第9节 勾股定理的应用-【暑假预习】新八年级数学（北师大版）

第九讲勾股定理的应用

【学习目标】

知识与技能:经历多种方法探索勾股定理，进一步利用勾股定理进行简单的计算和证明，解

决实际问题。

【基础知识】

1能运用为股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.

2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.

【考点剖析】

考点一：求梯子滑动的距离

例1.一架云梯AB斜靠在墙上，梯子顶端距墙脚的距离AC=24米，梯子底端距墙脚的距

离BC=7米.

（I）求梯子的长度.

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向也滑动4米吗？为什么？

【答案】（1）25米；（2）梯子底部在水平方向滑动了8米

【详解】

解：（1）由题意可得：

AC=24米，BC=7米,乙4c8=90°,

•♦.ABWC-BC?=25米，

・••梯子的长度为25米；

（2）如图，在心4COE中，

'：CD=A04=24-4=20米，DE=25米，

:心二昼2«口2=15米,

：.BE=CE-BC=\5-1=S（米）.

答：梯子底部在水平方向滑动了8米.

考点二：航海问题

例2.如图，一艘轮船从小岛A处出发，向正北方向以每小时20海里的速度行驶了1.5小

时到达A处执行任务，再向正东方向以相同的速度行驶了2小时到达。处继续执行任务，

然后以相同的速度直接从C处返回A处轮船返回时比出去时节省了多少时间？（不含执行

任务时间）

【答案】1小时

【详解】

AB=20x1.5=30（海里），

3020x2=40（海里），

再RSABC中，ZABC=90°,

由勾股定理得：AC=dAB?+叱=,3（）2+402=50（海里），

・・・返回所用时间为:竺=2.5小时,

20

出去所用时间为：2+1.5=3.5小时，

・•・则返回时比出去时节省的时间为：3.5—2.5=1小时.

答：返回时比出去时节省了1小时.

考点三：求旗杆的高度

例3.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1〃?，当他把绳子的

【答案】旗杆的高度为12米

【详解】

解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，

根据勾股定理可得：/+5?=（x+l）2,

解得，x=12.

答：旗杆的高度为12米.

【真题演练】

1.如图，原来从A村到B村，需要沿路（NC=90。）绕过两地间的一片湖，在

A,8间建好桥后，就可直接从A村到B村.已知AC-5km,BC-12km,那么，建好

桥后从4村到B村比原来减少的路程为（）

A.2kmB.4kmC.10kmD.14km

【答案】B

【详解】

解：由题意可得：AB=yjAC2+BC2=752+122=\3（hn）

则打通隧道后从A村到8村比原来减少的路程为：5+12-13=4（km）.

故选：B.

2.如图，在灯塔。的东北方向8海里处有一轮船A,在灯塔的东南方向6海里处有一渔船

&则48间的距离为（）

A.9海里B.10海里C.11海里D.12海里

【答案】B

【详解】

解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，・・・NAO8=90。，

又・・・O4=8海里，。8=6海里，JS曾+OB?=W+6?=10（海里）.

故选：B.

3.如图，为修铁路需凿通隧道AC,测得NA+N8=90，AB=5km,BC=4km,若

每天凿0.2km,则把隧道AC凿通需要（）

A.15天B.12天C.9天D.6天

【答案】A

【详解】

解：VZA+ZB=90»

••・N4cB=90.

在火以43。中，AB=5hn>BC=4km,

/.AC=y)AB2-BC2=V52-42=3(。〃)，

，隧道AC凿通需要3+0.2=15(天)，

•••15天才能把隧道AC凿通.

故选：4.

4.如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根。的距离为5m,梯子的顶端B到地面

的距离为12m,现将梯子的底端A向外移动到使梯子的底端4到墙根O的距离等于6m,

同时梯子的顶端4下降至8,那么BBY)

J

AfAO

A.小于ImB.大于ImC.等于ImD.小于或等于Im

【答案】A

【详解】

解：在RQAOB中，由勾股定理可知AB2=ACP+OB2=169,

在RsAOB，中由勾股定理可知AB?=A，O2+OB，2.

VAB=A,B\

Z.A,O2+OB，2=169,

JOB』Jl69-36=VHL

BBr=OB-OBf=12-V133<1.

故选：A.

