山东省济南市重点校2025-2026学年高一年级下册期中数学试卷（解析板）

济南一中2025级高一下学期期中学情检测

数学试题

本试卷满分150分考试时间120分钟

一、单选题本题共12题，每小题5分，共60分.(每小题只有一个选项符合题目要求.)

1.已知复数z满足z,(l+i)=l-2i,则因=()

A6B.752D.2

22

【答案】C

【解析】

【分析】利用及数的运算法则及复数模定义计算即可.

l-2i(l-2i)(l-i)-]-3i13.

【详解】由题意后二"不二丁二一5—1

2

2.已知复数Z满足|2|2-2忖-3=()的兔数2的对应点的轨迹是(

A.1个圆B.线段C.2个点D.2个圆

【答案】A

【解析】

【详解】因为|z『-2忖-3=0,所以忖=3,|z|=3(负舍)

因此复数z的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆，选A.

3.在VA8C中，3=30/=2,c=20，则角A的大小为()

A.45B.135“或45'C.15D.105,或15,

【答案】D

【解析】

【分析】利用正弦定理求得角C,根据三角形内角和，即可求得答案.

【详解】由题意知VA8C中，3=30',%=2,0=2及，

故〃，即肌。=色空=2>xsin30二也.

sin8sinCb22

由于c＞。，故C＞8=30,则C=45’或135、

故A的大小为180-30°-45°=105°或18（7-30°-135°=15°，

故选：D

4.已知平面向量且而=值+2反而=—5万+65,2万=7万—25,则一定共线的三点是（）

A.A,8,£）B.4，B,CC.B,C,DD.A,C，D

【答案】A

【蟀析】

【分析】先考虑向量7B共线时，A8,c,。的位置关系，再考虑向量瓦B不共线时，利用向量共线定理

和丫•面向量基本定理逐项判断即可.

【详解】若向量。石共线，则而，比，丽共线，此时A8,c,£）共线，

当向量力,行不共线时，

对干A选项，Bb=^C+CD=-5a+6b+7a-2b=2d+4b=2AB，所以4日£＞三点共线，A正

确；

对于B选项，设羽=4品，则2+2日=〃（-52+6方），即，I，“[1无解，B错误；

\/[6/7=2

/-、[7/??=-5

对于C选项，设阮=,"前，则一5不+6〃=〃27M-处，即｛-,,无解，C错误；

\7[-2/11=6

对于D选项，AC=AB+BC=a+2b-5a+6b=-4a^b，设入《=〃6，

即Y，+8B=〃（7万—2»,即「“一"，无解，D错误.

\）-2n=8

故选：A

5.猫儿山位于广西桂林，是南岭山脉越城岭主峰、广西第一高峰，因峰顶巨石形似卧猫得名，它是漓江发

源地，也是国家级自然保护区，生物多样性丰富，有“华南之巅”的美誉.如图，计划在猫儿山的两个山顶

间架设一条索道.为测量M,N间的距离，工作人员在同一水平面选取三个观测点AB,C,在4处

测得山顶M,N的仰角分别为60。和30"，测得两个山顶的高分别为MC=500gm,N8=250忘m,且测得

/MAN=45,则",N间的距离为（）

N

A

A.500mB.250GmC.500扇D.50()底m

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件先求出△MM4中的两边，再利用余弦定理求即可二

【详解】由题意，可得/加4。=60,/乂43=30。,用。=500百1^^=250我01,/用47=45,

MC

且NMC4=NN84=90，在Rt~4CM中，可得AM=y——=1000m,

sin60

在R14A8N中，可得AN=上一=500&m,

sin30

・在4AMN中,由氽弦定理得：

MN?=AM2+AN2-2AM-ANCOSNMAN=500222+(x/2)2-2x2xxt:500000

所以MN=500&m.

故选：D.

6.数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker,1823—1891)说“上帝创造了整数，

其它一切都是人造的”.若i为虚数单位，Z]=(1+5)(3+。,22=%一2近2£1<),且4=4，则()

A.x=-4,67=1B.x=4,a=-iC.x=-4,a=-lD.x=4,a=1

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可

11单解】Z1=(l+«i)(3+i)=3-«+(3a+l)i,由Z]=Z2=x-2i,

可得3a+l=—2,〃=一1,即得x=3—々=4.

故选：B.

A

7.在VABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,asinC+〃=2Z?cos2—十优os8,则V4BC一定为()

2

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，

所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角

之间的关系，进而判断三角形的形状.

