2026年新高一数学暑假衔接专题《充分条件与必要条件》

预备新高一预备新高一数学专题04充分条件与必要条件一．选择题（共10小题）1．（2025秋•永州月考）设，则成立的一个必要条件是（）A． B． C． D．2．（2026春•鼓楼区校级月考）集合，，，4，，若是的充分条件，则为（）A．0 B． C．0或或1 D．0或3．（2025秋•江苏校级月考）若，为实数，则，的条件是．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024秋•长春期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．（2025秋•信都区校级月考）使，为真命题的一个充分条件是（）A． B． C． D．6．（2025秋•安徽期中）在平面内，下列是“四边形是平行四边形”的必要条件的是（）A．四边形是矩形 B．四边形的对角线互相平分 C．四边形四条边相等 D．四边形的对角线垂直7．（2024秋•赛罕区校级期中）已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（）A． B． C． D．8．（2024秋•青铜峡市校级月考）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．（2024秋•安岳县校级期中）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（）A． B． C．， D．10．（2024秋•勉县校级期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（）A． B． C．， D．二．多选题（共4小题）（多选）11．（2024秋•沙市区校级月考）下列式子中，使的充分条件可以是A． B． C． D．（多选）12．（2025秋•邢台月考）下列条件是“”的充分条件的是A．， B． C． D．（多选）13．（2024秋•清城区校级期中）下列不等式：①；②；③；④．其中，可以作为的充分条件的为A．① B．② C．③ D．④（多选）14．（2024秋•丘北县校级月考）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为A． B． C．0 D．三．填空题（共4小题）15．（2025秋•天山区校级期中）已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围为．16．（2026•金山区二模）已知，，若是的一个充分条件，则实数的取值范围为．17．（2025秋•河北月考）设；，若是的充分条件，则实数的取值范围是．18．（2024秋•涟水县校级月考）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是．四．解答题（共6小题）19．（2025秋•宝鸡期末）已知集合，．（1）若，求；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．20．（2026春•舟山期中）已知集合，．（1）若，求，及；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．21．（2025秋•吉林期末）已知全集，，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．22．（2025秋•毕节市期末）已知集合，．（1）若，求；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．23．（2025秋•禄劝县校级期中）已知集合，集合．（1）若是的充分条件，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．24．（2025秋•江苏校级期中）设全集，集合，．（1）若，求，，；（2）若是成立的充分条件，求实数的取值范围．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADBBABDDAA二．多选题（共4小题）题号11121314答案BDABCBCDACD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案．【解答】解：若集合是集合的必要条件，则，结合选项可知，使得成立的一个必要条件为，正确．故选：．2．【答案】【分析】由题知，再分类讨论求解即可．【解答】解：是的充分条件，，，，，4，，则，或，解得，或或（舍去），综上，或．故选：．3．【答案】【分析】根据条件间的推出关系及充分、必要性定义即可得．【解答】解：由必有，必要性成立，而时有或，充分性不成立，所以是，的必要不充分条件．故选：．4．【答案】【分析】根据是的充分条件得，解出即可．【解答】解：解方程，得或3，因为是的充分条件，所以，所以．故选：．5．【答案】【分析】根据命题为真有△求出充要条件，再由充分性的定义确定命题为真的一个充分条件即可．【解答】解：若，为真命题，则△，可得，根据充分条件定义，只有中是该命题为真的一个充分条件．故选：．6．【答案】【分析】根据平行四边形的性质以及充分必要条件的性质即可求解结论．【解答】解：由四边形是平行四边形可得：四边形的对角线互相平分，得不到四边形是矩形，也得不到对角线互相平分，得不到对角线垂直．故“四边形是平行四边形”的必要条件的是四边形的对角线互相平分．故选：．7．【答案】【分析】直接利用绝对值不等式的解法和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】解：条件，整理得：；且满足是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，即．