成比例线段-北师大版九年级《数学》上册培优讲义

专题4.1成比例线段

(2)培养学生运用成比例线段解决实际问题的能力，帮助学生学会将实际情境转化为

数学模型，准确运用比例知识求解。

知识清单

知识点01线段的比

线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比.

【即学即练1】已知。=»,求下列各式的值.

⑴六

b

ci-b

(2)—.

a+b

【答案】⑴2

(2)|

【知识点】比例的性质、分式化简求值

【分析】本题主要考查比的性质，掌握比的性质计算是解题的关键.

(1)将。=»代入，结合分式的性质化简计算即可；

(2)将。=劝代入，结合分式的性质化简计算即可.

【详解】(1)解：a=2b,

(2)解：a=2b,

a-b2b-bb1

0---=-----=—=—.

a+b2b+b3b3

知识点02成比例线段

1.成比例线段概念：对于四条线段如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如〃为=(”,

我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

2.判断四条线段是否成比例的方法：

(1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断；

(2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断.

【即学即练2】下列四组线段中，成比例线段的是()

A.4,8,3,6B.3,4,5,6C.2,1,3,49,5,6,2

【答案】A

【知识点】成比例线段

【分析】此题考查了成比例线段，如果四条线段，、b、。、4满足a:〃—则线段"、〃、。、d成比

例，根据成比例线段的定义进行判断即可求解.

【详解】解:A.•・•4:8=3:6,

・•.4,8,3,6是成比例线段，符合题意；

B.V3:4工5:6,

・•.3,4,5,6不是成比例线段，不符合题意；

C.v2:1^3:4,

二2,1,3,4不是成比例线段，不符合题意；

D.,：9:5声6:2,

二.9,5,6,2不是成比例线段，不符合题意.

故选：A.

知识点03比例的性质

(1)基本性质：若a:b=c:d,则ad=bc\

，、人一s工工eacar，za+bc+d,ac,a-bc-d

(2)合比性质：如果一二一，那么——=——.如果m一二一，那么一=——.

bdbdbdbd

(3)等比性质：如果一二一二k,那么——=-=-=k.

hdh+dbd

(4)比例中项：若a:b=b:c，则/=ac,。称为4、c的比例中项.

要点：通常四条线段。力cd的单也应该一致，但有时为了计算方便，。力的单位一致，G”的单位一致也

可以。

【即学即练3】已知a,b,c,d为四个不为0的数.

⑴如果2=3,求唱与胃的值；

bba+b

(2)如果£=,求证丁日一二J-

bdb-aa-c

⑶如果第=2求证产3

【答案】⑴*4,a-b_1

a+b2

(2)见解析

(3)见解析

【知识点】分式的求值、比例的性质

【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质:

⑴先根据已知条件得到甯=*=4,…再把八弘代入£中进行求解即可；

⑵设5,则i,…再分别计算出言和£的值即可证明结论;

(3)求出从=。〃，进而可得了=-；。

bd

【详解】⑴解：畔=3,

b

^a+ba

0—；—=7+t1=4,a=3b,

bb

a-b3b-b1

团----=-----=—

a+b3b+b2

(2)ACB证明：设£===女，贝！Ja=妨，c=kd,

ba

团，_=*_=上，ckdk

b-ab-kb\-k,d—cd-kd\—k'

b-ad-c'

(3)证明：团”=［，

b+db

13ab+be=ab+ad,

团〃c=ad,

„ac

0—=—.

bd

知识点04黄金分割

如图，若线段A8上一点G把线段A8分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和8C的

比例中项（即4c2=AB,8C）,则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中

4。=正二48=0.61848,8C=匕叵AB=0.382AB,AC与AB的比叫做黄金比.（注意：对于线段48

22

而言，黄金分割点有两个.）

【即学即练4】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则

这个比值三一为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例.杭州亚运会会徽一潮涌，由中国美术学

院教授袁由敏设计.其中浪潮设计借助了黄金分割比.如图，若点C可看作是线段A8的黄金分割点

(AC<CB),若A8=40cm,求AC的长.

ACB

【答案】（60-206）cm

【分析】本题主要考查了黄金分割.根据黄金分割的定义及的长求出8C的长，据此求出AC的长即可

解决问题.

