2026年新高一数学暑假衔接专题《充要条件》

预备新高一预备新高一数学专题05充要条件一．选择题（共10小题）1．（2026•盐边县模拟）已知，，则“”是“，或”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2026•广州模拟）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2026•营口模拟）使“”成立的一个充分不必要条件是（）A．或 B． C． D．4．（2026春•北辰区月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．（2026•宝山区模拟）“”是“”的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要6．（2026•肥城市模拟）若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（）A． B． C． D．7．（2026•岳阳模拟）设，为非零实数，则“”是“”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2026春•重庆月考）设，则“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（2026春•宝山区期末）已知，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件10．（2026•招远市模拟）“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025秋•独山子区期末）成立的一个充分不必要条件为（）A． B．或 C． D．（多选）12．（2026春•金凤区期中）已知集合，或，则的必要不充分条件可能是A． B． C． D．（多选）13．（2025秋•厦门期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（）A．1 B．2 C．3 D．4（多选）14．（2025秋•泉州期中）下列各式可以作为“”的一个充分不必要条件的有（）A． B． C． D．三．填空题（共4小题）15．（2025秋•宝山区期末）“”是“”的条件．16．（2025秋•普洱期末）若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是．17．（2025秋•兰州期中）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为．18．（2024秋•衡阳期末）设；．若是的充分不必要条件，取值范围是．四．解答题（共6小题）19．（2025秋•山西期末）已知集合，．（1）当时，求；（2）设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围．20．（2025秋•江阴市期末）已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．21．（2025秋•鄂尔多斯期末）已知全集，集合，．（1）若，求和；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．22．（2025秋•义马市期末）已知集合，或．（1）当时，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．23．（2025秋•杭州期末）已知集合，集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．24．（2025秋•利通区月考）（1）已知或，，且是的必要而不充分条件，求的取值范围；（2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是．一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ABBAACDAAA二．多选题（共4小题）题号11121314答案ABCABBCDBC一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】结合充分必要条件的定义即可求解．【解答】解：若，则或一定成立，充分性成立；若或时，不一定成立，必要性不成立．故选：．2．【答案】【分析】结合充分必要条件的定义即可求解．【解答】解：记“”为条件，“”为条件，因为，所以成立，必要性成立；当时，，但，此时不能推出，充分性不成立，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：．3．【答案】【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断即可．【解答】解：由得，等价于，解得，结合选项可知，是的真子集，所以使“”成立的一个充分不必要条件是“”．故选：．4．【答案】【分析】结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解．【解答】解：由“”是“”的必要不充分条件，得，则，解得，所以的范围是．故选：．5．【答案】【分析】结合不等式的性质检验充分必要条件即可求解．【解答】解：若“”，则“”，所以“”“”，充分性成立，若“”，则或，即或；所以“”推不出“”，必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件．故选：．6．【答案】【分析】结合充分必要条件的定义即可求解．【解答】解：解不等式，得，，记使不等式成立的充分不必要条件为集合，则集合为集合的真子集，所以．故选：．7．【答案】【分析】根据充分条件与必要条件定义举特殊值判断即可．【解答】解：由题意当，时，满足，但，故充分性不满足；当，时，满足，但，故必要性不满足．故选：．8．