第17节：指数（ 教师版）

第17讲：指数

【知识梳理】

知识点一根式

(1)如果炉，那么次叫做a的〃次方根.

(2)式子缶叫做根式，其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

a,«>0,

(3)(皿)"二。,当n为奇数时，^'=a,当〃为偶数时，g下二同二,

-a,a<0.

知识点二分数指数鬲

正数的正分数指数幕，6=版m>0,m,尤N*,〃>1).

m

正数的负分数指数幕，。一7二上=—(a>0,〃7,〃WN,心1).

a'yja"1

0的正分数指数鬲为0,0的负分数指数幕没有意义.

知识点三指数幕的运算性质

优。'=废+$；(ay=；{ab)r=arbr；—=ar~s(a>0,b>0,r,sWR).

as

【例题详解】

题型一、指数和指数幕的运算

1.(25-26高一下•上海杨浦•期中)已知10。=3,⑹=4，则10=的值是

【答案】12

【分析】根据指数幕的运算，即可得答案.

【详解】由题意得ur'=i(ria=3x4=i2,

故答案为：12

2.(2023高二山西・学业考试)(0.064)4-375

♦2+r（-2）p-i60-

【答案】

Io

【分析】根据指数幕的性质进行计算.

【详解】原式=（0.4,p-14-（-2广_（2,广=0.47-1+5-"=|噂琮

故答案为：书23

1O

3.（24-25高一上•广东广州♦阶段练习）已知丁+3%-1=0,则/+[=

x

【答案】11

【分析】变形得到'-：=-3,两边平方得/+4=9+2=11.

xx

【详解】因为“2+34-1=。,所以“2-1=-31，x-L-3,

X

x-：=-3两边平方得/-2+±=9,

故一+二=9+2=11.

x~

故答案为：U

题型二、利用根式的性质化简或求值

4.（25-26高一上•广东广州•期中）（多选）下列说法中正确的是（）

A.16的4次方根是±2B.VZ27=3

C.</sI=±3D.J（x+»=|x+y|

【答案】AD

【分析】利用根式的定义即可求解.

【详解】

对于A,16的4次方根有两个，为:，，故A正确；

对于B,负数的3次方根是一个负数，汇27=炳?=-3,故B错误;

对于C,==|3|=3,故C错误；

对于D,4+»是非负数,所以J（x+y）2=|x+yl，故D正确.

故选：AD.

5.（2021高一•全国・专题练习）若54片--+1=*五,则实数〃的取值范围是（）

A.aeRB.a=OC.a>^~D.a,?

22

【答案】D

【分析】把等式左边变形为环H,结合k11=折二五，可得2a-1,,0,则答案可求.

【详解】解：由34a2-4〃+1=耳（勿-1）2=也加一1|=^!^,

可得20-L,0,即a[・实数〃的取值范围是a,.

故选：D.

6.（25-26高一上•全国•课后作业）计算下列各式.

（1）二=；

（2）;

（3）行-得.

【答案】-〃A3g

【分析】（1）根据根式的运算性质直接求解即可；

（2）根据根式的运算性质直接求解即可；

（3）先化带分数为假分数、小数化分数，再根据根式的运算性质直接求解即可；

【详解】（l）/f=-a.

（2）2-4=|3-。=n-3.

"）通-旧一板=崎-揄-崎=碧-；$

故答案为：（1）一a；（2）兀一3；（3）g

题型三、根式与分数指数幕的互化

7.（2025高三下•全国・专题练习）设〃>0/〃，〃是正整数，且〃>1,则下列各式中不正确的是（

\4

A.B.

C.』=叱D"=#

【答案】A

【分析】结合指数幕的运算性质逐项判断即可.

【详解】对于A,〃暴=〃若=/，A错误；

对于B,a4=a^=a,B正确；

X/

对于c,涓="■,C正确；

对于D,小=工卷,D正确；

an7a

故选：A.

8.（24-25高一上•黑龙江哈尔滨期中）（多选）下列各式错误的是（）

A,B.a+a4=a1

C.=-\[x（x。0）D.=涓

【答案】ABC

【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数塞的运算法则和根式的运算法则得到答案.

【详解】对于A,当丁＜0日寸,后==_yy,故A错误；

对于B,々=1时显然等式不成立，故B错误；

1_—

对于c,艰=（£卜出"0），故c错误；

对于D,戒=01=。=°1=〃荆=1，故D正确.