A

【详解】在VA4C中，r/sinC+b=2/?cos2—+acosB,

2

I+cosA

则〃sinC+Z?=2Z?x-------+acosB,即asinC=bcosA+a3sB,

2

则sinAsinC=sinBcosA+sinAcosB=sin(A+B),即得sinAsinC=sinC,

由干C£(0,7r),sinCw0,故sin4=l,结合4£(0,兀)，可得A=工，

2

即VA3c一定为直角三角形，

8.已知圆锥的侧面展开图为半I员I,则该圆锥的侧面积与其表面积之比为()

1234

A.；B.-C.-D.-

2345

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径.与母线的关系即可求解.

【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为/,依题意，2口二兀/,则/=2/，

所以该圆锥侧面积与其表面积的匕为‘^_丁=2＞，=2.

兀“4-7tr~2厂+r~3

故选：B

9.已知向量满足2=(-1,3)3=(-2,1),则“在5上的投影向量为()

A.(-2,1)B.(-2,3)C.I--D.(-1,3)

【答案】A

【解析】

【详解】已知a=(-1,3),5=(-2,1).

所以4/=(-1)x(—2)+3x1=2+3=5.

因为|B|=J(_2)2+T=,所以|E|2=5.

cib

由投影向量公式可得不在Z；上的投影向量=b

所以不在方上的投影向量为]•〃=/；=（—2,1）.

10.如图，一个水平放置的三角形430的斜二测直观图是三角形A20',若=3,0fA=2,则原三

C.8D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根据直观图可得原图为直角三角形，求出原图的直角边长后可得三角形的面积.

【详解】由题设可得三角形A3。为直角三角形，且NA08为直角，AO=4,30=3,

故其面积为6,

故选:B.

11.已知2=（-2,-1）,B=（儿1）,若々与加的夹角a为钝角，则入的取值范围为（）

A.-loo1

+B.(2,-Ko)C.-8,---D.(-2,2)

I2l-?T2

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量数量积的坐标表示与共线的坐标表示计算即可求得入的取值范围.

【详解】因为。=（一2,-1）,B=（入,1）,所以〉刃=—2入-1，

石的夹角为钝角；

J•力<0，且2,万不平行;

—21—1<0

••[-2+D；

解得九〉一二■，且入工2；

2

「.2.的取值范围为：

故选:B.

12.如图，在梯形A8CO中，AB//DC.BCLABZA=-,AB=2CD=4石为线段A8的中点，先将梯

y4f

形挖去一个以8£为直径的半圆，再将所得平面图形以直线A8为旋转轴旋转一周，则所得儿何体的体积为

()

【答案】A

【解析】

【分析】由题可得几何体体积为个圆锥加个圆柱体积再减去个球的体积，据此可得答案.

【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到.

由题可得圆柱，圆锥的底面半径为C8,

又AB〃OC,BC_LA8,ZA=四,A3=2CO=4,DELAB,DE=CB,

4

三角形ADE为等腰直角三角形，则。七=C4=!AB=2,

又由题可得圆柱，圆锥的高均为2,

132

则圆柱，圆锥体积之和为：一兀x22x2+7rx22x2=二兀，

33

1144

乂注意到球体半径为一硝=-AB=l,则球体体积为：一兀x『=一兀，

2433

32—428

则几何体体积为——71=—71.

33

故选：A

二、多选题本题共3题，每小题6分，共18分.(每小题有多项符合题目要求，全部选对

得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.)

13.已知复数2=—,5是Z的共规复数，则下列说法正确的是（）

1-1r

A.N的虚部为一;iB.|z-i|=>/2

C.z在复平面内对应的点位于第二象限D.z为方程2/+2工+1=0的一个根

【答案】CD

【解析】

【分析】根据复数的四则运算化简得2=匚上，求出对应点的坐标判断C,求出共枕复数及虚部判断A,

2

代人方程求解判断D,求出z-i后求模长判断B.

iii（l+i）-1+i（1

【详解】z=-y=—v\,对应点为一不7在第二象限，故C对；

1-rl-i（1+2v227

又5二土二虚部为一!，故A错，

22

故R错：

2・|三匚）+2（三口）+l=-i-l+i+l=O,故z为方程2/+2工+1=0的一个根，D对.

