2025-2026学年人教A版高中数学选择性必修第二册全册综合测评练习卷

2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册

全册综合测评练习卷

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（2024全国甲，理4）记S〃为等差数列优〃｝的前〃项和.已知S5=Sio,45=l,贝IJ〃尸（）

A.-7B7二C.-1-D.-7-

23311

2.设曲线於）=ln（x+a）在（1川））处的切线与直线）弓+1平行，则实数。=（）

A.-2B.2C.-lD.1

3.若数列｛〃〃｝的前〃项和为S产〃2_4〃+2,则3|+|G|+…+|的°|等于（）

A.15B.35C.66D.100

4.（2025湖北武汉高二检测）先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原

三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形）,然后在剩下的每个小三角形

中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去.操作第1次得到图2,操作

第2次得到图3……，若继续这样操作下去后得到图2025,则从图2025中挖去的白色三

5.已知等比数列｛小｝的各项均为正数⑼5M6是函数人幻=93-泞+山+1的极值点，则In

〃i+ln。2+…+ln4】0=（）

A.5B.6C.10D.15

6.已知函数於AfmRnx,a£R,若於)在区间"+8)上单调递增,则实数。的取值

范围是()

A.(-°o,l)B.(-8,l]

C.(l,+8)D.[l,+co)

i55

7.数列｛a”｝中⑼=2,对任意mtn£N*,a〃i+”=a〃a〃,若ak+1+。欠+2+,,,+ak+io=2-2M

k二()

A.2B.3

C.4D.5

8.(2025山西晋中高二检测)函数/U)满足八x)勺⑺，则下列选项正确的是()

A<3)>第2)B.e/(O)<A1)

C.e次1)»(1)D.然1)<穴2)

二、选择题:本题共3小题,每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中.有多项符

合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(2025江苏镇江高三检测)已知函数共幻二(x-1)2(六4)+4的导函数为f(x),则下列选

项正确的有()

A.yU)只有两个零点B/(4-x)=fM

C.x=\是/U)的极小值点D.当x20时《此20恒成立

10.已知等比数列伍〃｝的前〃项和为S〃，前〃项积为了〃，则下列选项判断不正确的是

()

A.若S2O22>S2O2I,则数列｛〃”｝是递增数列B.若乃022>乃。21,则数列｛Z｝是递增数

列

C.若数列｛S“｝是递增数列，则GO222so21D.若数列｛「｝是递增数列，则420222。2

021

11.(2025浙江杭州高二检测)著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点:如图,

在横坐标为XI的点处作凡丫)的切线，切线与X轴交点的横坐标为X2,用X2代替XI重复上面

的过程得到孙一直下去，得到数列｛心｝，叫作牛顿数列.若函数/«=/-r6。〃=111若且

〃尸1死>3,数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃,则下列说法正确的是()

=Un)

A•X/j+lXn~B.数列｛小｝是递增数列

/'(xn)

C.数列｛〃〃｝是等差数列DS023=22023

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.函数./U)=aF-6x的一个极值点为1,则火幻的极大值是.

13.写出一个同时具有下列性质⑴(2)(3)的数列｛小｝的通项公

式：an=.

(1)数列｛小｝不单调;

(2)数列｛|词｝是递增数列;

(3)｛小｝是无穷等比数列.

14.(2025江苏南京高二检测)某个体户计划同时销售两种商品，当投资额为

x(x>0)千元时，在销售48商品中所获收益分别为7«千元与g(x)千元，其中

«x)=2x,ga)=41n(2x+l),如果该个体户准备共投入5千元销售48两种商品，为使总收益

最大，则B商品需投千元.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数段)=4P3『-18X+27K£R.

(1)求大幻的单调区间与极值；

(2)求凡r)在区间［0,3］上的最大值与最小值.

16.(15分)(2024全国甲，理18)记S”为数列仅〃｝的前n项和，已知4$尸3雨+4.

(1)求他〃｝的通项公式；

(2)设瓦二(/)""〃小,求数列｛瓦｝的前n项和Tn.

17.(17分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1),(2),(3),(4)为她们刺绣中最简

单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮，按同样的规

律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含式〃)个小正方形.

(1)(2)(3)(4)

(1)求八6)的值；

(2)求出五〃)的表达式；

(3)求证:当时,4---I—--+…+---<

''7(1)/(2)-l/(3)-lz(n)-l2

18.（17分）（2023新高考/,19）已知函数*x）=4（c'+a）-r

⑴讨论7U）的单调性；

（2）证明:当。＞0时次x）＞21na+|.

