用相似三角形解决问题（讲义）-苏科版九年级《数学》下册

专题6.5用相似三角形解决问题（举一反三讲义）

【苏科版】

飕题型归纳

【题型1灯光下的测量问题】...........................................................................1

【题型2标杆测量问题】................................................................................7

【题型3利用镜子进行测量】..........................................................................II

【题型4利用视线进行测量】..........................................................................17

【题型5古典文化中的测量问题】.....................................................................22

【题型6光学成像中的测量问题】.....................................................................26

【题型7裁剪问题】...................................................................................30

【题型8三角形中内接矩形】..........................................................................34

【题型9实物抽象HI相似问题】.......................................................................40

举一反三

知识点相似三角形的应用

（1）利用影长测量物体的高度

①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相

笠和“在同一时刻物而与匿氐的匕相等”的原理解决；

②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长，再计算出被测量物的长度.

⑵利用相似测量河的宽度（测量距离）

①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“4”型或“X”型相似图,三点应在一条直线

上，必须保证在一条直线上,为了使问题简便，尽显构造直角三角形;

②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度.

⑶借助标杆或直尺测量物体的高度

利用杆或直测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三

角形，用相似三角形对应边的比相笠的性质求物体的高度.

【题型1灯光下的测量问题】

【例1】如图，在同一水平地面上竖直地立有两个高度相同的路灯，已知两路灯之间的水平距离是24米，路

灯灯光正好照在地面上的E处和尸处，且8尸==4E与Cr相交于点0.

（1）若AE1C尸,求路灯AB的高度;

（2）连接。氏若48=8米，求0B的值.

【答案】（1）16米

崎

【分析】本题考查相似三角形的应用，勾股定理.

（1）根据题意得到8F===8米，BE=OF=16米，证明△OEF-△8£71,△

3OFEDFC

得畀翁黑=祟讲而喷吟，讲而可得答案：

（2）过点。作。“18。于点儿则力BIIOHIICD,证明△OEH〜AHEB,&OFHFCFD,得器=瞿，襄=曾，

ABEBCDFD

进而得瞿=襄，进而可求得EH=/H=：E尸=4米，BH=BF+FH=12（米），。"="詈=2,再由

noFD2BE

勾股定理求得08=y/BH2+OH2=2后（米）.

【详解】（1）解：由题意知：80=24米，

^BF=FE=DE,

团=8米，16米,

=FE=DE=-3BDBE=DF=

即IE1CF,

0ZEOF=Z.ABE=乙CDF=90°,

ySL^-OEF=Z.BEA,乙OFE=(DFC,

0AOEFBEA,AOFEsXDFC,

理=0,即生=丝,

ABDFAB16

又(LAB=CD,

团AB=CD=16米，

答：路灯48的高为16米;

（2）解：由题意得=CD=8米，BF=FE=DE=8米，8E=。F=16米,

^AB\\OH\\CD,

（HAOEHAEB,△OFHCFD,

0/i_EH_OH_FH

AB~EB,CD~FD'

EBFD

团EH=FH=^EF=4米，BH=BF+FH=12（米），

国。"=筌=誓=2（米）,

团在RtaOB"中，OB=+QH?=7童+22=2府（米）

【变式1-1]（24-25九年级上•陕西咸阳•期中）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房

间里，小明想利用相关数学知识测最这个路灯的高.如图，路灯顶部4处发光，光线透过窗子DC照亮地面

的长度为EF（点心。、E在一条直线上，点/、C、尸在一条直线上），小明测得窗户距离地面高度。。=1m,

窗高CO=1.5m,OE=lm,FF=4m,其中3、0、E、小四点在同一条直线上，C、D、。三点在同一条直

线上，且A818E,CO10E.求出路灯的高度48.

【答案】路灯的高度为4m

【分析】本题考杳了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键.根据相似三

角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】解：•••力B1BE,C010E,

/.ABE=乙DOE=90°,

XvLAEB=乙DEO,乙AFB=乙CFO,

•••△DOE•-'AABE»△COF-'AABF,

£9_OFCO_OF

AB~BE'AB~BF

111.5+11+4

nn1—1

ABBEABBE+4

解得：AB=BE=4(m),

答：路灯的IWJ度力8为4m.

