2026年新高一数学暑假衔接专题《集合间的基本关系》

预备新高一预备新高一数学专题02集合间的基本关系一．选择题（共10小题）1．（2026•遂宁模拟）若，，，则的真子集个数为（）A．3 B．8 C．7 D．62．（2026春•开远市校级期中）已知集合，，，0，1，，则的子集个数为（）A．4 B．6 C．7 D．83．（2026•江门二模）已知集合，，且，则的取值范围是（）A．， B． C．， D．，，4．（2026•石门县校级一模）集合，，的真子集的个数为（）A．9 B．8 C．7 D．65．（2026•兴义市校级二模）集合的子集个数为（）A．16 B．32 C．64 D．1286．（2026•安康一模）已知集合，2，3，，，，则的子集个数为（）A．2 B．4 C．8 D．167．（2026•周口模拟）已知实数，，设，，，，3，，，若，则（）A．1 B． C． D．8．（2026•开封模拟）已知集合，，，，，若，则实数（）A．0 B．1 C．0或1 D．29．（2026春•定州市校级月考）已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．， B．， C． D．，10．（2026•林芝市模拟）若，0，，2，，则的真子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．3二．多选题（共4小题）（多选）11．（2025秋•百色期末）下列结论正确的是（）A． B．集合，的真子集个数有3个 C．，， D．，，（多选）12．（2025秋•锦江区校级期末）已知为实数，若集合，，，，且，则的值可以是A．6 B．0 C．2 D．（多选）13．（2026•深圳模拟）已知集合，2，，，，若，则的取值可以是（）A． B．0 C．2 D．（多选）14．（2025秋•白山期末）已知集合，则下列说法正确的有A． B．， C．中有5个元素 D．集合有16个子集三．填空题（共4小题）15．（2025秋•宿迁校级期末）已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为．16．（2026•浦东新区校级模拟）设集合有且只有两个子集，则．17．（2026•奉贤区二模）已知集合，，，若，则实数．18．（2025秋•孝感期末）集合，的真子集的个数为．四．解答题（共6小题）19．（2021秋•单元）设集合，，若，且，求实数，的值．20．（2023秋•单元）已知集合，，且，求实数的值．21．（2021秋•单元）设集合，，，，，若，求实数的值．22．（2021秋•单元）已知集合．（1）若是的真子集，求的范围；（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．23．（2021秋•单元）已知，，，2，3，，，2，4，，求．24．（2021秋•沛县校级单元）设，3，，，，若，求的值．一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDDCBBAACB二．多选题（共4小题）题号11121314答案BCABCBCAD一．选择题（共10小题）1．【答案】【分析】结合集合子集个数的规律即可求解．【解答】解：若，，，则的真子集个数为．故选：．2．【答案】【分析】利用集合的交集运算以及子集个数的公式求解．【解答】解：集合，，，0，1，，所以，0，，故的子集的个数为．故选：．3．【答案】【分析】结合集合包含关系即可求解．【解答】解：集合，，当时，，满足，当时，由，得，解得，所以的取值范围是，，．故选：．4．【答案】【分析】先求出集合，然后结合集合子集个数的规律即可求解．【解答】解：，，，7，的真子集的个数为．故选：．5．【答案】【分析】结合子集个数的规律即可求解．【解答】解：根据集合子集个数的规律可得，的子集的个数为．故选：．6．【答案】【分析】由集合的交集运算和子集计算公式即可求解．【解答】解：由，2，3，，可得，3，5，，所以，，所以的子集个数为．故选：．7．【答案】【分析】由可知或或，再结合元素的互异性求解即可．【解答】解：由题意可知，，，，，3，，，且，则集合中元素都在集合中，若，解得，则集合有两个2，不符合集合中元素的互异性，舍去，若，方程无解，所以必有，此时，，若，则，方程无实数根，所以，解得或，当时，，此时，当时，，此时，综上可得，．故选：．8．【答案】【分析】由可得或，再结合元素的互异性求解．【解答】解：由题意可知，集合，，，，，且，所以或，解得或，当时，，，，2，，，符合题意，当时，不满足元素互异性，不符合题意，综上所述，．故选：．9．【答案】【分析】先求出集合，分和两种情况求出集合，再结合求出的取值范围即可．【解答】解：由题意可知，集合，当时，则，满足，当时，则集合，由可得，，所以，综上所述，实数的取值范围是．故选：．10．【答案】【分析】由已知可得集合，根据真子集的定义即可求解．【解答】解：由已知可得，1，，所以的真子集个数为．