【详解】解：,点C可看作是线段A8的黄金分割点（ACvCB）,/W=40cm,

/.BC=AB=与^x40=（204-20）cm,

?.AC=AB-BC=40-（20y/5-20）=（60-20码cm,

・•・AC的长为（60-206卜”1.

题型精讲

题型01求线段的比

【典例1］如果线段a=2cm,b=3cm,那么，的值为（）

b

【答案】A

【分析】根据线段的比的定义解答即可.

【详解】因为线段a=2cnifb=3cm,

,a2

所以.

b3

故选A.

【点睛】本题考查了线段的比.解题的关键是要统一单位.

【变式1】已知线段4=10”“人=25c〃?，则£的值为（）

b

A.-B.之C.-D.2

225

【答案】C

【分析】直接代入计算即可求解.

【详解】解：0a=10cm,b=25cmt

。102

0——————.

b255

故选：C.

【点睛】本题考查了比例线段，是基础题型，采用代入法.

【变式2】如果线段a=5mm"=10mm,那么f的值为()

b

A.—8.!C.-D.2

2022

【答案】B

【分析】根据线段的比的定义，按照题中条件直接求解即可得到结论.

【详解】解：13«=5mm,Z?=10mm,

a51

[?]—=—=—,

b102

故选:B.

【点睛】本题考查线段的比，熟记线段的比的定义是解决问题的关键.

【变式3】若线段。=Im,〃=50cm,则2=()

a

A.2B.—cmC.~D.50

22

【答案】C

【知识点】比例线段

【分析】先把〃=lm转化为a=100cm,然后根据线段的比的意义，把a=lm=100cm,〃=50cm直接代入,

即可求出2的值.

a

【详解】解：0a=Im=100cm,b=50cm,

«1002

故诜：C.

【点睛】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比.注

意线段的比是一个没有单位的正数.

题型02由比例尺求距离

【典例2】在比例尺为1:1000000的地图上，2cm相当于实际km

【答案】20

【分析】本题考查了两条线段的匕.设两地的实际距离为xcm,根据比例尺的定义得到2：K=1：1000000,

利用比例的性质易求得X的值，注意单位统一.

【详解】解：设两地的实际距离为xcm,

回比例尺为1:1000000，

02:x=l:lOOOOOO,

0x=2(XXXXX)cm=2(XXX)m=20km.

故答案为：20.

【变式1】在比例尺为1:10000000的地图上量得两个城市间的距离是5cm,那么这两个城市的实际距离是—

km.

【答案】500

【分析】此题考查比例尺，根据"实际距离=纸上距离+比例尺”即可求解，熟知比例尺的应用是解题的关键.

【详解】解：两个城市的实际距离是5+；；^息示=5°°00°00cm=500km,

I0000000

故答案为：500.

【变式2】在比例尺为1:36000的无锡旅游地图上，某条道路的长为10cm,则这条道路的实际长度为km.

【答案】3.6

【分析】本题考查比例尺知识，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换.

根据比例尺=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可.

【详解】解：根据题意得：10+-;=360000(cm),

36(XXX)cm=3.6km.

故答案为：3.6.

【变式3】在比例尺为1:200000的某地旅游地图上，经测量A景点与“景点相距约20cm,则这两景点实际

距离约km.

【答案】40

【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为'em,利用比例尺的定义得到2O:x=l:2OOOOO,求出

工的值后，把单位化为km即可.

【详解】解：设这两景点实际距离为xcm,

20:x=1:200000,

解得x=4000000(cm),

4(XXXXX)cm=4()k!n,

故答案为：40.

题型03判断四边是否成比例线段

【典例3】下列各组中的四条线段，不成比例线段的是()

A.1,2,2,4B.3,4,9,12C.7,5,3,21,&,G遥

【答案】C

【详解】解：41x4=2x2,成比例；

B.3x12=4x9,成比例；

C.7x2w5x3,不成比例;

D.lxV6=x/3x>/2,成比例.

故选:C.