【变式1-2】如图，小华在晚上由路灯人走向路灯4,当她走到P点时，发现身后影子的顶端刚好接触到路

灯A的底部,当她向前再步行12m到Q点时，发现身前影子的顶端刚好接触到路灯4的底部.已知小华的

身高是1.6m,两路灯的高度都是9.6m.

N

、

p£02

12

（1）当AP=QB=xm时，求工的值；

⑵当小华在路灯人与路灯"之间走动时，在两灯光下的影子长是变化的，那么两个影子长的和是否发生变

化？若不变，求出两个影子长的和：若发生变化，请说明理由.

【答案】⑴*=3

⑵不发生变化，两个影子长的和是3.6m

【分析】（1）证明〜△AB。，利用对应边对应成比例列式计算即可；

（2）根据题意作出图形，找出其中的相似三角形，根据三角形的相似比即可求出影子的长度和.

【详解】（1）解：13MP1AB,DB±AB,

（3MPIID8,

（3A/1PMABD,

曜吟即送

2X+12

解得：x=3；

（2）解：不会发生变化;

如图，当小华在4,3之间走动时，在A路灯下的影子长度为。"，在3路灯下的影子长度为0G,

^AD||0E||BC,

0AAHDOHEABGCOGE,

n0E_OHOE_OG

AD~AH'CB~BGf

则竺二"，竺二"，整理得：OH—AH,OG=-BG,

9.6AH9.6BG66

WH+OG=；G4"+BG）,

团GH=：G48+GH）,

6

由（1）得：48=12+3+3=18（m）,

=7（18+（7W）,解得：3.6m,

^GH6GH=

回两个影子的长的和不会变，一直都是3.6m.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，

以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形

结合的思想方法.

【变式1-31（24-25九年级上•四川成都•期末）在成都未来科技城福田T。。地铁站台，以银杏为设计元素的“科

技树”，像一个个超大雨伞，兼具集雨水收集、灯光联动等功能，实现站台整体的绿色低碳（如图1）.在

数学活动课中，小明利用硬纸板自制RtaCHM测量“科技树”的高度，即4G的长（如图2）：已知，在

中，C”=1.2米，HM=0.5米，巴尸是树干上两点，目测点C到地面的距离CO=E尸=2米，到树干的水平

距离=108.2米，他通过调整位置，使斜边CM与点E在同一直线上，另一条直角边CW与“科技树〃左侧最

高点人在同一直线上，树冠小的正投影点G到树干底端F距离即GF=17米.求“科技树〃力G的高度.

A

【分析】本题考杳了相似三角形的应用，矩形的判定与性质，设4G交CE于点T,则有四边形CDGT,四边形

CDFE,四边形E"GT是矩形，故有C。=TG=EF=2米，ET=FG=17米，然后证明^CHMCTA,根

据性质得器=音，最后代入求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】解：如图，设AG交CE于点T,

由题意可得：四边形CDGT,四边形CDrE,四边形EFGT是矩形,

BCD=TG=EF=2（米），ET=FG=17（米），

0C£=108.2米，

□CT=CE-ET=108.2-17=91.2（米），

0Z/7CM=LACT,4MHe=Z-ATC=90°,

0ACHM〜ACTA,

^AT=38（米），

^AG=AT+TG=38+2=40（米），

答："科技树〃4G的高度为40米.

【题型2标杆测量问题】

【例2】（2025•河南周口一模）南阳解放纪念碑位于中国历史文化名城南阳市白河游览区，是南阳一处重要

的爱国主义和革命传统教育基地.某综合实践学习小组在学习了《锐角三角函数》以后，开展测量物体高

度的实践活动.他们把“测量南阳解放纪念碑的高度''作为一项课题，利用课余时间完成了实践报告，并形成

了如下活动报告.

活动项目测量南阳解放纪念碑的高度

活动方案"测角仪"方案

4

方案示意图

FD13

①选取与纪念碑底座点B位于同一水平地面的0处立一标杆CD；

②测量8,0两点间的距离；

实施过程③在尸处从点E看到标杆顶点C与纪念碑顶点力在同一条直线上；

④测量D,F两点间的距离;

⑤测量£到地面的高度EF

测量数据①CO=2.4m；（2）BD=227m；@DF=3m；@EF=1.6m

说明①图上所有点均在同一平面内；②AB,CD,E/均与地面垂直

根据活动报告，求南阳解放纪念碑A8的高度（结果精确到0.1m）.

