福建福州市八县市协作校2025-2026学年高一年级下册期中联考数学试题（试卷+解析）

福州市八县（市）协作校2025—2026学年第二学期期中联考

高一数学试卷

【完卷时间：120分钟；满分：150分】

命题：福州延安中学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知复数”-5二,则恸=（）

A.B.-C.芯D.5

55

2.若%,I是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）

A.q+/和乌一/B.3q-2e2和-6et+4e2

C.et+3e2和3q+e2D.e2和et+e2

3.一物体在力户的作用下，由点A（4,0）移动到点3（2,4）.若户=（—2,3）,则户对该物体所做的功为

（）

A.-16B.-8C.8D.16

4.已知某圆锥的底面积为4兀，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A.4兀B.8兀C.12兀D.16兀

5.设%,B是向量,则“心+碎（万一6）=（）”是“£=多或的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.三棱锥S—48。中，AB1AC,SA_L平面ABC,AB=AC=2,SA=3,球。是三枝锥

S-ABC的外接球，则球。的体积是（）

A\7旧口17场17后68炳

A.-----7TB.-----71rC.-----7tnD.-----71

632

7.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到4处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30。

的方向上，行驶300m后到达3处，测得此铁塔底部C在西偏北75。的方向上，塔顶。的仰角为30。，则

此铁塔的高度为（）

D

y/L...:-二

A.150^mB.1506C.505/6rnD.50Gm

8.在VA3C中，CA=CB=M、A5=4,点M为VA3C所在平面内一点且丽？.尤=0,则AA/CM.

的最小值为（）

An16-4n16

A.0B.----C.D.----

2555

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知平面向量@二（1,-2）,B=（4,y）,则正确的有（）

A.若，则y~一8

B.若GJ_B，则），二一2

C.若4，B的夹角为钝角，则y>2

D.若），=2,则1在M+B方向上的投影向量是（1,0）

10.根据下列条件解三角形，其中恰有一-解的是（）

A.b=4,c=2,C=—B.b=5,c=7,C=—

63

兀l兀

C.a=4,b=3,B=—D.a=2,/?=VJ，3=—

63

2JT

11.在VA6C中，A8=2,AC=3,A=—,直线A尸交8c于点Q,则下列说法正确的是（）

3

A.若P为VA8C的重心，则AQ二且B.若P为VANC的外心，则=J亘

33

D.若尸为VA8C的内心，则4。二9

C.若尸为VA8C的垂心，则AO二

75

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.aABC是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是△A81G，则△A4G的面积是

13.若复数满足|z|=|z-2i|=l,则z的虚部为______.

14.已知复数Z[=1*2=i,Z3=cose+isin0,8w[0,27t）,在复平面内复数4/2/3对应的向量分别为

工了之.若=+5/（其中[X]表示不超过X的最大整数,如：[2.1]=2,[-1.5]=-2,则

|Z+B+）l的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知同=4,W=2,且〃与5的夹角为120。，

（1）求5-2可；

（2）求2M与1+5的夹角.

16.已知z为复数，z+2i为实数，且z（l—3i）为纯虚数，其中i是虚数单位.

(1)求z；

（2）若复数仁+疝）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数机的取值范围.

17.如图，在平面四边形A8CQ中，AB=AD=2fBC=3.

⑵若CD=1,cosA=3cosC,求△ABD的面积.

18.如图，在菱形A5CO中，ZBAD=60°,AB=4,而=4通，"=而，GC=2DG.

（1）用4月，AD表示E?，瓦;

（2）求人公£户+人万£4;

（3）若/＞是菱形ABC。内（含边界）一动点，求中.丽的取值范围.

19.“平面内到二角形二个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十匕世纪提出的,

意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当VA3C的三个内角均小于120。时，满足

NAO8=NBOC=NCOA=120°的点。为费马点；当VA3C有一个内角大于或等于120。时，最大内角

的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在VABC中，角ARC所对的边分别为出人。，且

acosC+ViasinC-b-c=0-

(1)求A；

(2)已知。=1,点M为VA3C的费马点.

①若NA5C=45。，记/MBC=8,求tan。；

②若aABC为锐角三角形，求面.加2+耐.而仁+而拓f的取值范围.

福州市八县(市)协作校2025—2026学年第二学期期中联考

高一数学试卷

【完卷时间：120分钟；满分：150分】

命题：福州延安中学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知复数"而，则恸=()

A.B.-C.75D.5

55

【答案】c

【解析】

【分析】根据条件，利用复数的运算得到z=2+i，再利用模长的计算公式，即可求解.

