排列组合的十二大必刷题型（6大基础题型+4大能力提升+2大拓展提升）解析版-2025-2026学年高二数学下学期（人教A版选择性必修第三册）

刷透排列组合的十二大必刷题型

,题型一元素（位置）有限制的排列问题

题型二排数问题

题型三排队问题

基础达标题

四抽取问题

题型五代数中的组合问题

型六几何中的组合问题

题型七多面手问题

题型八不同元素的分组分配问题

排列组合的十二大必刷题型能力提升题

题型九相同元素的分组分配问题一隔板法

题型十涂色问题

题型十一方程的整数解的个数问题

拓展提升题

题型十二排列组合的创新题型

基础达标题

题型一元素（位置）有限制的排列问题

1.（25-26高二下•全国•课后作业）要从4力，",？,5个人中选出1名组长和1名副组长，但。不能当副组长,

则不同的选法种数是（）

A.20B.16C.10D.6

【答案】B

【解析】不考虑限制条件有7种选法,

若。当副组长，有A；种选法，

故。不当副组长，有A；-A：=16（种）选法.

故选:B.

2.（2026•山东淄博•一模）有5名司学力，B,C,D,E参加唱歌比赛，抽签决出出场顺序.若力和8都不

是第1个出场，且。不是最后一个出场，则这5人不同的出场顺序种数为（）

1/31

A.42B.50C.54D.60

【答案】D

【解析】根据题意，分。是第1个和。不是第1个且不是最后一个，两类情况讨论：

当。是第1个时，此时剩余的48,。,E全排列，共有A：=24种不同的排法：

当C不是第1个且不是最后一个时，先排第1个，从。£中选一人为第1个，有2种选法；

再排C,有三个位置可选，有3种排法，最后三人全排列，有A；=6种排法，

所以共有2x3x6=36种不同的排法，

由分类计数原理得，共有24+36=60种不同的排列情况.

3.（25-26高二下・贵州•月考）现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一

到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期

五，则不同的安排方式共有种.

【答案】78

【解析】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有A：=24和I

若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有A；A；A；=54种，

故不同的安排方法有78种.

4.（2026・湖南•模拟预测）某电竞战队从6张不同地图中选择3张，按顺序用于3场比赛，且每张地图最多

使用一次.若第一场比赛不能使用地图“峡谷之巅”，则不同的选择方案共有种.

【答案】100

【解析】考虑所有情况为A：=120种，

如果第一场选择“峡谷之巅"共有A；=20种，

那么第一场不选择"峡谷之巅〃，则有120-20=100种选法.

题型二排数问题

1.（25-26高二下•全国•课后作业）用1,2,3...,9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数

为（）

A.324B.224C.360D.648

【答案】B

【解析】先排个位，有A；种，然后排H立和百位，有A；种，

2/31

故共有A：A；=224（个）没有重复数字的三位偶数.

故选：B

2.（24-25高二下•广东肇庆•月考）用0,1,2,3,4五个数字，组成无重复数字的五位数，则下列说法不

正确的是（）

A.共有96个数B.偶数有60个

C.大于31000的数有24个D.数字2和数字4不相邻的数和60个

【答案】C

【解析】对于A,首位不能为0,故共有4种；剩下的4个数全排列共有A：=24种，一共有4x24=96种,

故A正确，

对于B,末位为0时，剩下的4个数全排列共有A：=24种；

末位为2时，首位小能为0,故共有3种，剩下的3个数全排列共有A；=6种，一共有3x6=18种；

末位为4时，首位不能为0,故共有3种，剩下的3个数全排列共有A；=6种，一共有3x6=18种；

总计有24+18+18=60种,故B正确，

对于C,首位为4时，剩下的4个数全排列共有A：=24种；

首位为3时，千位为2,4,剩下的3个数全排列共有A；=6种，一共有2x6=12种：千位为1,剩下的3个

数全排列共有A；=6种，

总计有24+12+6=42种,故C错误,

对「D,一共的排列共有96个数.数字2和数字4相邻的数共有A：=24种，0在首位的情况有A；=6种，

数字2和数字4不相邻的数有96-2X（A”A；）=6（W,故D正确.

