人教版九年级数学上册第25章《实际问题与一元二次方程》每课时导学案汇编（含三个导学案）

25.3实际问题与一元二次方程

（第1课时代数数字、图形面积问题）（导学案）

01学习目标

（1）掌握连续整数、两位数数字问题的数量表示方法；熟练利用规则图形面积公式建立一元二次方程；完

整掌握一元二次方程解应用题的六步流程，能根据整数属性、边长为正的实际条件检验并舍去不合理根.

（2）经历“数字/图形情境T梳理等量关系-建立方程模型-运算求解一验证实际意义”的探究过程，提升文

字信息转化、几何图形量化、代数建模的能力.

（3）感受数学知识的关联性与实用性，体会数形结合的数学魅力，克服应用题畏难情绪，提升数学解题的

严谨性与自信心.

重点：掌握连续整数、两位数数字问题的设元方法与等量关系构建；利用矩形、正方形面积公式建立一元二

次方程，规范解题步骤.

难点：准确用代数式表示多位数、连续整数类未知量；复杂图形（留白、裁剪问题）中提炼“整体面积、局

部面积”的隐性等量关系；结合整数、边长为正数的实际条件，精准取舍方程的两个根.

第一环节自主学习

温故知新：

创设情景，引入新课

前面我们学习了一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题，同一元一次方程、二元一次方程（组）等一

样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型，本节课继续讨论如何利用一元二

次方程解决实际问题.

新知探窕

【学法指导】

新知白研：白研课本第20・21页的内容

【学法指导】自研课本P20-21页内容

（一）代数数字关系问题

活动1：已知两个连续正整数的乘积为132,求这两个连续正整数.

师生活动：引导审题：明确未知量为两个连续正整数，核心特征：后一个数比前一个数大1;

规范设元：设较小的正整数为x,则较大的正整数为x+1；

提炼等量关系：较小数k较大数=132：

列方程求解:x(x+l)=132»整理得x?+x-132=0,因式分解求解；

验根取舍：解得$=11,9=-12,结合正整数条件，舍去负根，得出答案.

活动2：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形?如果存在，这样的三角形有多少个？

学生交流讨论：若存在这样的三角形，设其三边长依次为x,x+1,x+2,其中x为正整数.

由勾股定理，得x2+(X+l)2=(X+2)2.

解方程，得X=3,七=-1(不符合题意，舍去).

因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为3,4,5.

(二)几何图形面积问题

活动3：一个正方形的边长增加2cm,面积增加24cm2,求原正方形的边长.

师生探究：

审睡分析：图形为正方形，边长变化引发面积变化，已知变化量、求原边长；

设元：设原正方形边长为xcm,贝!新正方形边长为(x+2)cm；

等量关系：新图形面积-原图形面积;增加的面积；

列方程求解：(x+2)2・x2=24,整理化简为一元二次方程并求解；

验根：边长为正数，舍去负根，规范作答.

活动4：用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m2的矩形区域?如果能围成，这样的矩形是否唯一？

分析讨论：

假设细绳能围成面积为96m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为xm,由周长为40m,

可用含x的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.

独立解答:设矩形的一边长为rm,由矩形的周长为40m,可得此边的邻边长为(20—x)m;由矩形的面积为96m2,

得x(20-x)=96.

解方程，得内=12,々=8・

因此，用根长为40川的细绳可以围成面积为96心的矩形区域，这样的矩形唯，其两邻边长分别为8山，

12m.

追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？

学生讨论：符合实际意义，可以有一个满足条件的矩形.

思考：对于上述的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种.例如:(1)可设一边长为xm,那么其邻边长为m;(2)

可设一边长为(10+x)m,那么其令口边长为(10-x)m.能根据以上设两邻边长的方法列方程求解吗？比较这曲设

法，说说它们各自的特点.

学生讨论，交流.

（三）归纳列一元二次方程解决实际的通用步骤

活动5：师生共同归纳以上四个问题通用步骤：

审题意一巧设元一找等量一列方程-解方程一验实际一写答案.