【详解】因为2=3二、=2+i,所以恸=，|=逐，

2-1("25-i：)(：2+)i)11

故选：C.

2.若或是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是()

A.q+/和q-/B.3q—2e2和-6et+4e2

C.4+3可和36]+/D.4和q+/

【答案】B

【解析】

【详解】因为向量I，3是平面内的一组基底，可得向量1为平面内不共线的向量，

一一一一一一1=2

对于A中，设4+"=〃)一图)=丸录一力后，可得〈,，此时方程组无解，

U=-/

所以向量1+1和I-1不共线，可以作为平面的一组基底；

一一一一—一3=—621

对于B中，设30一次=〃-641+4^)=-6/101+4；1公，可得〈.「，解得见二一7，

，_，r_Air

所以向量31-2苑和-64+4区为共线向量，不能作为平面的一组基底;

____一_11=3A

对于C中，设q+3/-2(3q+6)—3/1《+/16，可得「_】，此时方程组无解，

3=A

所以向量4+和+1不共线，可以作为平面的一组基底；

一一一一一[0=2

对干D中，设62=4&+6)=/10+/14,可得，此时方程组无解，

所以向最点和不共线，可以作为平面的一组基底.

3.一物体在力户的作用下，由点A(4,0)移动到点5(2,4).若户=(一2,3),则户对该物体所做的功为

()

A.-16B.-8C.8D.16

【答案】D

【解析】

【详解】依题意.AB=(2,4)-(4,0)=(-2,4),户=(一2,3),

因此A2•户=-2x(-2)+4x3=16,

所以F对该物体所做的功为16.

4.已知某圆锥的底面积为4兀，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为()

A.4兀B.87rC.12KD.16兀

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面

积公式求解.

【详解】因为底面积为4兀，所以圆锥的底面半径为2,轴截面为等边三角形，

所以该圆锥的母线长为4,

所以S—nrl—71x2x4—871.

5.设〃,坂是向量,则"(&5)=0”是“〃=—石或〃=的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量数量积分析可知W+B）•（汗-5）=0等价于同=|可，结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为伍+孙•-B）=/-52=O,可得/二H，即同咽,

可知伍+孙心"）=0等价于同二阵

若〉=日或3=多，可得同=可即他+孙（”方）=0,可知必要性成立；

若,+1）•（万—5）=0,即同=忖，无法得出卜=石或卜=一万,

例如少=。,0）,6=（（）/），满足同=网，但［“且7W_几可知充分性不成立；

综上所述，“伍+孙（5—5）=0"是5=与或£=的必要不充分条件.

故选：B.

6.三棱锥S-4BC中，AB.LAC,S4_L平面ABC,AB=AC=2,SA=3,球。是三棱锥

S-A8C的外接球，则球0的体积是（）

4175/17口17gC17a八68g

A.------兀B.-----71C.------兀D.------71

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半经，最后利用

体积公式计算即可得解.

【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥S—ABC补形为长、宽、高分别为2,2,3的长方体,

且三棱锥S-ABC的外接球与长方体的外接球为同一个球,

又该长方体的外接球半径为人子三二半

17厢式

则球。的体枳是」47rW

3~T~

7.一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，至ijA处时测得公路北侧一铁塔底部。在西偏北30。

的方向上，行驶300m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75。的方向上,塔顶可的仰角为30。，则

A.150GmB.150G机C.5()x/6mD.50Gm

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意得到相关角的度数，结合正弦定理求解即可.

【详解】设此铁塔高/z(m),根据题意，可得NC43=30。，ZCBA=105°,Z£)BC=30%

在RtA5CD中，BC=0。=5/3/7,

tan30

在V45c中，由N£4C=3()c,ZC^A=105°,AB=300,可得=

根据正弦定理，可得百L=t,解得力=50#(m).

sin30°sin4507

8.在VANC中，CA=CB=\/5rA/=4,点M为VABC所在平面内一点且加.月亍=0,则

的最小值为()

164

A.0B.------c.——D」

2555

【答案】C

【解析】

【分析】以8C所在直线为X轴I,以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M的坐标，写出各个

点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题.

A「2.R「2_Ao2c.c_1ro

【详解】在三角形A3c中，由余弦定理cosC=-^————二.厂一厂=一=,故C为钝角；

2ACxCB2xV5xV55

又丽7・配=0,故M点在三角形ABC底边5c的高线.匕

则以3c所在直线为x轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示:

故。4=ACxsinN4c0=&xa二逑，（9C=ACxcosZ.ACO=75x-=—

5555

蛀时取得等号;

5

4

也即4M•CM的最小值为一三.

