小学五年级数学《小数乘法解决问题（估算与分段计费）》学历案

小学五年级数学《小数乘法解决问题（估算与分段计费）》学历案

一、基本信息

【学科年级】小学数学五年级上册

【课题名称】小数乘法解决问题——估算与分段计费

【课型】新授课

【课时】2课时（第一课时：估算解决购物问题；第二课时：分段计费问题）

【设计者】深谙课改理念的资深教师

二、课标分析

【核心素养导向非常重要】

本学案严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域的第二学段要求进行设计。课标明确指出，学生应能在具体情境中，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用；能解决小数乘法的简单实际问题，形成初步的应用意识。本学案的设计核心在于将“三会”（会用数学眼光观察现实世界、会用数学思维思考现实世界、会用数学语言表达现实世界）落地生根。通过超市购物和出租车计费这两个极具生活气息的情境，引导学生从现实世界中抽象出数学问题，经历“阅读理解—分析解答—回顾反思”的完整问题解决过程，旨在培养学生的数感、量感、应用意识和推理意识，这正是当前课程改革所倡导的核心理念。

三、教材分析

本内容是人教版五年级上册第一单元《小数乘法》的精华与高潮部分，是在学生系统掌握了小数乘法的计算方法、运算顺序及整数乘法运算定律推广到小数之后，对所学知识进行综合运用和现实延伸。教材匠心独运地安排了两个经典模型：例8（购物估算）和例9（分段计费）。

【基础】例8承载的不仅是估算技能的习得，更是估算意识的唤醒。它通过“够不够”的问题冲突，让学生体会到精确计算并非万能，估算在特定情境下更具实效性，并引导学生理解“估大”与“估小”的策略性选择，为后续学习数感培养埋下伏笔。

【难点高频考点】例9则是将数学从理想世界推向复杂现实的关键一跃。分段计费模型（如出租车、水费、电费）是生活中最常见的数学问题之一，也是小学数学与初中函数思想的第一次亲密接触。其核心难点在于理解“分段”的边界和“不足1千米按1千米计算”（进一法）的规则，这考验的是学生对现实规则的理解和数学化抽象能力，是小学阶段培养模型意识的重要载体。

四、学情分析

【起点分析】五年级的学生已经积累了较为丰富的生活经验，对于购物付钱、乘坐出租车有直观感受，但往往是“知其然，不知其所以然”。在知识储备上，学生已能熟练进行小数乘法计算，具备了一定的逻辑思维能力，但思维的严谨性、深刻性还有待发展。

【重要学习障碍】

估算策略的迷思：学生常陷入“估算就是凑整计算”的误区，不明白估算同样需要逻辑和策略。在面对“够不够”问题时，容易盲目使用“四舍五入”法，而不知应根据问题指向选择“估大”或“估小”。

分段模型的困惑：对于“分段计费”，学生最大的障碍是无法将冗长的文字规则转化为可视化的数学结构。对于“不足1千米按1千米计算”这种脱离常规四舍五入的进一法规则，理解起来存在困难，容易在计算分段界限时出错。

【教学应对】本学案采用“情境驱动—任务拆解—策略建模—反思提升”的路径，通过表格整理、线段图分析、小组辩论等方式，将隐性思维显性化，帮助学生跨越学习障碍。

五、教学目标

【核心目标】

1.【基础知识与技能】结合具体情境，能理解并运用“估大”和“估小”的策略解决购物中的“够不够”问题；能理解分段计费问题的收费方法，正确解答简单的三段式计费问题。

2.【重要过程与方法】经历信息的收集与整理（列表法、画图法）、问题的分析与解答、策略的比较与优化的全过程，掌握解决实际问题的一般步骤和基本策略，初步体会函数思想和优化思想。

3.【非常重要情感态度价值观】在解决真实问题的过程中，感受数学的实用价值，培养精打细算、合理消费的生活习惯和科学决策的意识。通过跨学科融合（如结合道德与法治中的诚信纳税、节约资源），提升综合素养。

