2026年高考数学试题（天津卷）（学生版+解析版）

2026年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学

第I卷(选择题)

注意事项：

(1)每小题选出答案后，用梁笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号.

(2)本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件A,8互斥，那么P(Au8)=P(A)+P(4).

•如果事件A,8相互独立，那么P(A8)=P(A)P(⑶.

•棱柱的体积公式V=S",其中S表示棱柱的底面积，〃表示棱柱的高.

•圆锥的体积公式其中S表示圆锥的底面积，卜表示圆锥的高.

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知全集。={-2,集合4:{一1,0,1,3},集合3={-2,0,1},贝iJ(Q,A)u8=()

A.{-2}B.{-2,2}C.{0,1,2}D.{-2,0,1,2)

2.设xeR,则“x>0”是“”2+3了>0，，的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度卜.统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数〃=-0.91,

根据最小二乘法算得：^=-1.17x4-1370.7,下列说法正确的是()

，'候鸟个数

•%

•・・・・・・

••

~0赢

A.y与X负相关B.当x=10时，y一定为1359

C.当x=10H寸，y一定小于1359D.两变量无线性关系

4.函数/(X)的部分图象如图所示，则的解析式可能为()

X-Sin7L¥C.-X+sin7L¥D.x-sin7Lv

5.正方体ABCO-AMGQ中，错误的是（)

A.4C7/AGB.CC\L面ABCC.AC。//面AGBD.4£>O[L[ijAC。]

6.已知函数f(x)=|lnx|,若。=/(2°3),/?=/(30-3),c=/（3-0-5）,则。，b,c的大小关系为（

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

14

7.（XH—）（XH-）的最小值为（

XX

A.10B.9C.8D.6

8.已知S2“一S”=〃，6=6,则为+卬=（)

A.68B.56C.-3D.-4

9.已知双曲线fy1（a>0,Z?>0）的左焦点为尸，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足

|用|=|m，NE40=30。，则双曲线离心率为（）

4

A.4BcTD.-

-153

第II卷（非选择题）

注意事项:

（1）用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

（2）本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.化简(3+i)2=

11.（x+2y）4展开式中X1的系数为

在VA3C中'3c=4,AC=3—廿，则sin八----------.

12.

13.箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是.

在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是_________.

14.已知同=〃•〃=1,忖>1,记C=2。+〃〃.当4+〃一c：=0时，义+〃=»当4+C=1

时，4+"的取值范围为.

15.在平面内，。为坐标原点，抛物线)，2=2x上有A、B、C、。四个点，A、B、C、。的纵坐标分

别为以、%、无、%，直线AB与直线C。交x轴于点A直线AC交工轴于点M，直线BO交x轴于

点N,以下说法正确的有.

①若P与抛物线焦点重合，则以%=-2；

②以力=%知；

③|0叫0N|=2|0/f；

④E-%||0=帆-%||网;

⑤。二网『

一SgDPIM)

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知/(x)=sin(2x+—).

6

(1)求最小正周期；

7171

(2)若XG,求/(X)的最大值和最小值；

612_

(3)若ae(O,]),sina=理，求/(a).

17.在长方体A8CO-A8|C|D|中，AB=2,M=3,AO=4,AiE=3EDl,2ClF=FC.

(1)求证：BD&SCEF；

(2)求面AM与面CM的夹角的余弦值;

(3)求三棱锥4-C£F的体积.

18.已知椭圆c：[+=_1<a>b>0)的离心率为:，椭圆被直线x-b截得的线段长为石.

ab~2

(1)求C的标准方程；

⑵斜率为一G的直线与圆/+),2=从相切，且该直线交椭圆于p(%,y),()(x2iy2)(y<)，2)，A

是椭圆的上顶点.记直线"，4Q的斜率分别为勺，右，求》.

19.已知等差数列｛%｝与等比数列｛，｝满足：%=2,4=1,“2=4十4，%=4一%.

(1)求数列｛4｝,｛"｝的通项公式；

(2)idE,,=｛XGR|X<H,mZeN"%=4或x=4｝，记c”为E”中的元素个数.

(i)求c,；

y-\

仆)求Z(-l)”.q-

m=l

2

20.已知/(x)=el--sinx.

