江苏苏州市2025-2026学年高一年级下册期中调研数学试卷（解析版）

高一年级期中调研试卷

教学试题

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题〜第11题）、填空

题（第12题〜第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分

钟.答题结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

C.兀兀

2sm-cos—

1.66的值为（）

A.|B.—C.—D.1

222

【答案】C

【解析】

【详解】2sin—cos—=sin（2?—）=sin—=^--

66632

2.在VA8C,角4,B,C的对边分别是小b,c,若力=3,c=2,cosA=-,则。=（）

4

A.2B.3C.25/3D.应

【答案】A

【解析】

3

【详解】在VA8C,。=3,c=2,cosA=一，

4

3

则/=b2+c2-2/JCCOSA=9+4-2x3x2x—=4,

4

所以。=2.

.4a为第二象限角，贝Usin(a-的值为()

3.已知sina=一

-4-3V3口4436「-4+3x/34-35/3

k.--------o.------C.--------

10101010

【答案】B

【解析】

4I--------3

【详解】因sina=一，a为第二象限角，则cosa=-\Zl-siifa=-一，

5

sin（a」］=sinac°s—。5晶在）」一（-3速=3

I3J33525210

4.设,，坂是两个非零向量，则下列说法正确的是()

A.若同＞万,且彳与5同向，则之＞5

B.若d•6=万£,则B=c：

C.若。，5是两个单位向量，则日d=1

D.若a+b=a-b,则彳45

【答案】D

【解析】

【详解】对于A,因向量有方向，不能比较大小，故A错误；

对于B,不妨取d=(l,0)3=(0』),1=((),2),则小B=H=0,但瓦｝不是相等向量，故B错误;

对干C,由人/；是两个单位向量，可得万石=同网cosa，b)=cosR,5),

因«石)的大小未知，故得不到日石=1，即C错误：

对于D,由己+5二万一5两边取平方，可得不2+2万行+万2=,2一@6+6?，

整理得。石=0，故2_LB，即D正确.

5.在VA3c中，点。是BC中点，记=〃2，AD=n)贝UAC=(

A.一〃i+2nB.m-2nC.-2m+nD.2m-n

【答案】A

【解析】

【详解】•..点/)是8c中点,

:.AD=^AB+^AC,.-.2AD=AB+AC^

AB=m»AD=n»:.2n=m+AC»/.AC=-tn+2n»改选项A正确.

6.已知(：05(0十/?)=-,1211。1211夕=一,贝"os(a-p)=()

52

124

A.-B.-D.-

555

【答案】c

【解析】

【分析】应用两角和余弦公式结合同角三角函数关系计算cosacos从sinasin/,最后应用两角差余弦公

式求解.

【详解】因为cos(a+/)=L所以cosacos6一sinasin/?=!,

C1,sinasm万1,八、..八

又因为lanatan/?=-,则-----------=即得cosacos/=2sinasin/7,

2cosacos/i2

12

所以2sinasin/y-sinasin尸=sin^sin/?=—,且cosacos分=-,

^55

213

则cos(a-/?)=cosacos0+sinasin夕=-+-=

7.飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速

（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减.已知某飞行器逆风K行，在某时

刻测得风速对应向量为（45,25）,地速对应的向量为（315,245）,则飞行器在该时刻的空速大小约为（单

位：km/h)()

A.400B.450C.560D.630

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意设出方，得到炉=彳一小代入向量坐标，求得彳=（360,270）,利用向量的模

的公式计算即得.

【详解】设飞行器飞行中的地速向量为Q,飞行器相对于周围空气的空速和风速向量分别为吊名,

由已知可得/=R—E，且B=(315,245),g=(45,25),

所以X=0+g=(36O,27O),

故E=V3602+2702=A/202500=450.

l,x>0,

8.已知函数/(x)=<0,x=0,a,b,［是平面内三个不同的单位向量，若/伍・5)=0,且

—1,x<0,

f(ca^+=0,则d+5—2^的取值范围是()

A.(l,x/5)B.(©6)C.(1,3)D.(V2,V10l

【答案】D

【解析】

【分析】根据题目条件平面建系设出工(0,1)、/；(1.0)、Z(cos0,sin0)并判断。所在象限，再用辅助角公式

化简卜+5-23|并结合e所在象限求解即可.

【详解】由题意可知34=0,且=2和32中，一个大于。，另一个小于0,

l,x>0,

不妨设/(方0=1J伍•〃)=T，由函数f(x)=<0,x=0,可知=2>0,33<0.

