高考数学 平面向量的基本定理与坐标表示（附解析）

平面向量的基本定理与坐标表示

激活思维

1.(教材经典题)在下列各组向量中，可以作为基底的是(B)

A.ei=(O,O),e2=(l,-2)

B.ei=(—1.2),62=(57)

C.ei=(3,5),e2=(6/0)

D.ei=(2,—3),e2=&—；)

【解析】对于A,因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量

不可以作为基底；对于B,ei=(-1,2)与e2=(5,7)对应坐标不成比例，两向量不

共线，可以作为基底；对于C,ei=(3,5),e2=(6.10),ei=1e2,两向量共线，不

可以作为基底；对于D,ei=(2,—3),02=6,

两向量共线，不

可以作为基底.

2.(教材经典题改编)在△ABC中，已知为3c边上的中线，E为AD的

中点，则或等于(A)

A.^AB—^ACB.^AB—^AC

C.(福/D.］蔗+总启

［解析］由题意知巫=；丽+J而=：丽+1反?=日丽+］(丽+危)=日丽+

乙乙乙I乙I乙

1丽+;危=3丽+;公，则说="油一

3.(教材经典题)当弓=一4时,。=(2,3)与〃=(x,—6)共线.

【解析】因为。=(2,3),b=(x,-6),a//b,所以2X(-6)—3x=0,解得

x=-4,所以当x=-4时，。与8共线.

4.(教材经典题)己知。=(3,2),力=(0,-1),则一2。+4〃=(一6,—8),

4。+3)=(12、5).

【解析】因为。=(3,2),b=(0,-1),所以一2。+4〃=-2(3,2)+4(0,-1)

=(一6,—4)+((),—4)=(-6,—8),4。+36=4(3,2)+3((),-1)=(12,8)-((),

-3)=(12,5).

5.(教材经典题)已知点0(0,0),向量51=(2,3),05=(6,-3),P是线段A3

的三等分点，则点P的坐标为_(立二1)或作」

【解析】因为为=(2,3),05=(6,-3),所以油=/一近=(4,-6).因

为P是线段的三等分点，所以办=与方=件一2)或/=|靠=件一4),

所以9=醇+/=宓+!辐=(2,3)+住，-2)=律1)或赤=醇+/=醇

+|A方=(2,3)+修，一4)=图一1)，故点尸的坐标为厚一1)或图1).

聚焦知识

1.平面向量基本定理

如果0,62是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量〃，

有且只有一对实数力，22,满足。=力61+2262,我们把不共线向量ei,62叫

做这一平面内所有向量的一组基底.

2.向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模

设〃=(加，yi),b=(X2,y2)f则。+力=(xi+x2,51+丁2),g—b=(x\—X2,VI-

_V2),—(Zri,如),\a\=#X+)彳.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设点A(x\,>1),8(x2,y2)»则施=(X2—xi,yi—yi),\AB\=

、/(X2—XI)2+(只一y1)2.

3.平面向量共线的坐标表示

设。=(幻，y),b=g闻，若8W0,则。，♦共线台XIV2=X2V1.

4.“爪形三角形”

在△ABC中，。是BC上的点，且删=入册,则俞=沅+(1—2)命.特别

地，若。为线段8C的中点，则屐)=g前+紧.

5.奔驰定理

如图，已知P为△ABC内一点，则有S„PBCPA+S^PACPB+S^PABPC=O.

题型突破思维拓展

举题说法

目标II平面向量基本定理的应用

例1(2025・广州一模)在平行四边形A8CD中，£是8c边上的点，BC=

4反:，产是线段。E的中点，若标=/1电+〃疝，则〃=(C)

力"--------'B

［解析】如图，/芯+册启+；能反1

=g麴+翔)，所以〃=(.

＜总结提燎A

(1)选定基底后，根据向量的加、减、数乘运算法则以及向量平行的充要条

件，把相关向量用这一组基底表示出来.(2)强调几何性质在向量运算中的作用，

用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等.

变式1(1)(多选)已知等腰梯形ABCD满足AB//CD,AC与BD交于点P,

且A5=2CO=23C,则(AC)

A.AP=2PCB.\AP\=3\PD\

C.AP=^AD-\-^ABD.AC=\AD-\-^AB

【解析】如图，因为AB//3,且AC与B。交于点P,所以

4»ApPR,一

CPD.又AB=2CD=2BC,则赤L-7=乔1=而1L-/=2,即AP=2PC,PB=2PD,则AP

=2无，故A正确；因为四边形ABC。是等腰梯形，所以AP=P&即|亦|=2|历

|,故B错误；由PB=2PD,知而=；用，AP=AD-\-DP=AD-\-^DB=Ab+^AB

—2—f3f3(2f]—＞、fIf

—Ab)=yb+彳通，故c正确；/=习力=^j屐)例方，故D错

误.