【变式1】下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（）

A.3cm,6cm,7cm,9cmB.2cm,5cm,0.6dm,8cm

C.3cm,9cm,1.8dm,6cmD.1cm,2cm,3cm,4cm

【答案】C

【分析】本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键；因此此题可根据“若线段。、氏。、

d,且满足a:/7=c:4,则这四条线段成比例"进行排除选项即可.

【详解】解：A、3:6工7:9,所以这四条线段不成比例，故不符合题意；

B、因为0.6dm=6cm,所以2:5/6:8,所以这四条线段不成比例，故不符合题意；

C、因为1.8dm=18cm,所以3：6=9：18,所以这四条线段成比例，故符合题意；

。、1:2工3:4,所以这四条线段不成比例，故不符合题意；

故选C.

【变式2】是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（）

A.a=2cm,Z?=5cm,c=5cm,d=10cm

B.〃=5cm,Z?=3cm,c=10cm,d=6cm

C.a=30cm,/?=2cm,c-0.8cm,d=2cm

D.a=5cm,Z7=0.2cm,c=7cm,d=0.3cm

【答案】B

【分析】本题考查比例线段的概念.把四条线段的长度按大小顺序排列，最小的和最大的相乘，另外两个

相乘，看它们的积是否相等即可.

【详解】解：4.2x10^5x5,不成比例,不合题意;

B.3x10=5x6,成比例，符合题意；

C.0.8x30*2x2,不成比例，不合题意;

D.0.2x7工0.3x5,不成比例，不合题意；

故选B.

【变式3】下列四组线段中，是成比例线段的是（）

A.5cm,6cm,7cm,8cmB.3cm,6cm,2cm5cm

C.2cm,4cm,6cm,8cmD.12cm&mJ5cm,10cm

【答案】。

【分析】本题主要考查了比例线段，判断四条线段是否成比例，可将它们的长度按从小到大排序，检验首

尾两段的乘积是否等于中间两段的乘积.

根据成比例线段的性质逐项判断艮」可.

【详解】解：45X8H6X7,故选项不符合题意；

B、6x2^5x3,故选项不符合题意：

。、2x8工4x6,故选项不符合题意；

D.12x10=120=8x15,故选项符合题意.

故选：D.

题型04己知成比例线段求其中一边长

【典例4】若a,b,c,d四条线段是成比例线段，且。=4,b=c=3,则d的长为.

9

【答案】4

【知识点】成比例线段

【分析】本题考查成比例线段，根据题意，得到;=三，进行求解即可.

ha

【详解】解：由题意，得：;=三,即：ad=hc.

ba

团4d=3x3=9,

,9

0d=—；

4

9

故答案为：—.

4

【变式1】已知线段4=9,b=l,如果线段C是线段4、。的比冽中项，那么—.

【答案】3

【知识点】成比例线段

【分析】本题考查了比例线段，正确理解比例中项的概念，注意线段不能是负数是解题关键.

根据比例中项的定义，列出比例式即可得出比例中项.

【详解】解团根据比例中项的概念结合比例的基本性质，

得吐匕例中项的平方等于两条线段的乘积.则‘2=9x1,

解得c=±3（线段是正数，负值舍去），

所以。=3.

故答案为：3.

【变式2］己知〃，b,c,〃是成比例线段，其中。=1cm,Z?=3cm,c=2cm,则线段d=cm.

【答案】6

【知识点】成比例线段

【分析】本题考查成比例线段，掌握如果四条线段a，b,c,4满足7=：,则四条线段小b,c,"称为比

ba

例线段.根据成比例线段的定义可得出:=；,求解即可.

【详解】解：瓯,b,c,d是成比例线段，

c。cMn12

bd3d

团d=6cm

故答案为：6.

【变式3】已知线段a,Ec,d是成比例线段，其中a=3,〃=4,c=5,则线段d的长为.

90

【答案】y

【知识点】成比例线段

【分析】本题考查线段成比例计算.根据题意可呜吟’代入数值计算即可得到本题答案.

【详解】解：团线段。，hC,4是成比例线段，

0«=3,0=4,c=5,

35刖,20

0-=—»^'P：^=—»

4d3

2()

故答案为：—.

题型05利用比例的性质进行求解

【典例5】已知线段〃、。满足。力=3:2,且a+%=14.