19.(17分)(2025山东潍坊高三期中)已知、/U)为定义域M内的连续函数/(x)为其导

函数，常数。£机若各项不相等的数列｛雨｝满足小0W山>“(。叱)=如9,则称｛。〃｝为

Qn-Q

段)的“拉格朗日数列“，简记为乜⑷-数列

⑴若函数g(x)=\nx,数列｛d｝是g(©的乜(1)-数列"，且bke.

(，)求加，加;

(方)证明:｛5｝是递减数列.

(2)正项数列｛6｝是函数力0)=,1+6*足x的“L(c)•数列”，己知c〃+i£(c,c〃),记｛cj的前n

项和为S叫证明:当c>0时$+c〃2(〃-l)c+2cl.

参考答案

l.B2.D

3.C当n=\时,〃I=SI=1-4+2=-1,当时，4尸6年九lN/Ma+ZMS-iydS-

D+ZE"-]不满足上式，所以“尸匕：：；?2所以⑶什庙|+…+|MO|=/L

。2+。3+。4+,一+410=-S2+SIO-S2=SIO-2s2=62-(-4)=66.故近C.

4.C5.A6.B7.C

8.C令函数g(x)二譬,求导得g<0,所以函数g(x)在R上单调递减.

因为g(3)<g(2),臀<臀，则<3)<第2),所以A错误；

因为g(l)<g(0),也勺(()),则川)<然()),所以B错误;

e

因为g(l)vg(・l),空)--1),则e%l)次1),所以C正确;

e

因为g(2)vg(l),《§<"，则q/U)次2),所以D错误.故选C.

9.ABD/U)=3(x-1)(A-3),4^f(x)=3(x-1)(x-3)=0,

则x=l或x=3,

当x>3或x<l时/(x)〉0,当lvx<3时/(x)<0,

故於)在区间(・8,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,在区间(3,+8)上单调递增，所

以fix)的极大值为#1)=4,/k)的极小值为#3)=0,且尺1)<0,有且仅有两个零点，故A

正确；

八4・»=3(4・"1)(4」-3)=3(3・%)(1・%)=3(43)(4・1)=/(X),故B正确；

x=l是极大值点，故C错误；

当x20时网)=0府)的极小值为x3)=0,结合函数的单调性可得於)20恒成立，故D

正确.故选ABD.

10.ABC

11.AB对于A,由*6,得八x)=2x-l,

所以7W在点⑶忧］”))处切线的斜率为/(X”)=2。-1,所以切线方程为y-fiXn)=f(Xn)(X-

Xn).

因为切线过点(R〃+I,0),所以；/31)力(%5+卜犬〃),所以工〃+1=乐厂争4所以A正确;

/(无71)

由选项A可知华华,

292

所以心+|+2=x〃-竽7W+2=竽4-.%+卜3=工〃-竽0-3二学斗，所以2当=

‘孙-1^Xn-1^Xn-L£Xn-lXn+]-J

2

(如+29=(xn+2\

2

(xn-3)~\xn-3),

2

所以In配吟=ln(衅)=21。①境所以m+i=2的所以数列｛〃〃｝是以1为首项,2为

Xn+l-3\Xn-5/Xn-3

公比的等比数列，所以C错误;因为小+1s=2"-2〃J=2"」>0,所以数列｛〃”｝是递增数列，所以

1?2023

B正确；因为S2023二fF—二22023/,所以D错误.故选AB.

1-Z

12.4=aA6x的定义域为R『(X)=3OY2_6,由题意得/(1)=3。-6=0,解得。二2,故

八x)=6.F-6,令八x)=0,解得x=±1,令人x)>0得/>1或X<-1J(x)单调递增，令/(x)<0得,-

1<A<1<x)单调递减，故J(x)=2x^-6x在x=-1处取得极大值，极大值为/(-1)=-2+6=4.

13(2)〃(答案不唯一)数列为不单调的无穷等比薮列,・•・数列｛m｝的公比为负值,

而数列｛|涮｝是递增数列，则首项为正，公比的绝对值在(1,+8)上，则薮列｛｝的通项公式

n

可以为an=(-2).

id3

142

15.解(1)由题设/(A)=12A?-6A-18=12(A+I)(A-|),

令yv)=o,得x=-i或A=-,

当/W>0时，即12(x+l)(x-9)>0,解得弓或x<-l式x)的单调递增区间为(-8,-1)和

3

点+8).

