2026年新高一数学暑假衔接专题《等式性质与不等式性质》

预备新高一预备新高一数学专题08等式性质与不等式性质一．选择题（共10小题）1．（2025秋•冀州区期末）若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．（2025秋•安宁区期末）下列命题中正确的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则3．（2026•杨浦区模拟）已知，，，则下列结论不正确的是（）A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则4．（2026•揭阳模拟）已知，，，且，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．5．（2026•浦东新区模拟）已知、为非零实数，且，则下列命题一定成立的是（）A． B． C． D．6．（2026•上海）已知，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．7．（2026•迁西县模拟）下列命题是真命题的为（）A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则8．（2026•岳麓区模拟）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．9．（2026•模拟）下列结论错误的是（）A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则10．（2025秋•昭通期末）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则二．多选题（共4小题）（多选）11．（2026春•常州期中）若，，，均为实数，且，，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．（多选）12．（2026春•吉林期中）下列不等关系正确的是（）A．若，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则（多选）13．（2026•广州模拟）已知实数，，，且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．（多选）14．（2025秋•厦门期末）已知，，，则下列命题错误的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则三．填空题（共4小题）15．（2025秋•清远月考）若，则与的大小关系为．16．（2026春•香坊区月考）若，，则的取值范围为．17．（2024秋•莆田期末）若，，则的取值范围是．18．（2025秋•南昌县月考）已知，，则的取值范围为．四．解答题（共6小题）19．（2025秋•海南州月考）用作差比较法判断大小：（1）与的大小；（2）与的大小．20．（2025秋•昌平区月考）若，，比较和的大小，并证明．21．（2025•宁津县开学）已知，，，求证：．22．（2025秋•喀什地区月考）（1）比较与的大小；（2）已知，，，求证：．23．（2025秋•英吉沙县期中）（1）比较和的大小；（2）已知，，求和的取值范围．24．（2025秋•余干县期中）实数、满足，．（1）求实数、的取值范围；（2）求的取值范围．

一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDADCCDCAB二．多选题（共4小题）题号11121314答案ACACABDABD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】结合不等式的性质即可求解．【解答】解：当，时，显然错误；若，则，正确．故选：．2．【答案】【分析】通过举反例排除，两项；利用作差法判断项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到项结论．【解答】解：对于，若，当时，则，故错误；对于，若，，满足，但，故错误；对于，因，，由，可得，故错误；对于，由，得，因，则，故正确．故选：．3．【答案】【分析】根据不等式的性质和函数的单调性逐项判断即可．【解答】解：对于，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故错．对于，因为函数在上单调递增，，所以，故正确．对于，已知那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故正确．对于，已知，所以，，因为函数在，上单调递增，所以，故正确．故选：．4．【答案】【分析】根据不等式的性质即可判断每个选项的正误．【解答】解：时，，错误；时，，错误；，时，，错误；是上的增函数，，所以，正确．故选：．5．