【答案】约为62.9m

【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点E作EN_L/R于点N,交CD于点M,则四边形EFCM

和四边形8DMN均为矩形，得MN=BD=227m,EM=DF=3m,BN=MD=EF=1.6m,即得CM=

CD-MD=0.8m,进而由△ECM64N得胃=翳，代入计算求出AN即可求解，正确作出辅助线是解题

的关键.

【详解】解：如图，过点E作EN1AB于点N,交。。于点M,则四边形EFDM和四边形80MN均为矩形，

FDB•••MN=BD=227m,EM=DF=3m,BN=MD=EF=1.6m,

(3CM=CD-MD=2.4-1.6=0.8m,

vCM||4N,

ECMEAN»

CM_EM

,•AN~EN'

.OB_3

•'4V-227+3’

,融=0.8x(227+3；6i.33m.

3

•••AB=AN+ND=61.33+1.6。62.9m,

答：南阳解放纪念碑/B的高度约为62.9m.

【变式2-1](24-25九年级上•陕西咸阳・期末)一个阳光明媚的午后，莹莹游玩期间，想测量一座信号塔的

高度，出于安全考虑，莹莹不能到达信号塔的正下方;于是她决定利用太阳光线来进行测量.如图，她在

地面上的点。处竖立一根长为4.5米的标杆C。，此时发现标杆CD与塔力8在太阳光下的影子末端恰好重合于

地面上的点E处，已知8、0、E三点在一条直线上，ABCD1BE,用测距仪测得BD=49.5米.

⑴请在图中画出标杆与塔力B在太阳光下的影子末端E；

(2)若测得此刻OE=5.5米，请你求出信号塔的高度力从

【答案】(1)见解析

(2)45米

【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质.

(1)利用中心投影的性质画出图形：

（2）证明〜△E84得詈=詈，再代值计算即可得力B的值.

Aoco

【详解】（1）解•：如图，线段。E即为所求，

0AEDC〜EBAt

AB5.5+49.5

团4B=45（米）.

答：信号塔的高度48的长为45米.

【变式2-2］（24-25九年级上•山西晋中•期中）太谷鼓楼位于山西省晋中市太谷区旧城十字街中心，始建于

明万历四十三年，是晋汾地区鼓楼建筑中的代表作品，鼓楼是太谷的象征，有风眼之称.某校数学兴趣小

组决定采用如下方法来测显鼓楼的高度.如图2,该小组成员选取与底端8在同一水平地面上的E,G两点,

分别垂直地面竖立两根高为2m的标杆“和G”，两标杆间隔EG约为13.5m.从标杆“后退1.5m到点。处（即

ED=1.5m）,从点。处观察顶端4处，使力、F、。三点共线；从标杆GH后退3m到点C处（即CG=3m）,

从点C处观察顶端4处，使4、H、C三点共线，其中点4、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内.请根据

上述测量数据，求鼓楼48的高度.

【答案】鼓楼48的高度为20m.

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，设8。=xm,则BC=8。+DG+CG=%+13.5-1.54-3=

（x-F15）m,由AB18C,EF1BC,^ABWEF,证明△43。得到三=",同理得到2=上，

ABXAbX+15

进而建立方程求出工的值，然后代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】解：设8D=xm,则BC=8D+DG+CG=x+13.5-1.5+3=(x+15)m,

团AB1BC,EF1BC,

^ABWEF,

[?]△ABDFED,

gEFDE21.5

喘=而,即Hn方

同理可证△4BCHGC,

0^=—,即三==-,

ABBCABx+15

0^=—,解得x=15,

xx+15

经检验，x=15是原方程的解，

■=三，

AB15

团4B=20(m)>

回鼓楼48的高度为20m.

【变式2-3]如图1,4B为路灯主杆，8C为路灯的悬臂，48=4.6m,8c=0.5m.MN为足够长的标杆，标

杆垂直地面且挂有若干个灯筑.已知于点8,AM=4.5m,高度为1.6m的小艺同学沿地面走着

去看灯笼与路灯C,GD=2m,绘制示意图(如图2),G,。，〃三点共线，“0E=90咀WFH=

乙EDH,连结CH能满足△CD”与点。、E、”为顶点的三角形相似，此时所看到的灯笼厂与〃点的距离为_

【答案】5

【分析】过。作CN1G”于点N,证明ACDN〜即可求得结果.