故选：CD

14.已知向量心B满足同=1,网=1,卜+可=6则下列结论中正确的有（）

兀一1

A.々与另夹角为一B.ab=一一

32

-9兀

c.a-b=1D.歹一方与B夹角为三

【答案】ACD

【解析】

【详解】因为卜+同2=|司2+|5『+2万E,

所以24疡+=，所以己/=3,所以B错误；

所以。闻哂儡T

因为R,少针。,可，所以所以A正确；

因为a-b^=J（万—B）=J同"一耳力+%=，所以c正确；

[a-b)b_a.b-b2

因为cos卜-万,5）1=-

*NW1x122

旦卜一〃,6月0,兀］,所以（小冉号,所以D正确.

15.VABC满足si”：sinB:sinC=2::3，且S八八犷=6#,则（)

A.VA8C三个内角A、B、。满足关系A+C=28

B.丫43。的周长为10+2近

C.若的角平分线与AC交于。，则3。的长为述

5

D.设E为V48C外接圆.上任意一点，则荏前的最大值为14+空2叵

3

【答案】ABD

【解析】

【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的力长，利用角

平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出8。的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出

最大值.

【详解】因为sia4:sin8:sinC=2:J7:3,由正弦定理得a:〃:c=2:夕：3,

因为Sc=6G=—acsinB=—ac-，所以ac=24,

八AHsc222

所以。=4,c=6,Z?=2J7，

z;2_Lz'2_A-44-Q—71z\7T

对于A：由余弦定理知，cosB=-—-——==-,因为8£(0,兀)，所以8二二,

lac2x2x32'/3

所以4+。=兀一区=空，即A^C=28,

故A正确;

3

对于B：因为。=4同=61=2近，

所以△A3C的周长为a+〃+c=10+2J7,故B正确;

I-Ji

对于C：若NB的角平分线与AC交于。，则NABD=NCBD=—NABC二:,

26

—C+Q

因为反八伙：一乙48。TuKRD9

所以66='c-BOsinZABD+-aBDs\nNCBD,

22

即6后=，6&),+」4〃£＞」，解得sz)=创5,故C错误;

22225

对干D：因为”.衣=|荏H^S|cosNE4C=〃J回cosN£4C=2V7|/cos/EAC,

设△?13c外接圆的圆心为。，半径为R,

b_2＞/7_477—

由正弦定理知，sinZA4c二访一访,所以R=A包

—3

2

过点E作AC的垂线，垂足为尸，则同cos/E4C=”,

当OE//AC,且点尸在AC的延长线上时，AF取得最大值，如图所示,

此时市苧。+。1“*•2近+岑=近+季,

所以屉•衣的最大值为2不・(近+冬空)=14+与叵，故D正确.

三、填空题本题共6题，每小题5分，共30分.

16.己知meR,i是虚数单位，复数2=//+〃?—2+(〃/—[].若z是纯虚数，〃?的值为

【答案】-2

【解析】

【分析】根据兔数2=〃，+〃7-2+(〃/一1]，可知其实部为0,虚部不为0,由此可求解.

【详解】复数Z=，7?+机一2+(阳2一1卜是纯虚数，

[AW2+/W-2=0(〃2=1或〃？=-2

故＜2,C，解得〈「，故〃?=一2.

17.在正四楂台4BCO-44Goi中，A8=2，A4=1,A&=夜，则该棱台的体积为—

【答案】还是指

66

【解析】

【分析】结合图像，依次求得aa，AO，AM,从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过A作4历！•AC,垂足为M,易知AM为四棱台ABCO-ABIGQ的高,

因为44=2,A,旦=1,44,=JL

则=；AG=；x亚AB】=^,A0=；AC=；xOAB=x/i，

<

故AM=g（AC_AlG）=^，则AM二小/^/:-八才=^2--i=,

所以所求体积为丫=3（4+1+6，）、曰=乎.

故答案为：巫

6

18,正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为3,则此正三棱锥的侧面积为.

【答案】6及

【解析】

【分析】正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，根据等腰三角形的性质求出三角形的面积即可求出三

棱锥的侧面积.

【详解】已知正三棱锥底面边长为2,侧棱长为3,

则正三棱锥侧面等腰三角形底边上的高=存=7=2X/2，

侧面积S=3x,x2x2a=60.

2

故答案为：6-^2

19.如图，在平行四边形ABC。中，E和/分别是边C。和8C的中点，若;4乙=4立+〃斯，其中

,则/+〃=.