(2)在正六边形ABCDE"中，用屐?和表示日)，则日)=(B)

A.-各打&B.—^4C+^AE

c.—|AC+^AED.—1.4CH-|AE

【解析】设正六边形的边长为2,如图，设A3与EC交于点O,则有OO

=1,A0=3,所以⑦=南+(5&=5(/+危)+£病+A^)=—，病+彳病.

LJJ

目帧回向量的坐标表示及运算

例2⑴已知点A(—1,0),仇3,-1),C(I,2),AE={ACf求点

JJ

E,尸及向量前的坐标.

I

t1f13

【解答】⑴设点E(m切，由AE=g4C,即(〃+1,。)=)(2,2),解得(1

7

,12、-1-1c=w，

故4一丞不设点汽c,"),由即』铲。，即(°-3,4+1)=,-2,3),解得3

W=0,

故限0)，所以前=仔

(2)如图，点A,B,C,产均在正方形网格的格点上.若力=派+〃就

【解析】如图，以4为原点，AC为X轴的正方向建立平面直角坐标系，不

妨设小正方形的边长为1,则设(0,0),B(—2,2),C(4,0),尸(1,1),所以麴=(一

2,2),/=(4,0),AP=(1,1),则有(1/)=2(—2,2)+〃(4,0)=(—22+4〃，22),所

13

f—2z+4/z=1,[1-

以"_解得力=〃=5，所以2+2〃=1+2X2--2

<总结提燎A

(1)利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线段两端点的

坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方

程(组)进行求解.

变式2已知A(—1,0),8(0,2),C(—3,1),油•疝=5,AD2=\0.

(1)求点。的坐标；

【解答】设。(x,y),AB=(1,2),疝=(x+l,y).由题得

筋・Ab=x+l+2y=5,|x+2y=4,fx=-2,

x=2t

、宓=(x+1)2+户10,l(x+l)2+/=10,b=3或'所以点

ly=l,

。的坐标为(一2,3)或(2,1).

(2)若点力在第二象限，试用病，启表示病；

【解答】因为点。在第二象限，所以£>(一2,3),所以力=(-1,3).因为

AC=(-2J),设危=〃?筋+〃崩，所以(一2』)=〃贝,2)+〃(-1,3),即有

—2=m—nym=—\

解得E所以危=一麴+崩.

1=2〃?+3〃,

(3)设施=(m,2),若(3油+危)，崩，求助的坐标.

【解答】因为3牯+危=3(1,2)+(—2/)=(1,7),AE=(m,2)y(3AB+AC)±

AE,所以(3篇+危)•危=0,即机+14=0,解得机=-14,故崩=(一14,2).

目帧目向量共线的坐标表示

例3(1)(2025•汕尾、肇庆二模)已知向量〃=(一2,3),力=(〃?一l,3〃z),a//

(〃+2b),则m=(A)

A.gB.3

C.—1D.—

【解析】由于〃=(—2,3),b=(m-1,3^)>牧a+2A=(—2,3)+2(机-1,3⑼

=(2加-4,6m+3).又a〃(a+2b),所以一2X(6m+3)=3X(2〃z-4),解得加=3.

J

(2)如图，已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC和08的交点P的坐标为

(3,3).

【解析】因为次与油共线，所以设况=2及=(4九4/1),则a=(4/1-441),

屐?=(2—4,6—0)=(—2,6).由办与庆共线，得(42—4)X6—42X(—2)=0,解得

2=1,所以舁=(4Q42)=(3,3).故点尸的坐标是(3,3).

・总结提燎＞

两平面向量共线的充要条件有两种形式

(1)若。=3,)”)，b=(X2,U),则。〃方的充要条件是Xl)，2—X2)"=0；

(2)若a〃b(b于0),则。=劝.