J

故选:C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知平面向量3=(1,-2),3=(4,)，)，则正确的有()

A.若山区,则y=-8

B.若215，则)，二一2

C.若彳，〃的夹角为钝角，则y>2

D.若)，=2,则示在M+5方向上的投影向量是(L0)

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用平面向量的坐标运算判断选项即可.

【详解】对于A,若山区，则lx)，=-2x4,解得y=-8,故A正确:

对于B,若G_LB,则H=1x4+（—2）xy=0,解得y=2,故B错误;

对于c,若d与5夹角为钝角，则。石<o且3与石不共线，

则卜5=4-2y<0,解得）,>2,故C正确：

〔），工-8

对于D,因为y=2,所以B=（4,2）,所以M+B=（5,0）,

所以小,+万）=5,H+司=5,所以不在d+方方向上的投影向量是

ci\a+b\5

—^_/.5+Z?=x（5,（））=（1,0）,故D正确.

a+b~25

10.根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（）

5兀71

A.b=4,c=2>C=—B.b=5>c=7,C—-

63

C.«=4»Z?=3,B=—D.a=2,b=\/3，B=—

63

【答案】BD

【解析】

【分析】利用正弦定理，结合正弦值求角有两解时，则需要判断角与边的对应关系，即大边对大角是否满足,

若两角都满足就两解，若只有一个角满足就一解.

b_c4_2

【详解】对于A,由正弦定理得：sinBsinCsinB.5兀，解得sin8=l,

sin——

6

根据3e（0,兀），可得：B=|,显然不满足内角和为兀，故A错误：

b_c57「

对于B,由正弦定理得：sinBsinCsinB.兀，解得sin8=^——»

sin—iA

根据3E（0,兀），且3<C,仅存在一个锐角B满足sinB=—，故B正确;

14

ha34c

对于C,由正弦定理得：sinBsinA.兀sinA»解得sinA二7,

sin—3

6.

根据A£（0,兀），且3vA,可得一个锐角A和钝角A都满足题意，故C错误;

ba432

___________'‘）___________

对于D,由正弦定理得:sinBsinA.sinA，解得sinA=l,

sin—

3

根据AE（O,兀），可得：A=p显然满足唯一解，故D正确;

7jr

11.在VA3c中，AB=2,AC=3,A=——，直线4P交3c于点O,则下列说法正确的是（）

3

A.若尸为VA8C的重心，则AP二立B.若尸为VA8C的外心，则从。=垣

33

C.若尸为VA8C的垂心，则AO=之叵

D.若。为VA8C的内心，则AO=-

7

1ABD

【解析】

【分析】利用向量数量积的运算律计算判断A；利用正弦定理、余弦定理及等面积思想计算判断BCD.

【详解】对于A,由P为VA3C的重心，得A户=|人力=」（4豆+/13）,

~+2ABAC=1-,/22+32+2X2X3X=—，

则A正确;

3、23

对干B,由余弦定理得5C=j22+32-2x2x3x-;=719,而尸为VABC的外心,

由正弦定理得AP二一经二芈二应，B正确;

2sinAV33

对于C,由P为VA3C的垂心，则AO为3c边上的高，由面积相等可得

112乂2工6

=—BCAO二一ABACsinA,贝ij523百，C错误;

4JBC22AD=^~

19

TT

对干D,当/，为V4AC的内心时，A。为/84C的角平分线，故N84O=NC4O=二

3

I।兀।2，儿

由SABAD+SMAD=^^BAC»可得5x24。•sinQ+5x3A。•sin鼻=5x2x3sin,

乙J/J4J

解得AO=1，D正确.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.△ABC是边长为2的正三角形，用斜二测画法得到的水平直观图是△A与G，则的面积是

【答案】&

4

【解析】

【分析】由等边三角形面积公式求AABC的面积S,进而根据的直观图的面积

S'=—S^可得答案.

4

【详解】已知原图△A8C是边长为2的正三角形，

所以△ABC的面积5=—X22=X/3，

4

所以与G的面积为s'=立S=^xG=".

444

13.若复数满足忖=|z-2i|=l,则z的虚部为______.

【答案】1

【解析】

22

【详解】方法1：设2=々+〃，则々2+〃=],a+（b-2）=\,解得〃=0,b=\,故虚部为1.