(1)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

「1、丫

(2)当龙£--,+oo时，证明f(x)>\+-；

_3)3

(3)求实数。的最大可能值，使得/(!)♦/([)•/d)/(L)N(〃+1)“对任意的〃EN*都成立.

123n

2026年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学

第I卷(选择题)

注意事项：

(1)每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选

涂其他答案标号.

(2)本卷共9小题，每小题5分，共45分.

参考公式：

•如果事件A,4互斥，那么P(4uB)=P(A)+P(B).

•如果事件A,8相互独立，那么P(A8)二尸(A)P(8).

•棱柱的体积公式V=S〃，其中S表示棱柱的底面积，/?表示棱柱的高.

•圆锥的体积公式其中S表示圆锥的底面积，力表示圆锥的高.

3

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集。={-2,—1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,3},集合8二{—2,0,1},则（6人）u8二（）

A.{-2}B.{-2,2}C.{0,1,2}D.{-2,0,1,2）

【答案】D

【解析】

【详解】由题可得出力={-2,2},又因B={—2,0.1},

则©A）u8={-2,0,1,2}.

2.设XER,则“x＞0”是“工2+3汇＞0'’的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】由f+3x＞0，解得：xv-3或工＞0,

即工＞0时，V+3x＞（）成立，反之不成立，

所以“x＞0”是+3*＞o”的充分而不必要条件.

3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数/*=-0.91,

根据最小二乘法算得：y=-l.17x4-1370.7,下列说法正确的是（）

八候鸟个数

•%

•・・・■・・

~0巅

A.）与工负相关B.当x=10时，＞一定为1359

C.当x=10时，，一定小于1359D.两变量无线性关系

【答案】A

【解析】

【详解】因为相关系数r=-（）.91,且散点图从左到右呈现下降趋势，且整体分布在较窄的带状区域，

所以y与x负相关，所以A正确，D错误;

当」=10时,y=-11.7+1370.7=1359,所以y约为1359,

所以B,C错误.

4.函数/（X）的部分图象如图所示，则/3）的解析式可能为（）

A.x+sinxvB.x-sin7uC.一x+sinnxD.x-sinjtr

【答案】C

【解析】

【分析】A、B、D项，结合特殊点即可排除；C项，求出奇偶性和单调性，即可判断.

【详解】由题意，

由题意及图得，函数y=为奇函数，且当工=1时，/（x）<0,

对A选项，当x=l时，l+sin7t=1+0=1>0,与图象不符，故A错误；

对B选项，当x=I时，l-sin7t=l-0=l>（）,与图象不符，故B错误；

对D选项，当工=1时，Ixsin兀=1x0=0,与图象不符，故D错误；

对C选项，在g（x）=-x+sinnx中，

g（一1）=一（一x）+sin（-兀r）=x-sin7u=-g（x）,即该函数为奇函数，

g（l）=-l+sin兀=-1+0=-1<0,与图象相符，故C1E确.

5.正方体—中，错误的是（）

A.AC/M1GB.Cq_L面ABCC.ACQ//面耳。出D.AOQL面AC。

【答案】D

【解析】

[分析】A项，通过证明四边形ACG4是平行四边形，即可证明结论；B项，通过CC]±BC,CC}±CD,

即可证明CC,±平面ABC；C项，通过证明4CV/平面AG8,CQ〃平面A.C.B,即可证明结论；D项,

假设垂直，得出AO_L平面AC0,结合几何知识得出矛盾，即可得出结论.

【详解】由题意,

在正方体ABC。一A4GA中，

A项，

AA}//CC{,AAX=CC},

匹边形ACC/1是平行四边形,

.•./C//AG，A正确；

B项，

由几何知识得，CC,±BC,CC.±CZ),

BCcCD=C,8Cu平面ABC,CDu平面ABC,

.•.CG_L平面ABC,故B正确；

C项，

­.MC/ZAjC),A[C]U平面AGB,ACa平面AG8,

.•.4。//平面4£8,

由几何知识得，BC//A\D\,6C=AR,

匹边形AMR是平行四边形，

:.CD、11A、B,

••・A^u平面AC/,CQu平面RGB，

••.CQ〃平面AGB,

•”cncA=c,A31AG=A，

平面AC。//平面AG3,C正确;

D项，

假设平面AOA_L平面4CR，则交线为AD「

此时有AQ_L4。，

平面AC。，

•••＜。匚平面人。〃，

..A.D1AC,

连接AG，C"),

由几何知识得，AC//AC，则AO_LAG，故NGA力=90。

在二AG。中，由几何知识得，AG=AD=qD,

・•.三角形为等边三角形，ZC,/\D=60°,矛盾，

故D错误.

