1}，且A∈B，则实数m的值为()A．-5B．-4C．-3D．34、已知集合M={-2,-1,0,1,2}，N={yy=x2-x-6,x∈M}，则集合N的真子集个数为()二、多选题x2,1}，且B∈A，则满足条件的实数x可以是()C．3D．-I3x∣x2-6x+5=0},B={x∣ax2-2ax-1=0}，且B∈A，则实数a可能的取值是()}，在下列集合中，与X相同的集合有()三、填空题四、解答题(1)若a=2，写出集合A的所有子集；(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值..(1)若B中只有一个元素，求实数a的值，并用列举法表示集合B；(2)若B∈A，求实数a的取值范围.,a2,…,ak}（k≥2）是Sn的子集，定义集合A*ai-ajai,aj∈A,ai>aj}，若A*U{n}=Sn，则称集合A是Sn的恰当子集.用X表示有限集合X的元素个数.(1)若n=5，A={1,2,3,5}，求A*并判断集合A是否为S5的恰当子集；(2)已知A={1,a,b,7}（a<b）是S7的恰当子集，求a,b的值并说明理由.为集合A的生成集.(2)若集合A={a,2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；交集交集、并集与补集知识点11、交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，2、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，3、补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA={x|x∈U,且x生A}.集合的运算性质知识点集合的运算性质知识点22、AUA=A，AU⑦=A，AUB=BUA.4、高频结论U(A∩B)=(CUA)U(CUB),CU(AUB)=(CUA)∩(CUB).区间的概念及表示知识点区间的概念及表示知识点3集合[a,b](a,b)(a,b][a,b)名称闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间集合题型题型1交集的概念与运算【变式训练4】集合A={x∈N*x2-3x-4≤0}，B={0,2,4,6}，则A∩B中元素的个数为()题型题型2并集的概念与运算例2、已知集合A={-3,-2,-1}，B={-2,-1,0}，则AUB=()A．{-3,-2,-1,0}B．{-3,-2,-1}【变式训练7】已知集合M={1,3,5,7}，N={x|x2-2x-3<0,x∈N*}，则MuN中的元素个数为}题型题型3补集的概念与运算题型题型4由交、并、补运算求参数例4、已知集合P={x∈N|1<x≤4}，A={a-1,a}，若ðPA={4}，则实数a的值为().(2)若A∩B=⑦,求a的取值(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围.(1)若A∩B={2}，求实数a的值；(2)若AUB=A，求实数a的取值范围.}.题型题型5交、并、补的混合运算(1)求A∩B，AUB；(2)求A∩(B∩C)，Cu(A∩B).(MUN)C．MU(ðUN)D．NU(ðUM)题型6由集合的混合运算求参数题型6由集合的混合运算求参数范围是.}，若RAUB=R，则m的取值范围是.题型题型7Venn图在集合运算的应用例7、如图，U是全集，M,N,P是U的子集，则阴影部分表示的集合是()A．M∩(N∩P)B．MU(NUP)∩(N∩P)【变式训练24】已知全集U=R,A={xx2-3x-40},B={x|-2表示的集合为【变式训练25】如图表示图形阴影部分的是()A．(AUC)∩(BUC)B．(AUB)∩(AUC)C．(AUB)∩(BUC)D．(AUB)∩C【变式训练26】（多选）集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是()题型题型8容斥定理的应用例8、为了丰富学生的课余生活，某校开设了篮球社团、AI社团、围棋社团，高一某班学生共有30人参加了学校社团，其中有15人参加篮球社团，有8人参加AI社团，有14人参加围棋社团，同时参加篮球社团和AI社团的有3人，同时参加篮球社团和围棋社团的有3人，没有人同时参加三个社团，只参加围棋社团的人数为()【变式训练27】（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则()A．三项都参加的有1人B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人D．只参加羽毛球的有4人【变式训练28】高一1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有()一、单选题2、已知U={1,2,3,4,5,7,8}，A={1,2,3,5,8}，则ðUA的子集个数为(x∣x2<9}，则AUB=()(ðRA二、多选题xax-1=0}，若A∩B=B，则实数a的值可以是()7、（多选）已知全集U=R，集合M={x-3≤x<4}，N={xx2UN三、填空题xx2则集合UB的真子集个数是.四、解答题(2)若B∈ðUA，求实数a的取值范围.(1)当m=-1时，求AUB；(3)若A∩B=B，求实数m的取值范围.12、对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为TA=M-m，若集合A中只有一个元素，则TA=0.+TA的最大值，并写出取最大值时的一组A1，A2，A3.命题及相关概念知识点命题及相关概念知识点11、定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题.2、命题的分类①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句.(3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.知识点2充分知识点21、充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p→q由条件p不能推出结论q，记作：pq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.2、充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p→q，又有q→p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件.3、充分、必要与充要条件的判定(1)如果既有p→q，又有q→p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p→q且q⇏q，则称p是q的充分不必要条件.(4)如p⇏q且q→p，则称p是q的必要不充分条件.(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件；若A≥B，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.4、充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p→q，q→p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.5、充分条件、必要条件的应用充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.题型题型1命题的判断例1、下列语句是命题的是()A．3是偶数吗?B．三角形的内角和等于180°C．这里的景色山真美啊!D．x>2【变式训练1】下列语句中，命题的个数是()①空集是任何集合的真子集；②请起立；③-1的绝对值为1；④你是高一的学生吗?【变式训练2】已知p:2+2=5,q:3≥2，则下列判断中，正确的是()A．p为真，q为假B．p为假，q为真C．p为真，q为真