2026初中数学58种模型：50、瓜豆原理（旋转相似）-曲线轨迹

旋转变换

瓜豆原理——【曲线轨迹】

例1.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(2,3),P点是以点A为圆心,半径为2的圆

上的任意动点,

（1）以QP为直角边作等腰直角三角形POQ,且Q点在第二象限内,求AQ的最小值及最大值

（2）以OQ为斜边边作等腰直角三角形POQ,且Q点在第三象限内,求AQ的最小值及最大值

定角定比，主从联动

旋转变换

例2.如图,点A是双曲线y=在第一象限上的动点,连接AO并延长交另一个分支于点B,

（1）以AB为斜边作等腰Rt△ABC,点C在第二象限,随着点A的运动,点C的位置也不断变化,

写出C点的轨迹在坐标系中所对函数的解析式

（2）以AB为边作等边△ABC,C在第三象限,写出

C点的轨迹在坐标系中所对函数的解析式

（3）以AB为底边作等腰△ABC,∠C=120°在第三象限,写出

C点的轨迹在坐标系中所对函数的解析式

定角定比，主从联动

旋转变换

例3.如图,点C为半圆AB的三等分点,半径为2,点P为弧AC上的一个动点,连接PC并延

长,作BQ⊥PC于Q,则点Q的路径长为

【练习】

1.如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连结AB，作等边

△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值与最小值．

定角定比，主从联动

旋转变换

2.如图,点C是半圆上一动点,以AC为边向下作正方形ACDE,连OE,若AB=4m,则OE的最大值

为

3.如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1．点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等

腰直角△PBC（点P，B，C按逆时针方向排列），则线段AC长的取值范围是_____________．

定角定比，主从联动

旋转变换

4.如图,AB为⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AB=6,BC=3,P是⊙O上的一个动点,连接CP,

以CP为底边在PC的上方作等腰三角形PCD,且使∠DCP=30°,连接OD,OD长的最小值为

5.如图，AB是⊙的直径，点C在AB的延长线上，AB＝BC＝10，P是⊙O上一动点，连接PC，

以PC为边作△PCD，使∠PDC＝90°，tan∠DPC＝，P，C，D三点为逆时针顺序．连接OD，

则线段OD长的最小值是________．

定角定比，主从联动

旋转变换

6.如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2．以点O为圆心，OA长为半径的圆为⊙O．在⊙O

上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P，B，C三点为逆时针顺序．连

结AC，求AC长的取值范围．

7.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点D是以点A为圆心,4为半径的圆上一点,连

接BD,点M为BD的中点,则线段CM长度的最大值为多少?

8.在Rt△OAB中,∠AOB=90°,AO=4,点C是以点O为圆心,2为半径的圆上一点,连

定角定比，主从联动

旋转变换

接AC,点M为AC的中点,则线段BM长度的最大值为多少?

9.如图,以O为圆心,OB长为半径画扇形OAB,其中∠AOB=90°,延长OB至C,使得OB=2BC=6,

点D是弧AB上一点,连结CD,以CD为斜边向上作直角三角形DCP,且cos∠DCP=，连结

OP,则OP的最大值为（）

(A)3

(B)12

(C)6+

(D)6+2

定角定比，主从联动

旋转变换

定角定比，主从联动

旋转变换

10.如图,线段AB=4,M为AB的中点,动点P到点M的距离是1,连接PB,线段PB绕点P逆时针

旋转90°得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是

11.四边形ABCD是边长为4的正方形,点P是平面内一点,且满足BP⊥PC.现将点P绕点D顺

时针旋转90度到点Q,则CQ的最大值为

定角定比，主从联动

旋转变换

12.如图,三角形ABC中,AB=3,AC=2以BC为边做正方形BCDE,连接正方形的对

角线交于点O,再连接AO,则AO的最大值为

定角定比，主从联动

旋转变换

13.(2018.南通中考）如图,正方形ABCD中,AB=25,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,

连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF,则线段OF长的最小值为

定角定比，主从联动

旋转变换

定角定比，主从联动

14.如图,一次函数y=2x与反比例函数y=k