不妨设。=(0,1),b=(1,0),c=(cosO,sin。)，。£(一九,可，

所以反2=cos6>0,c=sin^<0»所以夕£(一］,°

所以。+/?—2。=(1-2(：05/1-24119)，

则有B+B_同=J(l-2cos：)2+(l-2sin£)2=6-4^

sin0+—，

(4；

因为。十兀利,所以。+汽71-号)

I24

(兀、(T4),可得6-4任in8+扑(2,10),

所以sinO+—G(也,4小什+个、

I4j2

所以卜+5—(血,血).

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于函数/(x)=sin2x与g(j：)=sin(2x一卷,下列说法正确的有()

A./(X)与g(l)有相同的最小正周期B./(X)与g(x)有相同的对称轴

C.“X)与g(x)有相同的最值D.7(x)与g(x)有相同的零点

【答案】AC

【解析】

【分析】根据正弦型函数的周期、对称轴与零点，最值计算逐一判断即得.

【详解】对于A,由正弦型函数的周期公式，易得两函数的周期都是空=兀，故A正确；

2

对干B,对于/(x)=sin2x,由2x=]+E,k£Z可得其对称轴为x=Z；

对于g(x)=sin(2x一乙,由2[-色二色+〃?兀,"2?Z可得其对称轴为了=2+,"讥,〃7?Z,

I3)32122

由:可得"'〃=g，该方程显然无整数解，故"X)与g(“没有相同的对称轴，即

B错误；

对于C,由正弦型函数的性质可知两函数的最大值为1,最小值为一1,故C正确：

对干D,由/(x)=sin2x=0,可得2x=E,A$Z,即X

而由g(x)=sin(2x-1)=0可得2x■方二〃77r,，〃？Z,即不二仁+3“加,，％iZ,

由;E=2+g〃讥，可得显然该方程无整数解，故/(x)与g(x)没有相同的零点，故D错

误.

10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2026年马年新春，有人设计了

一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1).已知正方形A3c。的边长为

2,四个半圆的圆心均为正方形A8CQ各边的中点(如图2),若E,F分别为弧8C,弧C。的中点，则

图⑴

A.1\E+AF=2ACB.A云与入方的夹角为45°

C.而在近方向上的投影向量为|A7D.（而+现历=8

1ACD

【解析】

【分析［利用图形对称性易得点C为七厂的中点，即可判断A；建立平面直角坐标系，写出相关点坐标，利

用向量夹角的坐标公式计算判断B：根据投影向量定义列式计算判断C；利用向量数量积的运算律计算判断

对干A,如图连接族，由图形对称性可得行经过点C,且被点C平分,

故有*二;（南+丽，即得荏+/=2/，故A正确；

对FB,如图，以正方形43co的中心0为坐标原点，分别以。瓦O77所在直线为轴建立平面直角坐

标系.

则,4(-1,-1),E(2,0),F(0,2),则的=(3,1),/=(1,3),

7AE><AF63

因cos®后,AT_______________________=_______________■二一则❷而，而♦工45。，故B错误;

\AE\x\AF\V10,7105

AE^AF—•6―►3—.

对干C，正在衣方向上的投影向量为1福二故C正确；

对于D,因D(-l,l)^(l,-l),£D=(-3J),EB=(-l,-l),EF=(-2,2),

则(前+丽)•丽=(-4,0)•(―2,2)=8,故D正确.

11.在VA3C中，角4,B,C的对边分别是〃，b,c,sia4sinBsinC='，且VA3C的面积为1,则下

2

列命题正确的是()

A.VA8C的外接圆半径为1B.abc=4

C.b2+c2>4D.VABC可能为钝角三角形

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正弦定理有2/?=」一结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合sinAsin8sinC="!"判断

sinA2

B；由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D.

【详解】A：设VA3C的外接圆半径为R,

因为VABC的面积为凡加。=—^csinB=—sirt4sinBsinCx(2/?)2=-x—x4/?2=1,

所以R=l，故A正确；

B：由，一=上­=—^=2,即abc=23sinAsinBsinC=8x4=4,B选项正确；

sinAsinBsinC2

C；d]S^ABC=^bcsinA=1<^Z?c,则Z?c>2,当sin/l=1时取Z?c=2,

所以从+,2之乃cN4,当且仅当b=c=血且sinA=l时取等号，C选项正确；

D：若VA3C为钝角三角形，设A为钝角，cosA」+"_J。,即得。2+序</,

2bc

由C选项知从+,2n4,所以">4，即。>2,

又因为一"二2,所以a=2sia4W2,所以与矛盾，假设不成立，

siii4

同理氏C也不可能为钝角，D选项错误.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量1=(2j),石二(1,2),且口/区，则》=.