6.已知函数/。)=何4若。=/(203),〃=/(3°3),c=/(3/‘)，则。，人，。的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD,c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简/(X),再由指数函数、对数函数和暴函数的单调性比较大小即

可.

/、fliu,X>1

【详解】由题意可得=11八,

-lnr,O<x<I

因为函数y=X03在（0,+<»）上单调递增，所以1<203<303，

又因函数y=3、在R上单调递增，则0v3<5<1<305,

所以c=/（3-°5）=-ln3-°5=In305=/（305）,

因1<203<303V3°,，且/（力在（L+o。）上单调递增,

35

所以/（3°-）</（3°-）,即/（20.3）</（3°3）V/（3T5）.

故。<b〈c.

14

7.（XH--）（XH--）的最小值为（）

XX

A.10B.9C.8D.6

【答案】B

【解析】

（1V4、r4I,4

【详解】因为x+-x+—=x2+—+5>2Jx2—+5=9,

Ix八x）xVx-

4

当且仅当V=U，即V=2，/=±及时，等号成立，

1V4

的最小值为9.

8.已知S2”-S“=〃，4=6,则%+4=()

A.68B.56C.-3D.-4

【答案】C

【解析】

【分析】根据前〃项和的含义，依次令〃=2,3,4,逐步计算即可得到结果.

【详解】由S2”-S“二〃，得

52-5]=1,即生=1；

S4-S2=2,即a3+4=2；

因为“3=6,所以。4二一4；

S6-S3=3,即a4+a5+a6=3,所以6+%=7；

Ss-S4=4t即％+4+%+/=4,所以%+4=-3.

r2v2

9.已知双曲线一^一看二］（a>0,b>0）的左焦点为尸，A是右顶点，P是双曲线上一点，满足

"h2

|网=|尸"，NE4尸=30。，则双曲线离心率为（）

884

-C--

A.4B.35D.3

【答案】D

【解析】

【分析】过点〃作尸，垂直x轴I,垂足为〃，根据几何关系用表示出点，坐标，代入双曲线方程构造齐

次式，然后可得离心率.

【详解】如图，过点尸作PH垂直于x轴，垂足为H，

因为|E4|=|F",所以NFQ4=/E4P=30。，所以/尸a7=60。，

X|PF|=|E4|=67+C,所以|//q=3（〃+°）产川=孝（4+办

（13V36\

根据双曲线对称性，不妨设点P在第二象限，则P--a--c^a+—c,

IX2222Z

（13Y（6Y

将点P坐标代入双曲线方程得：［~2a~2C）［2"23，

a2b-

整理得（a+3c『6—3（。+c）2a2=4a2b2,

将从二。2一/代入上式，整理得（〃+3c•『（/—/）—3（a+cY〃=4//2一/）,

,4

两边同时除以a4,整理得（3«-4）（«+1）~=0,解得e=Q.

J

第II卷（非选择题）

注意事项：

（1）用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

（2）本卷共11小题，共105分.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分.

10.化简（3+i）2=.

【答案】8+6/

【解析】

【详解】（3+f）2=9+6z+Z2=8+6/.

11.（x+2y）4展开式中的系数为.

【答案】

8

【解析】

【分析】根据二项式定理得到（x+2），）4展开式的通项公式即可求解.

【详解】根据二项式定理，（/+2），）4展开式的通项公式为（广C—'（2），）'=Q23Jy,

当r=l时，7；=C>4-,（2y）'=C；2,x3y,因此Y）,的系数为C：2i=4x2=8.

12.在VA6c中，6c=4,AC=3,uos/A=-i则sin6=________.

4

［答案］

1616

【解析】

【详解】在V43C中，cosA=~t所以sinA=Ji-Cos?A=11--!-=任

4V164

々V15

由正弦定理可得疝8ACsin.43、工3715.

BC-416

13.箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是；

在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.

