九年级上册数学第四章《图形的相似》主题复习导学案（北师大版）

九年级上册数学第四章《图形的相似》主题复习导学案（北师大版）

一、课标解读与内容定位

本章内容属于“图形与几何”领域的重要部分，是打通全等三角形与三角函数、函数综合应用的关键桥梁。根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本章复习不仅要巩固“对应角相等、对应边成比例”的核心概念，更要在“图形的变化”中理解“相似变换”的不变量与不变性。本导学案旨在通过大单元视角，将比例线段、相似三角形的判定与性质、位似图形以及实际应用融为一体，构建结构化的知识体系，发展学生的几何直观、推理能力和模型观念。【非常重要】【基础】

二、复习目标锁定

（一）知识与技能目标

1.系统梳理成比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形的判定定理（两角、两边夹角、三边）与性质定理（对应线段比、周长比、面积比）。

2.精准识别“A型”、“X型”、“母子型”、“旋转型”等基本相似图形，并能从中抽象出数学模型。

3.理解位似图形的概念与性质，掌握在坐标系中位似变换的坐标规律（k或-k）。【重要】

4.能运用相似三角形的知识解决测高、测宽等实际问题，体会数学建模过程。【高频考点】

（二）核心素养目标

1.通过图形构造与变换，培养逻辑推理能力（推理能力）。

2.通过动点问题与存在性问题的探究，渗透分类讨论与方程思想（数学思想）。

3.通过对黄金分割、视点盲区等问题的分析，感受数学的文化价值与生活应用（应用意识）。

三、知识网络构建（思维导图式梳理）

请同学们在复习开始前，尝试闭合书本，回忆本章脉络，然后对照以下框架进行自我诊断：

（一）源头：比例与比例线段

比例的基本性质（ad=bc）、合比性质、等比性质。

黄金分割（点、比、值0.618）。

平行线分线段成比例基本事实及推论（重点在于“对应线段”的识别）。【基础】

（二）核心：相似三角形的判定

预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所构成的三角形与原三角形相似。【非常重要】

判定定理1：两角分别相等。

判定定理2：两边成比例且夹角相等。（注意“夹角”陷阱）【高频考点】【难点】

判定定理3：三边成比例。

直角三角形的特殊判定方法（HL相似）。

（三）内核：相似三角形的性质

对应角相等，对应边成比例。

对应高、中线、角平分线的比等于相似比。

周长比等于相似比。

面积比等于相似比的平方。【非常重要】

（四）延伸与拓展

相似多边形（性质与判定）。

图形的位似（位似中心、位似比、坐标系中的变换）。【热点】

四、复习实施过程（核心环节）

本环节采用“问题链驱动+变式训练”的模式，将知识点融会贯通。

（一）基础通关：核心概念再确认

本环节旨在扫清知识盲区，确保基本结论的准确记忆与简单应用。

1.比例线段的判断：

已知线段a=2cm，b=3cm，c=4cm，d=6cm。问它们是否成比例？此时若有a:b=c:d，则d叫做什么？

（设计意图：复习“第四比例项”概念，强调单位统一与计算顺序。）

2.黄金分割的应用：

电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体。若舞台AB长为20米，试计算主持人应离A点（或B点）至少多少米？

（设计意图：联系生活实际，巩固黄金分割的计算，注意“较长段”与“较短段”的分类。）

3.平行线分线段成比例的直接运用：

如图（1），直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于D、E、F。已知AB=2，BC=3，DE=1.5，求EF的长。

（设计意图：直接运用基本事实，强调“对应”关系。）

（二）判定突破：寻找相似的条件

本环节精选典型图形，训练学生从复杂图形中剥离出基本模型的能力。

1.【重要模型·双垂直】如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。

问题1：图中有几对相似三角形？请写出来。（Rt△ACD∽Rt△ABC，Rt△CBD∽Rt△ABC，Rt△ACD∽Rt△CBD）【非常重要】

问题2：若AD=4，BD=9，求CD和BC的长。

（分析：利用“射影定理”模型，CD²=AD·BD，BC²=BD·AB。这是面积法与相似比的经典结合。）

2.【难点突破·动态相似】如图（3），在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C以4cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，经过几秒钟后△PBQ与△ABC相似？

问题预设：学生容易忽略对应点的变化。

引导策略：设时间为t，则AP=2t，BP=8-2t，BQ=4t。由于∠B是公共角，只需分两种情况讨论：

①当△PBQ∽△ABC时，对应边为BP/BA=BQ/BC；

②当△QBP∽△ABC时，对应边为BQ/BA=BP/BC。

（设计意图：渗透分类讨论思想，明确“夹角相等”条件下的两种对应可能，这是中考的高频易错点。）【高频考点】【难点】

（三）性质深研：比例与面积的转化

本环节重点训练相似三角形性质的综合运用，特别是面积比与线段比的转化。

1.【热点题型】如图（4），在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，DE:EC=2:1。

问题1：求证△ABF∽△EDF。

问题2：求△DEF与△ABF的周长比。

问题3：若△DEF的面积为4，求平行四边形ABCD的面积。

解题路径分析：

第1问：利用AB∥CD，得内错角相等，即可得证。

第2问：相似比等于对应边比，即DF/BF=DE/AB=2/3。

第3问：这是本环节的核心。由相似比2:3得面积比S△DEF:S△ABF=4:9，故S△ABF=9。注意到△ABF与△ADF等高（以A为顶点，底BF与FD共线），故S△ABF:S△ADF=BF:FD=3:2，可求S△ADF=6。因此△ABD面积为15，平行四边形面积为30。

