线性基础代数23

2.1行列式的定义第2章行列式1.二阶行列式的引入类似地，也可以得到：

我们首先回顾用Gauss消元法求解二元线性方程组的解法：两式相减，得到：1.二阶行列式的引入(续)当时，解的表达式的分母由方程组的四个未知数的系数确定.二元线性方程组记号数表

的解为我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.表达式称为由该数表所确定的二阶行列式，即2.二阶行列式的定义定义2.1由四个数排成二行二列(横排称为行、竖排称为列)的数表表示代数式，称这个数表为一个二阶行列式，并记作其中，称为行列式的元素，

i为行标，表明元素位于第i行；

j为列标，表明元素位于第j

列.3.二阶行列式的计算对角线法则：例如：主对角线副对角线即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积.

二元线性方程组若令(方程组的系数行列式)则上述二元线性方程组的解可表示为4.二阶行列式的一个应用5.例1例1

求解二元一次线性方程组

解：因为所以6.三阶行列式的定义设有9个数排成三行三列的数表称为由以上3行3列数表所确定的一个三阶行列式.6.三阶行列式的定义(续)(1)沙路法

(2)对角线法则红线上三元素的乘积冠以正号蓝线上三元素的乘积冠以负号6.三阶行列式的定义(续)注：(1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(2)三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.6.三阶行列式的定义(续)7.例2

例2

计算三阶行列式

解：

例3求解方程

解：方程左端为由此解得

8.例39.三阶行列式的一个应用再设假设三元一次线性方程组的系数行列式9.三阶行列式的一个应用(续)的解为则用消元方法可得三元线性方程组10.引例共有种放法，可以组成6个没有重复数字的三位数．

引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法

解：11.全排列定义2.2把n个不同的元素排成一排，称为一个n元排列(或简称排列).同理：问题：

n个不同的元素排成一排，共有几种不同的排法？

n个不同的元素的所有排列的总数，通常用表示.由引例可知：所有6种不同的排法中，只有一种排法(123)中的数字是按从小到大的自然顺序排列的，而其他排列中都有大的数排在小的数之前.因此大部分的排列都不是“顺序”，而是“逆序”.

3个不同的元素一共有3!=6种不同的排法123，132，213，231，312，32111.全排列规定：

各元素之间有一个标准顺序，n个不同的自然数，规定由小到大为标准顺序．12.逆序数按照这个规定，排列123······n称为一个标准排列(或自然排列)．例如：排列32514中，32514逆序逆序逆序定义2.3当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素组成一个逆序.3251412.逆序数(续)定义2.3(续)一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.通常用故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.

例如：排列32514中，31

定义2.3(续)逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.0

来表示排列的逆序数.0113.计算排列逆序数的方法方法：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码的个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这些元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.14.例4

例4

求排列32514的逆序数.

解：在排列32514中：3排在首位，逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3，故逆序数为1;5的前面没有比5大的数，其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个，故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个，故逆序数为1.32514于是排列32514的逆序数为

这个排列是奇排列.0103115.例5

例5

计算下列排列的的逆序数，并讨论它们的奇偶性：(1)217986354

解：此排列是偶排列.15.例5(续)

解：当时，此排列是偶排列.当时，此排列是奇排列.(2)15.例5(续)

解：当为偶数时，此排列是偶排列.当为奇数时，此排列是奇排列.(3)n

阶行列式问题1:由哪些项组成？问题2:总项数为多少？问题3:每项符号如何确定？16.n阶行列式的引入16.n阶行列式的引入(续)考察三阶行列式总结：(1)三阶行列式共有

项，即6项．(2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．(3)每一项可以写成（正负号除外），其中是1、2、3的某个排列.(4)当是偶排列时，对应的项取正号；当是奇排列时，对应的项取负号.

例如：的列标排列的逆序数：偶排列，符号：+的列标排列的逆序数：奇排列，符号：-所以有16.n阶行列式的引入(续)17.n阶行列式的定义

定义2.4由个数排成的n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和记作也简记为，数称为行列式的元素.其中，为自然数的一个排列，为这个排列的逆序数.

也就是说，17.n阶行列式的定义(续)注：

(1)n阶行列式是

项的代数和.

(2)n阶行列式的每一项都是位于不同行,不同列的n个元素的乘积.

(3)前面的符号为.

(4)行列式是一种特定的算式，它首先是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次线性方程组的需要而定义的，但其用途大大拓广了.17.n阶行列式的定义(续)18.例6例6写出四阶行列式中含有因子

的项.解：和

答：符号

可以有两种理解：若理解成绝对值，则

；若理解成一阶行列式，则

.思考：

成立吗？注：当n=1时，一阶行列式|a|=a，注意不要与绝对值的记号相混淆.例如：一阶行列式

.19.知识点对比行数不等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式20.方阵的行列式若则称矩阵A为非奇异矩阵,否则称为奇异矩阵.定义2.5由

n阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或detA.例如：21.例7

例7

计算上三角矩阵A=的行列式.

解：展开式中项的一般形式是因此，只需考虑所以，可能不为零的项只有.21.例7(续)于是有例如：上三角行列式同理可得下三角行列式特别地，对角行列式21.例7(续)22.例8例8

计算副对角行列式.

解：展开式中项的一般形式是若，则，从而这个项为零，所以只用考虑的项.同理可知，只用考虑的项.也就是说，行列式展开式中可能不为零只有.22.例8(续)于是有23.例9例9

证明

.

证明：若记，则有于是有例如：23.例9(续)24.四个结论(1)对角行列式(2)副对角行列式

(3)上三角行列式（主对角线下侧元素都为0）(4)下三角行列式（主对角线上侧元素都为0）24.四个结论(续)

(1)二阶和三阶行列式是由解二元和三元一次线性方程组引入的.

(2)二阶与三阶行列式的计算——对角线法则.(4)计算排列逆序数.(5)排列具有奇偶性.(3)n个不同的元素的所有排列总数为.(6)行列式是一种特定的代数式.(7)n阶行列式共有项的代数和，每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，其正负号由下标排列的逆序数决定.(8)四种特殊的行列式.25.本节小结26.思考题1已知，求中的系数.解：中含的项有两项：故中的系数为.试判断和是否都是六阶行列式中的项.解：下标的逆序数为所以，是六阶行列式中的项.而下标的逆序数如下计算所以，