故选：．8．【答案】【分析】先分情况求不等式的解集，再根据集合的包含关系求参数的取值范围．【解答】解：设不等式的解集为，，因为不等式成立的充分条件是，所以，所以，所以．由，所以．由可得，解得．故选：．9．【答案】【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合中的不等式求解，分类讨论研究即可．【解答】解：或，，若是的必要条件，则，当时，，当时，，故，解得，故；当时，，，故，解得，故，综上所述：．故选：．10．【答案】【分析】由题意得，据此列出不等式求解即可．【解答】解：非空集合，，若“”是“”的必要条件，由题意，且，所以，则，可得．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据题意，求出的解集，结合充分必要条件与集合的关系，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，由，得，不等式的解集为，而，、符合题意．故选：．12．【答案】【分析】由充分条件的概念结合重要不等式可判断，由特例可判断．【解答】解：由，，可得，充分条件成立；由，可得，则由，充分条件成立；由，可得，则由，充分条件成立；取，满足，不满足，所以不是的充分条件．故选：．13．【答案】【分析】直接根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．【解答】解：①不能推出，故不是的充分条件，②；③；④都可以推出，故②③④可以作为的充分条件．故选：．14．【答案】【分析】先根据题意得到，再分类讨论与，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组，解之即可得解．【解答】解：集合，，因为是的充分条件，所以，若，显然满足题意，此时，解得；若，则，且，解得；综上，或，对比选项可知，符合题意．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】，．【分析】由是的必要条件，有，列不等式组求实数的取值范围．【解答】解：是的必要条件，，则有，解得．则实数的取值范围为，．故答案为：，．16．【答案】，．【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解．【解答】解：根据题意，由是的充分条件，且，，可得：，必有，即的取值范围为，．故答案为：，．17．【答案】，．【分析】先求出，对应的范围，然后结合充分条件与集合包含关系的转化即可求解．【解答】解：由可得，即对应，令，若是的充分条件，则，当时，，符合题意；当时，，则，即，故的范围为，．故答案为：，．18．【答案】．【分析】由，解得，再根据充分条件的定义求解即可．【解答】解：因为，即，所以，所以，当时，无解，不合题意；当时，由，解得，又因为不等式的一个充分条件为，所以．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先求出集合，，再根据并集的定义求解即可；（2）由题意可得，进而根据包含关系求解即可．【解答】解：（1）由，当时，，所以．（2）因为是的必要条件，所以，所以，解得，所以实数的取值范围是．20．【答案】（1），，，；（2），．【分析】（1）分别求解集合和，再结合集合的基本运算求解即可；（2）根据集合的包含关系求解即可．【解答】解：（1）当时，由，解得，所以，由，解得，所以，所以，，，，．（2）由，解得，所以，又“”是“”的充分条件，所以，已知，则可得，解得，所以的取值范围为，．21．【答案】（1），；（2），．【分析】（1）由集合的补集与交集运算求解即可；（2）将“”是“”的充分条件转化为集合的关系：，然后由集合的包含关系求解参数的取值范围即可．【解答】解：（1）若，，因为全集，，所以，，，所以，；（2）因为“”是“”的充分条件，，，所以，所以，即实数的取值范围是，．22．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）当时，确定集合，，再求．（2）问题转化为根据求的取值范围．【解答】解：集合，，（1）若，则，所以或．所以．（2）因为是的充分条件，所以，所以解得，即的取值范围是，．23．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）求出集合，由题意确定，列出不等式组，即可求得答案；（2）根据可列出不等式，即可得答案．【解答】解：（1），，由是的充分条件知，从而有，解得．故的取值范围为．（2），且，或，解得或，故的取值范围为或．24．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）根据交集，并集，补集的定义计算即可；（2）根据是成立的充分条件得到，根据集合是否为空集分类讨论，列不等式组，求解即可．【解答】解：（1）由，，，，所以，，或，则．（2）因为是成立的充分条件，所以；当时，，解得，此时满足题意；当时，，解得，综上，的范围是．