【答案】①.A®.g

【解析】

【分析】第一空：计算出每次取到不是黄球的概率，即可得出三次都没取到黄球的概率；第二空：计算出至

少取到一次红球的概率，借助条件概率即可得出结论.

【详解】由题意，

第一空：

箱子里总共有6个球，其中黄球2个，非黄球共4个。

设事件A表示没取到黄球，事件<表示三次都没取到黄球,

42

有放回抽取，每次取到非黄球的概率为尸(4)=:

63

三次都没取到黄球的概率:

第二空:

设事件片表示至少取到一次红球，事件与表示三次都取到门球,

•.♦三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率:W在广

P(M)=P(A)-P(B2)=A_1=1L,

37

名地=五二至

，?⑻A?)=

尸(4)-A64

27

3^

.•.在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是三.

64

14.已知同=。力=1,M>1,记-=当〃+人一c=0时，尤+〃=当a+b-c=1

时，〃的取值范围为

【答案】①.2②.[L3]

【解析】

【分析】第一空：利用;心+4和a+/.c=O得出义和4的值，即可得出结论；第二空：将。=然+〃力

代入忖+人W=1得|(1一4)"(1")同=匕展开，令x=l-3y=l-〃，S=x+y,代入并整理,

得出s2=l-(r2-l)y2<1,即可求出％+〃的取值范围.

【详解】由题意，

时=。力=1,b>\,c=2a+即

第一空：

当〃+Z?-c=O时，c=a+b=+曲，

A=//=1,

二4+〃=2.

第二空：

将c=Xa+/心代入,+〃—c=1得(1—4)々+(1—〃)司=1,

两边平方,得：[(1-4)。+(1—4地]2=1,

展开：(1—几)~|〃「+2(1—A)(l—/.i)ci,/?4-(1—//)2\hp=1,

代人|々|一1,ab-\y记

(1-〈A+2(1-4)(-2]_4)2=],

令工=1-4,y=l—〃，S=x+y,

则原式变为：f+2划+7y2=L

配方得：x2+2xy+t2y2=(x+)产+(产-1))?=52+(r2-l)y2=1,

由于r>1»(r2-l)y2>0,因此52=i-(r2-i)/<1,

即|5|<1,解得se[7J],

4+4=2-s£[2-1,2-(-1)]=[1,3],

因此，丸+4的取值范围为：[1,3].

15.在平面内，。为坐标原点，抛物线)'=2x卜有A、B、Cx。四个点,Ax"、CxO的纵坐标分

别为以、打、%、）力，直线AB与直线C7）交/轴于点尸，直线AC交x轴于点M，直线B。交x轴于

点N,以.卜.说法正确的有.

①若P与抛物线焦点重合，则）二九=一2；

②%%=)”。；

③QM|ON|=2|。叶;

op

®yA-yc\\\=\yB-；

【答案】②④

【解析】

【分析】首先探求抛物线弦与X轴交点坐标与弦端点纵坐标积的关系，再利用关系式逐项分析，①②易得,

③④⑤将长度与面积都转化为纵坐标表示，化简求解可得.

【详解】由题意A、B、C、。为抛物线y2=2x上四个点可知，力,）%，%，%两两不等・

设抛物线），2=2x上任意两点SJ-,r,其中

I(2/7)\/

〃s—，2

当S+/HO时，直线S7的斜率“=£_匕二7二,

万一5

2t2

则直线sr方程为y一二上（x—L）,

s+t2

令y=0,则直线ST与x轴的交点火横坐标方=一万

特别地，当s+/=0时，s=-t,

st

此时直线ST垂直于x轴，用=——也成立，

2

因此，直线ST与x轴的交点R横坐标与=-彳（*）.

