云南省玉溪市2025-2026学年高二数学下学期第一次月考试题【含答案】

玉溪一中2027届高二下学期月考（一）数学总分：150分考试时间：120分钟单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则A． B． C． D．2．如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则A． B． C． D．3.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则A． B． C．或 D．或4．已知表示两个不同的平面，表示三条不同的直线，下列结论中，成立的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5．2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉与其他7位主播从“心”出发，他们中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为A． B． C． D．6．已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为A． B． C． D．7．已知双曲线QUOTE=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为QUOTEπ6π6,则此双曲线的离心率e=A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE 下列问题中，是不相等的正数，比较的表达式．下列选项正确的是问题甲：一个直径寸的披萨和一个直径寸的披萨，面积和等于两个直径都是寸的披萨的面积和；问题乙：购买某物品所花钱数一定，第一次购买的单价为元，第二次购买的单价为元，则这两次的平均价格为；问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡），放右边时左边砝码质量为（天平平衡），物体的实际质量为．A.B．C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共,18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示，按公式计算，y与x的回归直线方程是：，相关系数，则下列说法正确的是价格x99.51010.511销售量y1110865 变量线性负相关且相关性较强相应于点的残差约为0.4 当时，y的估计值为14.410．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是

A．的图象关于直线对称B．的图象关于点中心对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是11．已知函数、的定义域均为，为偶函数，且，，下列说法正确的有A．函数的图象关于对称 B．函数的图象关于对称C．函数是以为周期的周期函数 D．函数是以为周期的周期函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在的展开式中，的一次项的系数为______.13．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为______.14．已知数列满足，则____________．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题需写出必要的演算步骤，或文字说明.15.（本小题13分）在QUOTE△𝐴𝐵𝐶△ABC中，内角QUOTE𝐴A，QUOTE𝐵B，QUOTE𝐶C的对边分别是QUOTE𝑎a，QUOTE𝑏b，QUOTE𝑐c，若QUOTE𝑎=7a=7，QUOTE𝑏=8b=8，QUOTE𝑐𝑜𝑠𝐵=−17cosB=−17．QUOTE(1)(1)求QUOTE𝐴A；QUOTE(2)(2)求QUOTE的面积QUOTE.16.（本小题15分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班QUOTE4848人进行了问卷调查得到了如下列联表：性别打篮球合计喜爱不喜爱男生6女生10合计48已知在全班QUOTE4848人中随机抽取QUOTE11人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为QUOTE2323．

QUOTE(1)(1)请将上面的列联表补充完整QUOTE((不用写计算过程QUOTE))；

QUOTE(2)(2)根据小概率值QUOTE的独立性检验，能否据此推断喜爱打篮球与性别有关？

QUOTE(3)(3)现从女生中抽取QUOTE22人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为QUOTE𝑋X，求QUOTE𝑋X的分布列与均值．

附：QUOTE，其中QUOTE𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑n=a+b+c+d．α0.10.050.0050.0012.7063.8417.87910.828（本小题15分）如图，在四棱锥QUOTE𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷P−ABCD中，底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是正方形，侧棱QUOTE底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，QUOTE𝑃𝐷=𝐷𝐶PD=DC，QUOTE𝐸E是QUOTE𝑃𝐶PC的中点，作QUOTE交QUOTE𝑃𝐵PB于点QUOTE𝐹F．QUOTE(1)(1)求证：QUOTE平面QUOTE𝐸𝐹𝐷EFD；QUOTE(2)(2)求平面QUOTE𝐶𝑃𝐵CPB与平面QUOTE𝑃𝐵𝐷PBD

的

夹角的大小．18.（本小题17分）已知椭圆QUOTE𝐸E：QUOTE𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为QUOTE6363，点QUOTE𝑃(3,1)P(3,1)在椭圆QUOTE𝐸E上，不过点QUOTE𝑃P的直线QUOTE𝑙l与椭圆QUOTE𝐸E相交于QUOTEQUOTE(1)(1)求椭圆QUOTE𝐸E的标准方程；QUOTE(2)(2)若弦QUOTE𝑀𝑁MN的中点的纵坐标为QUOTE1212，求QUOTE△𝑀𝑂𝑁△MON面积的最大值；QUOTE(3)(3)若QUOTE，求证：直线QUOTE𝑙l过定点．19.（本小题17分）已知函数QUOTE𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−𝑎𝑥+1f(x)=lnx−ax+1，其中QUOTE．

QUOTE(1)(1)当QUOTE𝑎=1a=1时，求函数QUOTE𝑓(𝑥)f(x)的单调区间；

QUOTE若QUOTE恒成立，求QUOTE𝑎a的最小值；

QUOTE证明：QUOTE，其中QUOTE.