5.《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一

丈，倚木于垣，上与垣齐.引木却行一尺，其木至地.问木长几何？”其内容可以表述为：“有

一面墙，高一丈.将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，卜端落在地面上.如

果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面

上.问木杆长多少尺？"(说明：1丈=10尺)设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是

()

A.x2=(x-1)2+102B.(x+1)2=x2+102

C./=(x-J)2+]2D.(X+l)2=f+]2

【答案】A

【详解】

如图所示，依题意BA=10尺，CD=1尺，AC=BD,

设木杆长x尺，AC=xR,则BC=(x-l)尺，在RtAABC中，由勾股定理得AC?=AB2+BC?

即

x2=102+(x-l)2.

故选择：A.

6.如图，要为一段高5m,长13m的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯_____m.

【答案】17

【详解】

解：根据勾股定理，楼梯水平长度为J13?-5二二12米,

则红地毯至少要12+5=17米长，

故答案为：17.

7.《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架其中,

方程术是《九章算术》最高的数学成就《九章算术》记载：“今有户高多于广六尺八寸，两

隅相去适一丈.问户高、广各几何？“大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8

寸，它的对角线长1丈，向它的高与宽各是多少？利用方程思想设矩形门宽为x尺，则依题

意所列方程为.(1丈=10尺，1尺=10寸)

【答案】.d+(x+6£)2=102

【详解】

设长方形门的宽k尺，则高是(x+6.8)尺，

根据题意得/+*+6.8)2=1(＞，

故答案为：X2+(X+6.8)2=102.

8.如图，一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出

水面的部分8。为1尺.如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，芦苇的顶部3恰

好碰到岸边的B'，则这根芦苇的长度是尺.

【答案】13

【详解】

解：设芦苇长AB=AB三x尺,则水深AC=(x-l)尺,

因为底面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺

在RtAAB'C中，52+(x-l)2=x2,

解之得x=13,

即芦苇长13尺.

故答案为：13.

9.一个圆桶儿，底面直经为16cm,高为18cm,有一只小虫从底部点4处爬到上底B处,

则小虫所爬的最短路径长是(兀取3)—.

【答案】30cm.

【详解】

由题意，得AC=3x16+2=24.在Rt/iABC中，由勾股定理，得

AB=y)AC2+BC2

=A/242+182

=30cm.

DB

故填：30cm.

10.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m.当他把绳子拉展后,

下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m(绳子下端与旗杆根部的距离)，请你帮小

明计算旗杆的高.

【答案】12m.

【详解】

解：如图，A8表示旗杆，AC表示拉展的绳子，设A3的长是x〃?，则AC的长是(x+1)加,

在^448。中

AB2+BC2=AC2^

222

/.x+5=(x+i)

整理得：x2+52=x2+2x4-1

解得：x=\2

答:旗杆的高是12m.

11.如图，某工厂A到直线公路1的距离AB为3千米，与该公路上车站D的距离为5千

米，现要在公路边上建一个物品中转站C,使CA=CD,求物品中转站与车站之间的距离.

BD

【答案】千米

o

解：由题意可得：AB=3,AD=5

，在R/ABD中，==4

设AC=CD=x,则BC=4-x

25

在RMABC中，32+（4-X）2=X2,解得：x=—

8

25

・••物品中转站与车站之间的距离CD的长为彳千米

8

12.如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米.

（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？

（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A：那么梯子的底端B在水平

方向滑动的距离BB，为多少米？

【答案】（1）梯子距离地面的高度为2米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米.

【详解】

解：（1）根据勾股定理：

所以悌子距离地面的高度为：AO=JAB2_OB2=2米;

（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA，=（2.5-0.5）=2米，

根据勾股定理：OB，=2米，

所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2-1.5=0.5米，

答：当梯子的顶端卜.滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米.

13.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC

为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠

在右墙时，梯子顶端到地面的距离AD为L5米.

（2）求小巷的宽.

【答案】（1）2.5米；（2）2.7米

【详解】

（1）在心△ACB中，

VZ4C5=90°,BC=0.7米，AC=2.4米，

，AB2=0.72+2.42=6.25.

/.AB=2.5（米）.

答：梯于A8的长是2.5米

（2）在Rf^ABD中,

VZAfDB=90°,40=1.5米，BD1+AD2=ArB2»

工附+1.52=6.25，

,BDr=4.