【详解】过C作CN_LGH于点N,

配W=BG=AB-AG=4.6-1.6=3(m),

团BC=GN=0.5(m),GH=AM=4.5(m),

团N”=GH—GN=4(ni),DN=DG—GN=1.5(m),

WH=NH-ND=4-1.5=2.5(m),

0ZCDE=90°,

0ZCD/V+Z.EDH=90°,

⑦乙CDN+Z.DCN=90°,

团4DON=乙EDH,

^DFH=乙EDH,

©乙DCN=乙DFH,

©乙CND=/-FHD=90°,

[?)△CDNFDH,

胜=丝，

FHDH

MH=5(m),

故答案为：5.

【点睛】本题考杳了相似三角形的应用，解题的关键在于构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定定理.

【题型3利用镜子进行测量】

【例3】塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔〃和塔上最显著的标记.如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混

合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸.小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度.

信息传递

,法线：过入射点并垂直于镜面的直线。

入射角：法线N

入射光线与法

线的夹角。

反射角：

反射光线与法

隘线的夹角C

图①图②

【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入

射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角;

【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔CD的高度，他先在地面点P处平放一面镜子，然后沿直线CP退

至点力处，此时眼睛夕恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端0.经测最，小明的眼睛到地面的距离AB=1.6m,

AP=1.2m,CP=57.0m,求北寺塔CD的高度；

【解决问题】小明再将镜子移至直线力C上的点Q处，当他回到点4处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部£

①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜了•位置的点Q（不写作法，保留作图痕迹）：

②经测量，AQ=1.5m,求塔刹DE的高度（精确到0.1m）.

【答案】探索活动：北寺塔CD的高度为76m；解决问题：①见解析；②塔刹DE的高度为15.5m

【分析】

本题考查了图形的相似和尺规作图，解题的关键在于读懂题意，正确作图.

［探索活动］由题意知，乙APB=LCPD,乙BAP=^DCP,可知△APB&kCPD,进而求解；

［解决问题］①根据题意作图即可；

②根据题意可知,△AQB^XCQE,利用相似求解.

【详解】

解：［探索活动］由题意知，乙APB=LCPD,^BAP=LDCP,

0A/4P50ACPD,

监=”

CPCD

建=竺，

57CD

团CD=76,

故北寺塔CD的高度为76m；

［解决问题］①如图，

②由［探索活动］同理得，黑=熬，

卢="，

56.7CE

解得CE=60.48,

DE=CD-CE=76-60.48=15.52=15.5m,

故塔刹DE的高度为15.5m.

【变式3-1］（24-25九年级上•陕西咸阳•期中）为了测量物体48的高度，小小带着工具进行测量.方案如下:

如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC方向移动,当移动2米到。处时（即CD=2米），恰好在

镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米.然后，小小在尸处竖立了一根裔

1.8米的标杆尸G,发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得F”为6米，DF为

8米.已知481B”,ED1BH,GF18”,点仄C、。、F、”在一条直线上.请根据以上所测数据，计

算物体的高度.

【答案】物体的高度为8米

【分析】本题主要考杳了相似三角形的实际应用，先证明△4BC—E0C得到翌=3求出8C="8,再

BCCD3

证明△ABH八G/"得到啜=——，解方程即可得到答案.

AB6+8+2+严

【详解】解：由题意得：LACB=LECD,

团4B1BH,ED1BH,GF1BH,

回NB=Z.EDC=乙GFH=90。，

（3aABC^△EDC>

之二叱

EDCD

吟h零

解得：BC=^AB,

0Z/7=乙H,乙ABH=乙GFH=90°,

（?!△GFHsAABH,

监=受，

ABBH

建二―一，

AB6+8+2+和

解得：AB=8.

答：物体48的高度为8米.

