高一数学：复数的三角表示

第七章复数

7.3*复数的三角表示

课标要求1.了解复数的三角形式，了解复数的代数形式与三角形式之间的关系.

2.了解复数的三角形式的乘、除及乘方运算.3.会进行复数的代数形式的转化，了

解辐角.

【引入】我们知道，复数可以用。+为（m的形式来表示，复数。+为与复

平面内的点Z（a,b）一一对应，与平面向量及=（小〃）也是一一对应的，你能用向

量旅的模厂和以x轴的非负半轴为始边，以向量应所在射线（射线0Z）为终边的

角〃来表示复数z吗？

一、复数的三角表示式

探究1我们知道复数z=a+历可以由向量场在两坐标轴方向上的投影小匕来确

定，是否可以由其他元素来确定？

提示可以由复数Z的模和复平面内以X轴的非负半轴为始边、向量旅所在射线

为终边的角来确定.

【知识梳理】

1.复数的三角形式

一般地，任何一个复数z=a+/?i（a,R）都可以表示成r（cos0+isin。）的形式,

其中，/•是复数z的模；。是以工轴的非负半轴为始边，向量旅所在射线（射线OZ）

为终边的角,叫做复数z=a+历的辐角,,«os夕+isin。）叫做复数z=a+历的三

角表示式，简称1角彩式.为了与三角形式区分开来，。+历叫做复数的代数表示

式，简称代数形式.

2.辐角的主值

规定在区生近范围内的福角。的值为辐角的主值，通常记作argz,

即OWargz<2兀.

温馨提示复数的三角形式需满足:

⑴模「20.

(2)括号内需满足：前余弦，后正弦，角相同.

(3)cos0与isin0之间用加号相连.

记忆口诀:“模非负、余正弦、+相连、角统一、i跟sin”.不符合条件的都不是

三角形式.

例1(链接教材P84例1、P85例2)把下列复数的三角形式化成代数形式，或代

数形式化为三角形式.

(兀।.兀)

(l)zi=3lcos4+isin^l；

(2)z2=6(cos.兀+isin方北)；

(3)Z3=5；(4)z4=g+当i.

71

缶刀zixQ兀_1_9..3/3啦.

解(l)zi=3cos^+3isin+2-L

⑵Z2=6

22

(3)r=5,对应的点(5,0)在x轴上,arg23=0,故Z3=5(cosO+isin0).

(4)对应的点/坐)在第一象限，r=1,由tan~=S，故argZ4=1,

则Z4=cos三+isin.

思维升华1.代数形式化为三角形式的步骤:

⑴先求复数的模厂=|z|,(2)确定Z(m。所在的象限,(3)根据象限求出辐角,

(4)写出复数三角形式.

2.三角形式中的辐角，不一定是辐角主值，但为使表达式简单，常取辐角主值.

3.三角形式化为代数形式，直接计算三角函数值即可.

训练1(1)复数z=l+i的三角形式为z=.

(2)复数6(cos升isiC代数形式为.

答案⑴啦(co寸+isin；)(2)6i

]12

解析(I)/'—^2,cos^=^2=°,

又因为1+i在复平面内对应的点位于第一象限，

所以可取夕=今所以2=啦(8寸+isin"

(2)6(cos升isin,=6cos与+6isin^=6i.

二、复数三角形式的乘法法则与几何意义

探究2根据复数乘法定义,两复数zi=『(cos仇+isin4)和Z2=rz(cos在+isin伪)

相乘的结果是什么呢？

提示zi-Z2=n(cosOi+isinOi>r2(cos/+isinOi)

=nr2[(cos〃icosft-sin〃isina)+i(sin01cosft4-cosOisinGi)]

=r】rz[cos(a+02)+isinf^i+伪)].

【知识梳理】

1.两复数三角形式的乘法

两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

2.复数乘法的几何意义

两个复数Zl,Z2相乘时，先分别画出与Zl,Z2对应的向量。Zl,0Z2,然后把向量

OZ\绕点。按逆时针方向旋转一个角色(如果02V(),就要把右I绕点O按顺时针

方向旋转角|肉)，再把它的模变为原来的区倍，得到向量玄，它表示的复数就是

积ZZ(如图).

温馨提示复数三角形式的乘法法则成立的前提是两个复数都是三角形式，如果

不是三角形式，要先化成三角形式再运算，辐角不要求一定是主值.

例2(链接教材P87例3)计算下列各式的值:

八71...n\(71...71^1

(1)21cosy^->isin-p1-31cos^-l-isin^l；

(2)g(cos150+isin15°)-4(cos1350—isin1350)；

⑶诋cos15°+isin15°)J8.

解(1)2(cos羞+isin制.3(cos；+isin；

={cos(^+，+isin倚+；)]

K...71

=6cosg-Hsing

=3+3E

(2)2(COS15°+isin15°)-4(cos135°—isin135°)

=1(cos15°+isin15°)-4[cos(-135°)+

isin(-135°)]

=2[cos(-120°)+isin(-120°)]

(3)fV2(cos15°+isin150)]8

=16(cos120°+isin1200)

=-8+851

思维升华两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的

辐角.若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数

形式或三角形式，然后进行相乘.

