2022年全国高中数学联赛一试B卷参考答案

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷9小题410、小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．20221.不等式的解集为．x9x11答案：,．20(x22(x9)x11解：移项通分可得0，等价于0，易(x9)(x知解集为,．(x9)(x2.:y26x的焦点为圆心作一个圆的准线相切，则圆的面积为．答案：9．解：抛物线的焦点与准线的距离为3，故圆的半径r3．所以圆的面积为r29．3.函数f(x)2lg52x5x的最大值为．1答案：．4解：f(x)2lg5(lg2x)(lg5x)(lg2xlg2x2121414xlg2xx．1101当x，即x时，f(x)取到最大值．210414.一枚不均匀的硬币，若随机抛掷它两次均得到正面的概率为，则随机2抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为．答案：21．解：设随机抛掷该硬币一次，得到正面的概率为p(0p．12根据题意得p2p．从而随机抛掷它两次得到正面、反面各一22次的概率为2pp)21．z11z5.已知复数z满足|z|1，且Re，则Re的值为．z13z17答案：．91z1z11解：由于zz|z21，故z．因此ReReRez，结合113zz1z1223z7427|z|1知zi．进而ReRez2Rei．3z9996.若正四棱锥PABCD的各条棱长均相等，M为棱AB线与CM所成的角的余弦值为．5答案：．10解：取AP的中点N，则||BP，故异面直线与CM所成的角的大小为CMN不妨设正四棱锥PABCD的各条棱长均为2．易知AC22，故APC90，于是CNPC2PN25．55又CM5CN，故cosCMN，即所求值为．CM1010C7.若ABC的三个内角,B,C满足AsinB2tan，则sinAA22tanA的值为．答案：2．解：由AsinB知BA．2假如BA，则C，此时AsinB2，矛盾．22从而只能是BA，进而有C2A．所以221tanACA2tan2tan2，241tanA这等价于Atan)22tanA．进而sinAA2tanA2．8.一个单位方格的四条边中，若存在三条边染了三种不同的颜色，则称该单位方格是“多彩”的．如图，一个3方格表的表格线共含10条单位长线段，现要对这10条线段染色，每条线段染为红、黄、蓝三色之一，使得三个单位方格都是多彩的．这样的染色方式数为答案：5184．引理：当一个方格已有一条边被染色后，对另三条边恰有12种染法使得该方格是多彩的．可以是两黄一蓝或两蓝一黄，共3312种染法．先染左边方格与中间方格的公共边，有3种染法．2然后完成左边方格的染色，根据引理，有12种染法．同理，完成中间方格的染色有12种染法．此时右边方格已有一条边被染色，故有12种染法完成此方格的染色．由乘法原理，符合题意的染色方式数为1212125184．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．x29（本题满分16分）在平面直角坐标系中，F,F是双曲线:y21的123两个焦点，上一点P满足PFPF1．求点P到的两条渐近线的距离之和．12F,F的坐标为0)的两条渐近线的方程分别为x3y012与x3y0．设点Pu,v)，P到两条渐近线的距离之和为S，则|uv||uv|S．……………4分22由于PFPFuu2)v2u2v24，故u2v241，即12u2v25．……………8分u291又由P在上可知v21u2,v2．……………12分3232222|u|32注意到u3v，故Su，即所求距离之和为．22……………16分10.（本题满分分）设正数a,a,a,b,b,b满足：a,a,a成公差为b的1231231231等差数列，b,b,b成公比为a的等比数列，且ab．求a的最小值，并确定1231333当a取到最小值时ab的值．322解：记aa,bb，其中a,b0．11由条件知aab,aab,bab,ba2b，并且记ab，则有232333aba2b，所以a2bb)2b．……………5分利用平均值不等式，得b)332b24b)2b，3327362即有．……………15分236当bb，即b时，等号成立，此时（即3）取到最小值，626相应有b，ab6，故45661568ab(ab)ab6．……………20分22443.（本题满分20a,b为实数，abysinx在闭区间[a,b]上的最大值与最小值之差为1，求ba的取值范围．解：根据正弦函数的图像特征，若ba，则(a,b)内存在sinx的一个最值点c与一个零点d，取充分小的正数，使得区间[d,d](a,b)，此时sin(dsin(d)dd,d}sind与sinc11sincsin1sinc1，矛盾．……………5分若basinx在[a,b]上的最大值点与最小值点必为一个长度小于33的单调区间[c,d]的两个端点c与d，而cdcdcdsincsind2sin2sin2sin1，2226矛盾．……………10分另一方面，令abb,sinx在[a,b]上的最大值为102为0，符合