高考数学总复习：基本立体图形及空间几何体的表面积与体积

课时规范练39基本立体图形及空间几何体的表面积与体积

（分值:84分）

（单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分）

基础巩固练

1.（2025•河南郑州期末）若一个多面体共有12条棱，则这个多面体可能是（）

A.六棱柱B.五棱隹

C.四棱柱D.三棱台

2.（2025•河北保定一模）已知圆台0x0的上、下底面半径分别为3,5,母线长为3,则该圆台的

侧而积为（）

A.16nB.2（hi

C.24兀D.3271

3.（2025・湖北宜昌模拟）如图所示,的三条边长分别为AB=4工C=3IC=5,现将此三角形

以8c边所在直线为轴旋转一周，则所得儿何体的表面积为（）

4/XAs

BN----------5----------、C

A48n36n

A—BV

「84n

C・T吟

4.（2025•福建福州二模）已知圆台上、下底面积分别为兀,4兀,母线长为迷，则该圆台的体积为

（）

.7n等

ATB

14n

rD.等

c•亍J

5.（2025•辽宁葫芦岛期末）如图，在三棱柱A3C-A山C中,D,£分别是A4i和的中点，记Ci-

A0瓦）和ABCAibG的体积分别为％,上,则（）

A.V尸“2B.Vi=iv2

J6

C.V1=1V2DM+3

4o

6.（多选题）（2025•福建三明期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个

球的直径2R相等,则下列结论正确的是()

A.圆锥的侧面积为2nR2

B.圆柱与球的表面积之比为|

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1:2

7.（多选题）（2025•陕西西安二模）如图,四边形A8CQ的斜二测画法的直观图为等腰梯形

已知48三4,（7。三2,则下列说法正确的是（）

/A'

A.A7T=2近

B.AB=4

C.四边形ABCD的面积为6匹

D.四边形ABCD的周长为6+V6+企

8.（2024.全国甲，理14）已知圆台甲、乙的上底面半径均为内，下底面半径均为2圆台的母线

长分别为2（2内）,3（2乃）,则圆台甲与乙的体积之比为.

综合提升练

9.（2025•江西景德镇模拟）圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为6.已知P为该圆

台某条母线的中点,若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则该质

点运动的最短路径长为（）

A.9B.6

C.67tD.3兀

10.（2025•广东揭阳期末）已知正三棱柱A8CA&G的棱长均为为A4的中点，则四面体

46co的体积为（）

2百

A♦正B•初

蟾D碧

11.（多选题）（2025•江西南昌一模）如图，平行六面体ABCQ-4B1GQ1的体积为6,点P为线段

A出上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（）

A.三棱锥P-C\CD

B.三棱锥P-B\D\D

C.三棱锥P-D\B\C

D.三棱锥P-D\AC

12.（2025・上海模拟）印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制

成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来

使用.如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件,可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组

成的几何体，若该印章摆件底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10,则该印章摆件的体积

约为.

13.（2025•山西太原一模）三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为5I,2S,3S3,则

三棱锥的体积是.

14.（2025•河南焦作三模）我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”.己知三棱锥。-

A8C中,A8=3,O,E,F分别在棱上,且截面OEF与底面ABC平行,OE=2,则三棱锥

O-ABC与三棱锥O-QEr的相对积之比为.

创新应用练

15.（2025•辽宁期末）利用祖晅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体

积之差.如图，在一“四脚帐篷”形状的几何体中，曲线40c和8。。均是以3&为半径的半圆，

平面AOC和平面B。。均垂直于平面48CD,用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所

得截面四边形均为正方形，请利用祖眶原理试求该几何体的体积是（）（提示:可以构造一

个与帐篷同底等高的正四棱柱）

A.36V2R72yh

16.（多选题）（2025•山东潍坊3月模拟）已知圆台的高为2,其母线与底面所成的角为右下底面

半径是上底面半径的2倍，则（）

A.该圆台的上底面半径为2

B.该圆台的体积为罟

C.该圆台外接球（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）的表面积为等

D.用平面截该圆台，若所截图形为椭圆，则椭圆离心率的取值范围为（（）,?]

参考答案

l.c解析六棱柱有18条棱，故A错误；

五棱锥有10条棱，故B错误；

四棱柱有12条棱，故C正确；

三棱台有9条棱，故D错误.

故选C.

2.C解析由圆台的侧面积公式可得S*兀x(3+5)x3=24兀故选C.

3.C解析点A到BC的距离心等=言,旋转得到的几何体为两个圆锥的组合体,咳圆锥

BC5

底面周长为/=2兀•仁等，

所以表面积为S=^IAB+^l-AC=—^-.

故选C.

4.C解析因为圆台的上、下底面积分别为兀,4兀,所以该圆台的上、下底面的半径分别为

1,2,如图所示.

OA=1,。山=2,A3=倔所以BC=1,所以AC=2,故圆台的高为2,则圆台的体积

V=-x(兀+4兀+2兀)x2=四.故选C.

33

5.A解析取CG的中点为七连接。如图.易知三棱柱A山iG-QE尸的体积是三棱柱

A山iG-ABC的一半，由图可知三棱锥。勿£尸与三棱柱八山iG-0£/同底等高，则三棱锥G-

。七厂的体积是三棱柱尸体积的三分之一，

即四棱锥C\-A\DEB\的体积是三棱柱/体积的三分之二.

综上,四棱锥C\-A\DEB\的体积是三棱柱AiBiCi-ABC的三分之一，即口三心.故选A.

