广东深圳市罗湖区深圳某中学2025-2026学年七年级第二学期期中考试数学试卷（解析版）

广东深圳市罗湖区深圳中学2025-2026学年七年级第二学期期中考试数学试卷

一、选择题：（每小题只有一个正确选项，每题3分，24分）

1.已知直线m、n,下列图形中属于两直线平行的是（）

m

【答案】B

【解析】【解答】解：A.直线m和n相交，故此选项不符合题意；

B.直线m,直线n互相平行，故此选项符合题意；

C.直线m_L几，故此选项不符合题意；

D.直线m和n相交，故此选项不符合题意；

故答案为：B.

【分析】本题主要考查了相交线和平行线，根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平

行线；据此解答即可.

2.下列运算正确的是（）

A.a4-a3=a7B.3a3+a2=4asC.（3a2）2=6a4D.a6a2=a3

【答案】A

【解析】【解答】解：A、=凉，符合题意；

B、3a3与〃不是同类项，不能合并，不符合题意；

C、f3a2）=9a4,6a4»不符合题意；

D、。6+。2=。4。。3,不符合题意.

故答案为：A.

【分析】本题考查同底数昂的除法、合并同类项、同底数昂的乘法、幕的乘方与积的乘方，运用同底数幕

的乘法可计算A进行判断；根据合并同类项可判断选项B；根据箱的乘方与积的乘方运算法则可判断选项

C；根据同底数辕的乘法法则可判断选项D.

3.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，数据0.0000025用科学记数法可表示为

（）-

A.0.25x10-7B.0.25x10-6c.2.5x10~6D.25xIO-5

【答案】C

第1页

【解析】【解答】解:0.0000025=2.5X10-6

故答案为：C.

【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为QXlO-n,其中1W|Q|V1O,先确定Q=2.5

再确定九=一6即可.

4.如图，从村庄P到公路1共有三条路线，其中路线PBJJ,居民选择路线PB到公路的距离近的理由是

B.垂线段最短

C.两点确定一条直线D.过一点可以作无数条直线

【答案】B

【解析】【解答】解：居民选择路线PB到公路的距离近的理由是垂线段最短,

故答案为：B.

【分析】本题考查了垂线段最短，直线的性质，线段的性质，垂线，根据垂线段最短可解答.

5.如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为200cm2的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现

点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（)

B.60cm2C.80cm2D.120cm2

【答案】D

【解析】【解答】解：大量试验后，点落在椭圆内的频率稳定在。6,说明椭圆面积占长方形面积的比例约为

0.6.

已知长方形面积为200cm2,

因此椭圆面积为：200x0.6=120cm2.

故答案为：D.

【分析】利用“椭圆面积与长方形面积的比值k点落在椭圆内的频率”计算椭圆面积.

6.一人长方形的长和宽分别是3a,2a+l（其中a>0）,则这个长方形的面积是（）

A.5a+lB.10a+2C.6a2+3aD.6Q2+1

【答案】C

【解析】【解答】解:根据题意得：3a（2a+l）

第2页

=6a2+3Q.

故答案为：C.

【分析】本题考查了长方形的面积，单项式乘多项式，根据长方形面积等于长乘宽列式3a（2a+1）,再根

据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可求解.

7.在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）.光线AB从空气射到玻

璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线BC射到玻璃砖卜.表面C处，点D在AB的延长线上，若

Zl=55°,ZABE=15°,则NDBC二()

A.60°B.55°C.40°D.15°

【答案】C

【解析】【解答】解：如图，根据题意可得GH||EF,

=zl=55°,

■:乙ABE=15°,

:•（FBD=Z.ABE=15°,

・••乙OBC=乙FBC-Z-FBD=55。-15°=40°,

故答案为：C.

【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，根据两直线平行，内错角相等，得到乙F8C==55。，

结合对顶角乙F8。=乙ABE=15°,根据角的和差可得到结果.

8.“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用.用“杨辉三

角”可以解释（（Q+b）n（7i=1，2,3,4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律：例如，在“杨辉三

角''中第3行的3个数1,2,1,恰好对应着（3+6）2的展开式次+2岫+庐中各项的系数：第4行的4

个数1，3,3,1,恰好对应着（（a+b）3的展开式标+3。2b+3^2+/中各项的系数……当门是大于4

的自然数时，上述规律仍然成立.则下列说法正确的有（）个

①第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1；

②（a+b）|。的展开式中各项系数和为1024：

第3页

③(m+的展开式中*的系数是Z

1

11……(a+“

I21……(a+b)2

\/\/

1331……S+b)‘

\/\/\/

14641……(a+b)，

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】【解答】解:V(a+b)-*=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4,

(a+b)5=(a+b)4(a+b)