⑴求线段"、人的长；

⑵若线段c是线段“、力的比例中项，求线段。的长.

【答案】（I）线段。的长为6,线段力的长为4.

（2）线段c的长为2"

【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键.

（1）设。=33b=2k,代入〃+»=14计算可得2的值，由此即可得;

（2）根据比例中项可得02=岫，由此即可得答案.

【详解】（1）解：•.•〃法=3:2,

•,.设a=3攵，b=2k,

回a+2Z?=l4,

...3“软=14,

:.k=2,

：.a=6,b=4,

「•线段”的长为6,线段力的长为4.

(2)解：•线段c是线段。、。的比例中项，。=6,b=4,

了./==24,

:日题意知，c>0，

c=2遍,

「•线段c的长为2卡.

【变式1】若丁二石，则上=_____.

x+y9A

【答案】|

【知识点】比例的性质

【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的内项之积与外项之积相等是解题关键.根据题意得出5x=4y,

即可得解.

x4

【详解】解：

x+y9

,.,9x=4(x+y),

5.v=4y,

•2=3,

"A4

故答案为：7-

4

【变式2】已知线段a=0.3m,b-60cm,c=12dm.

⑴求线段。与线段b的比和线段〃与线段。的比：

⑵如果线段〃、b、c、4成比例，求线段d的长.

(3)在比例式a:〃=。:。或从=讹中，我们把人称为。、c的比例中项，那么本题中人是a和c•的比例中项吗？

为什么？

【答案】(l)a加=1:2；4c=1:2

⑵d=24()cm

(3)方是〃和。的比例中项，理由见解析

【分析】本题比例线段，掌握比例线段的定义和比例中项是解题的关键.

(I)a=0.3m=30cm；b-60cm»c=12dm=120cm,即可求得a：b的值,b：C的值;

(2)根据线段。、b、。、〃是成比例线段，可得;=£,再根据c=12dm=120cm,即可得出线段d的长；

bd

(3)根据〃2=3600,^-=30x120=3600,可得从=讹，进而得出〃是。和c的比例中项.

【详解】(1)解：•.•a=0.3m=30cm,h=60cm.

.,.«:/?=30:60=1:2：

•.•/>=60cm,c=12dm=12()cm,

•・6:c=60:120=l:2；

(2)解：•.•线段。、b、c、d是成比例线段，

\a.b=c.d,

.J:2=I2O:J,

二.〃=240cm：

(3)解：•.方=6()2=3600,«c=30xl20=3600,

；.b'=ac,

."是。和C的比例中项.

【变式3】已知线段。，b,C满足£=名=；,且a+»+c=26.

326

⑴求a,b,。的值；

(2)若线段％是线段6a,。的比例中项，求x.

【答案】⑴6；4：12

⑵12

【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设女法〃

用上表示出4、〃、C可以使计算更加简便.

(1)设j=g=：=工0),贝iJa=3A,b=2k,c=6k,代入〃+2Z?+c=26,求得女的值，即可求出〃、

326

尻c的值;

(2)由线段x是线段6〃、力的比例中项，可得f=6〃〃=6x6x4=144,计算即可.

【详解】(I)解：设2=乌===/：(女工0),则a=3k,b=2k,c=6k

326

团a+2Z?+c=26,

所以弘+2x2&+6攵=26.

解得k=2,

0«=3x2=6,〃=2x2=4,c=6x2=12；

(2)解：回线段x是线段6a、力的比例中项，

0x"=6ab=6x6x4=144,

0x=I2(负值舍去).

题型06利用比例中的等比性质进行求解

【典例6］已知二=：=：=2,且〃+d+/wO.

bdf

a+c+e

⑴求的值;

b+d+f

⑵若5d+6/=3,求a-5c+6r的值.

【答案】⑴2

(2)6

【知识点】比例的性质、已知式子的值，求代数式的值

【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键.

(1)根据等比性质求解即可；

(2)根据给出的条件将〃-5。+金整理，再代入力-5d+6/=3即可得出答案.