【变式3-2］（24-25九年级上•浙江宁波•阶段练习）榆林人民大厘，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔"

为建筑造型设计立意，配以天圆地方的设计理念.安安和明明想利用所学的几何知识测量榆林人民大厦的

高度，测量方案如下：如图，安安位于明明和大厦之间，在直线BM上的点C处放置一个平面镜，镜子不动,

安安来回走动，走到点。时，恰好在镜子中看到大厦顶端4的像，此时测得安安眼睛与地面的高度ED=1.6

米，CD=0.8米，同时，在阳光下，大厦48的影子顶端与明明的影子顶端恰好重合于从测得明明身高”为

1.8米、影长F”为1.2米，已知ED1BM,GF1BM,。产=14.5米，C、。、F、H均在BM上，

图中所有点均在同一平面内，请你根据上述信息，求该大厦48的高度.（平面镜的大小忽略不计）

A

【答案】99米

【分析】本题主要考杳了相似三角形的判定与性质，平面镜成像的性质等知识点，连接。凡利用平面镜成像

的性质得到N4C8=4ECD,利用相似三角形的判定与性质得到AB=2BC,设48=工米，则8c=：%(米)，

利用等式的性质求得8"=BC+CD+DF+FH=(16.5+gx)米，利用平行线的判定得到rGII48,最后利

用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

【详解】解：连接CE,如图,

••・走到点。时，恰好在镜子中看到大厦顶端A的像,

•••Z.ACB=Z.ECD,

vZ.ABC=乙EDC=90°,

•••△ABC-^△EDC»

A3DE1.6r

"BC-CD_0.8-'

AB=2BC,设48=x米，则米)，

•・•影长产H为1.2米,。尸=14.5米,CD=0.8米,

BH=BC+CD+DF+FH=(16.5+米，

•：AB1.BM.GFIBM,

•••FGIIAB,

:AHFG〜AHBA,

FGFH

：

•—A3―-B-H-,

1.8_1.2

x~16.5+|x,

，X=99,

・••大厦48的高度为99米.

【变式3-3】为了测量路灯EP的长度，小明从灯杆底部N沿人行道拉一皮卷尺到8处，在BN之间水平放置

一平面镜，移动镜子的位置分别到C，。两点时，小明恰好能在镜中分别看到两灯全貌，其视线如图所示，

己知点B,C,D,N在同一水平直线上，且为8,MN均垂直于BN,D、P、F三点共线，且“上MN,FMtMN.已

知小明眼睛离地面的高度力8=1.8m,BC=1.2m,CD=0.6m,DN=10m,MF=3m.求路灯EP的长.（平

面镜的大小忽略不计，结果精确到0.1）

【答案】约3.9m

【分析】本题考查相似三角形的应用，解答的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、

等腰直角三角形的判定与性质等知识解决问题.先根据反射知识和等腰直角三角形的判定与性质得到PN=

DN=10m,过E作EG1BN于G,则EG=PN=10m,EP=GN,证明△ABCEGC求得CG=gm,进

而求得GN即可.

【详解】解：^AB=1.8m,BC=1.2m,CD=0.6m,

EL4B=BD=1.8m,

0EP1MN,FM1MN,

0Z/WF=/.BAD=45°,则NPDN=乙DPN=45°,

团PN=DN=10m,

过E作EG1BN于G,则四边形EGNP是矩形，

团4ABC=Z.EGC=90°,/.ACB=4ECG,

（?!△ABC〜匕EGC,

胫=也，即^=竺，

ABBC1.81.2

解得CG=^m,

3

团GN=DN+CD-CG=10+0.6--^3.9（m）,

3

BEP=GN=3.9m.

答：路灯EP的长约为3.9m.

【题型4利用视线进行测量】

【例4】（24-25九年级下•陕西西安期中）周末，小凯和同学带着皮尺，去测后杨大爷家露台遮阳篷的宽度.如

图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线£口通过在直线上选点观测，发现当他位

于N点时，他的视线从M点通过露台。点正好落在遮阳篷4点处；当他位于N，点时，视线从“点通过。点正

好落在遮阳篷B点处，这样观测到的两个点4、8间的距离即为遮阳篷的宽.已知A8||CD||",点C在4G上,

AG.DE、MN、M'N'均垂直于EF,MN=M'N',露台的宽CD=GE,测得GE=2.5米，EN'=3米,N'N=3.9

米.请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽A8是多少米？（结果精确到0.1米）

【答案】遮阳篷的宽AB是1.4米

【分析】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

延长交DE于H,则HM=6.9米，CD=GE=2.5米，MM'=NN'=3.9米，先证明Rt△ACD-Rt△DHM,

则根据相似三角形的性质得空=要=名再证明则利用相似比得到空=名然后利用

比例性质求4B即可.