故选：ABC.

9.（25-26高一上•广东广州•期中）用分数指数器表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简

步骤.

际•诟•诟

【答案】⑴/

（2）1

【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幕，再根据幕的运算法则计算可得.

=4

题型四、运用指数基运算公式化简求值

10.（24-25高二下•广西•阶段练习）若5"=2,5"=3,贝I"空的值为（）

A,巫B.空C.还

399

【答案】A

【分析】根据指数运算律计算求解.

故选：A.

11.（2025高三•全国・专题练习）（多选）已知。+/=3卜>0），则下列结论正确的是（

2233

A,a+a-=7B,a+a=\SC.a^+a~^=±yf5。.&右+^^=2后

【答案】ABD

【分析】根据实数指数幕的运算性质，逐项计算，即可求解.

【详解】/+/2=«+〃7y-2=32-2=7,A正确；

a3+a-3=（a+a-,）（a2-14-a-2）=3x（7-l）=18,B正确;

।-iVj।

al+a2=a+a'+2=5,因为>0,a!>0，所以济+a务=«，C错误；

y/aH——K==a+a2=a2+a2(a-l+a)=石工(3-1)=2逐，D正确.

a\la

故选：ABD.

12.(24-25高一上•全国•课后作业)计算下列各式：

⑴k+3码。_(—产+#—可；

(2)8、(0.5尸+东卜偌j；

2(也3、太

(2网x42x23

(3)_________________2•

2Mx(2x4361

【答案】(D-5-V3

(2)4

⑶「

【分析】根据根式、指数运算来求得正确答案.

3&

【详解】(1)原式=1-(2与亍+2-百=-5-6.

3

20(।Y6、4下

(2)原式=(23尸一(27r+(3号x图

=22-23+33X<|^=-4+8=4.

/2、官/4乂2”4条％2号、#4x23x46x284x2?1

(3)原式=------i———=-------i-------=——=2-=23.

2/2葭4°-20X23X4"V

题型五、分数指数票运算的综合应用

13.(24-25高一上逢国•课后作业)若40，则［｛/.江.()

15151515

A.丫?B.户C.x正D.

【答案】A

【分析】把根式化成分数指数幕，进而计算即可.

【详解】原式=3户/=必./；=妙.户X—+k=”

故选:A.

1（，4H尸I一八、

14.（2024高三・全国・专题练习）化简：（R------------r（«>0,/p>0）=______

4（0.1）7（我”

【答案】I

【分析】先将根式化为分数指数累，然后由幕的运算化简可得.

【详解】吴府13）gl^=2x垄

（0.1），（。方3）2］（）”户］（炉户5

故答案为：今

」3

15.（2025高三•全国・专题练习）（1）求值：『_『+2。-［（-3）］+（6乂痣）6；

（2）已知x+E=4,求£+，：的值；

（3）求值：向）—3.（2；丫+（万时+；

(4)求值：16；+(6-2,,+0.75-“亭

【答案】(1)32;(2)1;(3)73;(4)2-石

【分析】（1）（3）（4）根据指数的运算即可求出答案，（2）通过'）+.■］=x+『+2，及（x+E?即

可求结果.

【详解】(1)原式=J+2。-3号+3非x6产=4+1-27+54=32；

/i_|\2

(2)由/+F，=4+『+2=4+2=6,

\/

•・2。,.-.J+3=V6，1+/『=，+/+2=16,

AX2+X2=14.

故—=逅.

x2+x~214

(3)卜|)_3.(2*+("可+斤f

=1-3—+23-32+2=1-2+72+2=73

6.

•I

(4)16^+(>/3-2)-+0.75Tx

2

=2—⑼2)++0

73x27V=-^3+-x-=2-,^3•

Hx4x4J32

【专项训练】

一、单选题

1.（24-25高一上•全国•课前预习）化简$的值为（）

A.2R.4C.6D.X

【答案】B

【分析】根据指数幕的运算化简求解即可.

22

【详解】8=（23）3=4.

故选：B

2.（24-25高一上•全国•课前预习）下列各式正确的是（）

A.a°=\B.#（_2）3=-2C.&-2尸=-2D.疗=

【答案】B

【分析】由根式化简及零指数意义逐项化简判断.

【详解】对于A,〃。=1,当。=0时，〃。无意义，故A错误；

对于B,由^1=-2，故B正确；

对于C,由^^=2，故C错误；

对于D,由〃^二同，故D错误.