（设计意图：通过面积比的层层递进，综合运用相似性质与等高模型，打破学生“只知相似面积比，不知转化”的思维定势。）【非常重要】

（四）位似拓展：坐标与变换

本环节聚焦“图形与坐标”的关联。

1.基础回顾：

在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，如果以原点O为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，那么点A的对应点A‘的坐标是什么？（注意：答案是(4,6)或(-4,-6)，强调同侧与异侧两种情况。）【热点】

2.应用提升：

如图（5），已知△ABC的三个顶点坐标，以点P(1,1)为位似中心，画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比为2，且与△ABC在位似中心同侧。

（设计意图：突破“以原点为中心”的常规，训练学生对任意点位似中心的理解，通过“加减平移”思想转化为坐标运算，提升综合素养。）

（五）建模应用：测量与生活

本环节通过经典问题，训练学生将实际问题抽象为相似模型的能力。

1.标杆法测高：如图（6），为了测量一棵树CD的高度，小明在距树24米处立了一根高为2米的标杆EF，然后小明前后调整位置，当他站在B处时，眼睛A、标杆顶E、树顶C恰好在一条直线上。已知AB=1.6米，BF=2米，求树高。

建模分析：过A作水平线，构造包含两个相似三角形的图形（通常利用人与标杆、树之间的平行关系构造“A型”相似）。这是中考解答题的标准模板。【高频考点】

2.视点与盲区：一辆汽车在隧道前匀速行驶，其车头B处有一盏灯，发出的光线经过隧道口C点照射到正前方A处的地面。请结合相似三角形解释“盲区”的形成。

（设计意图：跨学科融合，将物理的光学直线传播与数学相似结合，体现知识的综合应用价值。）

五、核心思想方法提炼

（一）转化思想

将多边形问题转化为三角形问题；将复杂的图形分解为几个基本相似模型（如“K型图”、“一线三等角”）。【重要】

（二）方程思想

在已知比例关系求线段长时，通常设未知数，利用比例式或面积关系建立方程求解。如测高问题中的等量关系。

（三）分类讨论

1.在没有明确对应关系时，三角形相似需要分类（如动点问题）。

2.位似中心在图形同侧或异侧的分类。

3.比例线段的顺序分类。

六、易错点与难点突破专项

【易错点1】“两边成比例且夹角相等”中的“夹角”必须是两边的公共角。例如在△ABC和△DEF中，如果AB/DE=AC/DF，而∠B=∠E，这两个三角形不一定相似，因为∠B不是AB和AC的夹角。

【易错点2】面积比等于相似比的平方，而不是等于相似比。

【易错点3】位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，它们必须满足“对应点连线交于一点”。

【难点攻关】“一线三等角”模型的构建与识别。例如在矩形或等边三角形背景下的动点问题，当出现三个相等的角时，往往隐藏着三角形相似，从而得到比例式，为函数解析式的建立提供依据。

七、分层达标检测

（一）基础巩固（面向全体）

1.已知x/2=y/3，则(x+y)/y=_______。

2.两个相似三角形的相似比为2:3，它们的周长之差为5cm，则较大的三角形的周长为_______。

3.如图，D是△ABC边AB上一点，若∠ACD=∠B，AD=2，BD=3，则AC的长为_______。

（二）能力提升（面向中等）

1.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=(1/4)CD。求证：△ABE∽△ECF。

2.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、平面镜。请你设计一种方案，画出图形，并说明测量原理（用相似三角形的知识解释）。

（三）综合拓展（面向优秀）

1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P在边BC上运动（不与B、C重合），连接AP，过点P作PQ⊥AP，交CD于点Q。

（1）求证：△ABP∽△PCQ；

（2）设BP=x，CQ=y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值；

（3）当点P运动到何处时，△ABP与△PCQ的面积相等？

2.（跨学科融合）物理中的凸透镜成像规律：当物距u大于像距v时，成倒立缩小的实像。其光路图遵循相似三角形的原理。已知蜡烛高度AB为10cm，火焰到凸透镜中心O的距离（物距）u=30cm，光屏到透镜中心O的距离（像距）v=15cm，且主光轴与AB垂直，与像A‘B’也垂直。请在脑海中构建图形，计算火焰像的高度。

八、课堂小结与反思

请同学们课后从以下三个维度进行复盘：

知识维度：我是否完整地构建了本章的知识树？对于“A型”、“X型”、“母子型”这些基本图形，我是否一眼就能认出来？

方法维度：在面对一道相似综合题时