故选：C.

3.（2026・辽宁•模拟预测）已知1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成一个八位数（各位数字不重复），满

足任意相邻数字奇偶性不同，且5、6两个数字相邻，则这样的八位数有（）个.

A.432B.257C.282D.504

【答案】D

【解析】第一步：把1、2、3、4,7、8奇偶数相间而排，共有A；A：A；=72种，

3/31

第二步：再把5、6两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶，

所以插入后奇数旁边放6,偶数旁边放5,则这7个空共有C；=7种排法，

根据分步计数乘法原理可得：这样的八位数有72x7=504个，

故选：D.

4.（2025•甘肃甘南•模拟预测）从1,2,3，…，100中任取不同的两数,则该两数之和能被3整除的取法种

数为（）

A.1650B.1617C.1122D.528

【答案】A

【解析】将1，2,3,…，100中的数按被3除余数多少分为3类：

被3除余d=0,1,2）的数组成集合4,则4,4中各有33个数，4中有34个数，

从4,中仟取两个数,其和可以被3整除,共有CM种取法：

从4中取1个数，再从4中取1个数，两者的和也可被3整除，有C\C1种，

故符合条件的取法种数为Ci+C\C；3=528+1122=1650种.

故选：A.

5.（25-26高二下•全国•课后作业）从-3,-2,-1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数

y=十区十c的系数。也c,问：

⑴共能组成多少个不同的二次函数？

（2）在这些二次函数中，图象关于/轴对称的有多少个？

【答案】⑴294

⑵42

【解析】（1）方法一：因为。工0,

所以确定二次项系数有7种，确定•次项和常数项有A；种，所以共有7A；=294个不同的二次函数.

方法二：当。力,c中不含0时，有A；个；

当a也c中含有0时，有2A；个,

故共有A；+2A”294（个）不同的二次函数.

方法二：共可构成A；个函数，具中当。=0时，有A；个均不符合要求，

4/31

从而共有A；-A；=294（个）不同的二次函数.

（2）依题意图象关于歹轴对称，即6=0,

所以共有A；=42（个）符合条件的二次函数.

6.（25-26高二下•全国•课堂例题）从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问:

⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？

⑵上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？

⑶在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？

⑷在（1）中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？

【答案】（1）100800

（2）14400

（3）5760

（4）28800

【分析】（1）利用分步乘法计数原理可得答案；

（2）利用相邻元素捆绑法可得答案；

（3）利用相邻元素捆绑法可得答案；

（4）利用不相邻元素插空法可得答案.

【解析】（1）分步完成：笫一步，在4个偶数中取3个，可有C：种取法：

第二步，在5个奇数中取4个，可有C；种取法；

第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A；种排法.

所以符合题意的七位数有C：♦A；=100800（个）.

（2）上述七位数中，3个偶数排在一•起的有C〉C>A；・A；=14400（个）.

（3）上述七位数中，3个偶数排在一起，

4个奇数也排在一起的有C：•C；・彩A；•A”5760（个）.

（4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，

再将3个偶数分别插入5个空中，共有•<=28800（个）.

题型三排队问题

5/31

1.（25-26高二上•江苏常州•期末；有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻,

则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

【答案】D

【解析】将甲和乙看作一个整体，有用=2种方法，

将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有父=24种方法，

根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：2x24=48种.

2.（2026•山东滨州•一模）春节期间，某人计划去C,。,民厂六个不同的景点游览，在确定景点的游览

顺序时，要求力在8之前，C与。相邻，则不同的游览顺序有1）

A.24B.60C.120D.240

【答案】C

【解析】将捆绑看作一个整体，内部有A；=2种排列方式；

再将A,B,CD,E,F5个元素全排列有：A；=120,

故满足C与。相邻的排列共有A；xA；=2x120=240种.

在所有排列中，力在8之前和/在8之后的排列数相等，各占总排列数的一半，

囚此/在5之前，C与。相邻，不同的游览顺序有24竽0=120种.