•・•BD>0,

・•・川）=2米.

••・CD=BC+B/）=0.7+2=2.7米.

答：小巷的宽度CO为2.7米.

【过关检测】

1.一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（）千米.

A.26B.18C.13D.32

【答案】A

【详解】

C

VZ^=90°,AB=24km,〃C=10km,

根据勾股定理得A^AB^BC2,

AAC2=242+102,

.*.AC=26km.

故选：A.

2.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中

记载的一道''折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是:

一根竹子原高1丈(1长=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断

处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是()

3117

A.-+1=-----B.-(1()7)=—C.X2+32=(1O-X)2

x10-x310

D.X2+72=(10-X)2

【答案】C

【详解】

解：设折断处离地面x尺，根据题意可得：X2+32=(10-X)2,

故选：C.

3.如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一

条到达底部的直吸管在罐内部分。的长度x(罐壁厚度利小圆孔大小忽略不计)范围是

()

A.12WxW13B.12<x<15C.5<A:<12D.5<x<13

【答案】A

【详解】

解：由题意得：

当吸管与底面圆垂直时，吸管在罐内部分4的长度X为最小，即为12,

当吸管与底面圆的一端重合时，吸管在罐内部分a的长度X为最大，如图所示：

AB

・•.AB=5,AC=\2,

・••在心△/SC中，BC=7AB2+/\C2=13*

••・吸管在罐内部分〃的长度X的范围是12WxW13,

故选A.

4.如图，有两棵树分别外线段A3和CO表示，树高A〃=15米，CQ=7米，两树间的距离

用）=6米，一只鸟从一棵树的树梢（点飞到另一棵树的树梢（点C）,则这只鸟飞行的

最短距离AC=（）

A.6米B.8米C.10米D.12米

【答案】C

【详解】

解：如图，过C点作CEJLA3于E,连接AC,

由题意得：EB=7m,EC=6m,AE=AB-EB=\5-l=^m,

在RmAEC中，AC=JAE?+EC?=yjs2+62=10”

故小鸟至少飞行\0m.

故选：C.

A

5.如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长

的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距

离打结处约1米，则旗杆的高度是（）

【答案】A

【详解】

设旗杆的高度为xm,则AC=Xm,AB=(x+l)m,BC=5m,

在放△A3C中，AC2+BC2=AB2

/.X2+52=(X+1)2

解得：x=n

故选：A.

6.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和3是这个台阶两

个相对的端点，4点有一只蚂蚁，想到8点去吃可口的食物.则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的

最短路程是()

A.6B.8C.9D.15

【答案】D

【详解】

解：如图，将台阶展开，

因为AC=3x3+lx3=12,8c=9,

所以八

所以A〃=15,

所以蚂蚊爬行的最短线路为15.

故选：D.

7.如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm,3cm,12cm,现有一长为16cm

的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度hII勺最大值为cm.

【详解】

解：如图所示：

BC=3cm,CD=4cm,48=12cm,

连接B。、AD,

在RABCD中,BD=^BC2+CD1=5(cm),

在RtlABD中，AD=y/AB2+RD2=13(cm).

故吸管插在盒内部分的长度h的最大值为13cm.

8.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面1()米处折断倒下，树顶落在离树根24

【详解】

解：•・•大树离地面部分、折断部分及地面止好构成直角三角形，即ZkABC是直角三角形,

•••BC=JAB2+AC2,

•・・AB=10米，AC=24米,

BC=V102+24i=26（米），

，大树的高度=AB+BC=26+10=36（米）.

故答案为：36米.

9.我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系索其末，委地三尺.引

索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有

绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木

柱根部8尺处时，绳索用尽问绳索长是多少？”示意图如下图所示，设绳索AC的长为x尺,

根据题意，可列方程为.

【答案】x2-（x-3）2=82

【详解】

解•：设绳索长为x尺，根据题意得：

x2-（X-3）2=82,

故答案为：x2-（x-3）占82.

10.如图，小明想要测量学校旗杆A/7的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从

而测得绳子比旗杆长4米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点。处，点C距

离旗杆底部〃米（〃＞。），则旗杆A8的高度为米（用含〃的代数式表示）.

b2-

【答案】

2a

【详解】

解：设米，则有(X+。)米，根据勾股定理得:

x2+b2=(