4

【答案】-

3

【解析】

_______I___1___2

【分析】设A月=2,4万=几根据题意得到通=一£+反而^^+一日，得到又=一（荏+而"进

223

2

而得到2=〃=一，即可求解.

3

【详解】设而=2,标=5,

因为E和尸分别是边CO和8C的中点，可得A卢尸=£+1白,

22

___?______

又因为AC=a+石，所以AC=m（4E+4b）,

因为近：=义通+〃”，所以义=〃=g,所以4+〃='1.

4

故答案为：—.

3

JT

20.在VA3C中，若c=3,C=—,其面积为6，则。+〃=.

【答案】后

【解析】

【分析】先根据三角形面积公式求出4。的值，再结合余弦定理求出（4十。）’的值，进而求出〃十匕的值.

【详解】已知C=:，S诋=场,代入面枳公式可得：V3=-^sin-

3△23

则后=Lx，可得：ab=4.

22

根据余弦定理为C2=«2十〃-2〃仄:S。，可得32+〃2—2时cos3

3

则9=々2+/—即9=（。+/?）2-2。匕一。匕=（。+与2—3。/7,

把他=4代入可得：9=（6?+Z?）2-3X4,即（Q+Z?）2=9+12=21.

由于〃涉为边长，可得a+O=J踵.

故答案为：后.

21.如图，在VABC中，ZCAB=~,。是AB上的一点，P为CD上一点、,且衣通,

432

若pq二血，|而卜2,则市.前的值为.

【解析】

-.I2___3

【分析】根据三点共线的结论可得+进而可得AO=：AB,即可根据数量积的运算律

334

求解.

【详解】因为尸，c,。三点共线，且丽=,衣+,通，所以市二」正+2而，所以而二3而，

32334

一一一_3一

所以6=。4+45=-4?+—,48,

4

所以Q.比=（；元+g福）（一/+?而通./+|通2,

又/ZMC=2,麻卜血,向月|=2,所以9.国=」x2」x拒x2x立+3x4=1

4111134283

故答案为：—

3

四、解答题本题共3题，共42分.（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22.已知向量少=（1,2）,b=（2,-1）,3=（m,2）,〃zwR.

(I)当伍+B)M而—5)时，求实数4的值；

(2)当：//(£+】)时，求向量0与3的夹角的余弦值.

【答案】3)1;

⑵巫

17

【解析】

【分析】(1)由垂直关系的向量坐标表示可解；

(2)由向量平行的坐标表示求出相，再代入向量夹角公式可得.

【小问1详解】

由题意可得力+方=(3,1)］及-5=(1,2/)・(2,-1)=(/-2,21+1),

因为k+万)_1(/^-6)，所以3(/-2)+(2/+1)=0?I1.

【小问2详解】

G+3=(1+/小4),

r

因为〃//(』+1),所以8+m+1=0?m-9,

所以"二(-9,2),

/—\a?c5\/17

所以c°@少用二

即向量。与^的夹角的余弦值为-姮.

17

23.设VA3C的内角A,B,。所对的边分别为小b,c,acosC+-c=b.

2

(1)求角4的大小；

(2)若VA3C边BC上的中线AD的长度为卡，求VA3c面积的最大值.

【答案】(1)y

(2)2后

【解析】

【分析】(I)利用正弦定理将边亿角，再由两角和的正弦公式计算可得;

(2)依题意可得4方=g(4月+AC),根据数量积的运算律得到〃+。2+机=24,再由均值不等式求出

he的最大值，即可得解.

【小问1详解】

因为OCOSCH■—c=b,

2

由正弦定理得sinAcosC+‘sinC=sinB,

2

则sin4cosC+；sinC=sin(4+C),

即sirtAcosC+—sinC=sinAcosC+cosAsinC,

2

/.-sinC=cosAsinC，

,.,CG(O,TI),/.sinC>0,则cosA=；,

AG(0,7E),：.A=.

【小问2详解】

因为O是BC中点，所以而=:(而+/).

两边平方得ADAC)'=:(/Uf+AC+2AB-AC；

所以6=:I+〃+%ccos/BAC),即从+(?+A=24，

又由均值不等式得b~+c~+be>2bc+be=3bc，

当且仅当〃=c=2ji时等号成立，所以人。<8,

所以=；Z?csinA<2jJ，即VA3c面积的最大值为2G.

24.如图，四边形A8CO为圆。的内接四边形，BD=3也.

4

(I)若A。=2,cos/BC。=一，求AB；

5

(2)若CQ=