【答案】4

【解析】

【分析】应用向量平行坐标关系计算求解.

【详解】因为向量M=(2,y),石二(1,2),且G//B，

则2x2=1x)

则y=4.

1+sin283

13.已知=—，则tan2,=

2cos*+sin282

41

【答案】一一##-1-

33

【解析】

【分析】先应用二倍角正弦公式计算化简得出tan6=2,再应月二倍角正切公式计算求解.

1+sin263

【详解】因为

2cos2〃+sin2O19

f\

(sinO+cosO)~(sinO+cosdysind+cos。3—八八”一

所以-TT-----------1~-=——^-―：--------/-、=-----------二—,所以sin8=2cos0,所以

2cosP+2sinOcosO2cos。(sin0+cos。)2cos02

tan8=2,

2tan夕44

则Ian26=

1-tan2^1^43

14.如图，在平行四边形人8C。中,点E,产分别是边A。，OC边的中点，BE,8尸分别与AC交于R,T

Afi

两点若2A64万+9。舟・A于=0,则一的值是,

AD

【答案】J5

【解析】

【分析】设歹二〃&?，得到区=2〃即+〃方，根据8,T,/三点共线，得到47=4八。，再用

A氏4/5表示向量，最后应用数量积运算律计算得出血2―2而2=0,结合模长公式求解；

[Wl^CT=JL/CA=JLICDA-JL/CB=2^iCF+JL/CB,且B,T,6三点共线，

I_1___?__一1__

.•.2〃+〃=1,解得〃=一,.•.C7=-C4,...AT=-AC；同理AR=-AC；

3333

由E,产分别是边AD和。C上的中点，由三角形相似可得R,7分别是线段8瓜8产上的三等分点，

I-?—

又前=2丽，所以0公=-20=—2（3一。分）=一2（—，八行+南］=-AB一一AD,

3333J33

又因为2MZD+9欣•ZT=O,所以2A反AD=-9OA4T=-9X,（；A与-|A》）（A8

即得2AB.AD=-2卜5—AB-AD-2ADj,所以〜*?—2ALi'=0，

A"i—

所以A8=&A。，即得=二衣.

AD

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量不益是夹角为60。的单位向量，a=2ei+e2,石二-3召+22.

（1）求不自及同的值；

（2）求值与•的夹角的大小.

【答案】（1）不•&二g；|万|=近

2兀

（2）——

3

【解析】

【分析】（1）利用向量数量积的定义易得不包2,再由向量数量积的运算律即可求得|司；

（2）利用向量夹角的计算公式计算即可.

【小问1详解】

依题意，4・02=IMI・lalcos〈4©〉二；,

由d=24+乙可得|己|二J(2。]/q.=+4M,费+。2~={4+4xg+1=J7；

【小问2详解】

,一2—2,17

因鼠人r=(2瓦+耳)《一3耳+2瓦)=-6,+瓦•瓦+2e,=-6+-+2=--,

|a|=A/7»|b|=5(-34+2g2f=，9弓2一124•上+4]=小9—12xg+4=>/1»

则cos①加=/幺=^^=」，因()”。①«兀，故@仍二彳，

\a\-\b\币x币23

即4与B的夹角为例.

3

/T.(OXcox),设函数=〃一〃)+；(«>()),且

16.已知向量〃2V3sin——,cos----cos—,0

222

f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为

(1)求。的值，并直接写出了(功在［0,兀］上的单调增区间;

o7

-,cos/?=J5,且a,4£(0,兀)，求a+4的值.

510

【答案】(1)。=2；［0与和［二-，兀］；

36

【解析】

TT

【分析】(1)利用向量数量积的运算律与三角恒等变换得到/a)=sin(s--),结合函数周期求出。的

6

值，再由正弦函数的单调递增区间与给定区间求交即得；

(2)由条件和诱导公式求出cosa,再由角的范围求出sina,sin//,根据和角的正弦公式计算即得.