【答案】【分析】结合作差法，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：令，，满足，但，故错误；令，，满足，但，故错误；、为非零实数，且，则，即，故正确；令，，满足，则，故错误．故选：．6．【答案】【分析】举例说明错误，由不等式的性质判定．【解答】解：取，，满足，此时，故错误；取，，此时，，，故错误；当时，，故正确；取，，此时，，，故错误．故选：．7．【答案】【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．【解答】解：当，时，显然错误；当，，，时，显然错误；当时，显然错误；若，，则，正确．故选：．8．【答案】【分析】利用特值法，和排除法，即可得到答案【解答】解：对于选项，当，时，不成立，对于选项，当，时，不成立，对于选项，当时，不成立，故选：．9．【答案】【分析】利用不等式的性质逐个分析各个选项即可．【解答】解：对于，，，则，故错误；对于，若，根据幂函数的性质，可得，故正确；对于，若，，则，故正确；对于，，，即，故正确．故选：．10．【答案】【分析】对于，作差即可判断；对于，由不等式的可加性即可判断；对于，易知时，即可判断；对于，易知若，则．【解答】解：若，则，所以，错误；根据不等式的性质可知，若，则，正确；当时，，错误；因为，所以，，由可知，错误．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据不等式的性质判断，可举反例说明错误的结论．【解答】解：因为，，由不等式的性质知正确，当，，，时，满足，，但，，错误．故选：．12．【答案】【分析】由不等式的基本性质逐个判断选项，利用特殊值判断选项．【解答】解：对于，若，则，所以，故正确；对于，若则；若，则，此时；若，则，，则，故，故不正确；对于，若，，则，所以，故正确；对于，若，当，，，，则，故不正确．故选：．13．【答案】【分析】对选项由不等式的乘法、乘方性质可得，对选项由不等式的加法性质可得．【解答】解：已知实数，，，且，对选项，因为，，由不等式的乘法性质得，得，即，故正确；对选项，因为，由不等式的可加性得，故正确；对选项，因为，所以，由不等式的乘方性质得，即，故错误；对选项，因为，，由不等式的乘法性质得，故正确．故选：．14．【答案】【分析】根据加以判断，可得项的正误；取、加以判断，可知项的正误；运用不等式的性质加以判断，可得项的正误；取、、，可判断项的正误．【解答】解：若，，则，不成立，故错误；若，则，可知错误；若，则可知，两边同时乘以，可得，故正确；当，，时，满足，此时，故错误．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】．【分析】利用作差法可得出结论．【解答】解，．故答案为：．16．【答案】．【分析】由不等式性质计算即可．【解答】解：若，，所以，，根据同向不等式可加性得，的取值范围为．故答案为：．17．【分析】先求出的范围，然后由求得，从而可得，求出所求．【解答】解：若，，则，，，故答案为．18．【分析】先得到，根据不等式性质得到取值范围．【解答】解：因为，又，，所以，，，所以．故答案为：，．四．解答题（共6小题）19．【答案】（1）（2）若，则；若，则；若，则．【分析】（1）利用作差法比较大小即可；（2）利用作差法比较大小即可．【解答】解：（1）因为，所以．（2），因为（且只有时取等号），所以若，则；若，则；若，则．20．【答案】，证明如下：，，，，，即．【分析】利用作差法，结合条件判断差的符号，即可证明结论．【解答】解：，证明如下：，，，，，即．21．【答案】，，，则，所以，所以．【分析】结合不等式的性质即可证明．【解答】证明：，，，则，所以，所以．22．【答案】（1）；（2）因为，，可得，，则，又，可得．【分析】（1）利用比较法，作差即可判断大小；（2）结合不等式性质即可证明．【解答】解：（1），；（2）证明：因为，，可得，，则，又，可得．23．【答案】（1）；（2）和的取值范围分别为；，．【分析】（1）作差法比较大小即可；（2）应用不等式性质判断大小关系．【解答】解：（1）因为，所以；（2）由，，则，故；又，故．即和的取值范围分别为；，．24．【答案】（1），，；（2），．【分析】（1）由不等式的性质求解，即可得出答案；（2）利用待定系数法用与将表示出来，然后利用不等式的性质求解即可．【解答】解：（1）由，，则，所以，所以，即，即的取值范围为，．因为，由，所以，所以，所以，则，即的取值范围为．（2）设，则，解得，，，，．，，，即的取值范围为，．