3.（25-26高三卜・•河南驻马店•开学考试）中国占代中的“礼〃"乐""射”"御〃"书”"数〃合称"六艺〃.某校国学社

团茂备开展关于"礼""乐〃"射〃"御""书""数"的讲座活动各•场,讲座场次要求"礼”不在第•场也不在最后•场,

“射"和”御〃的场次不相邻，则不同的排法共有（）.

A.408种B.336种C.240种D.120种

【答案】B

【解析】"礼"不在第一场也不在最后一场，先为“礼”选择中间4个位置中的1个，有C：种方法；再将剩

余5个元素全排列，有4种方法，共CX=4x120=480种，

先将“射"和“御”捆绑，内部有A；种排法；将此捆绑体与其余4个元素（含“礼〃）排列，要求“礼”不在首尾，

排法有A；—2A：种,

6/31

故“礼”不在第一场也不在最后一场，且“射”和“御”的场次相邻的徘法共（A*2A：）A；=（120-48）x2=144

种，

故不同的排法共有480-144=336种.

4.（25-26高二下•浙江•开学考试）有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学

比他正前面的同学身面而，则不同的站法种数为（）

A.90B.120C.270D.720

【答案】A

【解析】先给第1列选2人，从6人中选2人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有1种符合要求的

排法,共谖种选法,

再给第2列从剩余4人中选2人，同理也只有1种排法，共C：种选法，

最后剩余2人自动为第3歹IJ,仅1种排法，即C；,

即总站法数为：C：xC：xC：=15x6x1=90.

5.（25-26高三下•云南昆明•月考）现有6名同学，包含2名男生、4名女生，分2排3列（第1排3人、第2

排3人），其中第1排是3名女生4、8、C,第2排是2名男生甲、乙和1名女生要求女生4和男生甲在

同一列，则不同的排法种数为（）

A.12B.36C.48D.72

【答案】A

【解析】当女生4和男生甲在同一列时，先选出女生力和男生日所在的一列、接着排女生8和。、再排男

生乙和女生。，

则排法总数为C；A；A；=12.

故选:A

6.（2026・浙江•一模）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻

出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（）种.

A.216B.360C.432D.672

【答案】C

【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求

7/31

【解析】步骤L先排4个歌舞节目：A：=24,排好后会产生5个空位(包括两端)；

步骤2：将2个机器人节目插入空位：A；=20；

步骤3：排除“前3个节目全是歌舞〃的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有A：=24种方

法，

剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器

人”的排列,

有8=2种方法.故不满足条件的情况有A：♦A；=48.

故总数为：24x20-48=432

故选：C

7.(25-26高二下•安徽六安•月考)从包含甲、乙2人的8人中选4人参加4x100米接力赛，求在下列条件

下，各有多少种不同的排法？(结果用数字作答)

⑴甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；

(2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；

⑶甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；

⑷甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.

【答案】⑴60

(2)180

⑶180

(4)210

【解析】(1)甲乙两人在中间两棒，则有A；=2种排法，

从剩卜.6人选出2人排列到两边，有A；=30种排法，

贝IJ共有2x30=60种排法.

(2)将甲乙绑定到一起，内部有2种排法，

从剩下6人选出2人，有C；=15种选法，

全排列3个元素有A；=6种排法，

所以共有2x15x6=180种排法.

8/31

（3）先从剩下6人选出2人先排列，有A：=30种排法，

将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有段=6种排法，

所以共有30x6=180种排法.

（4）若甲在第四棒，

则从剩下6人选出2人，有C；=15种选法，

3人全排列，共有A；=6种排法，

此时共有15x6=90种排法，

若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有2种排列方法，

乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有2种排列方法，

再从剩下6人选出2人排列到剩下的两个位置，有=30种排法，

此时共有2x2x30=120种排法，

综上，共有90+120=210种排法.

题型四抽取问题

1.（2025•山西•二模）甲组有2名男生，3名女生；乙组有3名男生，2名女生.若从甲、乙两组中各选2名

学生，选出的4人中恰有1名女生的选法种数为（）

A.24B.25C.30D.36

【答案】A

【解析】恰有1名女生分两类.第一类：甲组选1名女生，1名男生，乙组选2名男生，有C；C；C；=I8种选

法；

第二类:甲组选2名男生，乙组选1名女生1名男生，有C；C；C；=6种选法，

所以，由分类加法计数原理可知共有24种选法.