【详解】解：延长MM，交DE于H,如图，则"M=EN=E"+NN=3+3.9=6.9米，CD=GE=2.5米,

MM'=NN'=3.9米，

I3CDII”M,

•••Z.ADC=乙DMH,

:.Rt△ACD〜Rt△OHM,

.AD_CD_2.5

“DM~HM~6.9’

:AABDFMM'D,

解得AB«1.4（米）.

回遮阳篷的宽4F是1.4米.

【变式4-1］（2025•河南郑州•一模）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好.如图，一

副展览画悬挂在墙上，展览画的宽相=0.6m,画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离8C=0.2m,

为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线OE需落在展览画中心位置七处，且与48垂直，已知观赏者

眼睛。与展览画底端A在同••水平线上（即求达到最佳视觉效果时，观赏者与墙壁的距离4。

的长.

【答案】观赏者与墙壁的距离4。的长为0.9m

【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，证明-△DE4,推出*=笠，即可解答.

AEAD

【详解】解：根据题意得：AE=^AB=0.3m,Z.AED=90°,^ACB=90°,

WALAC,

^CAD=90%

^CAB+/.DAB=4DAB+/.ADE=90%

=Z.ADE,

^AED=AACB=90°,

0AABCDEA,

^AD=0.9m,

答：观赏者与墙壁的距离AD的长为（）.9m.

【变式4-2］（2025•广东佛山・二模）【项目主题】测量距离

【项目背景】在•次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、6两点距离不可直

接测得）.

【实践工具】皮尺，测角仪等工具.

【实践操作】

方案一：如图1,一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，人、&C三点在同一条直线上.调整帽子，

使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点.该同学保持刚才的姿势，转过180。，这时视线刚好落在点£

处.利用皮尺测得CE=am,BC=bm.

同学们还设计了方案二、方案三......

E

D

图1

【问题解决】

⑴根据方案一，求力、8两点间的电离；

⑵尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求小B两点间的距离(为使表达简洁，需要

测量的角建议用乙1、乙2、乙3等表示).

【答案】⑴(a-b)m

⑵详见解析

【分析】本题考查的是全等三角形的应用，相似三角形的应用；

(1)由4/10C=NE0C,DC=DC,Z.ACD=Z-ECD=90°,可得△4。。三△EOC(ASA),从而可得结论.

(2)利用相似三角形的性质涉及含48的两个相似三角形即可.

【详解】(1)解：在△AOC和中，

^ADC=Z.EDC,DC=DC,LACD=Z.ECD=90°,

^ADC=△EDC(ASA).

圆AC=EC.

团AB=AC-BC=EC-BC=(a-b)m.

①在池塘边上确定点C；

②测量4C与8。的长度，取两边点。、E,使得普二3=匕且DE的长度皮尺可测量；

L"GC

③测量的长度；

④由霁=券=攵，"="，WACDE-△CAB,

回/B=kDE.

【变式4-3](24-25九年级上•陕西咸阳•期中)如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度40.小

明在距离树0.3m的8处(AB=0.3m),看树的顶端。的视线为EO,原地再看爸爸的头部，视线为EF,爸爸经

过移动调整位置，当£F_LE。时爸爸停止移动，这时测得4C=l.lm.已知点4B,。在地平面的一条直线

上，树和二人都垂直于这条直线，小明的眼睛到地面的距离1.6m,爸爸的身高CF=1.8m,求树的高

度m

BA

【答案】2.8m

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质与判定，过点E作EG1CF于点G,延长GE交AD于

点H,^IGH1AD,先证明四边形C8EG和四边形4A/EB是矩形，得到A”=BE=CG=1.6m,EG=BC=

0.8m,HE=AB=03m,再证明△EFG-△DEH,可得二=铐，求得DH,进而可求得4D即可得到答案.

【详解】解：如图，过点E作EG_LCF于点G,延长GE交力。于点H,则G，_L/1D,

cBA-CFLAC,ADLAC,BELAC,

四边形C8EG,四边形力HE8是矩形.