【小问1详解】

\一/一f1/(OX/T.(OX(OXCOX.1

j[x)=n-[m-n)+—=(cos—,0)•z(，3sm--cos—,cos—)+—

忘；5…COXCOX1G.1+COSfWX1

=V3sin——cos------cos2——+-=—sm^yx----------------+-

2222222

=旦3一4"=2-马

226

1o

因f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为则解得3=2,

/(x)=sin(2^-^),

6

由----F2kliW2.x—W—F2攵兀,kGZ可得----FkuWx«—Fkit,keZ,

26263

因X£［0,可，故/3在［0,7r］上的单调增区间为［。勺和［学,兀］;

36

【小问2详解】

e,a兀、.一a兀、兀,兀、3

/(-+T)=sm[2(—+-)--]=sin(a+-)=cosa=-,

2323625

*-7

又cos0=---x/2,ez,/7e(O,7t),则得ae(。3),/?e(万中),

于是sina=J］一(|)2=4,sin/?='］一(_，拒f=点,

则sin(a+/3)=sinacos+cos«sinP=yx(--j^>/2)4-^x^-=-^-

因呜》故a+£=+

17.记锐角VA3C内角A,B,C的对边分别为mb,c,已知〃+片一/=2cosA.

（1）求be的值；

（2）若VA8C的面积为立，求竺金生过的值.

4acosB+bcosAc

【答案】（1）1（2）1

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理结合条件推得〃2+^-/=0或历=1,再由锐角三角形即可确定答案;

（2）先推得8=］兀-。，根据E弦定理化简待求式，并统一为角C的三角函数，利用差角公式化简即得.

3

【小问1详解】

由/+-。2_2cosA和余弦定理，可得COSA=b十°-='十°———,

2bc2

则有〃2+。2—〃=0或/?C=1,

由/=0可得cosA=0,即4=色，这与锐角VA3C矛盾，故〃c=l；

2

【小问2详解】

由（1）知故。。=1，则SA8。=,/?csinA='sinA=正，可得sinA=理，

△出2242

ITIT

因0<A<一»故A=一»

23

2

因A+8+C=7i,则8=-TT-C.

3

「十〜一一«cosB-bcosAsinBsinAcosB-sinBcosAsinB

由止弦定理，--------------+-----=----------------------+-----

acosB+bcosAsinCsinAcosB+sinBcosAsinC

_sin(A-B)+sinB_sin(4-8)+sin6_sin(C-§)+sm(§，-C)

sin(/4+B)sinCsinCsinC

1.「拒cG「

一sinC----cosCH---cosCH—sinC

=2________2_________22_r

sinC

18.如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点A,B,它们到河岸线/的距离都为3百米.为了铺设管道取

水，计划在河岸线/上找一点。修建抽水点，在A3与/之间修建中转接水点P,设计铺设三条直线管道

2兀

PA,PB,PQ,其中A8=2>/5百米，PQ工I，ZAPB=—.记铺设管道的总长度为），百米.

（1）按下列要求建立函数关系式:

（i）设NK48="（md）,将y表示成。的函数;

（ii）设PQ=x百米，将y表示成x的函数；

（2）请你选用（I）中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值.

【答案】（1）

（i）y=4sin（夕+二］一2sin［29+色］+4,0<0<-.

I3jI6；3

（ii）y=206-工+x,2<x<3.

（2）选用（i）,最小值为600米；选用（ii）,最小值为600米

【解析】

【分析】（1）（i）求出NPBA,利用正弦定理求出PA求出尸到直线AB的距离为〃=QAsin0,从

而求出产。，于是铺设管道的总长度为y=P4+P8+PQ,利用两角和差的正弦公式和二倍角的正余弦公

式求解即可；

（ii）设PQ=x百米，则P到直线AB的距离为3—x百米，利用三角形面积求出S“PB=；•48・（3-x）,

127r

•从而得到Q4.08=4（3-x）.利用余弦定理求出A8?，从而得到RVPB，继而

JJ

得到％2+必2,从而求出（PA+尸3）2,即可得到/%+尸8,求出y=E4+PB+PQ即可得解.

7T7T

（2）若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式，设/=。+—，则6=/—-，求出，的范围，则函数

33

y=4sin0+^--2sin2。+?7T+4转化为y=-4sin2f+4siru+6,设〃z=sinf,则

6)

y=-4sii/，+4sinf+6转化为了=-4〃/+46+6,利用二次函数的图像和性质求出最小值；若选用第

（1）问中的第（ii）个函数关系式，利用换元法，结合二次函数的单调性求出）'的最小值.

【小问1详解】

27rjr

在△APB中，NPBA=7t-----3=一一0.