故选:A

2.（2025・贵州毕节•一模）某学校开设了6门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这10门课中选

修3门课进行学习，并且每类选修课至少选修［门，则不同的选课方案种数是（）

A.96B.116C.120D.192

【答案】A

【解析】由题意可知，选课方案分2类；

9/31

①选1门体育类选修课和2门艺术类选修课，有=36种方案,

②选2门体育类选修课和1门艺术类选修课，有C；C；=60种方案，

所以不同的选课方案种数是36+60=96种.

故选：A.

3.（24-25高二上•黑龙江•期末）今年暑期档推出多部精彩影片，其中比较热门的有《解密》，《名侦探柯

南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《死侍与金刚狼》，甲和乙两位同学准备从这5部影片中各选2部观看.若两人

所选的影片恰有一部相同，且甲一定选《抓娃娃》，则两位同学不同的观影方案种数为（）

A.24B.28C.36D.12

【答案】A

【解析】若两人所选影片中，《抓娃娃》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有A：=12种方案，

若两人所选影片中,不是《抓蚌娃》相同,相同的影片为4部中1部.有C：种选择.

再给乙从剩余3部中选择一部，有C；种选择，故共有C：C；=12种方案，

综上，共有12+12=24种方案.

故选:A

4.侈选）（25-26高二上•陕西渭南•期末）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包

含1名女队长），则下列说法正确的是（）

A.若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法

B.若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法

C.若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法

D.若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派

方法

【答案】ABD

【解析】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长），

对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有C：C；=6x3=18种选派方法，A选

项正确：

对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有

C；C；+C；C：+C；=3x6+3x4+l=31种选派方法，B选项正确：

10/31

对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为C；=35种，不满足，既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类：

①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有C；=5种方法：

②没有女队员：从4名男队员中选4人，有C：=l种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为

35-5-1=29种，C选项错误；

对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有

「3r2r2as*A

三产XA；=F?X6=630种选派方法，D选项正确：

A22

故选：ABD.

题型五代数中的组合问题

1.从1,2,3,…，100中任取不同的两数，则该两数之和能被3整除的取法种数为（）

A.1650B.1617C.1122D.528

【答案】A

【解析】将1，2,3,…，100中的数按被3除余数多少分为3类：

被3除余，"=0,1,2）的数组成集合4,则中各有33个数，4中有34个数，

从4中任取两个数，其和可以被3整除，共有C%种取法：

从4中取1个数，再从4中取1个数，两者的和也可被3整除，有C\C；3种，

故符合条件的取法种数为《+C\Ch=528+1122=1650种.

故选：A.

2.在（x-4X*-2）（x-l）xa+l）H+3）的展开式中,d的系数为.

【答案】-3

【解析】因为含f的项是由（.”4乂工一2）（工一1）》（工+1）（工+3）的6项中取5个心取1个常数，所以f的系

数为-4+（-2）+（-1）+0+1+3=—3.

3.像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为〃凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字只

用一次，组成的十位数，能组成个凹数.

【答案】510

【解析】方法一：由题设0在凹数的谷底，且左右两侧的数均比零大，

11/31

先选择0左侧元素，余下元素放在右侧，

故共有C；+C；+C；+C；+C+C；+C；+C；=29-2=51（M9

方法二：广9每个数字可能在0的左侧或0的右侧两种可能，

去掉全部在0的左侧和全部在。的右侧两种情况，共29-2=510个数.

题型六几何中的组合问题

I.（25-26高二上•河南驻马店•期天）已知直线。，b异面，。上有4，4，4，4四个点，〃上有4，

B2,3三个点，这七个点中任意两点可连成直线，其中异面直线有（）对

A.37B.54C.66D.67

【答案】A

【解析】从。上4，4，4，4取一个点和〃上用，层，层取一个点，

确定的直线数有4x3=12条，再加上直线。，b,则共可得14条不同的直线，

14x14

则共有C：=上/=91对■直线，

其中直线。与新的12条直线都共面，直线〃与新的12条直线也都共面，共24对，

新的12条直线中，若直线过点4,则形成直线4员，共有C；=3对共面，

直线。上有4个点，故共有4x3=12对共面，

新的12条直线中,若直线过点与,则形成44,4综44,4与4条直线,

4x2

其中两两共面，有C：=\^=6对，

直线方上有3个点，故共有3x6=18对共面，

故异面直线有91-24-12-18=37对.