=(a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4)(a+b)

=a5+4a4b+6a3b2+4a2b3+ab4+a4b+4a3b2+6a2b3+4ab4+b5

=a5+5a4b+1Oa3b2+1Oa2b3+5ab4+b5,

，第六行数字依次是：1,5,10,10,5,I,故①正确；

令a=Lb=l,(a+b),0=(1+1),o=IO24,故②正确;

(a+b)6=(a+b)5(a+b)=a6+6a5b+-15a4b2+20a3b-+15a2b4+6ab5+b6,

/.(a+b)7=(a+b)6(a+b)=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7,

令m,

Q=b=—m,

=bs=QZA

・・.(m+1)7的展开式中*的系数为7,故③正确；

・•・正确的有①②③，共3个；

故答案为：C.

【分析】本题考查数字变化规律，代数式求值，完全平方公式等知识，展开(a+b)5可判断①，把Q=1,

6=1代入3+力)1。，得各项系数和=(1+1)1°,据此可判断②；将(a+b)7展开，令Q=m,b=则

*=川=ab\找到含Qb6的项的系数即可判断③.

二、填空题：(每题3分，共15分)

9.2026°+2-2=.

【答案】

4

【解析】【解答】解：20260+2—2

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=1+-4T

=14.

故答案为：lj.

【分析】本题考查负整数指数暴、零指数嘉和有理数加法，原式先计算2026°=1,2-2=最后计算加减

法即可.

10.掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数标记分别为1到6）,落地时面朝上的点数小于4的概率

是.

【答案】|

【解析】【解答】解：落地时面朝上的点数小于4的概率是1=L

OZ

故答案为:i

【分析】本题考查了概率公式，点数小于4的有3种情况，正方体骰子共有6个面，由概率公式可得落地

时面朝上的点数小于4的概率是1=1.

OL

11.如图，把长方形ABCD沿EF折叠后使两部分重合，若Nl=30。，则NAEF=.

【解析］【解答】解：如图,

■:乙BFK+Z1=180°,且N1=30°,

工乙BFK=180°-Z1=180°-30°=150°；

11

由折叠得4BFE=乙EFK4乙BFK=今x150°=75。,

又力。IIBC,

：./.AEF+/-BFE=180°,

：./-AEF=180°-乙BFE=180°-75°=105°,

第5页

故答案为：105°.

【分析】本题主要考查折叠的性质，平角以及平行线的性质，根据平知的定义可求出乙。FK=150。，山折叠

^-Z-BFE=4EFK=75°m由40||BC得4AEF+(BFE=180。可结论.

12.若(x+m)(x-3)的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为.

【答案】3

【解析】【解答】解：a+m)Q-3)

=x2-3%4-mx-3m

=x2+Cm—3)x—3m,

V(x+m)(x-3)的展开式中不含x的一次项，

・\m-3=0,

解得：m=3.

故答案为：3.

【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，然后根据多项式不含某一

项即它的系数为0,即可求出m的值.

13.如图，已知直线AB〃CD/ABM=3乙MBE,乙CDN=三乙NDB,直线BM与直线DN相交于点F,贝lj

【解析】【解答】解：设/ABM=a,乙CDN=/?,

^.ABM=-4MBE,乙CDN=-乙NDB，，

nn

Z.MBE=na,乙NDE=

=Z-ABM+乙MBE=(n+l)a，乙CDE=Z-CDN+乙NDE=(n4-1)0,

如图，延长CO交MF于点G,则4GD/7=/CON=/?,

第6页

'：AB||CD,

・・・乙86。=乙48时=。(两直线平行，同位角相等)，

:.乙DGF=180°-乙BGC=180°-a,

：.Z.F=180°-乙DGF-Z.GDF=180°-(180°-。)一。=a—0,

过点E作EH1148,

*：AB||CD,

：.EH||CD(平行于同一直线的两直线相互平行)，

，乙4BE+乙BEH=180%Z.CDE4-LDEH=180%

：zBEH=180°-(n+l)a,乙DEH=180°-(n4-1)。，

J.Z.BED=乙DEH一乙BEH=[180°-(n4-1)]一[180°-(n+l)a]=(九+l)(a一3)，

,生_/乙_a_/?_]

•"E一乙BED-(n+l)(a—/?)~n+1,

故答案为：Jp

【分析】本题主要考查平行线的性质，设448M=a,乙CDN=B，由乙ABM=二乙MBE,乙CDN=二乙NDBs

nn

可得=乙NDE=珅，由力BIICDs可求得NF=a—证明EH||CO可得/BED=

(n+l)(a-/?),故可得

乙LrvIJL

三、解答题：(本题共7小题，其中第14题8分，第15题8分，第16题6分，第17题11分，第18

题6分，第19题12分，第20题10分，共61分)

14.计算：

(1)2025x2027-20262;

(2)(x+5)(x-5)-(x-2)2.