训练2⑴设复数2-i和3-i的辐角的主值分别为a和小则a+p等于()

A.135。B.3150

C.675°D.5850

(2)设向量及对应复数z=一坐一*,把花绕原点。逆时针旋转120。得到应，则

历对应的复数为(用代数形式表示).

答案(1)C(2)坐一/

解析(1)根据题意有2—i=，^(cosa+isina),

3—i=d~ib(cos夕+isin少)，

则小(cosa+isina)-^/10(cos夕+isin夕)

5&[cos(a+£)+isin(a+3].

又(2—i)(3—i)=5—5i,

所以cos(a+0=乎，sin(a+夕)=一乎,

W270°<a<360°,270°</?<360°,

所以a+£=675。.

(2)根据复数乘法的几何意义，所求的复数是z=一坐一半乘一个复数zo的积，zo

的模是1,辐角的主值是120。，故所求复数是

卜坐一品(cos

120°+isin1200)

(一乎一必V+割邛斗.

二、复数二角形式的除法法则与几何意义

探究3根据复数除法定义,两复数zi=n(cosOi+isin仇)和Z2=rz(cos仇+isin

例)(ziW0)相除的结果是什么呢？

ziri(cosOi+isin。)

提示

Z2n(cos伪+isin例)

门(cos仇+isina)(ccs仇一isin82)

~n(cos^2+isin01}(cos<9?—isin&i)

=~[(cos"cos^2+sinOisin0i)—

i(cosOisin仇一sinOicosft)]

r\

=~[cos(^i—02)+isin(6i—仇)].

【知识梳理】

1.两复数三角形式的除法

两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被

除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

2.复数除法的几何意义

两个复数ZI,Z2相除时.，先分别画出与ZI,Z2对应的向量应I,OZ1,然后把向量

5Z1绕点。按顺时针方向旋转角必如果仇<0,就要把血绕点。按逆时针方向

旋转角|卸，再把它的模变为原来的占得到向量及，应表示的复数就是枭如图).

42

温馨提示(1)夏数三角形式的除法法则成立的前提是两个或数都是三角形式，如

果不是三角形式，要先化成三角形式，再运算.

(2)两个复数三角形式除法的法则可简记为“模数两除，辐角相减”.

例3(链接教材P88例5)计算下列各式的值：

(cos午+isi用

3(cos270°+isin2700)

4…。)+

解(1)

7兀_2兀'

T-T+isin(]

+isin-jy

3(cos270°+isin2700)

(2)1

3(cos(-90°)+isin(-90°)1

=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]

=9(cos360°+isin360°)=9.

思维升华两个三角形式的复数相除(除数不为())，则商还是一个复数，它的模等

于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐

角所得的差.出现复数的代数形式先转化为复数的三角形式再计算.

训练3计算：(1启+争)[3(cos120。一1011300。)]=；

1

2

⑵I4,兀)---------

2(cosq十isinqj

答案(片一坐i曙+率

解析⑴9+坐i}[3(cos1200-isin300°)]

=(cos600+isin60°)-[3(cos1200+isin1200)J

=|[cos(60°-120°)+isin(60°-120°)]

=|[cos(-60°)+isin(-60°)]

1品

=6~6L

。、出/立.2.2

(2)因为一]+-^-1=83铲+151町兀,

1

■I

所以兀

21cosg+isii”

2...2

COS铲+1S1ITJ兀

~JTI...公

21cos^-risingI

2

=\3

=2

U71...71

一COS/^"Iisin?

11祗

中4L

【课堂达标】

1.复数z=sin150+icos15。的三角形式是（

A.cos1950+isin1950

B.sin75°4-icos75°

C.cos15。+isin15°

D.cos75。+isin75°

答案D

解析z=sin15°+icos15°=cos75°+isin75°,故选D.

Tl兀、

(cos^+isin3I—()

A.l+V3iB.1-^31

C.—1+小iD.-l—布i

答案C

解析4(cos兀+isin兀尸2(cos^+isin

cos|jl—T4-isin(7i—

=2fcosy+isin

3.班卜0§£+isin守(cos^+isin»=

7K.7*

答案1rHsm司

解析原式

71兀

|4+f3l+ising+f

=g(cos|+isin^.

4.8i^[2(cos45°+isin45。)]=

答案26+2也i

解析8i^[2(cos45°+isin45°)]

=8(cos90°+isin900)-?[2(cos450+isin45°)]

=4[cos(90°-45°)+isin(90°一45°)]

=4(cos45°+isin45°)

=2陋+2/

------------------------课时精练・

一、基础巩固

1.复数z=sin50。一icos50°的辐角的主值是（）

A.50°B.220°

C.310°D.320°

答案D

解析因为z=sin50°-icos50°=cos(90°-50°)-isin(90°-50°)=cos40°-isin40°

=cos(360°-40°)+isin(360°-40°)=cos320°+isin320°,所以复数z的辐角的主

值为320°.