题号1234567891011121314选项DABDCACBBCDACDBC410单选题：D【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.2.A【详解】由图可知，，，所以，解得，则.故选：A.3.B【详解】设等比数列的公比为，则，上述两个等式相除得，整理可得，因为，解得，故.故选：B.4.D【详解】A选项，若，则或，A错误；B选项，若，不能推出，B错误；C选项，若，则不能推出，C错误；D选项，因为，所以，又，由面面垂直的判定定理，可得，D正确.故选：D5.C【详解】设男生人数为，且，，，,则.故选：C6.A【详解】设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为，把点代入切线方程得，，即，又，所以，则，则切点坐标为.故选：A.7.C【详解】∵双曲线QUOTE-QUOTE=1(a>0)的一条渐近线的倾斜角为QUOTE,tanQUOTE=QUOTE3333,∴该渐近线的方程为y=QUOTE3333x,∴QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE66或a=-QUOTE66(舍去),∴c=QUOTE=2QUOTE22,∴双曲线的离心率e=QUOTE=QUOTE226226=QUOTE233233.故选：C8.B【详解】问题甲中，，即可，问题乙中，设每次购买花的钱为，则，问题丙中，设左右量词的臂长分别为，则，故，由于，故，又，所以，因此，故选：B9.BCD【详解】对于A，由表格知：，所以，可得，A错误；对于B，由相关系数且回归方程斜率为负，则变量线性负相关且相关性较强，B正确；对于C，由，故残差为，C正确；对于D，由，D正确；故选：BCD.10.ACD【详解】由函数的图象可得，由，求得.再根据五点法作图可得，即，又，求得，∴函数，，是最值，故A成立；，不等于零，故B不成立；将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，故C成立；当时，，，，函数在上的图象如图所示，由图可知，时，函数与直线有两个交点，故方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D成立.故选：ACD.11.BC【详解】对于A选项，因为为偶函数，所以．由，可得，可得，所以，函数的图象关于直线对称，A错；对于B选项，因为，则，又因为，可得，所以，函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，因为函数为偶函数，且，则，从而，则，所以，函数是以为周期的周期函数，C对；对于D选项，因为，且，，又因为，所以，，又因为，则，所以，，故，因此，函数是周期为的周期函数，D错.故选：BC.4【详解】因为的展开通项公式为，所以的一次项的系数为.故答案为：.13.【详解】由圆，得，故圆心，半径，又已知直线，点在直线上，设点，则，由圆的切线性质可得，，

当且仅当时，取得最小值，最小值为.故答案为：14.【详解】由，得，即，因此数列是首项为，公差为1的等差数列，，所以.故答案为：15.【答案】解：QUOTE(1)∵𝑎<𝑏(1)∵a<b，QUOTE，即QUOTE𝐴A是锐角，

QUOTE∵𝑐𝑜𝑠𝐵=−17∵cosB=−17，QUOTE，

由正弦定理QUOTE𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵asinA=bsinB，得QUOTE𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵𝑏=7?4378=32sinA=asinBb=7?4378=32，又QUOTE𝐴A为锐角，则QUOTE

QUOTE(2)(2)由余弦定理QUOTE𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑐𝑜𝑠𝐵b2=a2+c2−2accosB，即QUOTE，

即QUOTE𝑐2+2𝑐−15=0c2+2c−15=0，得QUOTE(𝑐−3)(𝑐+5)=0(c−3)(c+5)=0，解得QUOTE𝑐=3c=3或QUOTE𝑐=−5(c=−5(舍QUOTE))，

QUOTE的面积QUOTE．

16.【答案】解：QUOTE全班QUOTE4848人中随机抽取QUOTE11人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为QUOTE2323

QUOTE喜爱打篮球的学生人数为QUOTE48?23=3248?23=32，

则列联表填写如下：性别打篮球合计喜爱不喜爱男生22628女生101020合计321648QUOTE(2)(2)零假设为QUOTE𝐻0H0：喜爱打篮球与性别无关，

由QUOTE(1)(1)得QUOTE，

根据小概率值QUOTE的独立性检验，我们推断QUOTE𝐻0H0不成立，

即认为喜爱打篮球与性别有关，此推断犯错误的概率不超过QUOTE0.050.05；

QUOTE在女生中抽取QUOTE22人调查，其中喜爱打篮球的女生人数可能是QUOTE00人、QUOTE11人、QUOTE22人，

QUOTE的所有可能取值为QUOTE00，QUOTE11，QUOTE22，QUOTE𝑃(𝑋=0)=𝐶102𝐶202=938P(X=0)=C102C202=938，QUOTE𝑃(𝑋=1)=𝐶101𝐶101𝐶202=1019P(X=1)=C101C101C202=1019，QUOTE𝑃(𝑋=2)=𝐶102𝐶202=938P(X=2)=C102C202=938，