【详解】(1)解：回?=9=!=2,

bdf

团a=2b,c=2d,e=2/,

a+c+e2b+2d+2f2(b+d+f)~

"b+d+f~b+d+f-h+d+f-'

(2)解：由?=J=J=2得a=26,c=2d,e=2/,

baj

0b-5r/+6/=3,

Ba-5c+6e=2b-\0c+\2f=2(6-5c+6.f)=2x3=6.

【变式1】已知：线段m力，c,根据以下条件回答问题.

⑴若a=4cm,Z?=9cm,c是a,〃的比例中项线段，求c的长；

(2)若色=2=£,a+b+c=4S,求a,b,c的长.

345

【答案】⑴c=6cm

(2)a=12,b=16,c=20

【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可：

(1)根据比例中项的定义列式得到/=〃〃，即/=36,然后根捱算术平方根的定义求解，即可得到c的长;

(2)设：=?=；=欠然后用上表示小b,c,再代入a+/?+c=48,求解得到3即可得到a,4c的值

345

【详解】(1)解：配是a,8的比例中项线段，

0C2=4?936，

团c=6(负值舍去)

即c的长为6cm；

(2)解：设］=(4=怎

团a=3k、b=4k,c=5k,

团a+0+c=48,

（334+4左+5〃=48,

团攵=4,

回。=12,〃=16,C=20

【变式2】阅读下面的一段文字：

设一一一一一■—k,贝ij有a=c=c/k….,〃i=/法，当人+6/十…十〃工0时，

0dn

〃+c+…+〃丁川+,伙+.一+〃忆仍+d+...+〃）Jq/

〃+（/+•••+〃b+d+...+nb+d+...+na

从上面的推导过程可得，若?=：=..=',当""…+〃/0时，：+：.•+—.把它称为等比性质.

banb+d+...+nb

利用等比性质完成下题：

⑴在V48C和△AeC'中，空=煞=?；=3,且AF+8'C+CA=20厘米，求V48C的周长.

ABBCCA4

⑵第W节乏且联”山，。，求失常的值•

【答案】⑴15厘米

2

（2）?

【知识点】比例的性质

【分析】本题考查了比例的基本性质.

（1）根据题意得至卜;《十£二黑;=；，由A9+8'C-CA=20,代入计算即可求解；

AH+8C+CA71H4

a2a—c—5e2Q—c—5ea

（2）根据题意得到工=石=-;==7,进而得到“-/二，=£,结合乃-4-5/wO,即可得出结果.

b2b-d-5f2h-d-5fb

【详解】（1）解：•.・*=/1；=昌=1,且A'8'+夕C+CWHO,

/iBDv✓v✓/I4

.AB+BC+CA_AB3

奴+4（7+。/一府一屋

33

二.VA8C的周长=AB+BC+C4=w（A'*+B'C'+CW）=wx2O=15（厘米）.

故VAAC的周长为15厘米.

ace2

（2）解：，•工=7=7=彳，

bclf3

•_G__2_a__-_c__-_5_e

"~b~2b~^d~^5f，

•.•勃一d—5/wO,

2a-c-5e_«_2

2b-d-5f~~b~3'

ace/、

【变式3】已知a,b,c,d,e,『六个数，如果工=：=7=左传+4+/=0),那么7—；—7=k-

bdfb+d+f

理由如下：

k(b+d+八0)

0«=bk,c=dk,e=fk(第一步)

团a+c+e_bk+dk+fkk(b+d+f)

团4+d+/-b+d+f=k（第二步）

b+d+f

⑴解题过程中第一步应用了的基本性质；在第二步解题过程中，等+7+/）=k应用了的基

本性质；

⑵应用此解题过程中的思路和方法解决问题：

r2abc_2a+b4-c

①如果-^=7=7=2,则Mll一--=；

DO/1o

②已知91=声（），求的值.

345x+2y-3z.二

【答案】⑴比例，比例

（2）①2,②一I

【知识点】比例的性质

【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键:

（1）根据比例的基本性质解答；

（2）①根据比例的性质得到2a=l（）力=12,c=14,代入计算即可;

②设;=?=：=&，则x=3A,y=4k,z=52,代入化简可得答案

J•J

【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，芈孚3=2应用

b+d+f

了比例的基本性质

团2a=1(),/?=12,c=14,

2a+b+c10+12+14

团--------=----------

1818

故答案为2：

②设：=?=：=攵，则x=3k,y=4Z,z=5A,

33一44+53

0

32+2x4%—3x54

题型07黄金分割

【典例6】美是•种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感.如图，某女士

身高165cm,下半身长x与身高/的比值是0.6.