AH=BE=CG=1.6m,EG=BC=1.1-0.3=0.8m,HE=AB=0.3m,

"GE=乙EHD=乙FED=90°,

Z.EFG+乙FEG=乙FEG+"EH=90°,

£GFE=乙DEH,

EFG—△DEH,

FGEG1.8-1.60.8

：•=91n、nJ—9

EHDH0.3DH

解得OH=1.2m,经检验符合题意.

・•・AD=DH+AH=1.2+1.6=2.8m,

答：树的高度AD为2.8m.

【题型5古典文化中的测量问题】

【例5】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股〃章中有这样一个问题："今有邑方二百步，各

中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？〃用今天的话说，大意是：如图，OEFG是一座边长

为200步（"步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门”位于G。的中点，南门K位于E。的中点，出东

门15步的八处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于人处的树木（即点。在宜线AC上）.

【答案】等步

【分析】本题只需要证出△COK〜△OAH，利用相似三角形的性质可以得到：得=当，然后可以求出CK

AUU113

的值，得出答案.

【详解】解：由题意可知：DE=DG=200,AH=15

团”为G。的中点，K为。E的中点

DH=100,0K=100

^AH^DK

^CDK=^A

而RCKO=a4HD

0ACDK〜△DAH

c=100

2000

团CK

答：出南门学步恰好看到位于4处的树木.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用：本题需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用视点和盲区的知识

构建相似三角形，用相似三角形对应边成比例求出物体的高度.

【变式5-1】《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺.别立一表，长一尺五寸,

影得五寸.问：竿长几何？〃其大意是：今有一根木杆，不知道其长度，量它的影子，等于15尺，另外再有

一根标杆，杆长1.5尺，量得标杆的影子为0.5尺，则木杆的长为（）

A.5尺B.15尺C.30尺D.45尺

【答案】D

【分析】本题考查的是相似一：角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键.根据同一时

刻物高马影长成正比可得出结论.

【详解】解：设竹竿的长度为3尺，

解得％=45,

故选：D.

【变式5-2]（24-25九年级上•重庆渝中•阶段练习）《周髀算经》中记载团"偃矩以望高”，是指把〃矩”（图中4BC）

的一边仰着放平，可以测量高度.如图，“矩〃的一边AB紧贴地面，BC和旗杆E/均垂直地面.测得4B长0.5m,

8D长0.2m,BE长17m,则旗杆EF的高度为m.

【答案】7

【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

根据题意可得△ABD-LAEF,然后利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：团乙4BC"和4E均为直角，z/l=Z/1

[?]△ABDAEF,

瞎造

团4B长0.5m,8D长0.2m,"长17m,

团4E=AB+BE=17.5m»

eLnAExBD17.5x0.2_

(3EF=--------=-----------=7m.

AB0.5

故答案为：7.

【变式5-3】《海岛算经》中记载：“今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直,

从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合.从后表却行一百二十七步，人目着地，取

望岛峰，亦与表末参合.问岛高几何.”其大意是：如图，为了求海岛上的山峰48的高度，在。处和尸处树

立高都是3丈（1丈=：步）的标杆C。和EF,D,尸相隔1000步，并且AB,CD和EF在同一平面内，从。处后

退123步到G处时，力，C,G在一条直线上；从F处后退127步到H处时，A,E,”在一条直线上，则山峰

的高度A8为步.

【答案】1255

【分析】先证明△GCD八GAB,利用相似比得到六=再证明△HEF八HAB得到M=震，即

AD1+ADHD

烹=诉黑函②，所以品=诉黑而接着利用比例的性质求出血然后计算的长.

【详解】解：根据题意得CO=EF=5步，。尸=1000步，OG=123步，FH=127步，

•・•CDWAB,

△GCD〜&GAB9

—=即二■=123①，

ABGBAB123+BD

vEFWAB,

•••△HEFMHAB,

...竺=更，即三=__②,

ABHBAB127+1000+BD^

由①②得I2?=---竺Z------,

123+fiD127+1000+BD

即当=

BD1000+BD

.BD_123

“1000+BD-127’

BD123

:•-------,

10004

BD=250x123,

._L_123_1

"AB-123+250X123-1+250’

•••4B=1255（步），

即山峰的高度AB为1255步.

故答案为：1255.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等计算相

应线段的长.