变式3(2024•全国甲卷)已知向量。=(x+l,x),b=(x,2),则(C)

A.’”=-3”是的必要条件

B.“x=-3”是“〃〃/'的必要条件

C.'"=0”是的充分条件

D."”=-1+#”是的充分条件

【解析】对于A,当。J_力时，a•Z>=0,所以x•(x+l)+2x=0,解得x=

0或x=-3,所以必要性不成立，故A错误；对于C,当x=0时，a=(l,0),b

=(0,2),〃•力=0,所以a_LA即充分性成立，故C正确；对于B,当。〃力时，

2(x+l)=f,解得x=l±、/5,即必要性不成立，故B错误；对于D,当x=-1+

仍时，不满足2(x+l)=f,所以。〃b不成立，即充分性不成立，故D错误.

微探究等和线的应用

1.三点共线定理：A,B,尸三点共线的充要条件是：存在实数九仆使次

丽，其中人+〃=1,。为AB外一点.

2.等和线定理

如图，若的=，〃/+〃丽=(加+〃)(煮^•殖+公^^)=(，〃+〃)由=9八

由于点P在直线AB上的任意性可知，点Q所形成的直线CD平行于直线AB.

--A

且直线CD上任意一点都满足®故称直线C。为等和线.此时△OABs4

\OP\

OCD,因此，我们就可以取特殊情形，即过三点O,P,Q的直线分别垂直于48,

C。时，计算上

OP=AOA+pOB,2+〃=1

例4(1)如图，在△ABC中，。是8C的中点.过点。的直线分别交直线

AB,AC于不同的两点M,N,若筋=〃/拓AC=nANf则〃?+〃=2.

A

N

B/、C

I/OC

M

(例4(1))

【解析】连接40,因为。为BC的中点，所以历=拗+证.因为福

.因为M,O,N三点

共线，所以沙2+；〃=1,即机+〃=2.

(2)在矩形A8CO中，A3=l,AE>=2,点尸在以C为圆心且与8。相切的

圆上，若加=，.屈+〃疝，则」+.的最大值为3.

【解析】方法一(等和线)：如图(1),建立平面直角坐标系，由等和线性质可

知，A+〃=^I―词显然，当3。的平行线/与圆在最上方相切时，丸+4取最大值，

I明

此时，直线的方程为工+2y—2=0.当AE_LBO时，点A(0,0)到直线B。的

距离为AE=2^.由8。的平行线/与圆(x—2)2+。-1)2=49相切，可得/的方程

IfI

为x+2)，-6=0,此时点4(0,0)到直线/的距离为4P=+，故(2+〃)max=H

9\AE\

3.

方法二(坐标法):如图(2),设A(0,l)，仇0,0),C(2,0),0(2,1),P(x,y)t易

24f.

得圆C的半径，=诟,即圆C的方程是。-2)2+)2=亍AP=(xfy-1),4B=(0,

X

x=2〃,〃=不，

-1),疝=(2,o),由得，即12所以/+〃=

J_1=T,A=I-y,

之一y+1.设z=・一)，+1,即5―y+l—z=0.因为点P(x,y)在圆(久一2)2+)2=、

—--*—J

上，所以圆心(2,0)到直线左一)，+l-z=O的距离dWr,解得

1WZW3,则2+〃的最大值是3.

图⑵

变式4(1)如图，在△ABC中，。是8c边上一点，P是线段AO的中点,

S.AP=xAB-^yACf则，一

【解析】因为P是线段A。的中点，且存=由+)，/，所以能=领)=

xAB^yAC,得历=2%宿+2y屐:.又8,。，。三点共线，所以2x+2y=l,得x

,1

+y=2-

(2)已知。是△ABC内一点，且51+协+注=(),点M在△OBC内(不含

边界)，若病=)益危，则2+2〃的取值范围是(B)

A.(1,1)B.(1⑵

C.停,1)D.&1)

【解析】因为。是△ABC内一点，且扇+访+灾'=0,所以。为AABC

的重心，M在△03C内(不含边界)，且当M与0重合时，2+2〃最小，此时加

=Z4B+//AC=|xr^(Afi+AC)l=|AB+|AC,所以2=g,〃=g,即2+2〃=1.当

M与C重合时，2+2〃最大，此时屐/=病，所以丸=0,〃=1,即2+2〃=2.因

为“在△O3C内且不含边界，所以取开区间，即2+2〃£(1,2).

随堂内化

1.(2025•潍坊期末)已知向量只=(1,2),b=(m,3),且〃〃(〃+2万)，则〃?=

(C)

A.；B.1

C.1D.2

【解析】由题知。+2力=(1,2)+(2〃?,6)=(2〃?+1,8),由于。〃(a+2b),所以

3

-

lX8=2X(2m+l),解得加2

2.(教材经典题改编)已知y次》的三个顶点为A(—l,-2),3(3,-1),

C(5,6),则顶点。的坐标为(B)

A.(1,4)B.(1,5)

C.(2,4)D,(2,5)

4=5-x

【解析】设y),则由油=比，得(4,1)=(5—羽6—y),即1,9'

U=6-}s

'x=],

解得《二故。(1,5).