方法2：因为在复平面内忖=1表示以原点为圆心的单位圆，

同理，|z-Z[=l表示以点（0,2）为圆心、半径为1的圆,

所以满足|z|=|z-2i|二l的点为两个圆的公共点结合图形可知点8的坐标为（0』），故虚部为1.

-1.5•

14.已知复数Z1=1/2=i,Z3=cose+isin9,9£[0,27r）,在复平面内复数4门?"?对应的向量分别为

若=（其中[幻表示不超过X的最大整数,如：[2.1]=2,[7.5]=-2,则

13+B+"|的取值范围为.

【答案】（百,0+1]

【解析】

【分析】利用复数的几何意义及向量坐标运算求出Q+B+力的函数关系，再结合给定等式分类求得。的范

用，并利用正弦函数的性质求出范围.

【详解】依题意，a=(1,0),b=(0,1),c=(cos0,sin0)»则a+B+c=(1+cos&l+sin8),

\a^b+c\=5/(1+cos^)2+(l+sin^)2=x/3+2cos6+2sine=卜+2&sin(6+弓)，

a石=(],〃•c=cos0,〃c=sin0,ab=[a-c]+\b'c]得[cose]+[sin。]=0,

而。w[0,2兀），当8=0时，[cos夕|+|sin例=1。0,无解；

当Be（0,3时，[cos例+[sin例=0,则夕e（0当；

22

TT

当。=—时，[cos例+[sin例=1。0,无解；

2

7E

当。£（一,兀）时，[cose]+[sin8]=-l¥（）,无解；

2

当0=兀时，[cos0+[sm例=-1工。，无解；

当。£（兀,2）时，[cos0+[sin〃]=-2。。，无解；

2

当。二」时，[cosO]+[sinej=-1工0,无解；

2

当（生,2兀）时，|cos，]+[sin0]=-lH0,无解，

2

因此。u（0,g）,0+—c.（—»—-）»sin（〃十巴）e（——,1]»3+2>/2sin（^+—）c（5,（^2+1）2],

2444424

所以|Z+坂+£|的取值范围为（6,正+1].

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知同=4,|闸=2,且G与方的夹角为120。，

（1）求卜一2年

（2）求国与5的夹角.

【答案】⑴4G

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出（值-2万『的值.再计算归-2司的值.

(2)根据数量积的定义及运算律先算出2《万+5)和%+可的，直，再根据夹角公式计算即可.

【小问1详解】

因为同=4,B=2,且力与白的夹角为120，

所以d»b-k小巧］•cos120=4x2x(--)=-4

2

所以①—25)2=12-4无石+4后=时一4厅万+4麻=16+16+16=48

所以卜一24=-=弧=46

【小问2详解】

因为2①①+B)=2^+2万4=32-8=24

2

值+4=«G+B)2=，/+2苏+庐=J同2+2万.日+1/；|=716-8+4=Vl2=25/3，

所以8s侬,.)=箫徵24______3£_

2x4x26-2

因为(2府+方)£［(),兀］,

7T

所以2M与a+方的夹角为7.

16.已知z为复数，z+2i为实数，且z(l—3i)为纯虚数，其中i是虚数单位.

(1)求z；

(2)若更数Q+〃?i)2在更平面上对应的点在第四象限，求实数〃，的取值范围.

【答案】(I)z=6-2i

(2)(-8,-2)

【解析】

【分析】(1)&z=a+bi(aybeR),将其代入已知条件转化为实数方程求解，

(2)先求出：，再代入(；+,应产展开，根据复平面第四象限点的特征，列出关于用的不等式组，求解得

到阳的取值范围.

【小问1详解】

设z=6f+/?i,6f,Z?GR则z+2i=o+(/?+2)i,

因为z+2i为实数，所以b+2=0,即〃=-2

所以式13i)=(«2i)(l3i)=a6(3aI2)i

又因为z(l-3i)为纯虚数，所以。一6=0且3。+2工0,

所以。=6,所以z=6—2i.

【小问2详解】

由(1)知，z=6+2i

所以(5+加i产=(6+2i+加了=36—(阳+2尸+12(〃?+2)i

又因为Q+〃?i)2在复平面上所对应的点在第四象限，

f36-(w+2)2>0

所以《

12(〃?+2)<0

解得：一8〈m〈一2

所以，实数〃?的取值范围为(一8,-2)

17.如图，在平面四边形八8C7)中，AB=AD=2,BC=3.

(2)若CD=1,cosA=3cosC,求△A3。的面积.