【答案】【分析】先解出两个不等式，然后根据充分性和必要性的定义即可得解．【解答】解：由，得，所以，由，得，解得，因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：．9．【答案】【分析】先求解不等式得到对应解集，再通过两个取值范围的包含关系判断充分性和必要性是否成立．【解答】解：由可得，解得．充分性：若则成立，即成立．必要性验证：若则，但不一定成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件．故选：．10．【答案】【分析】结合充分必要条件的定义即可求解．【解答】解：可得或，则“”是“”的充分不必要条件．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】解出不等式，再对照选项找到其真子集即可．【解答】解：，即，即，解得或，表示成区间即为，，，其充分不必要条件一定为其真子集．故选：．12．【答案】【分析】若，则分和两种情况，讨论得到的取值范围为，，再结合必要不充分条件，逐一判断即可．【解答】解：集合，或，若，则分和两种情况，当时，，即，当时，，解得，综上，时的取值范围为，，则的必要不充分条件可能为，，故选：．13．【答案】【分析】根据集合之间的包含关系可得．【解答】解：由“”是“”的充分不必要条件，可知：是的真子集，结合选项可得：的取值可以是2，3，4．故选：．14．【答案】【分析】由的充分不必要条件对应集合一定是，的真子集，可判断每个选项的正误．【解答】解：，结合选项可得，是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，是的充分不必要条件，是的充要条件．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】必要不充分．【分析】根据一元二次不等式的解法，先解得的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案．【解答】解：由题意，解得或，因为或，所以“”是“”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．16．【答案】．【分析】结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解．【解答】解：若“”是“”的充分不必要条件，则，，，所以，即．故答案为：．17．【分析】根据题意可得，解得，即可求出的范围．【解答】解：由，可得，是的必要不充分条件，，解得，故实数的取值范围为，．故答案为：，．18．【答案】．【分析】先求出所对应不等式的范围，结合充分必要条件与集合的包含关系的转化即可求解．【解答】解：由可得，若是的充分不必要条件，则，，，则，两等号不能同时取得，解得．故答案为：．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）；（2），．【分析】（1）求解集合中不等式，再根据补集定义求解；（2）求解集合中不等式，再根据是的必要不充分条件，得集合是集合的真子集，最后建立不等式组求解．【解答】解：（1）当时，，所以，（2）易求，因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，所以，且，解得，故的取值范围为，．20．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集；（2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式求解．【解答】解：（1）因为，所以，当时，则，解得；当，则，解得，综上所述，实数的取值范围是；（2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，则，其中不同时取等号，解得，所以实数的取值范围是．21．【答案】（1）；或；（2）．【分析】（1）当时，写出集合，再根据集合运算计算即可；（2）由题意知，集合是集合的真子集，分和两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，求解即可．【解答】（1）当时，集合，因为，所以，或，或；（2）若“”是“”的必要不充分条件，则，当时，，不存在，当时，，解得；综上所述，实数的取值范围为．22．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解；（2）结合充分必要条件与集合的包含关系即可求解．【解答】解：（1）当时，集合，或，或；（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，，，，则，解得，故的取值范围是．23．【答案】（1）；（2）．【分析】先分别求出集合和，（1）根据集合的基本运算求解即可；（2）利用子集定义能求出实数的取值范围．【解答】解：集合，集合，（1）时，，可得；（2）“”是“”的充分不必要条件，可得，可得，解得，故实数的取值范围为．24．【答案】（1）或；（2）充分性：，，代入方程，可得，即．故关于的方程有一个根为1．是方程的一个根必要性：是方程的一个根，将代入方程得．综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是．【分析】（1）根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解；（2）结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证．【解答】解：（1）是的必要而不充分条件，所以中变量的取值集合是中变量取值集合的真子集，所以或，即或，故的范围为或；（2）证明：充分性：，，代入方程，可得，即．故关于的方程有一个根为1．是方程的一个根，充分性成立；必要性：是方程的一个根，将代入方程得，必要性成立，综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是．