自

----力B

6.BCD解析圆锥的母线长1=J(2R)2+R2=遍R,所以圆锥的侧面积Sk玳/=＞舟TRI故A

错误；

圆柱的侧面积S2=2兀Rx2R=4兀股则圆柱的表面积53=52+2兀*=6兀/?2,球的表面积54=4兀/?1所

以圆柱与球的表面积之比%然=圆柱的侧面积与球的表面积相等，故B,C正确；

圆柱的体积Vi=兀R，x2R=2兀Q,圆锥的体积V2=LTCR2X2R=：TTR)球的体积上二士口距,所以圆

333

柱、圆锥、球的体积之比为V1：V2：V3=(2TT/?3)：(|TI/?3)：(JTT/?3)=3：1：2,故D正确.故选

BCD.

7.BC解析过点CQ作CN,D'M垂直于V轴于点N,M,因为等腰梯形ABC。

中/B=4,C7)'=2,所以知汽二2小四二877=1,又/。71川=450,所以A'O'=&,故A错误;

A8=AB=4,故B正确;作出原图形，可知人。=2爪。=2&,43=4,。=2工。_148,故四边形

ABC。的面积为丝券空=6近，故C正确;

过点。作CHLAB,交AB于点儿则AH=CD=2,BH42=2,CH=AD=2a,

由勾股定理得BCZBH?+CH2=2百,则四边形ABCD的周长为

4B+CO+A/)+BC=4+2+2&+2b=6+2&+2通，故D错误.故选BC.

吟解析如图，由题意，可吟V3_\/6

运二7

9.A解析P为圆台母线AB的中点,01,。2分别为上、下底面的圆心，把圆台扩成圆隹，如图1

所示，则OiA=l,Q8=245=6,由。/〃。2民有SA=6,SB=12,SP=9,圆锥底面半径。28=2,底面

圆的周长为4兀,母线长S8=12,所以侧面展开图的扇形的圆心角为詈=*即N8S8W如图2

JL乙。O

所示，质点从点尸出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P,则运动的最短路径为展开

图中弦PP；所以PP'=SP=SP'=9.故选A.

S

图1

B,

S

4'R'

图2

10.A解析如图所示，:几何体A8C-A山。为正三棱柱，且所有棱长均为J,

，底面ABC为正三角形，侧面881GC为正方形，

则吃棱锥“BCD=々楂柱48cAi/Ci一0四梭锥41幽。1小y三"D"BC=2"上彳乂孑-孑*??

V3112V31KJJ,'t八

--------x-x-x—x-=故选A.

33233381

11.ACD解析记平行六面体ABC。/闰GA的体积为匕由题可知丫=6.对于A,由平行六

面体的性质工出〃平面DiDCG,故点、P到平面DIDCCT的距离等于点B到平面DiDCCi的

距离，故/GCD=VB&CD=-x&V=1,故A正确;对于B,因为%-B1D1D=底回面积

固定，点P在线段A山上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误;对于C,因为A山〃

COM4a平面CBCOCu平面C8C,故48〃平面。BC,点P到平面CBiC的距离等于

点B到平面DBC的距离，故%°出c=VB-DIB1C=VD.-BCB.=：x如目，故C正确;对于D,因

为4B〃CZ)i工山Q平面OiACOCu平面》AC,故48〃平面DAC,点P到平面QiAC的距

离等于点B到平面DlAC的距离，故%°]AC=^B-D.AC=力i-BE=；X*=1,故D正确.故选

ACD.

12.942.7解析设正四棱柱和正四棱锥的高均为〃，画出正四棱锥，对角线相交于点0,即

PO=h,

2

则正方形48CD对角线长为10或，故A0=80=C。=。。=5或，故〃2+(5迎)=1()2,解得

〃二5近，故正四棱锥的体积为沙二"10'10、5近=竿，正四棱柱的体积为

S〃=10xl0x5&=50()式,所以该印章摆件的体积为华+50()&="学，其中或句.414,故

*=9427

3

13.4手包解析如图/AAC,4P两两垂直，又ACD48=A,AC,A8u平面A8C,则AP_L平面

A8C,则三棱锥的体积V=gx3ABlMCIMPI,又三个侧面三角形的面积分别为Si2s23s3,不妨

设S.C=SI£AP产2s25ACP=3S3飓|A8HAC|=S《|A8HAp|=2S2,；|ACHAP|=3S3,得到

(|48HACH4P|)2=(2S)(4S2)(6S3)=48SS2S3,所以V=kAB[\AC\-\AP\=^^-.

63

14.|解析设三棱锥O-ABC、三棱锥O-QEF的体积分别为见上,表面积分别为SiS,高分

别为限E因为蔡=|,所以F=|,/=(|)2,冲=泮£=沁£=守,则台=『X

DE2

八22S2DEF2S&ODES^OEFS^ODF2

旦竺二(芋=二，1=(4=2,则三棱锥O-A8C与三棱锥。切£尸的相对积之比为&"=-x-=

S&A8C28s224S2匕427

2

?

15.B解析作正四棱柱MNGH-M'N'G'H；正四棱柱的底面边长与帐篷底面正方形ABCD边

长相等，在正四棱柱MNGH-MN'GH'中，作四棱锥O\-MNG'H：€h为底面正方形WMGH'的

中心，作截面平行于帐篷底面A8CR与帐篷、正四棱柱和正四棱锥相截，截面分别为四边形

ABCD、四边形4山IGDI和四边形42&。2。2,如图所示，设截面与底面的距离为〃，设底面

ABCD中心为。，截面中心为0；则0C'=3或,0。二依不，所以8C二近71^不，所

以截面ABC。'的面积为36-2胀

图2

设四棱柱底面MNGH中心。|与截面A2B2C2D2中心。2之间的距离为。1。2二人,在正四棱柱

中，底面正方形边长为6,高为3&,

所以NMOiA2=/GOC2=45。,所以NA20c2=9