故选：B.

3.(2025.河南新乡•二模)假/=()

A.16B.8x/2C.32D.1672

【答案】A

【分析】应用指数幕运算的性质化简求值.

【详解】由9m'=2("卧灼=2』6.

故选：A

4.(24-25高一上•全国・周测)下列各式正确的是()

A.O=-2B.=g

C,而+)/=(x+)，＞D.=n2m2

【答案】A

【分析】借助指数幕的运算法则计算即可得.

【详解】对A：•.•(-2)3=-8,.-.-2=0，故A正确；

对B:...就_3)4=行=3；仁,故B错误；

对C:=y(x+»丰+二,故C错误；

对D：vf—1二二=".〃产后，故D错误.

\mJ

故选：A.

5.(18-19高一上•天津•期中)化简，-某J(其中，＞0力＞0)的结果是

2aP2a161

A•记B.一记C.而不D.-而/

【答案】C

【分析】根据分数指数幕化简即可.

)4="选C.

3%3b

【点睛】本题考查分数指数幕运算，考查基本求解能力，属基础题.

6.（24-25高一上•吉林长春期中）已知0=2,10"=3，则io仔=（）

A.-|B17D.半

【答案】D

（3m-2〃\2

【分析】求出103,根据10年的正负求出10号.

322〃、17父

【详解】根据题意，得102=10^-2n=103wX1()-2n=(|ow,)x(IO")=23x3-2=,

3吁2〃

因为10令＞0，所以l°k

故选：D.

7.（24-25高一上逢国・周测）若3析=5,3"=6，则下列式子值为要的是（）

m-n*l

A.3、B3”吁6〃CD3州“一小

2>

【答案】C

【分析】利用指数幕的运算性质化简可得结果.

【详解】因为:r=5,3"=6,所以125=53=(3")=3.，36=6?=(3"『=3?",

所以导I'"”

故选：C.

8.（2025高一上•浙江杭州・专题练习）设。也c•均为不等于1的正数，且/=//=犬，贝/加的值为（

A.3B.2

C.1D.y

【答案】c

【分析】由题可知〃=/，，■=//,然后可得〃2〃202=］即可求解

【详解】•,•/=〃3=c.6,:.b=W、5=〃，

Wa2bi=a2b2b=aW=\,又W仇，均为不等于1的正数,

所以而c=l.

故选：C.

9.(24-25高二下•天津河东•期末)已知p:4a=价国:2“=2",则〃是的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分不必要条件的定义结合指数运算判断即可.

【详解】已知〃:布=声,/2“=2\

当&=近时,a=b>0,所以2“=2〃，

当”=/J=T2〃=2'根式没有意义，

则〃是4的充分不必要条件.

故选：A.

x"x>0

；一；且"16)=2,贝廿(-1)=().

{a,x<u,

A.y.B.C.2.D.4.

【答案】D

【分析】代入/(16)=2中求出。的值，在利用分段函数代入求出即可.

【详解】由题可知川6)=16“=2加=2,

解得。=：,则”-l)=G1=4.

故选：D.

11.（24-25高一上•江西赣州•开学考试）下列运算正确的是（）

A.B.（―2。2）3=_6/

C.（3。+1）（3"1）=9/_1D.（2a3-a2）^2a=2a-l

【答案】C

【分析】根据题意，由指数幕的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A,"0=4,，故A错误；

对于B,（-2/）3=-8/，故B错误；

对于C,（3a+1）（3〃-1）=9〃2-1,故C正确；

对于D,（2八"）+2「（2八叽，故D错误；

2a2

故选：C

12.（25-26高一上•湖北武汉•开学考试）已知”〃，且必工0，化简二次根式5一人的正确结果是（）

A,-a\/-abB,-a\[abC.a4abD.a\/-ab

【答案】A

【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及〃〈力，且他H0，可确定出。的正负情况，再依据而=同

进行化简，最后化简绝对值即可.

【详解】解：.有意义,••.-//*（）,

又a<b,:.a<0,b>0,.・.口^=-a\l-ab-

故选：A.

13.（2025•黑龙江佳木斯・三模）已知正数x,y满足2'4'=必，贝U2x+y的最小值是（）

0

A.2V2B.9C.yD.13

【答案】C

【分析】由2二4，=。可得1+：=1,再根据基本不等式'T'的妙用求解即可.