故选：A

2.（25-26高一下•全国•单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角

三角形的个数是（）

A.16B.24C.32D.48

【答案】C

【解析】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角.

乂每条直径对应着6个直角三角形，所以共有C；C；=24（个）官角三角形，

12/31

因为这8个等分点为顶点的三角形共有C；=JT=56（个）,

3x2x1

所以锐角三角形或钝角三角形的个数为56-24=32（个）.

故选：C.

3.（2025高三・全国•专题练习）如图所示，在的两条边上分别有4,和%层,与，星，区共9个

点，连接线段4%（””4,14/45）,如果其中两条线段不相交，则称之为1对“和睦线〃，则图中的“和睦

线”共有（）.

A.60对B.62对C.72对D.124对

【答案】A

【解析】任意一个四边形恰杓1对“和睦线"，故有C；C；=60（对）.

故选：A.

4.（24-25高二下•广东汕头•期末）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（）

A.70B.66C.62D.58

【答案】D

【解析】由正方体共有8个顶点，从中任选4个顶点有C；=70个，其中有12种情况4点共面（6个侧面,

6个对角面），所以以正方体的顶点为顶点的三棱铢的个数是70-12=58个.

故选：D

B能力提升题」

题型七多面手问题

1.（2026•全国•高三专题练习）我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只

会唱歌，2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有

（）种不同的选法.

A.675B.575C.512D.545

13/31

【答案】A

【解析】根据题意可按照只会跳舞的2人中入选的人数分类处理.

第•类2个只会跳舞的都不选，则从既能唱歌又能跳舞的5人中选择3人来跳舞，接着从剩余的5人中选择

3人唱歌，故有C；C=100种；

第二类2个只会跳舞的有1人入选，有种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择2人来跳舞，有C；种,

再从剩余的6人中选择3人唱歌，有C：种,故有C；C，C：=400种;

第三类2个只会跳舞的全入选，有C；种，再从从既能唱歌又能跳舞的5人中选择1人来跳舞，有C1种，再

从剩余的7人中选择3人唱歌，有C；种，有C；C〉C=175种，

所以共有100+400+175=675种不同的选法，

故选：A.

2.12026•全国•高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，

2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）种不同的选

法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类.

①"人既会英语又会法语“不参加，这时有以。：种：

②"人既会英语又会法语'‘中有•人入选，

这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，

因此有Gc；c：+c；c；c：种；

③"人既会英语又会法语”中两个均入选，

这时乂分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，

因此有+c；c；c：c：种.

综上分析，共可开出仁c；++仁+C；C；C：+C；C；C：+C；C；C；C=185种.

故选：B.

3.（2026•全国•高三专题练习）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节口民俗活动之一，在

我国南方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只

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会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要造派划左桨的3人、划右桨的3人共6人去

参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.26种B.30种C.37种D.42种

【答案】C

【解析】根据题意，设力=｛只会划左桨的3人｝,8=｛只会划右桨的3人｝,。=｛既会划左桨又会划右桨

的2人｝,据此分3种情况讨论：

①从A中选3人划左桨，划右桨的在（8uC）中剩卜的人中选取，有=10种选法，

②从A中选2人划左桨，C中选1人划左桨，划右桨的在（4UC）中选取，有C；C；C：=24种选法，

③从A中选1人划左桨，。中2人划左桨，8中3人划右桨，有C；=3种选法,

则有10+24+3=37种不同的选法.

故选：C.