故选：．二．多选题（共4小题）11．【答案】【分析】根据空集的定义即可判断的正误；根据真子集个数的计算公式即可判断的正误；根据集合相等的定义即可判断的正误．【解答】解：不是空集，错误；集合，有2个元素，真子集的个数为，正确；，，，，正确；，表示数集，，表示点集，这两个集合不相等，错误．故选：．12．【答案】【分析】先解方程求出集合，再根据子集的定义求出集合，然后分别讨论求出的值即可．【解答】解：解方程可得：或3，所以集合，，因为，且，则，，，当时，满足题意；当时，则，解得；当时，则，解得，综上，实数的值为0，2或6．故选：．13．【答案】【分析】由集合子集的关系和元素互异性求解．【解答】解：由题意可知，集合，2，，，，且，所以或，解得或或，当时，，2，，，，满足要求，当时，，2，，，，满足要求，当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求，综上所述，或2．故选：．14．【答案】【分析】先解不等式求出集合，再利用集合的表示方法、元素与集合的关系、集合间的关系及集合中元素的个数，逐一分析判断各选项．【解答】解：由题意可知，，0，1，，所以，故正确；因为，所以，，故错误；集合中有4个元素，故错误；因为中有4个元素，所以有个子集，故正确．故选：．三．填空题（共4小题）15．【答案】，．【分析】根据题意，可知集合中包含3个元素，结合，即可得出实数的取值范围．【解答】解：由集合的子集个数计算公式（其中表示集合的元素个数，，当集合有8个子集，设集合的元素个数为，则，解得，故集合中包含3个符合条件的元素：3，4，5；所以集合，4，；当时，集合中元素个数少于三个，不合题意；当时，，中有两个元素3，4，不合题意；当时，中有三个元素3，4，5；满足题意；当时，满足集合中有三个元素3，4，5；满足题意；当时集合中有除了三个元素3，4，5，还可能有其它元素存在，不合题意；综上可得：，即实数的取值范围为，．故答案为：，．16．【答案】1．【分析】集合有且只有两个子集，可得：此集合只含有一个元素，即只有一个实数根，可得△，解得．【解答】解：集合有且只有两个子集，此集合只含有一个元素，即只有一个实数根，△，解得，故答案为：1．17．【答案】0．【分析】由可得或，再结合元素的互异性求解．【解答】解：由题意可知，集合，，，且，所以或，解得或，当时，集合中的元素不满足互异性，舍去，当时，集合，，，满足题意，综上所述，．故答案为：0．18．【分析】若集合中有个元素，则集合有个真子集．【解答】解：集合，的真子集一共有：个．故答案为：3．四．解答题（共6小题）19．【分析】由，已知中集合，，，且，我们可以分，，三种情况进行讨论，进而得到答案．【解答】解：，，，，或．当时，，，；当时，，，；20．【分析】法一：求出集合，，，且，从而或或或，，由此能求出的值．法二：求出集合，，，且，当时，，成立；当时，，，由，得．由此能求出实数的值．【解答】解法一：集合，，，且，或或或，，当时，△，无解；当时，，解得；当时，，无解；当，时，，解得．综上，实数的值为2或3．解法二：集合，，，且，当时，，成立；当时，，，由，得，则．综上，实数的值为2或3．21．【答案】见试题解答内容【分析】解可得集合，由，进而可得或或或，，分别求出的值，综合可得答案．【解答】解：，，或或或，；①当时，△②当时，③当时，不存在④当，时，的取值范围为，．22．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）若是的真子集，则，由根的判别式能求出结果；（2）由，得，，，，，由此分类讨论，能求出结果．【解答】解：（1）若是的真子集，，△，；（2），，，，，，，，，则△，；是单元素集合，△，此时，符合题意；，，不符合．综上，．23．【答案】或．【分析】先根据，可知，然后求出，最后求出满足条件的，最后得到结论．【解答】解：，，，，2，3，，，2，4，，，而，则或．24．【分析】根据，又，，或，解答检验即可．【解答】解：，又，，或，解得：或时，，3，，，，满足题意；时，，3，，，，满足题意．故或

预备新高一预备新高一数学专题02集合间的基本关系1．通过实例理解集合之间包含与相等的含义.2．掌握子集、真子集、集合相等的定义与符号.3．能准确判断集合间的基本关系.4．掌握空集的性质以及各类集合关系的常用结论.5．会求有限集合的子集、真子集个数，并利用集合关系求解参数.一、子集1．定义：对于两个集合与，如果集合中的任意一个元素都是集合中的元素，就称集合是集合的子集.2．符号表示：（或），读作“包含于”（或“包含”）.3．通俗理解：集合里有的元素，集合全部都有，的范围整体在范围内.二、集合相等1．定义：如果集合是集合的子集，且集合也是集合的子集，即且，那么集合与集合相等.2．符号表示：.3．通俗理解：两个集合包含的元素完全一致，范围大小完全相同.三、真子集1．定义：如果集合，但存在元素，且，就称集合是集合的真子集.2．符号表示：（或）.3．