典型例题

【自研自探】

自研课本P20.21页内容

例1：两个连续偶数的枳为168,求这两个连续偶数.

【分析】连续偶数差值为2,设元可设x、x+2,且结果需为偶数，进一步细化验根标准.

【详解】解：设这两个连续偶数为x、x+2,根据题意得：x（x+2）=168

解得:x,=—14,x2=12.

所以这分别两个连续偶数为12、14或-12、-14.

例2.在一块长16m宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图（1）

所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为2m或12m.如

图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同.

（2），尔能帮小颖求出图（2）中的x吗？（万取3」4,结果精确到0.1）

（3）你还有其他设计方案吗？

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；

（1）按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证；

（2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求

出半径：

（3）答案不唯一，符合要求即可.

【详解】（1）解：设小路的宽为则

（I6-2X）（12-2X）=-X16XI2

2,

解得：x=2,或1=12（舍去）.

.•/=2,故小明的结果不对.

（2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为山】,

上

故有兀产=2*16x12,

解得：「"5.5m（负值舍去）.

（3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案.

第二环节合作探究

1.讨论怎样表示两个连续正整数、三个连续正整数？两个连续偶（奇）数、三个连续偶（奇）数？

2.讨论怎样计算几何图形面积？

3.讨论列一元二次方程解决实际的通用步骤.

拓展提升：1.如图，某校准备一面利用墙，其余各面用篱笆围成一个矩形花辅A8CD.已知旧墙

可用的最大长度为13m,篱笆长为24m,设垂直于墙的河边长为x.

ZZ/ZZZ.rzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz^zzzzzz

AD

BC

⑴若围成的花圃面积为70m,时，求3C的长：

（2）如图，若计划将花圃面积围成78m2,请你判断能否围成这样的花圃？如果能，求的长；如果不能,

请说明理由.

【详解】（1）解：设垂直于墙的A"边长为x.

根据题意得：8C=（24-2x）m,

则（24-孙=70,

解得：%=5,0=7,

当为=5时，4c=14,9=7时，BC=10,

增可利用的最大长度为13m,故8C=14舍去.

答:灰?的长为10m；

（2）解：不能围成这样的花圃.理由如下：

依题意可知：

即工2_]2x+39=0,A=（-12）2-4xlx39v0,

所以方程无实数根，

答：不能闹成这样的花圃.

课堂练习：课本P21随堂练习

m真题感知

1.（2025.来安校考）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2x2个数（如17,18,24,

25）,如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153,那么这四个数的和为（）

日—•二三四五

12345

6789101112

13141516171819

20212223242526

2728293031

A.40B.48C.52D.56

【详解】解：设最小数为x,则另外三个数为（X+D（X+7）,（X+8）,

根据题意可列方程，得成"8）=153,

解得内=9,X2=-17（不符合题意，舍去），

...x=9,x+1=10,x+7=16,4+8=17,

二匹个数分别为9,10,16,17,

...9+10+16+17=52,

故选：C.

2.（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24机长的围栏围成一个面

积为40病的矩形场地.设矩形的宽为工〃?,根据题意可列方程（）

A.x(24-2x)=40B.x(24-x)=40

C.2x(24-2x)=40D.2x(24-x)=40

【解答】解：•••围栏的长度为24加,矩形的宽为丁洲,

•••矩形的长为（24・2x）m.

根据题意得：x(24-2x,)=40.

故选：A.

3.（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直

角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据

题意可列方程（)

B.5(1+x2)=6C.x(5-x)=6D.5(1+x)2=6

【解答】解：由题意可得，x（5-x）=6,

故选：C.

4.（2025•威海）如图，某校有块长20,〃、宽14〃?的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和

内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24〃『的9个矩形地块，请你求

出小路的宽度.