2.若复数z=(〃+i)2的辐角的主值是37r于，则实数。的值为()

A.IB.-1

C.一也D.一小

答案B

37ra2—1=0,

解析z=m+i)2=〃2—i+2〃i,arg2=y,所以，C八所以4=_1.

l2a<0,

3.（多选）下列表示复数1+i的三角形式中，正确的是（）

.啦[cos(—§-isin(一£)]

A

D.q2（cos彳十isin-^-,

答案BD

解析对于A,让[co]—；）—isin（—但是不满足复数的三角形式，故

A不正确；

对于B,也（cos：+isin；j=l+i,故B正确；

对于C,让卜i4+ico§|=l+i,但是不满足复数的三角形式，故C不正确；

对于D,也（cos竽+isi号）=l+i,故D正确.

,、,L-5兀mwCOS20+isin2夕~仁心A,一在立

4.设兀＜*w，则复数---c•.八的辐角的主值为（）

4cosism0

A.2TI-30B.36—2兀

C.39D.36一兀

答案B

cos28+isin26______cos26+isin29

cosisin0cos(——9)+isin(——8)

=cos3〃+isin30.

*.*3n<3夕<^,

7n

/.71V3。—2兀<z~.

5.设A,B,5是△ABC的内角,z=(cosA+isinA)-r(cosB+isinB)-(cosC+isinC)

是一个实数，则△加?。是()

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.形状不能确定

答案C

解析由题意知argz=A—8+。=兀-28=0,则

6复数的三角形式为(要求辐角为辐角主值).

答案

[_____~1-V3i

解析-l+V3i-4―—彳―4

7.已知复数z满足等式三1=*且argz=1

则z=

答案1+奉

解析设z=(cos,+isi谈

=^^r+4n(r>0),

即3/24、/5"I4=0,

“泉,；=1+弟

8.如图，向量应对应的复数为一l+i,把改绕点。按逆时针方向旋转150。，得到

OZi,则向量或।对应的复数为.（用代数形式表示）.

A/3—1^/3+1

答案2-21

解析向量应1对应的复数为(一l+i)・(cos1500+isin150°)=(-l+i)

事一]1

221•

9.(1)3^cos-^-4-isin^-j3(cos|+isin|j.

(2n.271

101cos-+isin-

⑵.

51cos^-bisin^I

(V3+i)5

⑶

解⑴3(cos兀,+isi吟)[cosV+isin聿

3

=9[cos停兀+§71+ising+川

36

=9(cos卷+isi用=9i.

(cos申+isin,)

10|

(2)-

51cos,+isi吟

+isin停兀4

=2cos

J兀i••兀

=21cosg十ism§

ij—1+小i.

,5

2(cos|Hsi制

(#+i)5

(3)-T+42(cos全+isin|兀

(5一.5'

321cos^7t+isin^7r

=J2...2

21cos铲-Hsin针J

=16(cos^+isii*)

=16*9

=83+8、

10.设复数z=（l—/iH求z的模和辐角的主值.

=32(cos弩+isin弩］

=32（cosg+isin

・,・复数z的模为32,辐角的主值为看

二、综合运用

11.（多选）已知在正方形QA3C中，O是坐标原点，且点B在x轴的上方，向量以

对应的复数为2+i,则（）

A.点8对应的复数为l+3i

B.向量沆对应的复数为一1+2i

C.向量反7寸应的复数为l+2i

D.|At]=E

答案ABD

解析把为绕点。按逆时针方向旋转45。，再把模变为原来的啦倍即得力，

故向量场对应的复数为(2+i)•啦(cos45°+isin45。)=(2+。(1+i)=1+3i,

即点B对应的复数为l+3i,选项A正确；

把向量为绕点。按逆时针方向旋转90。即得向量无，

故诙对应的复数为(2+i)(cos90c十isin9(r)=(2十i)i=-l十2i,选项B正确；

就对应的复数为反对应的复数减去场对应的复数，即(一l+2i)—(l+3i)=—2

—i,

选项C不正确；

|A石=|励|=①,选项D正确.

12.棣莫弗定理:若两个复数ZI=B(COSOi+kina),Z2=f2(cos定+isin㈤,则zig

=/r2[cos(0i+e)+isin(0i+e)]，己知°=坐+1,h=a2°23,则a+b的值为

答案0

解析由已知条件可得z?=rr(cos26\+isin2夕)，z?=ZTZI=H[cos(2^i4-9i)+

isin(2ft+)]=r?(cos3仇+isin34),…，

依此类推可知，对任意的〃£N+,

z?=r¥(cos+isinn0\).

因为广曰+3i=cos^+isi年,

202371Hsin^

所以b=a2023=cos'

66

337兀+*J+isin(337兀+571

=cos6.

兀..兀S1.

=—cos&一呼一2一亍，

所以a-\-