⑴求该女士下半身长x：

⑵为尽可能达到美的效果，求她应穿的高跟鞋的高度.（结果精确到0.1）

【答案】⑴该女士下半身x为99cm；

⑵她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm.

【分析】（1）列式计算即可求解；

（2）设需要穿的高跟鞋是列方程求解即可.

【详解】（1）解：x=165x0.6=99cm；

答：该女士下半身x为99cm：

（2）解：设需要穿的高跟鞋是广m,则

99+），=0.618（165+y）,

解得：尸7.8,

答：她应穿的高跟鞋的高度为7.8cm.

【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用.明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关健.

【变式I】宽与长的比是避二i（约为0.618）的矩形叫黄金矩形.黄金矩形协调、匀称、美观，应用广泛.下

2

面我们折叠出一个黄金矩形：

第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，展平纸片；

第二步，如图2,把这个正方形折成两个相同的矩形，再展平纸片；

第三步，折出内侧矩形的对角线勿，并把叫折到图3中所示的尸。处；

第四步，展平纸片，按照所得的点C折出CO（CO,8C）（图4）.

图1图2

求证：矩形ABC。是黄金矩形.(提示：设MN的长为2)

【答案】见解析

【分析】本题考查了黄金分割，折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质和勾股定理求出=石-1,AB=2,

再结合黄金矩形的定义判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】证明：设"N的长为2,

由折叠的性质可知AB=2,NP=PB=1,

:.PA=x/21+\2=45=PC^

BC=PC-PB=45-\，

，EC：AB=必二，即矩形ABCO是黄金矩形.

2

【变式2】阅读下面的材料:

如图1,在线段48上找一点C(AC>8。)，若8cAe=AC:A8,则称点C为线段A8的黄金分割点，这

时比值为避二！。0.618,人们把造二称为黄金分割数,

长期以来，很多人都认为黄金分割数是一个很特

22

别的数，我国著名数学家华罗庚先生所推广的优选法中,就有一种0.618法应用了黄金分割数.

ACB

图1

我们可以这样作图找到已知线段的黄金分割点：如图2,在△。厅'中，OE的长为2,过点E作EF工OE,

旦EF=：OE,连接。尸；以尸为圆心，所长为半径作弧，交OF于H：再以。为圆心，。”长为半径作弧,

交OE于点P.

根据材料怛I答下列问题:

⑴根据作图，写出图中相等的线段:

(2)求。尸的长;

(3)求证：点。是线段。七的黄金分割点.

【答案】⑴EF=FH,OH=OP

(2)OP=x/5-l

（3）见解析

【分析】（1）由题意知，EF二FH，OH=OP,然后作答即可；

（2）由勾股定理得OF=JOE+石尸=石,根据8=0〃=。产-"/,计算求解即可；

（3）由0P=右—1，可得0P2=（百—1丫=6—2不，PE=OE-OP=2-（召-1）=3-召,

O£PE=2（3—6）=6—2石，则OP2=OEPE,即庄:OP=OP:QE,进而结论得证.

【详解】（1）解：由题意知，EF=FH,OH=OP,

故答案为：EF=FH,OH=OP；

（2）解：0EF1OE,

团NOE”=90。

团OE=2,

^EF=-OE=\,

2

由勾股定理得0尸=，0炉+石产=75，

^FH=EF=\

自OP=OH=OF-FH=币-1,

团0P=眄-1.

（3）证明：团0尸=6-1,

0OP2=（75-1）2=6-275,PE=OE-OP=2-（逐-1）=3-瓜OE-PE=2（3-^5）=6-2^5,

田OP?=OEPE，PE:OP=OP:OE,

回点尸是线段OE的黄金分割点.