【解答】解：设小路的宽度为工，〃，则9块矩形地块可合成长为（20-©）加，宽为（14-4外〃?的矩形,

根据题意得：（20-4%）（14-4x）=24X9,

整理得：2?-I7.r+8=O,

解得：X|=1,A-2=8（不符合题意，舍去）.

答：小路的宽度为

5.（2025.周口统考）如图，利用一面墙（长度不限），用长20米长的篱笆围成一个矩形场地A8C。，并在

边8C上留出一个1米宽的门（不用篱笆），怎样围成一个面积为45平方米的场地？

AD

BEFC

【详解】设矩形A8CO的边长A8=_rm,则边8C=20-2x+l=(2J2x)m.

根据题意,得M21-2X)=45.

解得再=3,X2=1.5

当x=3时，21-2.r=21-2x3=15.

当工=7.5时，21-2%=21-2x7.5=6,

答：当矩形场地的长为15m,宽为3m或长为7.5m,宽为6m时，能围成一个面积为45平方米的场地.

05随堂笔记

1.知识技能：（I）数字问题：掌握连续整数（差I）、连续偶数（差2）、两位数数位的代数式表示方法,能

根据“整数、正数”条件取舍方程根.（2）面积问题：熟练掌握正方形、矩形边长变化、留白裁剪问题的等量

关系，依托面积公式建立一元二次方程.（3）通用技能：熟练掌握一元二次方程解应用题六步解题法,解题

格式规范完整.

2.思想方法：（1）模型思想：将数字关系、几何面积的实际问题，抽象转化为一元一.次方程代数模型.（2）

数形结合思想：面积问题通过画图分析图形结构,直观梳理边长、面积等量关系,化几何问题为代数计算.

（3）转化思想：文字情境、图形信息转化为代数式、方程，实现几何与代数的互通转化.（4）严谨验证思

想：方程的数学解必须结合实际情境的取值限制筛选有效解.

3.易错提醒：（1）数字问题：设元错误,混淆连续整数、连续偶数的差值；忽略“整数、正数”要求,不舍去

不合理根;两位数数值宜.接用数位数字代替,计算错误.（2）面积问题：图形边长增减分析错误,混淆单边、

双边增减:误用面积公式，等量关系列写颠倒；默认所有方程解都有效,忽略边长为正数的硬性条件.（3）

通用问题：解题步骤残缺,漏检验、漏作答、无单位,解题规范性不足.

25.3实际问题与一元二次方程

（第2课时病毒传播、平均下降率问题）（导学案）

01

（D掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立.传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降

率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合理方

程根.

（2）经历“情境观察一分析动态变化一提炼等量关系一归纳通川模型一变式应用巩固”的探究过程，掌握动

态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力.

（3）通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨

规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心.

重点：探究并掌握两轮流感传播问题的数量关系，正确建立一元二次方程；熟记并灵活运用平均下降率通用

公式解决实际问题；规范动态变亿类应用题的完整解题步骤.

难点：准确分析病毒两轮传染的裂变过程，理清每一轮的传染人数、总患病人数；区分增长率与下降率公

式，规避公式混用错误：结合人数为正整数、数量为正数的实际条件，精准取舍方程的两个实数根.

第一环节自主学习

温故知新：

创设情景，引入新课

复习提问：列一元二次方程解决实际的通用步骤？

审题意T巧设元一找等量T列方程一解方程T验实际T写答案.

新知探窕

【学法指导】

新知自研：自研课本第21・22页的内容

【学法指导】自研译本P21-22页内容

（一）病毒传播问题

活动1:平均1个人传染了多少个人？

问题某种传染病的传染速度很快，如果开始有1人被传染，经过两轮传染后共有121人被传染，那么每轮传染

中平均1个人传染了多少个人？

学生讨论交流，按通用步骤进行思考：

（1）审题梳理：初始患病人数1人，经过两轮完整传染，总人数121人，求单人每轮传染人数；

（2）规范设元：设每轮传染中平均一个人传染x个人；

（3）分步分析数量变化第一轮传染：1个患者传染x人，第一轮后总患病人数：1+x；第二轮传染：（1+x）个

患者，每人再传染x人，第二轮新增传染人数：x（l+x）；两轮结束后总患病人数：原有患者+两轮新增患者

二（1+X）+X（1+X）=（1+X）2；

（4）建立方程：（1+X）2=121；

（5）求解验根：解得4=10,与=-12传染人数不能为负数，舍去负根：

（6）规范作答，梳理完整解题步骤.