六、教学重难点

【重点】掌握用估算解决实际问题的策略（根据问题选择“估大”或“估小”）；掌握分段计费问题的数量关系和分析方法。

【难点核心难点】理解估算策略的相对性和灵活性，能结合具体情境合情推理；理解分段计费中“段”的划分，尤其是“进一法”取整的规则及其对结果的影响。

七、教学准备

多媒体课件（包含超市购物场景视频、出租车计价器动态演示）、导学案（含学习任务单）、板贴（关键词：估大、估小、分段、进一法）。

八、教学实施过程（核心环节）

第一课时估算策略：超市里的数学智慧

（一）创设情境，任务驱动

上课伊始，播放一段精心剪辑的超市购物短视频：一位妈妈推着购物车，里面放着2袋大米、一些肉，她正在犹豫是否还要再买一盒鸡蛋。视频定格在收银台，屏幕显示出商品单价：大米30.6元/袋，肉26.5元/千克，鸡蛋10元/盒或20元/盒。教师抛出核心任务：“妈妈只带了100元，她买了2袋大米和0.8千克肉后，剩下的钱还够买一盒10元的鸡蛋吗？够买一盒20元的鸡蛋吗？”这个真实且具有挑战性的问题，瞬间点燃了学生的探究欲望。

（二）收集信息，整理策略

【基础阅读理解】

教师引导学生反复读题，并抛出关键问题：“题目信息比较多，有什么好办法能让我们看得更清楚？”在师生互动中，引出并板书【列表整理法】。学生在导学案上自主完成信息整理表：

商品

单价

数量

总价（暂不计算）

大米

30.6元/袋

2袋

？

肉

26.5元/千克

0.8千克

？

鸡蛋1

10元/盒

1盒

？

鸡蛋2

20元/盒

1盒

？

此环节不仅锻炼了学生收集、整理信息的能力，更渗透了“分类”和“有序”的数学思想，为解决复杂问题铺平了道路。

（三）探究新知，建构模型

【非常重要策略建模】

1.第一次探究：解决“够买10元鸡蛋吗？”

教师引导：“到底够不够呢？不要求我们算出精确的钱数，有没有更快、更方便的方法？”学生自然联想到“估算”。教师放手让学生小组合作，尝试用估算解决。

预设学生会出现多种估算方法。教师重点组织学生对两种典型策略进行辩论：

策略A（精确计算倾向）：30.6×2=61.2，26.5×0.8=21.2，61.2+21.2=82.4，100-82.4=17.6，17.6＞10，所以够。

策略B（估算）：30.6≈31，26.5≈27，0.8≈1，31×2=62，27×1=27，62+27=89，89+10=99，99＜100，所以够。

教师追问：“两种方法结论一致，但思路不同。估算的方法中，我们把单价都怎么处理了？（都估大了）为什么要把它们都估大？”

通过层层剥笋，师生共同总结出第一个重要策略：【估大法】。在判断“够”时，将所有的价格都适当估大，如果估大后的总价都不超过带的钱，那么在实际购买中，一定够。因为实际花的钱比我们估算的少。

2.第二次探究：解决“够买20元鸡蛋吗？”

有了第一次的经验，学生跃跃欲试。教师提示：“现在要判断够不够买20元的鸡蛋，还能把所有的价格都估大吗？”

学生尝试后产生认知冲突：如果把大米和肉都估大，大米31×2=62，肉27×1=27，62+27+20=109，109＞100，得出结论是“不够”。但这是真的吗？有没有可能估大后虽然超过了，但实际却刚好够呢？

教师引导学生换一个角度思考：如果要证明“不够”，我们应该怎么估？

通过小组讨论和教师点拨，学生豁然开朗，引出第二个重要策略：【估小法】。30.6≈30，26.5≈25，0.8≈0.8（或≈1，但为了证明不够，这里需精细处理），30×2=60，25×0.8=20，60+20=80，80+20=100，正好等于100。但这里需要注意，肉的实际单价是26.5元，我们把它估成了25元，实际价格会更高。所以实际总价一定大于80元，再加上20元的鸡蛋，实际总价一定大于100元。因此，结论是【不够】。

【难点突破高频考点】

教师引导学生对比两种估算方法，形成结构化认识：

判断“够”时，为了确保结论可靠，我们要把价钱【估大】，用放大镜看总价；

判断“不够”时，为了确保结论可靠，我们要把价钱【估小】，用缩小镜看总价。

估算不是随心所欲的近似，而是一种严谨的逻辑推理，要根据问题目的选择合适的策略。

（四）回顾反思，深化认知

教师带领学生回顾整个解题过程：“我们经历了哪几步？”师生共同总结出解决问题的一般步骤：【阅读理解】—【分析解答】—【回顾反思】。特别强调在“回顾反思”环节，要检验估算策略的合理性，思考“为什么这样估？”以及“换一种估法行不行？”。通过反思，学生对估算策略的适用性和局限性有了更深刻的理解。