〔产5,

3.(2025•海安期中)在弘BCD中，AM=MB,BN=2NC,AP=xAB-\-(\-

x)AD,x£R.若AP〃MN,则x=(C)

2

A-

B.7

C.jD.y

.2i

【解析】如图，因为用力=讪，丽=2成:，所以而V=的一前=g比一爹明

121O>.1O

=5牯r+§病r=2牯r+§病.又AP〃MN,所以舒=7^t^=手益r+114!r)=不助t+(I

卜=夕，

—x)AD,贝W2解得2=专，x=1.

1—x=02,

4.在△ABC中，D是线段BC上任意一点，且满足俞=3成，若存在实数

m和使得济=根部+〃庆，则，"+〃=(C)

21

A.3B.3

21

C.D.

33

【解析】如图，因为丽=静一油="瓜&+〃北，所以丽=(m+1)卷+〃屐:,

12

所以/〃+丝」贝加+〃=?-

1+〃=AD~yU1=—^.

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.已知四边形AACQ是平行四边形，AE=3EBt若或=。蕊+必力(mbe

R),则〃+〃=(C)

B.

53

-

C一

4D.2

【解析】如图，因为然=筋一或=3彷，所以丽=凝，所以比=或+就

=%方+元)，所以〃=；,b=\,故〃+/?='.

2.(2025•太原一模)已知向量。=(1,2),b=(k,-1),则“％=一9是%

//b,f的(C)

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解析】因为。=(1,2),b=(k,-1),所以若。〃力，则兼=-1,解得％=

一；,故隈=一?是%〃产的充要条件.

3.(2025•聊城一模)已知角ae(0,兀)，向量。=(1,/)，b=(cosa,sina),

若。〃b,则a=(B)

2兀n兀

A-TB-3

c兀e兀

C-4D-6

【解析】因为a£(0,兀)，所以sina>0.因为向量。=(1,小)，》=(cosa,

sina),所以若Q〃力，则sina=，5cosa>0,可得tanQ=，§,故a=].

4.在△ABC中，D是边BC上一点,且BO=2QC,E是AC的中点，idAC

=m,AD=n,则砺=(D)

57

-7

A.3B.

一

D.|/«-3n

C.

【解析】如图，BE=AE—AB=^AC—(AC-\-CB)=—4c—3CD=-^AC-

3(AD—AC)=^AC—3Ab=^m—3ii.

乙乙

5.如图，在平面内，不共线向量公与而构成的四边形ABC。中，E,尸分

别是AZ),8c的中点.若丽=温+〃诙，则，+//=(C)

C

E1

B

A.2B.1

C.0D.-1

【解析】由题意有EF=AF—AE=^（AB+AC）—AD）=^

zcb,所以2+〃=:—；=O.

乙乙乙乙乙

6.如图，已知G为△48C的重心，PQ过点G,若协=相嘉，AQ=nAC,

则％=（A）

2

C.1D.g

【解析】根据题意知后=宗彷=|（矗危）=；牯+；病.又因为能=

疝及AQ=nAC,P,G,。三点共线，则存在人使得的=7瓦;，即恁一件=

2（AG-AP）,即nAC-mAB=A（AG-AP）+|AC-mAB^=A（^1-1

一「片6-〃）i1

AC,所以〈.整理得3"2〃=〃Z+〃，所以7+二=3.

[n=y

二、多项选择题

7.在等边三角形ABC中，BD=DC,EC=2AE,40与BE交于点凡则下

列结论正确的是（AC）

A.AD=|（AB+AC）B.够=|反?+牺

C.AF=^ADD.BF=^BA-\-^BC

【解析】因为前=前，所以病=；（筋+抚），故A正确.由比=2病，

得第=沈+徐=欣+=反?十,旗一反*）=1回+y函，故B错误.由于E,

凡B三点共线，所以"=2崩+(1—力福=领2+(1一冷部，且前=乩力=%(福

A

931

所以-

一X-

~\~AC)=2-X•AS+ZA**AC,甲2

8.设Ox,Oy是平面内相交的两条数轴，其中NxQy=4oV9V兀且的学),

«2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若平面向量。满足。=/。1+

网2,则有序数对(斯y)称为向量。在“仿射”坐标系式。)，下的“仿射”坐标,记

作。=(弟)，)仇则下列命题中是真命题的是(BD)