33

PAPB_AB_2>/3_4

由正弦定理,sin1］一。sin。7@百

32

jr

所以PA=4sin一一9,PB=4sin夕

、3)

又因为ABHh且AB到河岸线/的距离都为3百米,

所以A3与/的距离为3百米,

兀

P到直线AB的距离为/?=PAsine=4sinJsin--0,

(3J

故P。=3-4sin0sin--0,

、3)

于是铺设管道的总长度为

y=PA+PB+PQ=4siny兀-^4-4sin6>+3-4sin<9sinm一。)

所以y=4sin--0+4sine+3-4sin6sin-JI-0|,0<^<—71>

、3Jk133)3

兀TC

y=4sin—cos0-cos—sin0-i-4sin62+3-4sinsin—cos0-cos—sin0

“I33JI33

=26COS0-2sin0+4sin0+3-2>/3sinOcos0+2sin'0

=2\/3cos0+2sin0+3-6sin29+1-cos29

=4sin（9+——2sin|20+—j+4,0<^<—.

I3jI6；3

（ii）设PQ=x百米，

则P到直线AB的距离为3-x百米，

在△AP8中，S&APB~—•A8•（3—x）=/x2"\/^x（3—x）=>/^（3—工）.

又因为=』・PAP3sin0=Y^PA・PB.

234

所以A4/B=4（3—x）.

由余弦定理，AB2=PA2+PB2-2PA•PBcos—=PA2+PR2+PA•PB.

3

因为A3=2G，所以12=242+7^2+P4PA

代人批"=4（3—x）,^E42+ra2=12-4（3-%）=4x

从而（R4+PB）2=E42+PB2+2E4.PB=4X+2・4（3-R）=4（6-X）,

所以尸A+尸8=2j6—x.

于是y=PA+PB+PQ=2y/6-x+x.

又因为（巳4一。3）220,

所以（PA+PB）2-4PAPB>0.

BP4（6-x）-16（3-x）>0,

解得xN2.

又由于点〃在A8与/之间，所以x<3.

故自变最的取值范围为2Kx<3.

所以y=2\j6-x+x,2<x<3.

【小问2详解】

若选用第（1）问中的第（i）个函数关系式：

/\/\

y=4sin0+--2sin2。+—+4,0<^<—.

I3；I6j3

TT7T

设1二夕+,，则夕=1一」,

33

"zi兀zx7C7C712兀

Q0<〃<一,?.0<r——<—,/.一<，<--,

33333

7T1T兀

y=4sin6+--2sin2。+—+4转化为

36)

兀兀

y=4sin/-2sin2t—+—+4=4sinr-2sin2r--+—+4

I3>6I36J

=4sinr-2smIt——+4=4sinf+2cos21+4=4sin，+2(1-2sin2f)+4

I2J

=4sinr-4sin2r+6=-4sin2r-4sinr+6

即y=-4sin"+4sinf+6

、九.冗，27r.

设机=sinf,\—<t<—，——<m<1，

332

y=一4sin?f+4sin/+6转化为y=-4/?r+4m+6,

.・.对称轴为〃2=］，开口向下，

2

v=-4相2+46+6在(等,1］上是单调递减函数，

当〃2=1时，)，=~4〃/+4〃?+6取最小值，且最小值为Nmin=-4+4+6=6.

故铺设管道总长度的最小值为6百米，即600米.

若选用第(1)问中的第(ii)个函数关系式：

y=246-x+x,2<x<3»

设〃=j6-x，则x=6-，n>0,

•/2<x<3»2<6-/?2<3»/.-4<-A?2<-3»

3<W4，n>0,/.73</?<2»

/.v=2丁6-x+x,2<x<3转化为y=2n+6-n2=-rr+2〃+6(G<〃42),

•・•对称轴为k=1,开口向下，.•.y=一〃2+2r+6在（代,2上是单调递减函数,

「.当〃=2时，了=一〃2+2〃+6取最小值，且最小值为y=-2：+2x2+6=6,

故铺设管道总长度的最小值为6百米，即600米.

19.已知匕，c分别为V43c三个内角A,B,。的对边，且qcosC+JJasinC=〃+c.

（1）求角A的大小；

（2）当4二26时，

（i）设8C,AC边上的两条中线A。，8E相交于点G,求？的最大值；

舞福+芸正仅

(ii)求

【答案】（1）V

3

（2）（i）-2：（ii）2G

【解析】

【分析】（1）运用正弦定理对4cosc+6asinC=〃+c进行转化，得出sin（A-?]二[，再由角的范围