预备新高一预备新高一数学专题05充要条件1．理解充要条件的定义与双向推导的逻辑关系．2．掌握充要条件的判定方法与核心特征．3．能区分充要条件与充分、必要条件的差异．4．会利用充要条件的性质辨析命题、求解参数问题．一、充要条件的定义1．定义：如果既有，又有，就记作，此时称是的充分必要条件，简称充要条件．2．核心含义：与等价，成立则一定成立，成立则也一定成立．3．通俗总结：充要条件满足“有它就行，没它不行”，条件与结论完全等价．二、四种条件关系完整总结1．充分不必要条件：，2．必要不充分条件：，3．充要条件：，双向互相推出4．既不充分也不必要条件：，三、充要条件与集合关系若条件对应集合，条件对应集合：1．当时，，是的充要条件．2．含义：两个条件对应的取值范围完全一致，无偏差、无遗漏，互为等价条件．四、充要条件的核心性质1．对称性：若是的充要条件，则也是的充要条件。2．等价性：充要条件的两个命题可以互相替换，解题中可等价转化条件题型01判断命题是否为充要条件1．充要条件双向判定标准（1）充分性成立（如：可以推出，满足条件可推出结论）充分性成立负责验证条件足够支撑结论成立．（2）必要性成立（如：限定时，可以推出，结论成立可反推条件成立）必要性成立负责验证条件是结论成立的必备前提．2．充要条件成立的两个条件（1）正向推导成立：．（2）反向推导成立：．双向同时成立，才可判定为充要条件，缺一不可．学以致用学以致用【例1】（2025秋•徐州校级期中）设，，则的充要条件是（）A． B． C．且 D．或【答案】【分析】由等价于求解即可．【解答】解：等价于且．故选：．【例2】（2025秋•奉贤区期末）已知，，则“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】【分析】结合绝对值的意义检验充分必要性即可求解．【解答】解：，故“”是“”的充要条件．故选：．【例3】（2024秋•信阳期末）已知实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即得．【解答】解：根据题意，实数，则，若时，，则，则“”是“”的充分条件．反之，当时，而，则，“”是“”的充要条件必综合可得：“”是“”的充要条件．故选：．题型02区分充要条件与单向条件1．三类条件的核心区分依据（1）单向充分（如：推成立，反向不成立，仅为充分不必要，不是充要条件）单向推导只能判定充分或必要，无法满足等价关系，不属于充要条件．（2）单向必要（如：推不成立，反向成立，仅为必要不充分，不是充要条件）单向必要说明条件范围不等价，无法互为前提，不满足充要关系．（3）双向等价（如：与，双向互相推出，范围完全一致，为充要条件）双向等价是充要条件独有的核心特征，区别于所有单向条件．2．解题核心作用精准区分四类条件，避免将单向充分、必要误判为充要条件．学以致用学以致用【例4】（2025秋•广东期末）已知，，，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果．【解答】解：由推不出，如，，满足，但不成立，则充分性不成立；当时，由于，则，所以，则必要性成立．故选：．【例5】（2026•浦东新区校级开学）已知为实数，则“是有理数”是“是有理数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】【分析】结合充分必要条件的定义即可求解．【解答】解：若是有理数，则是有理数，必要性成立；若是有理数，也可能为无理数，充分性不成立．故选：．【例6】（2025秋•广西期末）“”是“不等式对恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】先利用二次不等式恒成立求得等价条件，再利用集合与充要条件的关系即可得解．【解答】解：不等式对恒成立，有△，解得，由，可得“”是“”的充分不必要条件．故选：．题型03依托集合相等判定充要条件1．集合与充要条件的对应规则（1）集合相等等价充要条件（如：条件，条件，两者对应集合完全相同，互为充要条件）两个条件对应集合完全相等，是充要条件的直观判定依据．（2）集合不等非充要条件（如：与集合为包含关系、不相等，一定不是充要条件）只要集合存在范围大小差异，双向推导必有一不成立，无充要关系．2．快速判定方法化简两个条件对应的集合，集合相等则为充要条件，集合不等则排除充要关系．学以致用学以致用【例7】（2024秋•清江浦区校级期中）设，，则“”的充要条件为（）A．，至少有一个为1 B．，都为1 C．，都不为1 D．【答案】【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案．【解答】解：则或，至少有一个为1，结合选项可知，“”的一个充要条件为，至少有一个为1，符合．故选：．【例8】（2024秋•浦东新区校级月考）是成立的（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既非充分也非必要条件【答案】【分析】根据题意，由等式的恒等变形分析充分性，将变形可得，代入中分析必要性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，若，则有，即，变形可得，又由，则必有，即，反之，若，即，故，综合可得：是成立的充要条件．故选：．【例9】（2024秋•山西期中）已知，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】【分析】若，则是的充分条件；若，则是的必要条件，【解答】解：当时，两边同时平方可得，，即，充分性成立；当时，，即，必要性成立．故选：．题型04充要条件的命题改写1．改写核心逻辑（1）等价替换（如：“是的充要条件”，可等价改写为“”）充要条件的两个命题可以自由等价替换，命题含义不变．