【详解】由2*4=4冷’，则2。22>=2用'，即x+2y=2xy,贝：=1,

所以2x+）,=（2x+），）［；+，］=3+2+怖之+'=2

\2yX）yx2\yx22

当且仅当土=2,即x=y=。时等号成立，

>x2

所以2x+y的最小值是不9

故选：C.

14.（24-25高三下•江苏扬州•阶段练习）已知。、,且4“+〃=2,贝lj16"+2〃的最小值是（

A.2V2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】利用基本不等式可求得⑹72,的最小值.

【详解】因为。、beR,且4a+Z?=2,贝lj16"+2,=24“+2,N2、/?^=27?^=4,

当且仅当^一时，即当JF时，等号成立，

阂+%=2|/7=1

因此，16“+2〃的最小值是4.

故选：B.

二、多选题

15.（24-25高一下•山西大同•阶段练习）下列运算结果中，一定正确的是（）

A.ay-a4=a1B.（~«2）=«6

C.y［（f-aD.,（-兀）S=-兀

【答案】AD

【分析】根据指数运算律计算求解判断各个选项.

【详解】A选项，/./=/+4=a7,正确；

B选项,（一再-6,错误,

C选项，当。之0时，"=〃，当。<（）时，,错误；

D选项，行了=-兀，正确.

故选：AD.

16.（24-25高一上•福建福州•阶段练习）下列根式与分数指数幕的巨化中TF确的有（）

1「_____-.21

A.一=-五（…）B.W（T）2『=X2*>O）

C.xR=^^（x>0,），>0）D.=j

【答案】BCD

【分析】根据分数指数幕与根式的互化逐项判断.

【详解】对于A,一五=-3（工工0）»故A不正确；

对于B,^二"/二国二工叫，故B正确；

对于C,.护=里5>0,〉〉0），故C正确；

X

对于D,赤忑=a?=值=（/j=）,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

4Vriop

17.（24-25高一上•福建福州•期中）（_］），o

3>I27J

【答案】0

【分析】利用分数指数幕的运算法则得到答案.

2

99八

【详解】（-1）\i「a4丫-----1—=0•

163>1616

故答案为：0

18.（24-25高一上•天津•期中）计算：T6工+

【答案】n

【分析】由指数幕、根式的运算性质化简求值.

2__________

【详解】-16；+（W+J（2-兀『=-：+\+兀-2=一

故答案为：兀

四、解答题

3]2(3y

（高三・全国・专题练习）计算：回2）、

19.20250.75-'x-x6-+10L?+16i.

2I4J300

IJ7

【答案】-16

【分稠利用指数的运算律即可计算得结果.

V।

原式」\-|II

【详解】3+10x-jJ—+3(X)3+仅尸

4J~2V3-2

4

2ix2i_iox(V3+2)+i()V5+2

3

2222

=-x--10>^-20+10^+2=-16

32

2

20.（24-25高一上•黑龙江鸡西•期中）（1）计算2邛-（-9.6）°-1±33)

+的值；

<4J2；

（2）已知〃/+2）=丁+4/，则f（x）的解析式.

【答案】（1落，（2）/（x）=^-4（x>2）

【分析】（1）利用分数指数累求解即可.

（2）利用换元法求解函数解析式即可.

(2)/(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)?-4

令1=幺+2之2，贝=,

所以〃力二』一4（心2）.

21.（24-25高一上•全国•课后作业）化简求值：

⑴自斗I3+(0.002)-2-10(>/5-2)-,+(5/2-V3)0；

8

⑵杵椁；

1(15V1」、

(3)2〃少一6/京+-3a6b64a")6

【答案】⑴-殍

⑵I

⑶16。

【分析】（1）根据指数幕的运算法则，以及根式与指数幕的互化公式，即可求解；

（2）根据指数幕的运算法则，以及根式与指数幕的互化公式，即可求解;

（3）利用同底数幕的乘法和除法法则运算即可.

【详解】（1）原式:_L10।

27<500>

=^+10V5-lO(x/5+2)+l=-^;

(2)原式=后一骤+疝《全泊

+

(3)原式=已X(-6)+(—3)X4].户1h22~6-6=16加=16。•

22.（24-25高一上•全国•课后作业）化简：

⑴如-兀)"(x<兀,neN,)；

(2)已知。<人<(),〃>L〃wN',化简《(a-。)"+4(〃+”'.