2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷01【测试范围：人教A版必修第二册第六~九章】（全解全析）

高一数学下学期第三次月考卷01（人教A版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前.考牛务必将自己的姓名、准考讦号填写在答题卡卜C

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第二册第六章〜第九章。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1•复数z=R在更平面内对应的点位于（）

1。一/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

1.【答案】B

【解析】因为z=岛=黑==—2+1,

所以z在复平面对应的点为Z（-2,l）,位于第二象限，

故选：B.

2.某中学高三学生有1000人，按照男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取一个容量为50的样本,

若抽到的女生有20人，则该校高三男生人数为（）

A.400B.500C.600D.800

2.【答案】C

【解析】容量为5（）的样本，若抽到的女生有2（）人，则抽到的男生有30人，

则该校高三男生人数为1000=600.

OV

故选：C.

3.设向量五二(%,—1)1二(x+2,1),若自〃3,贝ijx=()

1/12

A.2B.1C.-1D.0

3.【答案】C

【解析】因为向量五=(7—1),石=(%+2,1),

由五〃3,可得％x1—(—1)(工+2)=0,解得x=-1.

故选：C.

4.下面是校篮球队某队员若干场比赛的得分数据.

每场比赛得分36710111330

频数2122111

则下列说法不正确的是()

A.该队员得分的平均数是10B.该队员得分的极差是27

C.该队员得分的第四十百分位数是7D.该队员得分的方差是48.4

4.【答案】D

【解析】该队员得分的平均数是3x2+6+7x2+；；2+n+13+3°=1o.故A正确:

极差是30—3=27,故B正确；

10x0.4=4,所以第40百分位数是与=7,故C正确；

方差是2X(3—10)2+(6-10)2+2x(7-10)2+2x(10—10)2+(11—10)2+(13—10)2+(30-10)2=54

故选：D.

5.乐乐同学在学校的3D打印社为全班50位同学每人打印了一个盘子，盘子的形状为一个倒置的正六棱台,

盘子的底面正六边形边长为2cm,盘口正六边形边长为6cm,侧棱长为5cm.如果乐乐要在每个盘子的内

外表面涂一层防水涂料，每平方厘米需要0.05g涂料，则共需要涂料约为()(不考虑盘子厚度，结果

保留整数，参考数据：V3«1.73,4.58)

A.241gB.602gC.702gD.718g

5.【答案】B

【解析】如图，盘子侧面等腰梯形的高为，5二^/=&I(cm),底面面积为6x,x2?=6百

(cm2),

2/12

侧面六个等腰梯形的面积之和为6x|x(2+6)xV21=24⑶(cm2),

所以每个盘子需要刷涂料的面积(6国+24V21)x2=240.6(cm2),

所以给50个这样的盘子涂防水涂料约需涂料240.6x0.05x50«602(g).

故选:B.

6.已知向量由石满足(五一2石)•(五+石)=3,且同=2,|瓦=1,则五与石的夹角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

6.【答案】C

【解析】由(五一2万),(五+1)=3,可得原+d,I—2G♦I—2,=也一五•石—zB)=3

又闷=2,\b\=1

所以22-Gi一2x尸=3解得：a-b=-l

所以cos《a,b'f=—I

又0°WHW1800所以〈23)=120°

所以,与防勺夹角为120。.

故选：C.

7.在△48C中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,MbcosC=1a+ccosF,b=2,则△ABC的面积

的最大值为()

A.5B.JC.'D.3

4JOJ

7.【答案】D

【解析】因为bcosC=+ccosB,

由余弦定理可得b-号2=4+c・包铲，

222222zz

所以炉+a-c=a+a+c—d,所以2/=a+2ct

又b=2,所以Q2+2C2=8,

又COSB=之了=a"c2-*+2cZ)=a

2QC'Zac4c

所以sinB=Jl-隹丫=层.

所以S/8C=|acsin/?=|acJ%丁=(16c2-a2)a2=(64-9a2)a2

3/12

=1-9（"⑤+昔,

所以当层=尊即0=铮时，取得最大值，且008小的="竽=*

y3bJJ

故选：D.

8.如图,在四面体力BCD中,ABiBD,BC1AC,BC=CD=y/5,BD=2,M为棱4）的中点，且CM_L/W,则

二面角力-BD-C的余弦值为（）

A.B.|

8.【答案】D

【解析】因为点M为4D的中点，且CM14D,所以4C=C0=遥,

又因为BCJ.4C,BC=巡，可得48=国,

取BD的中点N,连接MMCN,如图所示，则MN〃4B,且CN18D,

因为力818。，所以MN180,49=g,所以“NM为二面角力一80—C的平面角，CM=挈

在△CMN中，CN=2,MN=挈CM=冬

由余弦定理得cos/CNM="黑严=手,

所以二面角4-BD-C的余弦值为手.