师生共同总结模型归纳：一轮起始、两轮传播通用模型：初始1人传播，两轮后总人数为（1+x）?（x为单人每

轮传染人数）.

追问：按照这样的速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此你能体会到阻断病毒传播的必要性？

（1+X）3=（1+1O）3=1331

（二）平均下降率问题

活动2：哪种食品成本的年平均卜降率较大？

问题：两年前生产It甲种食品的成本是10000元，生产It乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现

在生产It甲种食品的成本是6000元，生产It乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？

追问1：甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？

甲乙两种食品成木年平均下降额分别是（10000.6（X）0）+2=2000（元），（12000-7200）22=2400（元）.

追问2：平均下降额与下降率有什么不同？

平均下降额是指平均下降的数值，下降率是比值

追问3：怎样比较哪种食品成本的年平均下降率较大？

可以分别求出两种食品成本的年平均下降率，再进行比较.

师生探究建模先求出甲种食品年平均下降率

(1)设元：设平均每年降价的百分率为x；

(2)分步表示价格：

甲种食品一年后成本：10000(1-x)；

甲种食品二年后成本：10000(l-x)(l-x)=10000(l-x)2；

(3)等量关系：原成本x(l-下降率/二二年成本；

(4)列方程求解：10000(1-x)2=6000；

(5)解方程,得$*0.225,%)1.775

(6)验根取舍：下降率小于1、大于0,舍去不符合范围的根，规范作答.

学生自主求解甲种食品年平均下降率：得%。0.225,«1.775

追问4：经过计算，你得出什么结论？

食品年平均下降率相同

追问5：年平均下降额大，平均下降率就大吗？

年平均下降额大，平均下降率不一定大

师生共同总结模型归纳：

平均变化率通用模型：

连续两次增长：a(l+x)2=b；连续两次下降：a(l-x)2=b(a初始量，x变化率，b最终量).

(三)传播问题、下降率变式提升

活动3：讨论交流有2人感染流感，经过两轮传染后共有288人感染流感，求每轮平均每人传染的人数.

突破初始人数不为1,总人数公式调整为2(1+X)2=288,引导学生灵活变通模型，突破固定思维.

活动4：讨论交流某某工厂2023年年生产总值为50万元，经过增产到2025年年生产总值为98万元，求平均每

年增长的百分率.

学生讨论交流增长率设元后，列式建立方程50(l+x)、98.

学生小组纠错•、对比辨析，强化两类模型的区别与应用场景.

典型例题

【自研自探】

自研课本P21-22页内容

典型例题

例1.春季是传染病多发季节.2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经

过两轮传播后，就有256人患了甲型流感.若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数.

【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关键.设每人每轮传染

的人数为x人，则第一轮传染后有（1+“人患病，第二轮传染后有1+"+°+M“=（"2+2X+1）人患病，据此

列出方程求解即可.

【详解】解:设每人每轮传染的人数为x人，

由题意得，心+（心»=256,

解得x=15或x=T7（舍去），

每轮每人传染的人数为15人.

例2.某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为3.92亿元.求该企

业从202（）年到2022年利润的年平均增长率.

【分析】本题考杳了一元二次方程的应用，设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为理解题意，

找湮等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键.

【详解】解：设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x,

由题意得：2（"才=3.92,

解得：玉=04=40%,%=-2.4（不符合题意，舍去），

・:该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为40%.

例3.利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取

了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平沟每天可多售出4件.