①由题意直线AB交x轴于点P，若P与抛物线焦点重合，则其横坐标为

故由*式可得J=察，即），储二=一1。一2,故①错误；

②由题意直线AB与直线CD交x轴于点P,

则由*式可得点P横坐标厮==-2四

22

可得故②正确；

③由题意直线AC交x轴丁点〃，直线BD交x轴丁点N,

则由*式可得

力切,|。尸|二闯

2

^\OM\\ON\=回呼曲=唔,|0P|2=唔，

故|OM||ON|=|O/f,故③错误;

@由*式可得回一利0"=①-4嘤,帆-力||。“卜帆-％I空，

当点A或。为原点时，则点RM也重合于原点，此时|”一先||0"二屏一％||0叫；

当点A与。均不为原点时，即以"。，且为羊°，

人-川岁瓦为一二|必九一无力|=[

则结合②结论可知,

惇1%先一为先|1yByc一如先I

则有以一％||。”=瓦-切||。叫，故④正确;

■力™可嘲嚼则舞图悔卜闺:

5.°」.旧一川|华一竽,一川

S'”^P\\yB-yD\|华_华卜「%|

"旧一由以旧一词Wfz.Y-M

|%||%-%|1为「〔总|。斗

\0M\।q

如图,当网"时，U八c『不成立，故⑤错误;

q

uRDP

故答案为：②④

三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.已知/（x）=sin（2.v+—）.

6

（1）求最小正周期；

兀71

（2）若XG——»求/（%）的最大值和最小值;

612

（3）若。£（0,］）,sina=理，求/（a）.

【答案】（1）兀

（2）最大值为无，最小值为-1

22

⑶俎

6

【解析】

【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；

（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；

（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.

【小问1详解】

T2兀2花

【小问2详解】

n兀,-兀7T兀

若xw,则2x+—G

651266y3

由正弦函数性质可知，当2x十二二-3,即1=一"时,函数/（X）有最小值，即/（A）=f=--

666k672

盍时，函数〃X）有最大值,即小）2=幅）考

cTCTC

当2x+_=一即工二

63

，最小值为一一；

2

【小问3详解】

若ac0,g)

sina=—,所以cosa-Vl-sin2a-，

33

2y、।

则sin2a=2sinacosa=----，cos2a=1-2sin2a=-

33

则“a)=sin(2a+4]=sin2QCOs4+cos2asin4=^x^+，x，=^il

*v7I6J6632326

17.在长方体A3cO-A4GA中，AB=2,AA=3,AD=4,%E=3ED、,2C,F=FC.

（1）求证：BD，面CEF；

（2）求面AEF与面CEF的夹隹的余弦值;

（3）求三棱锥A-的体积.

【答案】（1）方法一：如图，过点E作EG〃CG,交AD于点、G,则有AG=3GQ,GO=1.

连接CG,则C,C、,E,G四点共面，平面CEF即平面CC.EG.

由丝二笔=1，NGDC=NDCB=900,可得二GDC与△OC3相似，

CDBC2

所以ZGCD=ZDBC,则可得/GCD+N8QC=90°，所以CGA.BD.

长方体ABCD-44GA中，CG_L平面ABCD,

因为Mu平面4以力，所以CG_L8O.

又CyCG=C,CCi,CGu平面CEF,所以40上平面CEF.

方法二：

如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系。-A>2.

则。（0,0,0）,4（4,0,0）,8（420）,C（0,2,0）/（0,2,2）,E（l,0,3）.

所以。8二（4,2,0）,。石二（1,一2,3）,6=（0,0,2）.

所以08CE=4-4+0=0,03CF=0+0+（）=0，

所以O8_LCE,OB_LC7\即bD_LCE,8D上CF.

又CE「CF=C,CE,CFu平面CEF,所以BD上平面CEF.

（2）叵

5

（3）2

【解析】

【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证；

（2）建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向最法求该角的

余弦值可得；或由面面角的向量求法可得；

（3）由向量法证明A£_L即，从而求得△?!£：尸的面积，由向量法求得点C到平面AE厂的距离，再根据

棱锥的体积公式求得三棱锥A-CEF的体积；或由向量法求得点A到平面CEF的距离，根据棱锥的体积公

式可得三棱锥A-CEF的体积.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

方法一：过点、E作EG〃Cq,交AD于点、G,则有AG=3GD,GD=\,

连接CG,则C,F,E,G四点共面，平面CEF即平面CFEG.

如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系。一-2,则

D(0,0,0),A(4,0,0)1(0,2,2)、E(l,0,3),G(l,0,0)

EF=(-1,2,-1),AE=(-3,O,3),所以A立方=0,

所以

(\51(15)

取所的中点尸，则P,所以GP=一不1,[

(22)I22)

GPEF=^+2-|=0,所以GPJ_E/L

所以异面直线AE与GP所成的角等于平面AEF与平面CEF的夹角.