4

故选：D.

4/12

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于2022年6月4日发射成功.某学校举行了一次航天知识竞赛活

动，有100名学生参加学校决赛，把他们的成绩（均为整数）分成六组得到如下频率分布直方图.则下面

结论正确的是（）

A.直方图中m的值为0.010

B.在参加学校决赛的100名学生中，成绩落在区间［60,80）内的有60人

C.如果规定90分以上学生为一等奖，估计有15%的学生获得一等奖

D.根据此频率分布直方图可计算出这100名学生成绩的上匹分位数为80分

9.【答案】ABD

【解析】对于A,由频率分布直方图可得（0.005+M+0.03+0.03+0.015+m）x10=1,

解得m=0.01,故A正确；

对于B,成绩在［60,80）内的人数为2x0.3x100=60人，B正确：

对于C,90分以上的频率为0.01x10=0.1,故估计有10%的学生获一等奖，故C错误；

对于D,上四分位数即为第75百分位数，

而前3组的频率之和为（0.005+0.01+0.03）xl0=0.45,

前4组的频率之和为（0.005+0.01+0.03+0.3）x10=0.75,

故100名学生成绩的上四分位数为80分，

故选：ABD.

10.已知向量五=（一2,1）,加二（11），则下列说法正确的是（）

A.若可万，则£的值为2

B.当£=2时,求五与石夹角为90。

C.若B在五方向上的投影向量的模为Z，则t=7或t=-3

D.若G与B夹角为钝角，则t的取值范围是t<2

5/12

10.【答案】BC

【解析】对于A,向量,二（一2,1）,b=（l,t）.@.a//6,所以一21二1,贝=故A错误;

对于B,t=2时，b=（1,2）.则心加=-2+2=0,所以益与B的夹角为90。，故B正确；

对于C,由已知仿在G方向上的投影向量的模为|胃|=与詈=瓜

所以|一2+4=5,解得t=7或亡=-3,故C正确；

对于D,若五与B夹角为钝角，则,i=—2+tV0且五与刃不共线，

所以tV2且《工一发故D错误.

故选：BC.

11.如图，在三棱锥P—ABC中，AB=BC=y/2,BA1BC,PA=PB=PC=2,。为AC的中点，点M是棱8c

上的中点，则（）

A.PC与平面所成的角为3

B.异面直线48与户M所成角的正弦值为,

C.二面角PiB-C的余弦值为夺

D.点C到平面PA8的距离为罕

11.【答案】ACD

【解析】在三棱锥P-/BC中，^AB=BC=y/2,BAlBC,。为4C的中点，得AC=2。4=2,

由=PB=PC=2,得点P在平面4BC上的射影到△ABC三顶点的距离相等，

即点P在平面力BC上的射影为点。，因此P。1平面4BC,

对于A,"CA是PC与平面ABC所成的角，而△「相为正三角形，贝比PCA=*A正确；

对于B,由点M是8c的中点，得0M〃A8,则4PM。是异面直线与尸M所成的角，

而PM=[22—（当）2=渺0=百,POA.OM,则sin/PMO=^=冷B错误；

6/12

对于C,取AB中点N,连接OMPN,则ON〃BC,ON±AB,PN1AB,

4PN。是二面角P-AB-C的平面角,

对于D,由选项C,得4B1平面PON,而ABu平面24B,则平面PON1平面P4B,

在平面PON内过点。作OQ1PN于Q,而平面PONA平面P4B=PN,

则。Q1■平面PA&。(?=甯=尊=得=亨，

V2

因此点C到平面P48的距离为20Q=第，D正确.

故选：ACD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.样本数据5,11,6,8,14,6,1(),5,9,8的40%分位数.

12.【答案】7

【解析】样本数据由小到大排序为：5,5,6,6,8,8,9,10,11,14,共10个，

又10x40%=4,则样本数据的40%分位数为等=7.

故答案为：7.

13.已知复数z满足(1—i)2z=2-4i,其中i为虚数单位，则复数z的共扼复数万的虚部为

13.【答案】-1

【解析】由(l-i)2z=2—4i,

得z-T-X-2z+ib

传2一(一)2__2i--2i2-

故万=2-i,

则复数，的虚部为一1,

故答案为：一L

7/12

14.如图，在正四棱台力8。0—4避1%。1中，力出1=2,AB=6,若该四棱台的体积为吟金则该四棱台

的外接球表面积为.