（1）若降价6元，则平均每天销售数量为件；

⑵为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

【分析】本题考查一元二次方程的应用.

（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，列式计算即可；

（2）设每件商品降价4元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可.

找挂等量关系，正确的列出方程，是解题的关键.

【详解】（1）解：由题意，得：20+6+2x4=32（件）：

故答案为：32；

（40-x）|20+-x4）=1200

（2）设每件商品降价”兀，由题意，得：I2J,

整理，得：X2-30.1-4-200=0,

解得：百=1°，”20,

・•,让顾客更实惠，

••・应降价20元;

答：每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元.

第二环节合作探究

1.讨论病毒传播问题模型问题模型.

2.讨论平均下降率问题、上升率何题模型.

拓展提升：I.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下

降的百分率相同.（I）求每次下降的百分率；

（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当

的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少

库存，那么每千克应涨价多少元？

【详解】（1）解：设每次下降的百分率为X,

依题意得：50（17）2=32,

解得：玉=0.2=20%,占=1.8（不符合题意，舍去）.

答：每次下降的百分率为20%.

（2）设每千克应涨价y元，则每千克盈利（1°+）'）元，每天可售出（5°°—20力元，

依题意得：（10+），）（500-20），）=6000,

整理得：K-15y+50=0t

解得：凹=5，%=10.

又•.要尽快减少库存，

"=5.

答：每千克应涨价5元.

住巩固练习

课堂练习：课本P22随堂练习

m真题感知

1.(2025•凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁I860吨，

若设月平均增长率为-那么可列出的方程是()

A.560(l+x)2=1860B.560+560(1+x)+560(l+2v)=1860

C.560+560(1+x)+560(1+A)2=1860D.560+560(l+2x)2=1860

【解答】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560(1+x)吨，三月份生产钢铁560(1+x)2吨，

又•.•该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，

•••列方程为560+560(1+x)+560(1+x)2=1860.

故选：C.

2.(2025•重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客

达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为()

A.10%B,20%C.22%D.44%

【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为X,

根据题意得：25(1+x)2=36,

解得：M=0.2=20%,r=-2.2(不符合题意，舍去)，

•••该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.

故选:B.

3.(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，趣着生产成本

的降低，甲种商品每件的进价年平均卜降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.

(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；

(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲

种商品.

(2)设购进y件甲种商品，则购进件乙种商品，利用进货总价=进货单价X购进数量，结合进

货总价不超过7800元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.

【解答】解•：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为工：

眼据题意得：125(1—％)2=80,

解得：Xi=0.2=20%,垃=1.8(不符合题意，舍去).

答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；

（2）设购进y件甲种商品,则购进（100—y）件乙种商品,

根据题意得：（125—25x2）），+80（100->-）<7800,

解得:）240，

.•・），的最小值为40.

答：最少购进40件甲种商品.

05随堂笔记

i.知识技能：（1）流感传播模型：掌握两轮链式裂变传播的数量规律，初始1人传播总人数但：，初始多

人可灵活套用a（l+x）：=b；明确总人数为正整数,需合理验根.（2）平均下降（增长）率模型：熟记连续两次

下降（增长）通用公式a（l；x）：=b,可应用于降价、减产、减排（涨价、增产、增排）等所有等量衰减（增

加）问题.（3）通用技能：熟练堂握一元二次方程应用题审、设、歹1|、解、验、答六步规范,能根据人数、

百分率、数量的实际取值范围取舍方程根.

2.思想方法：（1）动态建模思想：将生活中连续变化、裂变衰减的动态实际问题,抽象为固定的一元二次

方程数学模型.（2）分步转化思想：复杂两轮变化问题，拆解为单轮变化逐一分析，化繁为简、化动态为静

态.（3）对比归纳思想：对比增长率与下降率、初始1人与初始多人传播模型,归纳通用规律，构建系统化

知识体系.（4）严谨验证思想：数学方程解需结合实际情境筛选，保证结果符合现实逻辑.