通俗理解：的元素全部在中，且比至少多一个元素，范围严格小于范围.四、空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记作.2．空集的核心性质（1）空集是任何集合的子集.（2）空集是任何非空集合的真子集.五、集合包含关系的常用性质1．自反性：任何一个集合是它本身的子集，即.2．传递性：若，，则；若，，则.3．子集与真子集区别：子集允许两集合相等，真子集要求两集合一定不相等.六、有限集合子集个数结论若一个集合中有个元素：1．子集个数：个2．真子集个数：个3．非空子集个数：个4．非空真子集个数：个题型01判断集合间的关系1．三种集合关系的判定标准（1）子集关系（如：集合，集合，中所有元素都在中，满足）子集负责判定一个集合的所有元素是否全部包含在另一个集合中，允许两集合相等.（2）真子集关系（如：集合，集合，包含于且有元素不在中，满足）真子集负责判定集合间的严格包含关系，两个集合绝对不能相等.（3）集合相等（如：集合，集合，元素完全相同，满足）集合相等负责判定两个集合范围、元素完全一致，与元素顺序无关.2．集合关系判定步骤（1）化简两个集合，统一写成列举法或最简范围形式.（2）判断元素是否全部包含，确定包含关系.（3）判断两个集合是否完全一致，区分子集、真子集、相等关系.学以致用学以致用【例1】下列关系正确的是（）A． B．，， C．， D．【答案】【分析】根据元素与集合的关系，以及集合间的包含关系判断．【解答】解：对于，因为不是的元素，故错误；对于，因为任何集合是它本身的子集，所以，，，故正确；对于，集合，中的元素是数，集合中的元素是点，所以两个集合之间没有包含关系，故错误；对于，因为是无理数，所以，故错误．故选：．【例2】若集合，则，，之间的关系是（）A． B． C． D．【答案】【分析】分别将集合表示为，和即可得结果．【解答】解：，，因为，表示被6除余1的整数，，和，表示被3除余1的整数，所以．故选：．【例3】若，，，则以下正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断即可．【解答】解：对于选项，为元素，为集合，所以，故选项错误；对于选项，为集合，为集合，且，所以，故选项正确；对于选项，为集合，是有序数对，两者没有属于关系，故选项错误；对于选项，为集合，为集合，且，故，故选项错误．故选：．题型02空集相关关系判断1．空集的两大核心关系（如：没有任何元素，所以空集包含于任意集合；空集不等于任意非空集合）（1）空集是任意集合的子集，包含关系恒成立.（2）空集是任意非空集合的真子集，严格包含关系恒成立.2．易混符号区分（1）是元素与集合的关系，空集没有元素，不存在元素属于空集.（2）是集合与集合的关系，空集可与所有集合产生包含关系.3．解题作用：空集是所有包含关系判断题的特殊前提，做题优先考虑空集情况，避免漏解.学以致用学以致用【例4】下列关系式错误的是（）A．，， B． C． D．，【答案】【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系进行判断．【解答】解：对于，任何集合是其本身的子集，则，，，故正确；对于，与两者都是集合，符号使用错误，故错误；对于，0是集合的元素，，故正确；对于，是，的子集，，，故正确．故选：．【例5】下列各选项正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】根据空集的性质可判断，利用元素与集合的关系可判断．【解答】解：对于，中没有任何元素，故错误；对于，因为中没有任何元素，而集合中有一个元素0，所以，故错误；对于，因为是任何集合的子集，所以，故正确；对于，因为0是集合的元素，所以，故错误．故选：．【例6】已知集合，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】可求出，，然后根据元素与集合的关系判断错误；根据集合与集合的关系判断的正误即可．【解答】解：，，所以，，，．故选：．题型03求集合的子集、真子集个数1．核心公式依据（如：一个集合含有3个元素，则子集个数，真子集个数）元素个数决定各类子集的数量，公式统一固定，无需逐个列举.2．四类结论区分（1）子集：包含自身与空集，数量最多，公式.（2）真子集：不包含集合本身，公式.（3）非空子集：不包含空集，公式.（4）非空真子集：不包含空集和集合本身，公式.3．解题步骤：先数清集合有效元素个数，再直接代入对应公式计算，无需重复列举.学以致用学以致用【例7】集合的子集个数为（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】【分析】求出集合，得出的元素个数，根据子集个数的计算公式即可得解．【解答】解：，3，，其元素个数为3，子集个数为．故选：．【例8】若集合，则的子集个数为（）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】【分析】可求出集合，得出集合的元素个数，根据子集个数的计算公式即可得解．