则QUOTE𝑋X的分布列为：X012P9109故QUOTE．

17.【答案】QUOTE(1)(1)证法一：QUOTE底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，QUOTE底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，QUOTE.QUOTE，QUOTE𝐸E是QUOTE𝑃𝐶PC的中点，QUOTE.QUOTE底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，QUOTE底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，QUOTE.QUOTE底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是正方形，QUOTEBCQUOTE，QUOTE,QUOTE平面QUOTE,又QUOTE平面QUOTE,QUOTE∴𝐵𝐶⊥𝐷𝐸∴BC⊥DE,QUOTE,QUOTE平面QUOTE,QUOTE平面QUOTE,QUOTE∴𝐷𝐸⊥𝑃𝐵∴DE⊥PB,QUOTE∵𝐸𝐹⊥𝑃𝐵∵EF⊥PB，且QUOTE,QUOTE平面QUOTE𝐸𝐹𝐷EFD.（1）证法二：侧棱QUOTE底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，而QUOTE𝐴𝐷AD，QUOTE底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD，故QUOTE，QUOTE，

底面QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是正方形，故ADQUOTE，故以QUOTE𝐷D为原点，QUOTE𝐷𝐴DA，QUOTE𝐷𝐶DC，QUOTE𝐷𝑃DP所在直线分别为QUOTE𝑥x轴，QUOTE𝑦y轴，QUOTE𝑧z轴，建立空间直角坐标系，设

QUOTE𝐷𝐶=1DC=1

，依题意得

QUOTE𝐴1,0,0A1,0,0

，

QUOTE𝐵1,1,0B1,1,0

，

QUOTE𝑃0,0,1P0,0,1

，

QUOTE𝐸0,12,12E0,12,1所以

QUOTE

，

QUOTE

，因为

QUOTE

，所以

QUOTE

．由已知

QUOTE

，且

QUOTE

，QUOTE𝐸𝐹EF，QUOTE平面QUOTE𝐸𝐹𝐷EFD，所以

QUOTE

平面QUOTE𝐸𝐹𝐷EFD．QUOTE(2)(2)解：依题意得

QUOTE𝐶0,1,0C0,1,0

，且

QUOTE

，

QUOTE

，QUOTE，QUOTE．设平面QUOTE𝐶𝑃𝐵CPB的一个法向量为

QUOTE

，则

QUOTE

即

QUOTE𝑥1=0,𝑧1=𝑦1,x1=0,z1=y1,

，取

QUOTE同理可得QUOTE𝑃𝐵𝐷PBD

的

一个法向量为

QUOTE

，所以

QUOTE

．所以平面QUOTE𝐶𝑃𝐵CPB与平面QUOTE𝑃𝐵𝐷PBD的夹角为

QUOTE

．

18.【答案】解：QUOTE(1)(1)由QUOTE𝑐𝑎=633𝑎2+1𝑏2=1𝑎2=𝑏2+𝑐2ca=633a2+1b2=1a2=b2+c2，解得QUOTE𝑎=6𝑏=2𝑐=2a=6b=2c=2，QUOTE椭圆E的标准方程为：QUOTE𝑥26+𝑦22=1x26+y22=1；

QUOTE(2)(2)因为弦QUOTE𝑀𝑁MN的中点的纵坐标为QUOTE1212，所以直线QUOTE𝑙l斜率存在，

设直线QUOTE𝑙l：QUOTE𝑦=𝑘𝑥+𝑚y=kx+m，代入QUOTE𝑥26+𝑦22=1x26+y22=1，，可得QUOTE(1+3𝑘2)𝑥2+6𝑘𝑚𝑥+3𝑚2−6=0(1+3k2)x2+6kmx+3m2−6=0，

设QUOTE𝑀(𝑥1,𝑦1)M(x1,y1)，QUOTE𝑁(𝑥2,𝑦2)N(x2,y2)，则QUOTE𝑥1+𝑥2=−6𝑘𝑚1+3𝑘2𝑥1𝑥2=3𝑚2−61+3𝑘2x1+x2=−6km1+3k2x1x2=3m2−61+3k2，QUOTE?=12(6𝑘2−𝑚2+2)>0?=12(6k2−m2+2)>0，因为弦QUOTE𝑀𝑁MN的中点的纵坐标为QUOTE1212，

所以QUOTE𝑦1+𝑦2=𝑘(𝑥1+𝑥2)+2𝑚=2𝑚1+3𝑘2=1y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+3k2=1，即QUOTE2𝑚=1+3𝑘22m=1+3k2，

QUOTE，原点O到直线MN的距离QUOTE，

QUOTE，

由QUOTE?=12(6𝑘2−𝑚2+2)=12(4𝑚−𝑚2)>0?=12(6k2−m2+2)=12(4m−m2)>0，QUOTE，可得QUOTE𝑚??12,4)m??12,4)，

QUOTE当QUOTE𝑚=2m=2即QUOTE时，QUOTE𝑆△𝑀𝑂𝑁S△MON取得最大值QUOTE33；

QUOTE，QUOTE，

即QUOTE𝑥1𝑥2−3(𝑥1+𝑥2)+3+𝑦1𝑦2−(𝑦1+𝑦2)+1=0(∗)x1x2−3(x1+x2)+3+y1y2−(y1+y2)+1=0(∗)，