315

「KEAEGP2+2厉

又cos(AE,GP)=_==——〜，

'/何忖3丘叵5

2

所以平面AEF与平面CEF的夹带的余弦值为叵.

5

方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系。-R，Z.

则仇0,0,0),4(4,0,0),8(4,2,0),C(0,2,0)1(0,2,2),矶1,0,3).

所以A£二(—3,0,3),4尸=(-4,2,2),

设平面4石厂的法向量为«=(x,y,z),

〃・AE=-3x+3z=0

则＜,故可取〃=(1,1,1).

n-AF=-4x+2y+2z=0

由(1)知平面CE尸的一个法向量为08=(4,2,0),

nDB_4+2后

所以cos(小网

\n\DB_6x2行-5

所以平面AEF与平面CEF的夹带的余弦值为叵.

5

【小问3详解】

方法一：由即二(一1,2,—1),AE=(—3,O,3),得尸=(),

所以

所以的面积为』AE-E/=,x3j5xJ&=3G.

22

由（2）知，平面4瓦'的一个法向量为〃AC=（T,2,0）

点C到平面AEF的距离为

所以三棱锥C-A£F的体积V=lx3Gx毡=2,

33

所以三棱锥A-CEF的体积为2.

AEDB12_6>/5

方法二：点A到平面CEF的距离为

1)8

因为EG〃。77,所以瓦G到C尸的距离相等，

所以的面积等于^GCF的面积，即,xCGx。/=LxVI+4x2=石.

22

所以三棱锥A-CEF的体积为V=ix75x2叵=2.

35

22

18.已知椭圆C：=+==1（6/>/2>0）的离心率为：，椭圆被直线x=b截得的线段长为石.

a~b~~

（1）求C的标准方程;

（2）斜率为一百的直线与圆x'+）J=z/相切，且该直线交椭圆于尸（玉，y）,0>2，%）（）'】《当,A是

椭圆的上顶点.记直线AP,AQ的斜率分别为仁，匕,求

【答案】(1)—+^-=1

43

(2)3

【解析】

【分析】（I）根据椭圆的离心率可知。=2c,b2=3c2，然后将x=b代入椭圆方程即可求解;

（2）根据直线与圆相切即可求出加=±2&，分类讨论即可.

【小问1详解】

由干椭圆的离心率为:，所以e=—二一,即。=2。，

2a2

由于/=从+<2,所以〃2=3/,

将x=b代入椭圆方程，得耳+*=1,即三十二二1,解得即）,=±且o

a2b24c3c24’2

由题意，所截得的线段长为G，所以2』c=6,解得c=l,从而。2=4力2=3,

2

22

所以椭圆的方程为二x+乙V=1.

43

【小问2详解】

由（1）可知，片=3,所以圆的方程为V+）3=3,

设直线/的方程为y=-Jlr+/〃，因为直线/与圆相切，如图所示,

则圆心到直线/的距离“一J（6）+/-2，解得，〃=±26,

椭圆上顶点A（0,6）,分两种情况讨论：

22

①当m=26时，直线/的方程为y=—&X+26,代入椭圆方程5+三二1，

化简得5/一16%+12=0，解得X=2或X=4，

则当x=2时，）=0,当工=?时，），=勺叵，由于）=<%，所以尸（2,0）,Q

55

4J3A「6

I0-6G,"T-7G

则用=-------=—,b=----=—

2-02-6_06

56

22

②当〃7=-20时，直线/的方程为y=—JI・2jL代入椭圆方程工+工=1,

化简得5d+16x+12=0,解得x=—2或x=—g,

当上二-2时，y=0,当工=一9时，v=--,由于必〈乃，所以-坐]，Q(-2,0),

5，5^155J

_46_r-3百

则勺二―——,%2=^^=立，此时*=伎=3.

6c2-2-02k、J3

52

综上所述，口的值为3.

19.已知等差数列｛4｝与等比数列也｝满足：％=2,b]=],4=乙+4，一片.

(D求数列｛〃“｝,也｝的通项公式；

(2)记，弘EN"，X或工=4｝,记c”为「中的元素个数.