【答案】(1)解：原式二(2026-l)x(2026+D-20262

=20262-1-20262

=-1

(2)解：原式=%2—25—(x2—4x+4)

=x2-25-x2+4x-4

第7页

=4x-29

【解析】【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握和运用乘法公式是解答本题的关键.

(1)把2025和2027分别写成(2026-1)和(2026+1),再运用平方差公式进行计算即可;

(2)原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，再合并即可得到答案.

15.先化简，再求值：[(2a+3b)2-(2a+b)(2"b)]+(2b),其中Q=办=-2.

【答案】解：原式=(4a2+12ab+9b2-4a2+廿)+2b

=(12ab+10b2)+2b

=6a+5b

当a=^,b=—2时，

原式=6x1+5x(-2)=3-10=-7.

【解析】【分析】本题主要考查整式的四则运算和求值，先根据完全平方公式和平方差公式计算中括号内的,

再根据多项式除以单项式运算法则进行计算得最简结果，最后代入。、从的值计算即可.

16.完成下列证明，在括号内填写出推理依据

已知：ZB+ZCDE=180°,Z1=Z2,求证：AB〃CD.()

证明：VZ1=ZBFD()

VZ1=Z2

AZBFD=Z2()

・•・BC//▲()

AZC+ZCDE=180°()

VZB+ZCDE=180°,

AZB=ZC.

AABCD()

又・・・/l=N2（已知），

・・・/RFD=/2（等量代换）.

・・・BC〃DE(同位角相等，两直线平行),

第8页

・・・NC+NCDE=180。（两直线平行，同旁内角互补），

又「ZD+ZCDE=I80°.

AZB=ZC,

AAB//CD（内错角相等，两直线平行），

【解析】【分析】本题考查了平行线的性质和判定，对顶角相等,由对顶角相等得Nl=/BF",得出

乙BFD=乙2,得出8CII0E,进一步证明=NC,故可得出48||CO.

17.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除额色外其余完全相同.小颗做摸球试验，搅匀

后，她从盒子里随机摸出一只球记=颜色后，再把球放回盒子中，不断重复.匕述过程，如表是实验中的一组

统计数据：

摸球次数n10020030050080010003000

摸到白球次数m305269123200b750

摸到白球频率

ma0.2600.2300.2460.2500.2510.250

n

（1）填空：a=,b=；若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为一

（精确到（）.01）.

（2）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是.

A.掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”.

B.桌子上有写着1、2、3、4的4张卡牌，随机抽一张，抽到卡牌上的数字是4.

C在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的足“剪刀”.

（3）若盒子中一共有100个球，要使摸到白球的概率为1,需要往盒子里再放入多少个白球？

【答案】（1）0.30：251；0.25

（2）B

（3）解:若盒子中一共有100个球,摸到白球的概率的估计值0.25,则盒子中的白球有100x0.25=25个，

设需要往盒子里再放入x个白球后摸到白球的概率为1

25+x_1

,*,lOO+x"?

解得：x=50,

答：需要往盒子里再放入50个白球.

【解析】【解答】解：（1）解.：。=盖=0.30,

b=1000x（）.251=251,

由表格可知，随着试验次数的增加，摸到向球频率逐步稳定在0.250附近，

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若从盒子里随机摸出一只球，摸到白球的概率估计值为（）.25

故答案为:0.30,251,0.25；；

（2）掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上''的概率为

桌子上有写着1、2、3、4的4张卡牌，随机抽一张，抽到卡牌上的数字是4的概率为看

在“石头、剪刀、布''的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为1

故符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是B；

故答案为：B；

【分析】本题主要考查频率估计概密，以及概率的应用，正确进行计算是解答本题的关键.

（1）根据盖可得0.30、1000X0.251得b=251,根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值可得摸

到白球的概率的估计值为0.25；

（2）求出A、B、C三个选项中事件发生的概率为）1,再比较大小即可得到答案；

（3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据概率公式建立方程求解即可.

18.如图，已知/AOB,点C为射线OB上一点，用无刻度的直尺和圆规作出NOCH:NAOB.

（1）尺规作图：过点H向右作射线HM,使HM平行OC.

（2）证明：HM是NAHC的角平分线.

【答案】（1）解：尺规作图如图

VZO=ZOCH

.\ZAHM=ZMHC

•••HM是NAHC的角平分线.

【解析】【分析】本题主要考查作图，作一个角等十已知角，平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握

平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键.

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(1)根据作一个角等于已知角的方法作々CHM=/OCH即可得HM||0C.