A.若。=(2,3)?则|°|=415

B.若。=(x"p)/b=(x2,yi)O>则a+〃=(xi+x2,yi+/)。

C.若a=(—1,2)0,b=(2/)0,则a・b=O

D.若a=(xi,y\)09b=g,yi)O,若。〃b,则X2・yi=xi・j2

【解析】对于A,若。=(2,3次，则Q=2ei+3e2,所以⑷=4(2例+3&1=

44e++9e3+12ei・62=\^4+9+12X1X1Xcos]=回,故A错误.对于B,若

a=(xi,y\)0,b=(X21y2)仇则a=xiei+yie2,b=X2e\+y2ei,。+力=(xi+x2)ei+

()"+")e2,则。+8=(R+X2,yi+”)。，故B正确.对于C,若。=(—1,2)仇b=

(2,1)0,则a=—ei+2e2,b=2e\+e2,则a•b=(—ei+2e2)(2ei+e2)=—2|ei『+

2g|2+3|白|忸2|・cos0=-2+2+3X1X1XCOS6=3cos〃，故C错误.对于D,

若〃=(»,yi)0,b=gyi)0,则。=xiei+yie2,b=X2ei+”e2,若。〃b,则当。

=0或b=0时，K=yi=0或X2=y2=(),显然xi・y\=x\•y2；当且bW()

时，则存在唯一九使得〃=26,则XIeI+y162=4(X261+)262),x\=Zr2,yi=»2,

消元变形得X2•yi=xi•V2,故D正确.

9.在△ABC中，D为线段8c上的点，且丽=3天，过点。的直线分别与

人从4。所在直线相交干点2,°.且仆=力及恁=//危(2>0,〃>0),则(ABC)

A.3义+〃=4"B.川的最小值为(

C.的最小值为I+坐D.2+〃的最小值为1一坐

【解析】如图，由肋=3沆，即命一福=3(危—Ab),得病=拗+泣.由

.rM.tirt]f]f3f

A>=i4B,Ae=/zAca>o,/z>o),得公=KA,病=-血，则成=不割+尸由

Ajiq人qji

P,D,。三点共线，得*+金=1，所以32+〃=4加，故A正确；因为2>0,〃

>0,所以/'+・；=122\0^;,得02宗当且仅当；1=:，〃=£时等号成立，

■ZviX/\l^TZL«tci乙乙

所以加的最小值为玄故B正确"+〃=(丸+〃)隹+.)=&+1+122d金・1

+1=坐+1,当且仅当仑高，即2=呼」，尸士岁时等号成立，所以2+

〃的最小值为1+坐，故C正确,D错误.

三、填空题

10.(2025•新余一模)已知向量。=(1,-2),Z>=(-1,1),c=(—2,m)，

若a+c与。+3力是共线向量，则实数

【解析】由题知b+c=(—3,m-\-1),。+3)=(—2,1),又两向量共线，所

—211

以=5=而，则〃7=7

11.在平行四边形ABC。中，E是线段B力的中点，若筋=加彷+〃或;则

m-n=「3.

【解析】如图，因为四边形A8CO为平行四边形，E为B。的中点，所以

E为AC的中点，所以漉=公+丽=2比一反：=2比一国)，所以m=—\,〃=

2,所以机一〃=—1—2=—3.

12.设点4(2。)，B(4,2),点尸在直线A8上，且港|=2|丽,则点尸的坐标

为(3,1)或(1,一1).

【解析】因为点P在直线A3上，且|丽=2|宿，所以当点P在线段

上时，P为的中点，可得4与二粤a)，即P(3,l).当点P在线段BA的延

――_►2=4-2x

长线上时，AB=-2AP,设P(x,)，)，则一2Ap=(4一2右一2)，)，所以f入,

2=-2y,

解得所以P(l,-1).

13.已知O为正方形A6CD内一点，且满足:+2次7=3成+4(元)，则

AOD:5ABOC=1：3.

【解析】方法一：如图(1),建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1,O(x,

y)f则4(),()),5(1,0),C(l,l),0(0,1).由醇+2位=3协+4历，得(一羽-

y)+2(1—x,l—y)=3(l-x,—y)+4(­x,l—)，)，解得y=1,所以SMOD：S

△BOC-1：3.

y>