预备新高一预备新高一数学专题04充分条件与必要条件1．理解命题、条件、结论的基本概念.2．掌握充分条件、必要条件的定义.3．能根据推出关系判断充分条件与必要条件.4．初步学会利用充分、必要条件简单分析参数问题.一、命题与推出关系1．命题：可以判断真假的陈述句，一般写成“若，则”的形式，其中是条件，是结论.2．推出关系：若“若则”为真命题，则可以推出，记作.3．推不出关系：若“若则”为假命题，则不能推出，记作.二、充分条件与必要条件的定义1．充分条件：如果，那么是的充分条件.含义：只要有条件，就足够保证结论成立.2．必要条件：如果，那么是的必要条件.含义：想要条件成立，必须先保证结论成立.三、充分、必要条件的核心逻辑1．充分条件：有它就行，没它未必不行.2．必要条件：没它不行，有它未必行.题型01判断命题的推出关系1．两种推出关系判定（1）可推出关系（如：可以推出，只要满足前面条件，后面结论一定成立，无反例）可推出关系负责判断条件能否必然得到结论，是判断所有条件关系的基础.（2）不可推出关系（如：不能推出，因为还可以取，存在反例）不可推出关系主要依靠举反例否定推导，快速排除错误逻辑.2．推出关系成立的两个要求（1）条件成立时，结论必须全部成立，不存在任何反例.（2）只要能找到一个反例，即可判定无法推出.学以致用学以致用【例1】（2025秋•南山区校级月考）下列命题是真命题的是（）A．若，则 B．若，则且 C． D．“”是“”的充分条件【答案】【分析】应用作差法判断；由特殊值及不等式的性质判断、、．【解答】解：，则，则，错；：若时，，但且，错；时，，对；：若，时，，此时不成立，错．故选：．【例2】（2024秋•抚顺期中）下列命题是真命题的有A．空集是任何集合的子集 B．“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形” C．“”是的一个充分条件 D．已知，，则是“”的充要条件【答案】【分析】对，利用空集的意义判断；对，根据特称命题的否定判断；对，由基本不等式求解判断；对，举反例．【解答】解：对于，空集是任何集合的子集，故正确；对于，“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形”，故正确；对于，若，则，，当且仅当时，等号成立，故“”是“”的一个充分条件，故正确；对于，取，，显然错误．故选：．【例3】在横线上填上一个结论，使命题“已知，为实数，若，则且（答案不唯一）”是假命题．【答案】且（答案不唯一）．【分析】根据条件得出，同号，即可求出结果．【解答】解：由，知，同号，即且或且，故答案为：且（答案不唯一）．题型02判断充分不必要条件1．充分不必要条件判定依据（1）充分性成立（如：可以推出，满足条件即可保证结论成立）充分性成立说明该条件足以支撑结论，满足“有它就够”的逻辑.（2）必要性不成立（如：不能推出，结论成立无法反推条件成立）必要性不成立说明该条件不是结论成立的必备前提，缺少条件结论仍可成立.2．判定核心标准满足且，则是的充分不必要条件.学以致用学以致用【例4】（2026春•沈河区校级月考）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（）A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D．【答案】【分析】根据题意，需要找出在“，为无理数”的情况下，能够成立的一个结论，由此解答即可得到本题的答案．【解答】解：设所求结论为，则的充分条件为“，为无理数”，即由“，为无理数”可以推出成立．当、为无理数时，、均不为零，可得，其它三项均不成立，可知项的结论符合题意．故选：．【例5】（2024秋•红河州校级期末）下列命题中，是的充分条件的是（）A．， B．，且 C．， D．，【答案】【分析】利用不等式的性质判断，利用举实例判断．【解答】解：，且，正确，当，时，满足，但不满足，，错误，当时，满足，但不满足，错误，当，时，满足，但，无意义，错误，故选：．【例6】（2025•南京模拟）已知，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解．【解答】解：，，，则，当且仅当时，等号成立，故充分性成立，当，，满足，，，但，必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件．故选：．题型03判断必要不充分条件1．必要不充分条件判定依据（1）必要性成立（如：是的必要条件，想要成立，必须先满足，不满足则一定不成立）必要性成立说明该条件是结论成立的必备前提，满足“没它不行”的逻辑.（2）充分性不成立（如：无法推出，满足条件无法保证结论成立）充分性不成立说明现有条件范围过宽，不足以完全推出结论.2．判定核心标准满足且，则是的必要不充分条件.学以致用学以致用【例7】（2025秋•山阳区校级月考）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】根据必要不充分条件的定义判断即可．【解答】解：如果，那么和的整数部分是相同的，所以，即“”是“”的必要条件，如果，那么和的整数部分不一定相同，例如，，所以“”是“”的不充分条件．综上，“”是“”的必要不充分条件．故选：．【例8】（2025秋•乐平市校级月考）使不等式成立的一个必要条件是（）A． B． C． D．【答案】【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断．【解答】解：，因此只有是其必要条件．故选：．【例9】（2024秋•澄江市校级期中）下列是的必要条件的是（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】要满足是的必要条件，即，再根据各个选项今天分析即可得解．【解答】解：要满足是的必要条件，即，对选项，，，不能得到，选项错误；对选项，不能得到，选项错误；对选项，不能得到，选项错误；对选项，，，，能得到，选项正确．故选：．题型04既不充分也不必要条件的判断1．判定核心依据（1）双向推不出（如：和，前者推不出后者，后者也推不出前者，无任何推导关联）双向推不出说明两个条件无逻辑关联、无范围包含关系.（2）条件相互独立（如：是偶数”和，互相无法必然推导，存在大量反例）条件相互独立时，既无法充分支撑结论，也不是结论的必备前提.2．判定核心标准满足且，则是的既不充分也不必要条件.