3.易错提醒：（1）传播：问题误区：混淆新增传染人数和两轮后总人数:死记公式，不会变通初始人数不

为1的题型:忽略人数为正整数,不舍去负根.（2）下降率问题误区：增长、下降公式混用,下降率误用（1+x）

列式；忘记百分率取值范围（OVxVl）,保留不合理根.（3）通用误区：设元不规范，漏写“百分率”含义；

解题步骤残缺,无检验、无完整作答;计算平方项时出现运算错误.

25.3实际问题与一元二次方程

（第3课时单循环赛问题）（导学案）

01学习目标

（1）理解单循环赛制的比赛规则，自主推导并掌握单循环总场数公式；能识别球赛、握手、互通电话等同

模型问题，熟练建立一元二次方程求解.；能根据实际意义检验根的合理性，舍去非正整数、不合理的根，规

范解题步骤.

（2）经历“情境感知T手动枚举T规律推导T模型归纳T变式应用”的探究过程，掌握组合计数类问题的建

模方法，提升从生活情境中提炼数学规律、抽象数量模型的能力.

（3）感受数学与体育、生活的紧密联系，体会数学的工具性价值；在自主探究与合作交流中，增强探究意

识与学习自信心，养成严谨规范的解题习惯.

重点：理解单循环赛制规则，推导并掌握单循环比赛总场数公式;x（x-l）：利用单循环通用模型建立一元

二次方程，解决球赛、握手等同类实际问题.

难点：理解单循环公式的推导逻辑，明白公式中“x-i”和的实际意义；区分单循环与双循环问题，规避

2

两类模型公式混用错误：结合队伍数、人数为正整数的条件，精准取舍方程的实数根.

第一环节自主学习

温故知新：

创设情景，引入新课

情境：学校组织班级足球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间只比赛一场），已知联赛总场次为21场,

求一共有多少个班级参赛？

师生活动：

1.教师通俗解读单循环规则：任意两队只赛一场，不重复、不主客场双赛；

2.抛出疑问：若有3支队伍、4支队伍，分别需要比赛多少场？引导学生手动枚举计数；

3.学生枚举：3队比赛3场，4队比赛6场，发现无法逐一枚举多队伍场次，引出公式推导的必要性。

新知探窕

【学法指导】

新知自研：自研课本第23页的内容

【学法指导】自研课本P23页内容

（一）自主探究，探究模型

活动1：参加比赛有几支队伍？

设有x支队伍参赛，遵循单循环赛制.

追问1.每一支队伍需要和除自身外的多少支队伍比赛？（x-l支）

追问2.所有队伍累计的总比赛次数（含重复）是多少？（x（x-l）场）

追问3.单循环每两队只赛•场，存在重复计数，需要如何修正？（除以2去重）

师生归纳总结：

总场数=总配对次数+2,得出单循环通用公式：总场数=Lx（x-l）

2

规范解题：结合导入情境列方程

解：设共有x个班级参赛，根据题意得：

lx（x-1）=21

2

整理得:X2-X-42=0

解得：%]=7>x2=—6

根据班级数量为正整数，舍去x=-6

答：一共有7个班级参赛.

（二）模型归类，同类迁移

活动2：归纳同模型题型

学生交流讨论：所有两两发生一次互动、无重毙的问题均迨用单循环公式，如：

1.体育单循环球赛、棋类比赛；

2.多人两两握手、两两拥抱；

3.多人之间互通一次电话；等等.

教师提醒：题目出现“只一次、两两一场、不重复”为单循环；“主客场、互赠、双向互动”为双循环.

及时巩固：某次座谈会结束后，在场所有人两两握手一次，统计总握手次数为45次，求参会总人数？

学生独立识别单循环模型，套用公式列方程求解，规范验根作答，教师巡视纠错.