（2）双向语句转换（如：由“的充要条件是”可转换为，双向等价）充要语句可双向互换主体，无需改变命题真假性．2．解题作用规范命题表述，转化符号语言，简化复杂条件语句．学以致用学以致用【例10】（2024秋•河西区校级月考）“”是“方程有一个正根和一个负根”的_____条件，并证明．【答案】必要不充分．【分析】结合二次方程根的存在条件即可求解．【解答】解：“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，证明如下：若方程有一个正根和一个负根，则，解得，故是的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【例11】（2023春•同步）设，，，求关于的方程有一个根为的一个充要条件．【答案】详见解题过程．【分析】根据充分必要条件的定义求出答案即可．【解答】解：若是方程的一个根，则，整理得：，所以方程有一个根为的必要条件是：；若，则，方程可化为，即，是方程的一个根，所以方程有一个根为的充分条件是．综上可知：方程有一个根为的充要条件是．【例12】试写出关于的方程有两个小于1的正实数根的一个充要条件，并给予说明．【答案】，且，【分析】直接利用一元二次方程和不等式的应用求出该题的充要条件．【解答】解：要使方程有两个小于1的正实数根，设正实数根为和，则：，整理得，且，．即方程有两个小于1的正实数根的充要条件．题型05充要条件的基础证明1．证明双向性的核心要求（1）证明充分性（如：证明与充要，先证由推出）充分性证明正向推导，验证条件足够推出结论．（2）证明必要性（如：再证由推出）必要性证明反向推导，验证结论必须依托该条件．2．证明标准步骤（1）第一步：证明充分性（）．（2）第二步：证明必要性（）．双向全部证毕，才可证得互为充要条件．学以致用学以致用【例13】（2025秋•江苏校级月考）（1）已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明；（2）已知，求证：的充要条件是．【答案】（1），证明如下：，都是正实数，且，由，即；（2）证明：如果，所以，如果，那么由于，则所以，即综上知，的充要条件是．【分析】（1）利用作差法比较大小即可比较与的大小；（2）分别证明充分性与必要性即可．【解答】解：（1），证明如下：，都是正实数，且，由，即；（2）证明：如果，所以，如果，那么由于，则所以，即，综上知，的充要条件是．【例14】（2024秋•同步）求证：一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根的充要条件是．【答案】见证明过程．【分析】根据根与系数关系可证明此题．【解答】证明：必要性：关于的一元二次方程，根据根与系数关系可知，两根之积为，若，则一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根；充分性：若一元二次方程，，是常数且有一正实根和一负实根，根据根与系数关系可知两根之积为负，又因为两根之积为，则．【例15】（2021秋•新兴县校级月考）求证：一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是．【答案】证明见详解．【分析】充分性证明：将代入一次函数方程即可求证一次函数的图象经过坐标原点；必要性证明：将代入一次函数解析式中，求解可得，进而得证．【解答】证明：充分性：如果，那么，当时，，所以一次函数的图象经过坐标原点；必要性：因为一次函数的图象经过坐标原点，所以当时，，即，所以，综上，一次函数的图象经过坐标原点的充要条件是．题型06已知充要条件求参数值1．参数求解核心依据（1）充要等价集合相等（如：两个条件互为充要条件，说明两者对应集合完全一致，元素、范围完全相同）充要条件可直接转化为集合相等关系，是求参数的核心依据．（2）等式等价约束参数（如：方程、不等式条件等价，对应系数、范围必须完全一致，据此列方程求参数）等价关系可约束参数取值，保证双向推导全部成立．2．标准解题步骤（1）根据充要条件转化为集合相等或式子等价．（2）列方程求解参数候选值．（3）回代检验双向推导是否均成立，舍去不合理解．学以致用学以致用【例16】（2025秋•泉州期中）已知命题，，若是的充要条件，则．【答案】．【分析】设，，由是的充要条件，得求解即可．【解答】解：由题意得，，得，设，，由是的充要条件，得，即，得．故答案为：．【例17】（2024秋•黄埔区校级月考）已知命题，命题．若是的充要条件，则的值是（）A．0 B． C．1 D．2【答案】【分析】先求出，的范围，然后结合充要条件与集合包含关系的转化即可求解．【解答】解：由，得，所以，因为，若是的充要条件，则的解集为，即．故选：．【例18】（2024秋•同步）不等式成立的充要条件为，求的值．【答案】．【分析】解不等式，根据充分必要条件的定义得到关于的方程，解出即可．【解答】解：由，得，若不等式成立的充要条件为，则，解得：．题型07充要条件与单向条件综合辨析1．综合辨析核心逻辑（1）先判单向推导（如：先判断推、推各自是否成立）单向推导结果是判定最终条件关系的基础．（2）后定最终类型（如：双向成立为充要，仅单向成立为充分或必要，双向不成立为双不立）通过双向结果，精准归类四种条件关系，无遗漏、无错判．2．解题作用整合所有条件关系，适配选择、填空高频辨析题型，规避易错点．学以致用学以致用【例19】（2026春•泸县期中）设为实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】由，可得或，进而求解结论．【解答】解：由，可得或，“”能推出“或”，而“或”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件．故选：．【例20】（2026春•宁波期末）已知，，则“”是“且”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】【分析】应用不