【题型6光学成像中的测量问题】

【例6】（24-25九年级上•辽宁阜新•期末）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗

手影就是我们小时候常玩的游戏.在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，爸爸拿的光源与小明手的距离为

1米，如图2.在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（）

A.增加0.5米B.增加1米C,增加2米D.减少0.5米

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，根据题意.作出图形，

利用相似三角形的性质，构造方程，进行解答，即可.令点。为光源，A8为小明的手，CD为小狗手影，根

据相似三角形的判定和性质，则△。力B八OCD,得到察=j设.46=x,则=3,根据题意，CD'=

则蒜=缁=壬=篇=午，计算得到答案，即可•

2X

【详解】解：点。为光源，为小明的手，8为小狗手影，

团4BIICD,

作0E_L48交48干点E,延长OE交点F,则。尸_LC。，

团力B||CD,

^OAB=Z.OCD,Z.OBA=Z.ODC,

0AOABOCD>

的=竺，

CDOF

团OE=1,OF=3,

嗡7

设48=x,

0CD=3x,

团在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半,

团C'。'="

团△。力8OCD',

A3_0E'_X_0E'_0E'

双=彳j=彳=丁，

WE'=2,

田小明的手与光源的距离为：2-1=1（米）.

故选:B.

【变式6-1]（24-25八年级下•江苏苏州•期末）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了小孔成像的实

验、并在《墨经》中有这样记载：“景到，在午有端，与景长，说在端如图所示的小孔成像实验中，若物

距为9cm,像距为14cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是7cm,则蜡烛火焰的高度是cm.

【答案】4.5

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的性质是关键.

根据题意可证△48。〜△CO。，得到黑，代入计算即可求解.

ONCD

【详解】解：如图所示，根据题意，AB||CD,OM=9cm,0^=14cm,CD=7cm,

(HAABOs匕CDO,

胫="

ONCD

哈号

0/427=4.5cm»

故答案为：4.5.

【变式6-2］（2025•山西长治•三模）在初中物理课程中，我们学过凸透镜的成像规律.如图，MN为凸透镜,

其厚度忽略不计，。为凸透镜MN的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜MN左侧的主光轴上垂直放置一支

蜡烛4氏透过凸透镜后成的像为CD.平行于主光轴的光线4G通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线力。会

聚于点C.若物距。B=6cm,像距。。=12cm,则凸透镜MN的焦距0E的长为cm.

【答案】4

【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键.

由题意得，OB=AF=6,AB||CD,OE||AF,则得到唱=器，△CE。〜△C凡4,再根据相似三角形的性质

OAOB

即可求解.

【详解】解：由题意得，0B=4F=6,AB||CD,OE||AF,

碎=丝=、=2,»CEOs^CFA,

OAOB6

胖=也=二-,

AFCA2+1

律」

62+1

团OE=4cm,

故答案为：4.

【变式6-3］（24-25九年级上•上海徐汇・期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律.如图MN为一凸透

镜，F是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB,透过透镜后呈的像为CD.光路图如

图所示：经过焦点的光线通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线4。汇聚于（:点.若

焦距。r=4,物距08=6,小蜡烛的高度＜8=1,求蟒烛的像CD的长度以及像CD与透镜MN之间的距离.

【答案】蜡烛的像CD的长度为2,像CD与透镜MN之间的距离为12

【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键；

根据题意可得，0E=CD,AB1BO,E01BO,CD1OD,从而可得4/lB。=々EOB=々COO=90。，然

后证明△48尸〜△EOF,从而利用相似三角形的性质可求出0E的长，这证明△AOB-△。。。，从而利用相

似三角形的性质可求出。0的长，即可解答；

【详解】解：0E=CD,AB1BO,EO1BO,CD上0D,

ALABO=LEOB=Z.CDO=90°.

♦:2AFB=Z.EFO,

•••△ABFEOF,

tAB__BF_

,•茄―0Fr

.j__曰

OE4'

解得：0E=2,

:.0E=CD=2,

•••Z.AOB=乙COD,

AOBCOD,

A3_OB

•,方-OD,

.一1=_-6,

2OD

•••OD=12,

••・蜡烛的像CD的长度为2,像CD与透镜MN之间的距离为12.

【题型7裁剪问题】

【例7】现有一张Rt团ABC纸片，直角边BC长为12cm,另一直角边AB长为24cm.现沿BC边依次从下往上

裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（