学以致用学以致用【例10】（2022•雨花区校级模拟）“，为无理数”是“为无理数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】根据充要条件的定义逐项进行判断．【解答】解：根据题意，“，为无理数”，则不一定可以推出“为无理数”，如，但是有理数，反之，若“为无理数”，不一定可以推出“，为无理数”，例如，是有理数，是无理数，故“，为无理数”是“为无理数”的既不充分也不必要条件，故选：．【例11】（2017秋•昌平区期末）已知，是实数，则“，且”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当，且时，不成立，即充分性不成立，当，时，满足，但，且不成立，即必要性不成立，则“，且”是“”的既不充分也不必要条件，故选：．【例12】（2020秋•宣城期末）已知，是实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】得不到，比如；得不到，比如，，所以“”是“”的既不充分也不必要条件．【解答】解：若，不一定得到，比如；不是的充分条件；若，不一定得到，比如，；不是的必要条件；综上得，是的既不充分又不必要条件．故选：．题型05依托集合关系快速辨析条件关系1．集合与条件的对应规则（1）小范围推大范围（如：范围小，范围大，小集合包含于大集合，小范围成立则大范围一定成立）小范围对应的条件是大范围条件的充分不必要条件.（2）大范围推不出小范围（如：大范围无法推出小范围，范围过宽无法精准约束）大范围对应的条件是小范围条件的必要不充分条件.2．解题核心作用将抽象逻辑推导转化为直观集合包含关系，规避举反例，快速秒杀条件判断题.3．快速辨析口诀小充分、大必要，相等为充要，无关双不立.学以致用学以致用【例13】（2026•广州模拟）已知集合，集合或，．（1）若，求实数的取值范围；（2）设，，若是的充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围；（2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可．【解答】解：（1）已知，或，若，则，解得，即的取值范围为；（2）若是的充分条件，则，①，此时，解得；②，此时，解得，综上，的取值范围是或．【例14】（2025秋•河南期末）已知集合，集合，且是的充分条件，则实数的取值范围为（）A． B．或 C． D．【答案】【分析】由题意可得，，然后结合集合包含关系即可求解．【解答】解：因为集合，集合，且是的充分条件，则，，解得．故选：．【例15】（2025秋•郫都区校级期末）已知全集，，．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）利用集合的交集运算求解；（2）由“”是“”的充分条件，可得，进而列出不等式，求出的取值范围．【解答】解：（1）若，，又因为，所以；（2）因为“”是“”的充分条件，所以，所以，即实数的取值范围是，．题型06充分条件求参数范围1．题型核心转化依据（1）充分条件等价子集关系（如：若是的充分条件，即，对应集合包含于集合）充分条件可直接转化为集合包含关系，是列不等式求参数的核心依据.（2）严格充分不必要约束（如：题目明确充分不必要，需保证是的真子集，排除两集合相等情况）严格条件需规避集合相等，避免参数范围偏大出错.2．标准解题步骤（1）翻译条件，转化为集合包含关系.（2）根据子集关系列不等式组.（3）求解参数范围，验证端点取值是否合法.学以致用学以致用【例16】（2026•连云港校级模拟）若不等式是成立的充分条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】【分析】由题意知，，可得，解不等式即可得出答案．【解答】解：成立的充分条件是，则，，，所以，所以．故选：．【例17】（2025秋•山西期末）已知．．若是的充分条件，则实数的取值范围是，【答案】，．【分析】由是的充分条件可列出相关不等式组，即可求解．【解答】解：．．若是的充分条件，则，解得．故答案为：，．【例18】（2025秋•富宁县月考）设，，且是成立的充要条件，则的值是（）A．2 B．1 C．0 D．【答案】【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据是成立的充要条件，即和所表示的集合相等求出的值．【解答】解：，解得，又，且是成立的充要条件，即，．故选：．题型07必要条件求参数范围1．题型核心转化依据（1）必要条件等价反向子集关系（如：若是的必要条件，即，对应集合包含于集合）必要条件为反向推导，需反向构建集合包含关系，区别于充分条件.（2）严格必要不充分约束（如：题目明确必要不充分，需保证是的真子集，排除集合相等情况）严格必要条件必须剔除等价情况，保证推导单向成立.2．标准解题步骤（1）理清双向推导关系，反向转化集合包含.（2）结合集合范围列不等式，求解参数.（3）检验特殊值与端点，舍去不合理解.学以致用学以致用【例19】（2025秋•浦东新区校级期末）设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是【答案】．【分析】根据必要条件的定义直接求解即可．【解答】解：若是的必要条件，则，可得，即的范围为．故答案为：．【例20】（2026•虹口区二模）设，，若是的必要条件，则实数的取值范围是．【答案】，【分析】求解绝对值的不等式化简，然后结合必要性与集合间的关系求解．【解答】解：由，得，解得，，，因为是的必要条件，所以，可得，故实数的取值范围是．故答案为：．【例21】（2025秋•河西区校级月考）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是．【答案】．【分析】根据题意得出，分类讨论的