第二课时分段计费：出租车里的数学奥秘

（一）生活引入，激活经验

课件播放一段城市街景和出租车内计价器的跳动视频，最后定格在收费标准公示牌上：“某市出租车收费标准：3千米以内7元；超过3千米的部分，每千米1.5元（不足1千米按1千米计算）。”教师提问：“同学们都坐过出租车，但你知道这串收费规则背后的数学秘密吗？今天我们就来当一回‘小小精算师’，帮王叔叔算算车费。”简洁有力的引入，将数学学习与生活经验无缝对接。

（二）阅读理解，剖析规则

【基础难点】

这是整个教学中最关键的环节。教师引导学生逐字逐句分析收费标准，尤其聚焦于理解难点。

1.分段解读：通过线段图直观演示。教师在黑板上画一条直线，左端标为0，在3千米处画一个明显的节点。解释“3千米以内7元”指的是从0到3千米（包括3千米）这一段，无论走2.1千米还是3千米，都只收7元，这叫【起步价】。

2.重点突破“不足1千米按1千米计算”：这是学生理解的死穴。教师举例：行驶了3.2千米，超过的部分是0.2千米，不足1千米，但按1千米收费；行驶了4.8千米，超过的部分是1.8千米，包含了两个不足1千米的部分，要按2千米收费。教师引导学生归纳：这其实就是我们学过的【进一法】。为了加深理解，让学生举例说明，如6.1千米、7.8千米分别应按多少千米收费。

（三）分析解答，探究方法

【重要多种解法】

出示问题：王叔叔乘坐了6.3千米，要付多少钱？

学生独立尝试，教师巡视，收集典型解法。

解法一（分段法，最直观）：这是绝大多数学生采用的方法。先找分界点：3千米。7元（第一段）。再看超出部分：6.3－3＝3.3（千米），3.3千米按进一法应看作4千米。超出部分费用：1.5×4＝6（元）。总费用：7＋6＝13（元）。

解法二（先假设后调整法）：少数思维活跃的学生可能会想出。假设全程都按每千米1.5元计算：1.5×6.3，但6.3需按7千米算，所以1.5×7＝10.5（元）。但这样就把前3千米少算了，前3千米实际应收7元，但按1.5元/千米只收了1.5×3＝4.5（元），少收了7－4.5＝2.5（元）。所以要补回来：10.5＋2.5＝13（元）。

组织全班学生对这两种方法进行对比分析。教师将两种方法的线段图并置板书，引导学生发现：无论哪种方法，本质都是将总路程分成“起步价内”和“起步价外”两段来计算，体现了【化繁为简、分段处理】的数学思想。

（四）回顾反思，模型推广

1.【非常重要模型意识】

完成计算后，教师引导学生完成教材上的出租车价格表（行驶里程1km,2km,3km,4km,5km,6km对应的费用）。观察表格，你有什么发现？学生发现：前3km费用不变（都是7元），从第4km开始，每增加1km，费用增加1.5元。这个发现初步渗透了函数的增减性和分段常量的思想。

2.模型推广：

教师提问：“生活中还有哪些地方用到了分段计费？”学生联系生活实际，纷纷举例：水费、电费、天然气费、电话费、停车费、快递费……教师顺势展示一张水费收费通知单，引导学生阅读上面的阶梯水价说明。

【热点跨学科融合】

结合“阶梯水价”或“阶梯电价”，教师进行简短的价值引领：“为什么要实行阶梯价格？是为了鼓励大家节约用水、节约用电，这是一种绿色环保的生活方式。我们学习数学，不仅要会算账，更要懂得算账背后的社会责任。”此举将数学知识与道德与法治、环保教育有机融合，提升了课堂的育人高度。

（五）分层练习，巩固提升

【基础练习】某市自来水收费规定：每月用水量不超过12吨，每吨2.5元；超过12吨的部分，每吨3.8元。小明家上月用水11吨，应缴水费多少元？小红家上月用水17吨，应缴水费多少元？（旨在巩固分段计算的基本方法）

【重要变式练习】某快递公司收费规定：1kg以内收费10元；超过1kg的部分，每千克收费2.5元（不足1kg按1kg算）。李阿姨寄了一个包裹，重3.8kg，她需要付多少运费？（旨在巩固“进一法”在分段计费中的应用，强化段与段之间的界限处理。）

【拓展练习热点】某停车场收费标准：半小时内免费，超过半小时不足1小时按1小时收费5元，以后每小时收费3元（不足1小时按1小时算）。王叔叔停了2小时18分，他该付多少停车费？如果付了20元，他最多能停多长时间？（旨在解决更复杂的、