【点睛】本题考查了画线段，勾股定理，黄金分割.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

【变式3】材料一：如图①，点C把线段AB分成两部分（AC>BC）,若噂=舞，那么称线段AB被点C

黄金分割，点。叫做线段48的黄金分割点.类似地，对于实数：4<%<的，如果满足

（。2-4『=（々32）（。3-4），则称。2为4，%的黄金数.

5s

材料二：如果一条直线/把一个面积为S的图形分成面积为s和S?两部分（s;>s’2）,且满足三=肃，那么

称直线/为该图形的黄金分割线.如图②，在V4BC中，若线段CO所在的直线是V4BC的黄金分割线，过

点C作一条直线交B。边于点E,过点。作DF〃比'交V48C的一边于点F,连接Ef，交CD于G.

c

②

问题：

⑴若实数，。为0,1的黄金数，求。的值.

（2）SQG_S△的•（填＞，＜=）

（3）E尸是VA8C的黄金分割线吗？为什么？

【答案】⑴T+S

2

（2）=

⑶是，理由见解析

【分析】（1）根据黄金数的定义，即可求解；

（2）根据平行线间的距离处处相等，可得SQ/=SQ刀，即可求解;

==

(3)根据S&CFG=S.EDG,“J得S/c=SaDFE'S^EFC=S&CDE»BDCS凹过形如(,从而得到&ADCS/EF,内由

SS

线段CO所在的直线是VABC的黄金分割线，可得—,即可求解.

^cABC〉ABDC

【详解】（1）解：回。为0,1的黄金数，且实数Ovavl,

g](fl-O)2=(l-«)(l-O),即a2+67-1=0,

解得：％=土且＜0（舍确），出=土包;

1222

（2）解：设点尸到CE的距离为瓦

团DF〃EC,

团StCEF=3CEh=S《ED»

即S*CFG+S,CEG=5mEG+EG，

0SRCFG=SaEDG:

故答案为:

（3）解:是理由如下:

团S/FG~Sa£i)a，

回S,DFC=SAFE'S或FC=SKDE»^^BDC='四边形所底♦

例S&A0c=S^ADF+S^DFC~S^ADF+S&DFE=*^AA£F

又e线段C。所在的直线是VABC的黄金分割线,

『Jq述DC_乙q46:

%■V，

JiDC

ES口过形BEFC_S&AEF

回S-s

©aAffC。四边形BEFC

团房是VA8C的黄金分割线.

强化训练

一、单选题

1.已知线段a=3cm,Z?=1.5cm,c=7cm,若f=二，则线段”的长为（）

hd

A.2cmB.3.5cmC.6cmD.14cm

【答案】B

【分析】木题考查比例线段，由条件得到3:1.5-7:",然后利月比例的性质求〃即可.

【详解】解：回£=三，3cm,Z?=1.5cm,c-7cm,

ba

^a:b=c:d,即3:1.5=7:d,

解得：d=3.5,

故选:B.

2.下列各线段的长度成比例的是（）

A.2cm,6cm,5cm,8cmR.3cm,1cm,2cm,4cm

C.3cm,6cm,7cm,9cmD.2cm,16cm.4cm,8cm

【答案】。

【分析】本题考查成比例线段的判断.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四

条线段就叫做成比例线段.根据比例的基本性质，可以检验是否存在两条线段长度的乘积等于另外两条线段

长度的乘积的情况，若存在则成比例.

【详解】解：A、由于2cm,6cm,5cm,8cm任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，

故这四条线段的长度不成比例，不符合题意；

B、由于3cm,1cm,2cm,4cm任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线

段的长度不成比例，不符合题意：

C、由于3cm,6cm,7cm,9cm任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线

段的长度不成比例，不符合题意；

D、由于2x16=32=4x8,则2cm,16cm,4cm,8cm四条线段的长度成比例，符合题意：

故选:D.

3.下列结论中，错误的是（）

ac«-4c-5

A若丁b则4=5B.若=2,则-

a-bh2

n9,、廿4c2,...xa-c2

C.若一=一,则a=2,b=5D.若一=一=一（Z〃一"wO）,----=-

b5bd3、'b-d3

【答案】c

【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答.

