2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）加试参考答案与评分标准（A卷）

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，1040rC为r的实数等比数列ann1anC对所有正整数nx表示实数x解：情形1：r为奇数．11对任意实数x，显然有x，故满足要求的C不超过．2212又取a}的首项a，注意到对任意正整数n，均有r1为奇数，因此n1r11211n．这意味着C满足要求．从而满足要求的C的最大值为．222…………10分情形2：r为偶数．设r2m(mN*)．对任意实数，我们证明a与a中必有一数不超过12mm，从而C．2m12m11事实上，设ak，其中k是与a0．112注意到，对任意实数x及任意整数k，均有xkx，以及xx．mm若0，则1k．2m112m1m2m2m若，则2m，即mrm，此时2m122m12m1maarrr．…………30分21m12mm1nn(2m)12m12m1mm项式展开可知n(2m11K1K2m12m1mmn．这意味着C满足要求．2m12m1mr从而满足要求的C的最大值为．2m12(r11综上，当r为奇数时，所求C的最大值为；当r为偶数时，所求C的最大2r值为．…………40分2(r二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD中，AC平分BAD，点E,F分别在边BC,CDEF||BD,EA至点P,Q,B,P的圆及过点,D,Q的圆均与直线ACB,P,Q,D四点共12圆．（答题时请将图画在答卷纸上）L(L')ω2Qω2QPPω1ω1AAKDDBBEFEFCC1与AC相切知BPABACCADCAF180PAC，故BP,CA的延长线相交，记交点为L．CECFCDCKCACECF由EF||BD知．在线段AC上取点K，使得，则CBCBCDKE||AB,KF||AD．…………10分由ABLPALKAF，BAL180BAC180CADAKF，KFAB可知ABL∽KAFAL．…………20分KAKEAD同理，记DQ,CA的延长线交于点L，则AL．KAKEABCKCAKFAD又由KE||AB,KF||AD知，即KEADKFAB．所以ALAL，即L与L重合．由切割线定理知LPLBLA2LQLD，所以B,P,Q,D四点共圆．…………40分50n.在一个3×n构成的集合S称为“连通的”S中任意两个不同的小方格,B数l≥2及S中l个方格A=C,C,,C=B，满足C与Ci1有公共边12li2(i=,l−1).求具有下述性质的最大整数KSS中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.解：所求最大的K=n.对一个由小方格构成的集合SS是S中的黑格个数，S是S中的白格个bw数.用i,j]表示第i行第j列处的方格，这里1≤i≤3,1≤j≤n.对于两个方格A=i,j]，Bi,j]=′′,定义它们之间的距离为d(,B)|i−i′|+|j−j′|.通的集合S，均有|S−S|≤n，这表明K≤n.bw设是黑格，并记ε∈，满足ε≡n2).先证S−S≤n.可不妨设S包含所有黑格，这是因为若S不包含所有黑格，bw取不属于S的黑格A满足d(,S)最小，这里d(,S)=d(,B).易知Sd(,S)=1或2.若d(,S)=1S′=S{}SS′−′S更大.bw若d(,S)=2，则存在与A相邻的白格C，而C与S中某个方格B相邻，取S′=S{,}，则S仍是连通的，且S′−′Sw不变.因而可逐步扩充S，使得Sb包含所有黑格，保持S的连通性，且S−S不减.bw考虑白格集合W={[i,j]|i+j=k}k=,n+1+εW中至少有一kk个方格属于SA=∈S到黑格B=n−1+ε]的S中路径.112故S≥(n+ε)，而S=n+ε)，故S−S≤n.…………10分wbbw21类似可证S−S≤n.S包含所有白格,从而S=n−ε).wbw2再考虑黑格集合B={[i,j]|i+j=k},k=,n+2−ε，每个B中至少有一kk个黑格属于SA=2]到白格B=n−ε]的S中路径.从而1S≥(n−ε)，故S−S≤n.…………20分bwb2下面证明K=nS，使得S−S≥n.bw设表格中共有X个黑格和Yx个黑格和y个白格.于是X+Y=n,x+y=n.故(X−y)+Y−x)=(X+Y)−(x+y)=2n.由平均值原理可知max{X−y,Y−}≥n.不妨设X−y≥n.取S为第二行中的y个白格以及所有X个黑格.由于S包S是连通的.而S=XS=yS−S=X−y≥n.bwbw综上所述，K=n.…………50分50,BS是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1)对任意非负整数k，有AkS；(2)若正整数nS，则n的每个正约数均属于S；3(3)若,nS，且,n互素，则mnS；(4)若nS，则AnBS．证明：与B互素的所有正整数均属于S．证明：先证明下述引理．引理：若nS，则nBS．nSn是n的与Annn112n的素因子均整除A(n,n)1(1)及(2)p|A及任212意正整数kpkSAk11(3)知Ak11Sn|n，而nS，故由(2)知nS．因(Ak1n,n)1，故由(3)知Ak1nnS，221212即AknS．再由(4)知AknBS（对任意正整数k．①…………10分设nBCDC的所有素因子均整除AD与A互素，从而C,D)1．由(1)及(2)知CS（见上面AknS另一方面，因(D,)1，故由欧拉定理知D(D)1