提优点15 非对称韦达定理-2026年高考数学二轮复习

提优点15非对称韦达定理

【知识拓展】

在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，我们通常要联立直线与圆锥曲线的

方程，消去X或/得到一个一元二次方程，例如消去y,得到一个两根分别为

XI，X2的一元二次方程4/+以+。=0(440),则由根与系数的关系，得X]+X2=

_B,XM2=C，此即为韦达定理.对于诸如阳+'2,|XLX21，…，

AAX2X\X\X2

之类的目标，它们的结构特点是:将XI与X2互换之后结果不变，即具有“对称性”，

此类问题称之为“对称型韦达”问题，稍作变形，就可以直接利用韦达定理的结

果整体代入，快速求解.

但在某些问题中，我们会遇到两根不对称的结构，比如如，,+必2出。)，

X2

"M+3X：2X2,四叮2二3川，…，之类的问题，就相对较难直接应用韦达定理来

kx\X2-3x2।2ximy\y2+2y2

处理，我们把这类问题称为“非对称韦达”问题.

【类型突破】

f加制川

类型一两根之比型I仃')2)

例1(2024•青岛模拟改编)设椭圆C：；+，=1(。>6>0)的左焦点为£过点少的直

线/与椭圆相交于4B两点,直线/的倾斜角为60。，AF=2FB,求椭圆。的离

心率.

解设4(xi,y\),8(X2，㈤,

由题意知〃>0,^2<0,

直线/的方程为了=3(x+c)»其中C=a2-b2.

y=3(x+c),

由民f

得(3〃2+〃)JR—23b2cy—3〃=0,

23b2c_一3b&

由韦达定理得川+以=y]y2

3层+於，~3a2+b2

由4F=2FB,得加=—2y2.

法一由》=—2j%即"=一2,

所以川+启=_5,即（yi+"）2=_1

y2y\2y}y22

即一4/1整理得8c2=3.2+〃,

3a2+b22

即8c2=3a2+〃2­02,9c2=4屋，所以《=；.

力+”=~F2,

法二由6=一2也得

nV2=-2y5,

得31+》2）2=（一次）2=_1,

w-2yi2

,_2362c

川+-=3*+加，

将-3b4

y\yi=一，,

3a2-\~b2

’23〃吓

3a2+尻|

_1

代入上式得_3〃

2,

3a2~\~b2

\2b4c21=_12

整理得e

3a2~\~b2—3b42,3

法三将yi=-2及

_23h2c_23h2c

川+f+庐一•一4+〃，

代入-3b4得-2贯=5

3。-十b一,34+/

（23氏1

24

消去又得213屋+〃J=3b

3加+卢

整理得e=:

规律方法1.法一将"=—2取倒数相加得到广+、=—，将不对称式转化为对称

yiyiy\2

式，用韦达定理整体代入求解.

2.法二利用条件y=-2及得到川+R与＞通的关系，仍然是转化为对称式后利用

韦达定理求解.

3.法三则是利用yi=-2心，与）八十竺，w的表达式，代入消元求解.

训练1（2024•德州质检改编）设双曲线C：£一产=1（心0）与直线/：x+y=l相交于

a-

不同的点力，B,直线1与y轴的交点为P,且中=］：而，求。的值.

解易得P（0,1）,设4（X1,巾），8（X2,竺），

故刀=Qi,yi-l）,PB=（X2,yi­\）.

由。与/相交于两个不同的点，

X22—1

2.尸1，

联立T

y=-x-\-\,

得（1—a2）x2+2a2x_2a2=0,

1

zS।2a22a

付xi+x2=—,,,X|X2=—,_

1—1—

且1一"0,

由再=2而知，（XI,y—1）=±（X2,歹2—1）,则有Xl=±X2,即幻=2,

12'1212X212

取倒数相加，得达+工2=；+/,

X2xi125

则整+工2+2=（Xi+X2;2=289,

X2XiX]X260

拉2。22a1

将■X1十X2=一X\X2=-.

1~a-1~a-

代入上式得-产［=鬻

1-cr60

解得。=；；.