题型八不同元素的分组分配问题

1.（2026・贵州毕节•二模）春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋

中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（）

A.90B.150C.240D.300

【答案】B

【解析】将5个不同的红包分3组，有两种不同的方式,

①：“1,1,3〃型，则有毕《=】0种分法:

②：“2,2,1〃型，则有里《=15种分法，所以共有25种分法,

A2

将分好的3组，装入3个不同的红包袋中，共有25A；=150种装法.

2.（2026•山东青岛•一模）某空间站由力，B,C三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开

展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去4舱，则不同的安排方法的

种数为（）

A.35B.36C.42D.50

【答案】D

【解析】有四类不同的安排情形:

①甲单独在4舱，其余四人分成两组,・组1人，•组3人，安排在瓦C舱,

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有C；C：A；=4x1x2=8种不同的安排方法；

②甲单独在/舱，其余四人平均分成两组每组2人，安排在B,C舱，

有善犬=3^2=6种不同的安排方法；

A22

③力舱安排2人，其余三人分成两组，一组1人，一组2人，安排在8,c舱，

有C：C；C；A；=4x3x1x2=24种不同的安排方法：

④4舱安排3人，其余二人分成两组，安排在8,。舱，

有C：A；=6x2=12种不同的安排方法；

综上,不同的安排方法共有8+6+24+12=50种.

3.（多选）（25-26高二上•江西景德镇•期末）五一假期即将来临.小张，小李，小王，小赵，小孙五名同学

决定到南京的著名景点“夫子庙"、"中山陵”、"玄武湖”游玩，每名同学只能选择•个景点，则下列说法正确

的有（）

A.所有可能的方法有125种

B.若小张同学必须去“夫子底〃，则不同的安排方法有64种

C.若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有150种

D.若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有114种

【答案】CD

【解析】对于选项A：因为每个人均有3个景点可以选择，

所以所有可能的方法有3、=243种，故A错误；

对于选项B：若小张同学必须去“夫子庙〃，即小张的选择已经确定，不需要考虑，

所以不同的安排方法有3"=81种，故B错误；

对于选项C：若5个人都去一个景点，不同的安排方法有C；=3种；

若5个人都去其中2个景点（每个景点必须有同学去），不同的安排方法有C；（2=C；）=90种：

所以若每个景点必须有同学去，则不同的安排方法有243-（3+90）=150种，故C正确；

对于选项D：若每个景点必须有同学去，且小张和小李去同一个景点，则有：

若这个景点仅有2人去，不同的安排方法有C1A；=18种；

若这个景点有3人去，不同的安排方法有=18种；

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所以若每个景点必须有同学去，且小张和小李不去同一个景点，则不同的安排方法有150-18-18=114种,

故D正确；

故选：CD.

4.（多选）（25-26高二上•江西新余•期末）以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在

上海盛大开幕.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、礼仪、司机三项工作可以安排,

下列说法正确的是（）

A.每人安排一项工作的不同方法数为5、

B.每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是6A；

C.若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为C；C；+C；C；

D.每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方

法数为2'-2

【答案】CD

【解析】对于A,由分步乘法计数原理可得，每人安排一项工作的不同方法数为%故A错误；

对于B,每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，

则每项工作的人数分别为3或1,2,2,

p*r2c2

故不同的安排方法=60+90=150,

A2A?

而6A；=6x5x4x3=360,故B错误；

对于C,若丙做翻译，则不同的安排方法为C；C；,

若丙不做翻译，则不同的安排方法为C；C）

故不同的安排方法为C；C；+C：C）故C正确：

对于D,每人安排一项做翻译或司机中的一项工作，共有2f种安排方法，

如果5人都安排做翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为25-2,故D正确.

故选：CD.

5.（多选）（25-26高二下•安徽六安•月考）将4个编号分别为1,2,3,4的小球放入4个编号分别为1,2,

3,4的盒子中，下列说法正确的是（）

A.共有256种放法

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B.若每个盒子都有小球，则有24种放法

C.若恰好有一个空盒，则有144种放法

D.若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法

【答案】ABC

【解析】对于A：每个小球有4种放法，所以共有44=256种放法，故A正确；

对于B：若每个盒子都有小球，则有A：=24种放法，故B正确；

对于C：先从4个小球中任选2个放入其中1个盒子中，有C：G=24种放法，

再在剩下的3个盒子中任选2个放入剩下的2个小球，有A=6种放法，所以共有24x6=144种放法，故

C正确；

对于D：先从4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有C；=4种放法，

再将剩下的3个小球放入编号不同的盒了-中，有2种放法，所以共有4K2-8种放法，故D错误.