(i)求。3”；

3"-1

(ii)求

m=l

【答案】(1)4=2几也=3"7

小小1aj32向+(4〃-6)3"+3

(2)(1)c”=—•3+〃+—；(ii)----------------L-------.

3224

【解析】

【分析】(1)通过基本量计算即可求得通项公式；

(2)(i)分析｛《,｝和｛2｝项的特征，结合集合名的定义即可得解；(ii)利用分组求和法和错位相减法求和

即可.

【小问1详解】

设等差数列｛〃“｝的公差为d,等比数列｛〃｝的公比为/

因为q=2,。=1,6=4+4,4=4一4，

2+cl=\+qUd=-q_3\'叫d=2d=-｛

所以《；，即《,或，八(公比不能为0,舍去),

2+3d=/—l［，/=3[4=。

所以勺=2〃*”=31

【小问2详解】

(i)由⑴知凡为偶数，b”为奇数,所以数列｛《J和也｝没有相同项,

根据题意，集合与中的元素由数列｛q｝和｛2｝中小于等于〃项组成，

小干3”的正偶数有3^”―-15■个，由3J«3"得左W〃+l，ZeN'，

2

所以数列｛〃〃｝中小于等于3”的项有土/个，｛仇｝中小于等于3"的项有〃+1个,

3"-111

所以c”=---+/?+l=--3n+^+-.

3222

(ii)当31乂〃2<3'时，｛“｝中小于等于冽的项有i个,

又阳为偶数时，｛q｝中小于等于，〃的项有3个，，〃为奇数时，｛/｝中小于等于，"的项有一个,

i+二,3"W〃z<3'/eN］〃为偶数

2

所以7=

/+—―-,3y1</w<3',iGN”,机为奇数

2

2im+m2,3,-1<m<3\zG偶数

所以册q〃

2im+（〃?一1）,3,-1<vn<3:,zeN\为奇数'

从S--到&共有3/-l-（3/-,-l）=2.3m项,

又阳为奇数时,

q“£”+i-a〃£”=2i（〃z+1）+（加+1「-2加lm（〃L1）=27+1+3m

所以E㈢）"&曦=31⑵+1）+3〔3“+（3“+2）+（3"+4）+…+（3,—2）］

/n=3,-1

3“（3一+3J2）

=3,-'（2/+1）+3——-------------上=3'”（2i—2）+6•9'”，

3"-13'-132-13--1

所以£（一1广=Z（T广%。+E（T『4n/+…+Z㈠）”—

W=l"1=3°?w=3'm=3"I

=（0.3。+6.9。）+（2.31+6。）+（4.32+6.92）+...+[（2/?-2）3"7+691

=[（）・3。+2・31+4・32+・一+（2〃一2）3"-1+6（9。+91+92+—+9'1）

[2-3,+4-32+---+（27?-2）3Z,_,]+6-1・9”

1-9

=[2-3,+4.32+---+（2H-2）3,,-']+1（9M-1）

令S“=27+4-32+…+（2〃一2）3"”①，

则3s“=2口2+4・33+…+（2〃-2）3”②,

①-②得—2S“=2（3'+32+-+3”T）-（2/?-2）3〃

3（1-3〃T）

（2/?-2）3n

1-3

=-（2〃-3）3"-3,

（2k-3）3"+3

所以S“=

2

所以电等+料f32n+,+（4n-6）3n+3

m=\/4~1~

2

20.已知/（x）=eK--sinx.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,7(0))处的切线方程;

（2）当XW,+sJ时，证明f（x）21+2；

"3

(3)求实数。的最大可能值，使得/(1)•/(；)•/(；)

/（-）＞（/?+1/对任意的〃GN4都成立.

123n

【答案】（1）x-3y+3=0

2I

（2）令g（x）=ev--1,则g'（x）=e'——COSX一

3333

2222121

当工之0时，e’21，——《——cosx<—,则g'(x)=e，——cosx一一>1--------=0,

3333333

所以g(x)在［0,+8)上单调递增，则gM>g(0)=1-0-0-1=0,

21

所以g*)之0在［0,+8)上恒成立，即e'--sin尤之一X+1在［0,+8)上恒成立；

3

I?1

当一一Wx<()时，令m(x)=g'(x)=e'—cosx—,

3