14.【答案】等

【解析】已知41%=2,48=6,则上底面积S〔=4,下底面积S=36,体积竽h,

由棱台体积公式得^=1/i(4+364-V4x36)=>5273=52万=h=V3,

设外接球球心P到下底面中心0的距离为，则P到上底面中心01的距离为旧土x,

由正四棱台的上下底面都是正方形可得。A=3vL。遇i二原,

设外接球半径为R，则产=x2+(3V2)2=(V3±x)2+(V2)\

展开并化简：x2+18=%2±273%+5=13=±2>/3x=^x=蔡(负值舍去)，

则辟=(磊)2+18=等

最终外接球表面积：4TTR2=4TT•笔=等，

JL4O

故答案为：警.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知发数z=(62+m-2)+(4—m2)i,meR,i是虚数单位.

(1)若复数z是纯虚数，求m的值；

(2)当m=-1时，复数z是关于x的方程/+p%+q=0的一个根，求实数p,q的值.

15.(13分)

【解析】(1)由题可得，恻2+7九—2—0,且4一7M40,

8/12

由m2+m—2=0得m=1或m=—2,由4—m2。。，得m;±2,

故m=1.

(2)当爪=-1时，z=-2+3i,

代入关于%的方程%2+px+q=0,得(-2+3y+p(-2+3i)+q=0,

整理得，(-5-2p+q)+(3p-12)i=0,

因为为实数，所以｛弋[除写口，

解得p=4,q=13,故实数p,q的值分别为4,13.

16.(15分)

已知向量苍=(1,2),b=(2,-1),c=(m,2),meR.

⑴当伍+丹上(病一助时，求实数2的值;

(2)当M/Q+。时，求向量五与2的夹角的余弦值.

16.(15分)

【解析】(1)由题意可得方+b=(3,1),府-b=(A,2A)-(2,-1)=(A-2,22+1),

因为G+B)JL(归一B),

所以3(a-2)+(2A+1)=0=>A=1.

(2)a+c=(1+m,4),

因为石〃(五+O,所以8+m+1=Onm=-9,

所以2=(-9,2),

所以cos^Q=湍=而森=一粤

即向量G与而勺夹角的余弦值为一晋.

17.(15分)

某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100

份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50),[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

9/12

频率/组距

(1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数；

(2)在样本答卷成绩为［70,80),［80,90),［90,100］的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本

的答卷成绩在［70,80)中的市民应抽取多少人？

(3)若落在［50,60)的平均成绩是57,方差是2,落在［60,70)的平均成绩为69,方差是5,求这两组成绩

的总平均数万和总方差s2.

17.(15分)

【解析】(1)由频率之和为1结合频率分布直方图，

可得10x(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,

解得a=0.03,

样本成绩的平均数约为土=45x0.05+55x0.1+65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74.

(2)由频率分布直方图知，样本答卷成绩在［70,80),［80,90),［90,100］的三组市民有100x10x

(0.03+0.025+0.01)=65(人)，

其中样本答卷成绩在［70,80)的市民人数为100x10x0.03=30,

用分层抽样的方法应从答卷成绩在［70,80)的市民中抽取13=6(人).

(3)由频率分布直方图知，成绩在［50,60)的市民人数为100x0.1=10,

成绩在［60,70)的市民人数为100X0.2=20,

所以总平均数)=若篝竺=65,

总方差52=描温十(57-65)2］+藕［5+(69-65)2］=36.

18.(17分)

在△48。中，角4,8,。所对的边分别为a,b,c,已知同acosC+\/3csinA=b+c.

⑴求角力的大小.

(2)若b=3,△力8c的面积为3VW,求△力8c的周长.

(3)若△48。为锐角三角形，求2cos8+cos。的取值范围.

10/12

18.(17分)

【解析】(1)由题设及正弦边角关系,知sia4cosc+VJsinCsinA=sinB+sinC,

又sinB=sin(n—A—C)=sin(4+C)=sin/lcosC+cos4sinC,

所以百sinCsinA=cos/sinC+sinC,乂sinC>0,

则V5sinA—coszl=2sin(A—^)=1,即sin(4—^)=

因为OvAVir,所以4一代(一9序)，所以人一合也即从=最

(2)由题设Sgsc=^bcsinA==3^3,则c=4,

所以Q=y/b2+c2—2bccosA=V9+16—12=>/13»

所以三角形周长为a+b+c=7+g；

(3)由(I)知8+C=§，则0=胃一8,而，得£<Bv

所以2cosB+cosC=2cosB+cos(g-8)=|cos5+当sinB=V3sin(F+%

而］v8+X手故sin(B+9€&1),

则2cos8+cosC的范围为砥，⑨.

19.(17分)

如图1,在矩形中，AB=6,AD=3,将△BCD沿BD翻折至△8C］。，且4