典型例题

【自研自探】

自研课本P23页内容

典型例题

例1・九年级江门市新会区会城创新初级中学校考期中）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手

15次，有多少人参加聚会？

【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设有4人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握

\_

手（“一|）次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有5Mxt）次，设出未知数列方程解答即可.

x（x-l）

」——^=15

【详解】解：设有4人参加聚会，根据题意列方程得，2,

解得斗=6,々=-5（不合撅意，舍去）：

答：有6人参加聚会.

例2.某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），

根据场地和时间等条件，赛程计•划7天完成，每天安排4场比赛.

⑴比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？

（2）如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？

【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，

（1）设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，则每个队伍比赛（”7）场，根据题意列出方程，即可解答：

（2）设至少需要〃天完成比赛，限据（1）中解题思路，列不等关系即可解答：

解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2.

【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请x个队参赛，则每个队伍比赛（“一1）场，

M"T）=4x7

根据题意可得2,

解得$=8声=-7（舍去），

故比赛组织者应计划邀请8个队参赛；

（2）解：根据题意可得邀请10个队伍参赛，则每个队伍比赛9场，

设至少需要。天完成比赛，

解得心9,

故至少需要9天完成比赛.

第二环节合作探究

1.讨论单循环赛问题模型.

2.讨论单循环和双循环问题模型的区别与联系.

拓展提升：1.如图，在6x8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,动点P，Q分别从点F,A出发向右移

动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点E时，两个点都停止运

动.

F(P)—►E

A（Q）—►B

图1图2

（1）请你在图1中,画出2秒时的线段P。：

（2）在动点P,Q运动的过程中，△PQ"能否成为等腰三角形？若能，请求出相应的时间【；若不能，请说明理

由.

【详解】（1）解：•・•点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，

点P运动的路程为：2x2=4（2个单位），点Q运动的路程为：2x1=2（个单位），

•••68的网格纸中，每个小正方形的边长都为1,

••.2秒时线段也如图1所示：

图1

（2）解：在动点P,Q运动的过程中，能成为等腰三角形.

t秒时，点P运动的路程为：t个单位，点Q运动的路程为力个单位,

如图2所示：过点Q作于H,

则"=2/个单位，=l个单位，PE=（8_"）个单位，3Q=18T）个单位,

依题意得：四边形A跳尸为矩形，

ZF=Z.A—Z.E=90°,AF=BE=6个单位,7^=A3=8个单位，

又.；OHA.EF,

.•・四边形A""。为矩形,

.人。=尸〃=，个单位，。"=4b=6个单位

..麻=0一m=/个单位，

在为△PQ”中，由勾股定理得：PQ2="p2+Q”2=J+36,

在RtZsBPE中，由勾股定理得：PB2=PE2+BE2=(8-2t)+36,

又由*=(8-心

分三种情况讨论如下：

,2

①当时，产+36=(8—27)+36,整理得：3/=8,解得：一3,

，，t=l

②当PQ=3Q时，/+36=(87)：整理得：]&=28,解得：’一1.

③当PB=8Q时，(8-2，)-+36=(8-/)-,整理得:3r2-16/+36=0,

••・判别式A=(T6)-+4x3x36=-176<0

,方程3/-⑹+36=0没有实数根,

.•・不存在P8=8Q.

=87

综上所述：当”3秒或I秒时，APOB是等腰三角形.

住巩固练习

课堂练习：课本P23随堂练习

04真题感知

1.(2025.青岛校考)某文具店销售一种文具盒，每个成本价为15元，经市场调研发现：售价为22元时,

可销售40个，售价每上涨1元，销量将减少3个.如果这种文具盒全部销售完，那么该文具店可获利156元,

设这种文具盒的售价上涨x元，根据题意可列方程为()

A(22+15)(40-3x)=156R(x-15)[40-3(x-22)]=156

c(22+x)(40-3x)=156D.(22+x)(40-3x)-15x40=156

【详解】根据题意知，每件商品的利润为（22-15+R元，俏售量为（曲一?”件，

则可列方程为3+XT5）（40-3A）=156,

故选：A.

2.（2