【答案】(1)立

4

【解析】

【分析】(1)先根据余弦定理求得30=26，再利用正弦定理求解即可；

(2)先根据余弦定理得到cosA二丝叱，cosCJORD,再结合cosA=3cosC可得B/)2=%,

863

进而得到sinA=—，再根据三角形的面积公式求解即可.

3

【小问1详解】

在△A8Z)中，AB=AD=2，A=丁,

由余弦定理得=482+AO2—248AZ）COS/A=4+4—2X2X2X（—：）=12,

所以区。=2百，

在△BCZ）中，8。=26，BC=3,C=3，

6

32^3

由正弦定理得.B：则S吊4BDC—一T"，解得sin/3OC=f•

sinZ.BDCsinC-4

2

【小问2详解】

在△A3。中，AB=AD=2,

2222

-M,AB+AD-BD8-BD

由余弦定理得cosA=-----------------------=----------,

2ABAD8

在△BCO中，BC=3,CO=1，

+徂-BC1+CD1-BD110-BD2

由余弦定理得cosC=-----------------------=------------,

2BCCD6

因为cosA=3cosC,所以8—50.=3*1。一吕二一二10-8ZZ解得8。2=%,

8623

32

所以,8-BD28-J1,

cosA=----=-------=——

883

因为人«0,兀），所以sinA=Jl—cos?A=Jl—g二手,

所以△A3。的面积,A8・AQ-sinA='x2x2xM=^^.

2233

18.如图，在菱形ABCO中，/班。=60。，AB=4,而=4通，弁=而，GC=2DG.

（1）用A*，AD表示EF»EG；

（2）求八月EF+A/5•反3

（3）若尸是菱形ABC。内（含边界）一动点，求用.而的取值范围.

【答案】（1）EF=-AB--Ai）.EG=-Al5+-AB

2443

62

（2）——

3

（3）[-4,24]

【解析】

【分析】（1）根据向量的线性运算计算即可.

（2）根据向量数量积的运算律计算即可.

（3）根据向量数量积求得苏.丹=|丽（-4,结合图象判断|所|取最值时/，点位置，结合余弦定理计算

即可.

【小问1详解】

因A£>=4AE，而=丽，GC=2DG>

—1——311一

则A尸二—AB,ED=-AD,DG=—DC=—AB,

2433

则丽二乔一通二一通——而，~EG=ED+DG=-AD+-AB.

2443

【小问2详解】

--1--1--31

由(1)可知，EF=—AB——AD,EG=—AD+—AB,

2443

则A片•丽+A力=4一，4方］+>4力/3/4。+44/|

(24J(43)

=1而2+3而通标=』祠福府正

24122>।412

因为ZRW=60。，AB=AD=4,则而•通二|/|AB|COS/BAQ=8,

1-23I----12I--------1r3rl62

则一AB+-AD+—AB-AD=-x42+-x42+—x8=—,

24lI1224123

故ABEF+ADEG=J.

3

【小问3详解】

由题可知了么=。尸+雨,PB=PF+FB=PF-FA^

则胡.方二（而+可•（所―笛》而2_前二质2_4.

由图可知，当P与尸重合时，户目=0,此时苏•丽取得最小值为-4.

当P与。重合时，户可最大，可•丽取得最大值，

如图连接。/，在V4b中，由余弦定理，

CF2=BF2+BC2-2BF-BCcosZCBF=4+16-2x2x4x(-11=28,

所以而•方的最大值为28-4=24，

故PA-PB的取值范围为[-4,24].

19.“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，

意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当VA3C的三个内角均小于120。时，满足

/AO3=/8OC=/COA=120°的点。为费马点；当V44C有一个内角大于或等于120。时，最大内角

的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在VA3C中，角A,民C所对的边分别为a〃,c,且

acosC+y/3asinC-b-c—O-

（D求A：

（2）已知。=1,点M为VABC的费马点.

①若Z4BC=45。，记/MBC=O,求tan。：

②若△ABC为锐角三角形，求栩.加+碗・雨+雨・砺的取值范围.

【答案】（1）-

3

（2）①苴二■；②

2[_23）

【解析】

【分析】（1）借助正弦定理将边亿为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得；

（2）①利用正弦定理可计算出4C,再分别在△A/3C、AMAC中，使用正弦定理并作商即可得；②结

合费马点定义可得月•加。+加己朋/4=一』（|也明加却+四外眼［+眼。卜快到），再利用

等面积法计算可得|跖“削叫+/叫•|Mq