预备新高一预备新高一数学专题08等式性质与不等式性质1．掌握等式的基本性质，理解等式变形的逻辑依据．2．掌握不等式的基本性质，明确不等式变形的规则与禁忌．3．能熟练利用性质比较实数与代数式的大小关系．4．掌握不等式性质的综合应用，能解决大小比较、范围判断、正误辨析问题．一、等式的基本性质1．对称性：若，则．2．传递性：若且，则．3．可加性：若，则．4．可乘性：若，则．5．可除性：若且，则．二、实数大小比较依据（作差法核心）对任意实数a,b，有以下等价关系：1．2．3．核心作用：将代数式大小比较转化为差值正负判断，是本章最基础、最通用的方法．三、不等式的八大基本性质1．对称性：若，则．2．传递性：若且，则．3．可加性：若，则．4．同向可加性：若，则．5．可乘性：若，则；若，则ac（乘负变号）．6．同向正值可乘性：若，则．7．正值可乘方性：若，则．8．正值可开方性：若，则题型01利用作差法比较代数式大小1．作差法通用步骤（1）作差：构造两个代数式的差值；（2）变形：通过因式分解、配方、通分整理差值；（3）判号：判断差值正负或是否为0；（4）下结论：根据正负判定大小．2．实例逻辑（如：比较与2x，作差配方得，可直接判定大小）作差法适配所有整式、分式大小比较，不受正负、范围限制，适用性最广．3．解题作用解决基础数值、代数式大小比较问题，是本节最核心的基础方法．学以致用学以致用【例1】（2026春•温江区校级期中）已知，，则与的大小关系为（）A． B． C． D．与有关【答案】【分析】利用作差法即可比较，的大小．【解答】解：因为，，所以，所以．故选：．【例2】（2025秋•内蒙古校级期末）若，，则（）A． B． C． D．，的大小关系无法确定【答案】【分析】结合作差法，即可求解．【解答】解：，，则，故．故选：．【例3】（2025秋•冀州区校级期中）已知，，则与大小关系是（）A． B． C． D．【答案】【分析】应用作差法比较大小即可．【解答】解：因为，，，所以．故选：．题型02不等式对称性与传递性的应用1．性质应用逻辑（1）对称性（如：已知，可等价转化为n<m，实现不等式方向互换）对称性用于统一不等式书写方向，适配链式大小排序题型．（2）传递性（如：已知，可递推得到，间接推导大小关系）传递性用于多组不等式链式推导，实现间接大小判定．2．易错提醒传递性必须保证中间量完全衔接，断裂条件无法递推大小．3．解题作用解决多实数、多代数式链式排序、间接大小推导题型．学以致用学以致用【例4】（2026春•乌鲁木齐校级月考）下列命题为假命题的是（）A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则【答案】【分析】利用不等式的性质逐项判断作答．【解答】解：对于，若，，则，是真命题；对于，若，，则，是真命题；对于，若，，则，是真命题；对于，取，，，，满足，，而，是假命题．故选：．【例5】（2025秋•龙岗区校级期中）若，，为非零实数，且，，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】利用不等式的性质或举反例逐一判断各选项即可．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，因，，，的大小不确定，故错误；对于，若取，，，满足，，但，故错误；对于，由，，则，即，故正确；对于，若取，，，满足，，但，故错误．故选：．【例6】（2025秋•顺义区校级期中）设，，为实数，且，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合不等式性质检验各选项即可求解．【解答】解：因为，所以，错误；，正确；，错误；当，，时，显然错误．故选：．题型03不等式可加性与同向可加性辨析1．两类加法性质区分（1）单项可加性（如：，则，两边同加任意数，方向不变）单侧加常数、加代数式，不改变不等式方向，属于恒成立变形．（2）同向可加性（如：，相加得，同向叠加放大范围）仅同向不等式可相加，异向相加无固定规律，属于高频易错点．2．核心禁忌严禁将同向可加性逆用，不等式不可相减．3．解题作用用于不等式范围放大、多条件整合，适配取值范围判断题型．学以致用学以致用【例7】（2026•荷塘区校级学业考试）若实数，满足，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合不等式的性质检验各选项即可求解．【解答】解：因为，则，故正确，错误；因为，故，即，故，错误．故选：．【例8】（2025秋•泉州校级期中）若，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】举特殊值可判断、和，由不等式的性质可判断．【解答】解：对于，当时，故错误；对于，因为，所以，故正确；对于，当，，时，满足，但，，，故错误；对于，当，，时，满足，但此时，故错误．故选：．【例9】（2026•西城区校级模拟）已知实数，，，满足：，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据不等式的性质即可判断的正误；举反例即可判断的正误．【解答】解：因为，，所以，正确；取，，，，得出，错误；取，，，，则，，错误．故选：．题型04不等式可乘性的正负辨析应用1．正负分类逻辑（1）乘正数不变号（如：，同乘，得，方向保持一致）正数不改变不等式大小关系，是安全变形条件．（2）乘负数必变号（如：，同乘，得，方向反转）负数是不等式变形最大陷阱，未知正负必须分类讨论．2．解题核心规则遇乘法先判正负，正同、负反、零单独讨论．3．解题作用规避不等式乘除变形的高频错误，是不等式变形的核心依据．