【详解】解：由£=；，设以=43c=5k,

45

八、、a-44k-4,,c-55k-5,,

代入一；一=-—=lc-\,--=——=k-1,

4455

团等式成立，故4正确，不符合题意；

由广^=2,两边乘一〃）得匕=2（〃一6）,

整理得3〃二为，

即凹=1，故8正确，不符合题意；

D2

仅说明〃与人的比为2:5,

b5

但4=2,6=5并非唯一解（如a=4,〃=10也满足），

原结论错误，故C错误，符合题意；

0a=2左，b=3k,c=2m,（1=3ui,

回^一7=T77---x（因〃一〃工0，即上工〃|），故。正确，不符合题意;

b-d3（2—/九）3

故透:C

ace\a+c+e

4.已知工=7=7=£,且匕+d+/wO,则^――的值是（）

ba/3b+d+f

A.-B.3C.1D.0

3

【答案】A

【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得c=；d,e=再把c=；d,e

代人所求式子的分子中计算求解即可.

ace\

【详解】解：0-=-=y=-,

I,11,

^\a=—h,c=_J（!,e=—f,

333

团a+c+e_333,_,

b^d+f~b+d+f~3

故选:A.

5.摄影中有一种拍摄手法叫黄金沟图法，原理如下：如图，在正方形人3C。的3c边上取中点E,以点E为

圆心，线段OE长为半径作圆，交BC的延长线于点尸，过点尸作/GJLAD,交人D的延长线于点G,得到

矩形CDG厂.根据黄金分割的意义：矩形4BFG满足4氏8/=道二1,若A3=l,则C/的长是（）

A.>/3-1B.走二!■C.>/5-1D.且二

22

【答案】。

【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设b=x,根据正方形的性

质可得AB=BC=1,然后根据黄金分割的意义可得48:8尸=避二1,从而可得」_=或二1,最后进行计

21+x2

算即可解答.熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.

【详解】解：设cr=x,

•••四边形A8CO是正方形，

AB=BC=1»

^BF=BC+CF=\+x.

由题意，根据黄金分割的意义：矩形AAR7满足人避二1,

2

・15/5-1

••----------

1+X2

x/5-l

/.X=-------.

2

经检验：x=早是原方程的根，

故选:D.

二、填空题

6.若加=»,则?=；若加是5和4的比例中项，则〃?=

【答案】±2石

【分析】本题考查了比例的基本性质，比例中项，熟练掌握知识点是解题的关键.

根据3a=2,通过设&法表示“=2A,〃=3A,再代入求值即可;根据比例中项的定义得到*=4x5=20,

再利用平方根的定义即可求解.

【详解】解：03。二必，

设a=2k、b=3k,

a-b2k-3k1

团----=-------=一,

b3k3

故答案为：一;

团机是5和4的比例中项，

团加=4x5=20*

0m=±2石»

故答案为：±275.

7.在比例尺为1:500000的地图上，量得甲、乙两地的距离为15cm,则甲，乙两地的实际距离为km.

【答案】75

【分析】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺遂行计算，注意单位的转换问题.根据比例

尺二图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离.

【详解】设甲、乙两地间的实际距离为xcm,则：15:x=l:500000

解得：x=75(XXXX).

7500000cm=75km.

故答案为：75.

8.已知江===山，其中x+y+ZH。，则产”的值为—.

xyz2x+2j+5z

【答案】|

【分析】本题主要考查了分式化简求值，根据条件，令二=二二匕£=m是解决问题的关键.

xyz

y+z=mx

根据条件2v—+z=-z-+--x=-x+v-,(x+y+z*O)、,令-v--+-z-=-z--+-X=-t--+-v=m，从而得到＜x+z=my,从而得到

xyzxyz

x+y=niz

3x+3y-z

2(…根据f0解得m=2,从而可得2x+2y+5z的值.

・一)'+zz+xx+y

【详解】解：•••"一=一=-—

y

y+z=mx

人y+zz+xx+y

令----=----=-----=m,则＜x+z=my,

xyz

x+y=mz

：.2（x+y+2）=m（x+y+2）,

,.,x+y+zwO,

/.m=2,即x+y=2z,

3x+3y-z

2x+2y+5z

二3（x+y）-z

2（x+y）+5z

3x2z-z

2x2z+5z

5z