(2)由〃M||0C得乙4〃M=乙/4。3，由作图得乙M〃C=乙〃C。，乙0C〃=乙403,故可得出乙4〃M=

乙MHC,从而可得出结论.

19.理解图形，完成下列各题：

(1)【知识生成】将一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a,b的正方形和两个长方形.

用两种方法表示阴影部分的面积，可得数学等*式♦是

b

图1

(2)【能力提升】我们还可以利用(1)中的关系解决一些更复杂的问题，例如，若x满足(9-x)(x-

4)=4,求((4一幻2+(工-9)2的值.设9飞=@,x-4=b,则

(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5.

(9—%)2+(%-4)2=(a+匕尸-2ab=5—2x4=17

请仿照上面的方法求解下面问题：

若(2025-%)24-(2026-%)2=19,^(2025-x)(2026-x)的值；

(3)【解决问题】有两类正方形纸片A,B,其边长分别为a,b(a>b),图2是由两张A正方形纸片和

两张B正方形纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠(图中阴影部分)，图3是将A,B纸片并

列放置后构造出来的新的正方形.则图2中阴影部分的面积为,图3中阴影部分的面积

为,(用含a,b列出代数式并化简)；

(4)【迁移应用】在(3)的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为4和48,将两个正方形纸片

A和三个正方形纸片B如图4摆放，求阴影部分的面积.

图3图4

【答案】⑴a2+b2=(a+b)2-2ab

(2)解：v(2025-x)2+(2026-x)2=19,

设2025-x二a,2026-x=b,

则於蚀2=19,a-h=(2025-x)-(2026-x)=2025-x-2026+x=-1.

(a-b)2=a2-2ab+b2,

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•••2ab=(a2+b2)—(a-b)2,

俨+/)—("b)219_118

就=----------------2----------------=~2~=~2=<)；

・•・(2025-x)(2026-x)=9

(3)(a-b)2；2ab

(4)解：根据题意得：(a-b)2=4,a>b,

a-b=2,

由题意可知：2ab=48,

A4ab=96,

,:(a+b)2=(a-b)2+4ab,

(a+b)2==4+96=100,

Va+b>0,

a+b=10,

•••(a+b)(a—b)=a2—〃=10x2=20,

/.b2—a2=-20,

・••图4阴影部分面积为：

(2b+a)2-3b2-2a2,

=4b2+4ab+a2-3b2-2a2

=b2+4ab-a2

=-20+96

=76.

【解析】【解答】(1)解：一个大正方形分割成如图1的四部分，两个边长分别为a,b的正方形和两个长方

形.

方法1：阴影部分是边长为a、b的两个正方形，求出两个正方形的面积为次，庐，面积和为r+b?；

方法2：大正方形边长为a+4面积为(a+b)2,减去两个长为a,宽为b的长方形面积2ab,即可得：a2+

呈=(a+b)2-2ab.

故答案为：M+案=(a+卜)2—2ab;

(3)图2阴影面积：

阴影部分的边长为Q-b的正方形，

阴影面积=(a—b)2=a2-2ab+d2；

图3阴影面积：

新正方形边长为Q+b,面积为(a+b)2；一张A型(a2)和一张B型(房)的总面积为次+房；

第12页

222

阴影面积二新正方形面积-纸片总面积（a+b）2-（Q2+庐）=小+2ab+b-a-h=lab.

故答案为：/十房一2帅；2ab;

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，正确进行计算是解题关键.

（1）整体图形是一个边长为（a+b）的正方形，其面积为（a+b）2；图形有一个边长为a的正方形，一个边

长为b的正方形，两个长为a,宽为b的长方形组成，根据图形的面积性质，列代数式表示解答即可；

（2）依照示例提供的方法进行解答即可；

（3）先求出图2中阴影小正方形，其边长为（a-b）,可求出阴影部分的面积；图③中大正方形的边长为

（a十。），阴影部分的面积为大正方形的面积减去两个小正方形的面积；

（4）由（3）可得a-b=2,ab=24,大正方形的边长为（a+2b）,阴影面积=（Q+2b产一（2小+3川），

整理后，再代入a-b=2,Q匕=24计算即可.

20.如图1,直线MN〃PQ,点A在MN上，点B在PQ上，点C在两平行线之间，LNAC=

30°/QBC=30°.

（2）如图2,若AC平分NNAD,BQ平分/CBD,证明/ACB=2NADB：

（3）如图3,在（2）的条件下，AB1PQ,将一等腰直角三角板的直角顶点放在点B处，一直角边恰好

与BD重合，另一顶点E在PQ的上方.将线段AB绕点B以12米的速度逆时针旋转一周，同时将三角板

BDE绕点B以87s的速度顺时针旋转，AB与三角板BDE同时停止运动.经过时间为t秒后