学以致用学以致用【例10】（2026•温州学业考试）已知，，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可求解．【解答】解：已知，，则，，，故，正确；，则，，，故正确；取，，，，满足，，此时，，即，故不恒成立，故错误；，则，，则，故，故正确．故选：．【例11】（2026春•天津校级期中）已知，，，且，，，则（）A． B． C． D．【答案】【分析】举出反例检验选项，结合不等式性质检验选项．【解答】解：对于，当，，时，错误；对于，当，，时，，错误．对于，当，，时，，错误；对于，因为，，所以，正确．故选：．【例12】（2026•海淀区校级模拟）已知，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据举反例的方法判断，，根据不等式的性质判断，．【解答】解：当，，，时，，错误；当，，，时，，错误；因为，所以，又，则，即，正确，错误．故选：．题型05同向正值不等式可乘性应用1．适用前提条件（1）必须同向、必须全正（如：，可相乘得）缺少正值约束、方向不同，均不可直接相乘，极易误判．（2）不可逆用（乘积大无法推出原式大，存在正负干扰）正值相乘仅能正向推导，反向推导不成立．2．解题关键先判定所有式子是否为正数，再判定方向是否同向，缺一不可．3．解题作用解决正数不等式叠加、乘积大小比较的综合问题．学以致用学以致用【例13】（2025秋•孝感期末）下列命题是假命题的为（）A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则【答案】【分析】由已知结合不等式的性质检验各选项即可判断．【解答】解：当时，显然为假命题；若，，则，为真命题；若且，则，，为真命题；若，则，所以，为真命题．故选：．【例14】（2026•浦东新区校级模拟）已知、是非零实数，若，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】对于：举反例说明即可；对于：利用作差法分析判断即可．【解答】解：对于选项：当，时，显然错误；对于选项：当，，满足，但，故错误；对于选项：因为，且，、是非零实数，则，，可得，即，故正确．故选：．【例15】（2026春•威远县校级期中）如果，，，，则正确的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则【答案】【分析】举例说明是错误的，用作差法证明是正确的．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，取，，则，故错误；对于，取，则，故错误；对于，由于，所以，则，故正确；对于，取，，，，则，，，故错误．故选：．题型06不等式乘方与开方性质应用1．性质适用前提（1）正值可乘方（如：，则，正数乘方保持大小方向）正数范围内，乘方、开方均保持单调递增，大小关系不变．（2）负值不可直接套用（如：，平方后，方向反转）负数不满足乘方单调性，直接套用性质必然出错．2．核心判定规则先判正负，全正可直接乘方开方，含负必须单独分析．3．解题作用解决根式、平方数、高次幂的大小比较难题．学以致用学以致用【例16】（2025秋•百色期末）已知，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：当时，，，故错误；令，，满足，但，故错误；，则，又，则，故正确．故选：．【例17】（2026春•闵行区校级期末）若，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据已知条件，结合特殊值法和函数单调性，即可求解．【解答】解：对于，令，，满足，但，故错误，对于，在上单调递增，又，（a）（b），即，故正确，对于，令，，满足，但不成立，故错误，对于，当时，，故错误．故选：．【例18】（2026•杨浦区二模）若，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据，取，，则可排除错误选项．【解答】解：由，取，，则可排除．故选：．题型07不等式命题正误辨析判断题1．正误辨析通用逻辑（1）正面验证：符合不等式基础性质、满足正负前提、方向规则，即为真命题．（2）举反例否定：只要找到一组正负数值不满足结论，即可判定命题为假．2．高频陷阱汇总未知正负直接乘除、异向不等式相加、负数直接乘方、不等式随意相减，均为常见错误命题．3．解题步骤先看前提、再看运算、最后判方向，无前提默认错误．4．解题作用适配本章选择、填空高频辨析题型，快速秒杀真假命题判断．学以致用学以致用【例19】（2026春•朝阳区校级期中）已知，，，则下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【答案】【分析】结合特殊值反例与作差配方的方法，逐一判断每个选项的不等式是否恒成立，排除错误选项后确定正确结论．【解答】解：选项取，，，此时，，满足，但，与结论矛盾，因此错误．选项作差得，其中，当且仅当时取等号