6.（2026高三•全国•专题练习）将6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？

（1）（非均匀分组）一堆一本，一堆两本，一堆三本；

（2）（定向分配）甲得一本，乙得两本，丙得三本；

（3）（不定向分配）一人得一本，一人得二本，一人得三本；

（4）（平均分配）平均分给甲、乙、丙三人；

（5）（平均分组）平均分成三堆.

【答案】⑴60

⑵60

（3）360

（4）90

（5）15

【解析】（1）先在6本书中任取•本，作为•堆，有种取法，再从余下的五本书中任取两本，作为一堆,

有C；种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有C；种取法，故共有分法C；C；C；=60（种）：

（2）分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三

本的分法亦为CC；C；=60（种）.

（3）分成三堆的方法有c!Cc；种，但每一种分组方法乂有A；种不同的分配方案，故一人得一本，一人得

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两本,一人得三本的分法有C；C；C；H=360（种）:

（4）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有C；种，甲不论用哪一种方法

取得2本书后，乙再从余下的4本书中取书有C；种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从

余下的两本中取两本书，有C；种方法，所以一共有C；C；C；=90种方法.

（5）把6本不同的书分成二堆，母堆二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙二人，每人二本的区别在于,

后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人.因此，设

把六本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把六本不同的书分给甲、乙、内三人每人2本的分法

就应有x♦团种，由（4）知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有C；C：C；种.所以x•团

=C；C：C；,则=15（种）.

7.（202G高二下•全国・专题练习）有四个不同的小球，四个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内.

⑴共有多少种不同的放法？

（2）若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？

⑶若恰有一个盒子不放球，则共有多少种不同的放法？

（注意：请写出式子再写计算结果）

【答案】（1）256

（2）24

⑶144

【解析】（1）每个球都有4种放法，故不同的放法共有4x4x4x4=256（种）.

（2）每个盒子不空，则不同的放法共有A：=24（种）.

（3）设四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒，

说明恰有一个盒子中有两个小球，则先从四个小球中选出2个捆绑成一个元素，

有C”6种选法,

再将此元素和剩下的两个小球（共三个不同的元素）放入4个不同盒子中的任意3个，

有A：=24种放法，故不同的放法共有C：A：=144（种）.

题型九相同元素的分组分配问题——隔板法

L（24-25高二下•黑龙江哈尔滨•期中）现有8个市三好学生名额分给六个班，其中一班和二班每班至少2

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个名额，三班和四班每班至少1个名额，五班和六班可以不分配名额，则名额分配方式共有（）种.

A.21B.56C.70D.126

【答案】A

【分析】首先给一~四班分配最低要求的名额，从而还剩下2个名额，再将剩下的2个名额分两种情况讨论,

利用组合数公式计算可得.

【解析】依题意，首先给一班和二班每班2个名额，三班和四班每班1个名额，则还剩下2个名额，

将剩下的2个名额给一个班级，有=6种方法：

将剩下的2个名额给两个班级，有屐=15种方法；

综上可得：一共有6+15=21种分配方法.

故选：A

1.（24-25高二下•黑龙江哈尔滨•期中）现有8个市三好学生名额分给六个班，其中一班和二班每班至少2

个名额，三班和四班每班至少1个名额，五班和六班可以不分配名额，则名额分配方式共有（）种.

A.21B.56C.70D.126

【答案】A

【解析】依题意，首先给一班和二班每班2个名额，三班和四班每班1个名额，则还剩下2个名额，

将剩下的2个名额给一个班级，有C；=6种方法：

将剩下的2个名额给两个班级，有C：=15种方法；

综上可得：一共有6+15=21种分配方法.

故选:A

3.（25-26高二上•全国•课后作业）现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名

额，三、四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（）

A.15种B.35种C.70种D.125种

【答案】B

【解析】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五