【解答】解：，1，，所以的子集个数为．故选：．【例9】若，0，，，，则的真子集个数为（）A．3 B．8 C．7 D．6【答案】【分析】先求出集合，再结合真子集的个数公式，即可求解．【解答】解：若，0，，，，则，，，集合中元素个数为3，故的真子集个数为．故选：．题型04列举写出所有子集、真子集1．书写规律（如：两元素集合，子集依次为空集、单元素子集、双元素全集）子集书写按照元素个数由少到多依次列举，保证不重不漏.2．书写顺序（1）先写空集，空集是所有集合的子集.（2）再依次写出所有单元素子集、双元素子集，逐级增加元素.（3）最后写出集合本身.3．子集与真子集书写区别（1）子集需要写出空集+所有部分子集+集合本身.（2）真子集只写空集+所有部分子集，不写集合本身.学以致用学以致用【例10】已知集合，．（1）若，写出集合的所有子集；（2）若集合中仅含有一个元素，求实数的值．【答案】（1）；（2）0或．【分析】（1）求出集合，进而求出其子集即得．（2）按的值是否为0，分类求解即得．【解答】解：（1）若，则，所以集合的所有子集是：；（2）当时，方程，解得，符合题意；当时，则△，解得；所以实数的值为0或．【例11】已知集合，，，且．（1）求实数的取值的集合；（2）写出（1）中集合的所有子集．【答案】（1），；（2），，，，．【分析】（1）根据题意，，则或，解得，或，或，根据元素互异性，逐一验证即可；（2）结合（1），写出子集即可．【解答】解：（1），则或，，或，或，当时，，集合不满足互异性，（舍去），当时，，，；当时，，，，故的取值集合，，（2）由（1）知，，的子集为，，，，．【例12】已知集合．（1）若，写出的所有子集；（2）若集合中只含有一个元素，求的值．【答案】（1），，，，；（2）0或．【分析】（1）先将代入，求解一元二次方程得到集合的元素，再根据子集的定义列出所有子集；（2）分类讨论，当时，方程为一元一次方程，求解得到集合的元素；当时，方程为一元二次方程，利用判别式△时方程有且仅有一个实数根，求出的值，再验证集合的元素个数．【解答】解：（1）当时，集合，，其子集有，，，，；（2）当时，集合，满足要求；当时，要满足题意只需方程有两个相同的解，即△，解得，代入方程，解得，此时集合，满足要求，综上，的值为0或．题型05根据集合相等求参数1．集合相等核心依据（如：两个有限集合相等，则两个集合所含元素完全相同，与排列顺序无关）集合相等等价于互相包含，即且.2．解题逻辑（1）根据集合元素对应相同，列出方程求解参数.（2）求出参数后代回原集合，检验集合元素互异性.（3）舍去造成元素重复、集合不成立的参数解.3．核心作用：利用集合相等实现元素对应相等，是求解集合参数的常用方法.学以致用学以致用【例13】已知集合，，，，若，则实数（）A．0 B．1 C．0或1 D．2【答案】【分析】根据集合相等的关系求解．【解答】解：由题意可知，集合，，，，且，所以，解得．故选：．【例14】已知，为实数，集合，，，，，，且，则（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】【分析】利用集合相等的定义，结合元素的互异性求解．【解答】解：由题意可知，集合，，，，，，且，所以或，解得或或或，其中不符合集合元素的互异性，舍去，所以或，所以．故选：．【例15】已知集合，，，若，则（）A．2 B．1 C．0 D．【答案】【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，，进而可得所求值．【解答】解：根据题意得：，，即方程的两根为，0，所以根据韦达定理得：，解得，，所以．故选：．题型06根据子集关系求参数范围1．子集关系核心含义（如：，表示集合的所有元素全部在集合范围内，范围小于等于范围）子集关系本质是范围包含关系，可用于建立不等式求解参数.2．解题必须考虑的两种情况（1）为空集：空集是任何集合的子集，恒满足，可直接解出使集合为空集的参数范围.（2）为非空集合：根据元素范围大小，列写不等式组，保证整体落在内部.3．解题关键子集题型最容易漏解空集情况，解题必须优先讨论空集，再讨论非空情况，最后合并参数范围.学以致用学以致用【例16】设集合，．（1）当时，求的所有子集中的元素之和；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）1536；（2），，．【分析】（1）利用子集的定义求解；（2）分为空集和不为空集两种情况，列不等式解出的范围．【解答】解：（1）当时，，，0，1，2，3，4，，中所有子集中的元素之和为；（2）当，即时，，符合题意；当，即时，若，则，，解得；综上，的取值范围是，，．【例17】已知集合，．（1）若，求的取值范围．（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解；