当/«<()时，即12Q+1)(心会〈(),

解得-1vx<%W的单调递减区间为(-1,务.

□77

函数段)的极大值为於1)=38,极小值为居)二系

(2)由罗［(),3］川)=2743)=54,则居)勺(())</(3),且以)在区间［0,3］上连续,函数段)在

乙乙

97

区间［0,3］内的最大值为54,最小值为年.

16.解⑴因为4s〃=3。〃+4,所以4s〃+1=3〃”+1+4,

两式相减，得4a〃+1=3。〃+|-34〃,即an+\=-3an,

又4sk3山+4,则山二4,故数列｛小｝是首项为4,公比为・3的等比数列，则a“=4x(・3)〃”.

0,2/,1

(2)从二(-1)〃/〃“尸4〃3「所以7；J=4(lx3+2x3+3x34-•+/7.3-).

37；,=4(1X3'+2X32+3x3?+…+〃・3〃)，

两式相减，得・27;产4(1+31+32+…+3"-L/r3")=4(Mr-/r3")=(242)・3"-2,

17

所以7；,=(2/?-1)3/,+1.

17.(1)解根据题意,由题干中的图形可得

«1)=1<2)=1+4=543)=1+4+8=13«4)=1+4+8+12=2545尸1+4+8+12+16=41/6)=1+4

+8+12+16+20=61.

(2)解根据题意次2)贝)=4=4*1,

火3)哄2)=8=4x2,

旭)哄3)=12=4x3,

©次4)=16=4x4,

由此类推1)次〃)=4〃.

则犬〃)二伏〃)力小।)]+[X〃-1)次〃-2)]+…+伏3)次2)]+伏2)次1)]+fi1)=4(小1)+4(“

2)+…+4x2+4x1+1=4"+叱月①1)+1=2后2〃+1.

(3)证明由⑵的结论JW)=2〃2-2〃+1,

当“22时，/(n”-2n2-2〃=2(商—”

则高+高+舟+―+舟=1+和尚+»*・+*一》=1+1(讨)=1—右

又由;白V之故结论成立.

LLnL

18.(1)解八的二讹1・1/£艮

①当〃W0时/(x)WO对任意x£R恒成立，所以火外在(・8,+8)内单调递减.

②当a>0时，令八%)=0,得x=ln^=-lna.

防工的变化/(0次工)的变化如下表：

X(-oo,-Ina)-Ina(-In。,+8)

八X)-0一

“V)单调递减极小值单调递增

所以函数/U)的单调递增区间是(-In4,+8),单调递减区间是(-8,-Ina).

综上，当aWO时«x)的单调递减区间是(-8,+8),无单调递增区间；当。>0时4E)的单

调递增区间是(-In+8),单调递减区间是(-8,-Inci).

(2)证明当〃>0时,要证於)>21na+4恒成立，即证©min>21na+,成立.

当6/>0时，由⑴知府)的极小值同时也是最小值，是火-lna),下面证明尺ln〃)>21n

"1•

/(-Ina)=a(e4na+a)-(-\na)=\+a2+\na.

?1

令g(a)=7Una)-21na--=a2-\na--,aG(0,+oo),

则g'(a)=2aq=笠士令g'(a)=O,得a*.

“tv乙

随a的变化,g'(〃),g⑷的变化如下表:

(()，争V2

a(冬+s)

T

g'(a)-0+

g(。)单调递减极小值单调递增

所以在〃二境时,g(a)取最小值.

g(a)min=g(仔)二;-吊仔-1=-ln-^=lnV2>ln1=0.因此人-lnt/)>21n成立.

因此当〃>()时於)>2ln呜.

19.(1)(〃解因为"y,⑴二,

X

所己乙以一内，，历i、尸瓦1=FInbi^-Inez=bIne-lnl=言得历二e-1,

fJL

1_Inb2_In(e-l)_In(e-l)但e-2

g"瓦-b^T-7TT-付

(方)证明当x>l时，易知0<lnx<『l,所以Ov空vl,

x-1

因为">1.所以0<瞥<1.

Di-1

1

所以Ov『<l,所以岳〉1,…，以此类推/?„>1,

要证bn+l<bn,只需证，=T~—>印证Inbn>-^-——1

%T^n+1如bnbn

设函数(p(x)=\nx-11),(p-^2=*N°，

所以当x£(1,+8)时刈(外单调递增，所以叭x)>3(1)=0,

所以Inbn-\+!>0,即Inhn>1—

bnbn

即P->2>0,所以d+1<5，

bn+lbn

所以数列｛d