类型二系数不等型（如阳+叱=〃7«w,mW0））

例2（2024•郑州调研改编）已知椭圆好+炉=1,设P（0,1）,4B为椭圆的左、右

42

顶点，过4作斜率为木的直线交椭圆于点E,连接“并延长交椭圆于点E记

直线8厂的斜率为左2,若左i=3依，求直线£尸的方程.

解由题意，直线的斜率显然存在，设直线所的方程为^=依+1,

尸（X2,闻，

1=1,

由42

y=Ax+1,

得（2公+l）f+4区一2=0,

4k

由题意知/>0,所以Xl+x2=—,,

2A-+1

-2

X\X2=

2庐+1

因为e5所以直3y2

X2-2’

将巾=履1+1,)>2=6+1代入，

“6i+l_3(te+1)

xi+2X2-2

化简得2代心+(24+3).口+(6〃-1)叫+8=0,(*)

AL

又因为2代|X2=—.=加+工2,

2R+1

所以、2=-2言「

口+2"+2、

把其代入（*）式得（1一2x+1）=0,

所以1一%=0或X1+=0（舍去），

2F+1

所以4=1,所以直线M的方程为y=x+l.

规律方法利用韦达定理中隐含着2b田=R+X2=-2：；I的关系’所以代入消

口+2人十2、

元得到(1—A)•为2K+L=O,从而求得肚=1.

训练2(2024・西安调研改编)已知抛物线C：y2=4x,过定点P(2,1)的直线/与抛

物线交于48两点，且有力=；曲.求直线/的斜率.

解法一设力(幻，y\),B(xi,玖)，

由条件"=；而可得7/1+/=8,

即yz=-7yi+8,

存在系数九使得二一1=23—1),易得2=-7,

即y2—l=-7(yi—l)f

因为yi—1W0,

所以1=-7,取倒数相加，

yi-1

便得_7_]="一]+〃_]=(歹1一1)2+。2—1)2,

7y\—1y：—1(巾一1)(y2~1)

所以T—叫丁;：2,(*)

/yiy2~(yi十")十1

设直线/:x—2=〃i(y—1),与抛物线C：产=4x联立可得产一4〃7y+4加-8=0,

则y\+”=4加，y\yi=4m—8,

代入(*)式中可得16加二,+4=—3；,

解得加=2或〃z=-1,

所以直线/的斜率为:或一1.

法二设/(幻，y\),3(x2,yi),

设直线/:x—2=〃?(y—1),

与抛物线C:f=4x

联立可得y2——8=0,

则y\+，2=4加,y\y2=Am—8,

由条件凝=；而可得"=-7/+8,

4—）,77

代入上面两式，得yi+>2=—6川+8=4加=力=

所以W=—7炉+8yi=4加一8,

[4—2川2

所以一7〔3J+84-2m=4〃?一8,

3

解得〃7=2或〃2=—1,

所以直线/的斜率为1或-1.

2

类型三分式上下不对称型（如"MQ”届「町必1加（2r"））

mx\xi+//X2my\yi

例3（2024•广州模拟改编）已知点尸为椭圆E：；+：=1的右焦点，A,B分别为

其左、右顶点，过/作直线/与椭圆交于历，N两点（不与儿B重合），记直线

4M与8N的斜率分别为心，依，证明度为定值.

k?

证明法一反设直线与积化和（变量历：由题，.4（一2,0）,8（2,0）,

设/：x=（y+l,

M（x\,yi）,N（X2,竺）,

3=1,

联立’43

x=（y+l,

消x得（4+3〉”+6少一9=0,且/X）,

,6f

9+”=-4+3/

则

[物=-4+93/

则071y2=0】+玖）.

乙

3i3

=25+川一二产+产一为定值，得证

fatyxyi-\r3yi3/।xi3.93

25+歹2)+37歹2/+产

法二配凑半代换(变量y)：

由题，4—2,0),8(2,0),

设/：x="+l,M(x\,y),Ng,、2),

则k\=7

xi+2

联立’43

x=(y+l,

消x得(4+3修»2+6小—9=0,且/>0,

6/

川+-=-4+3,2

则9

忖2=-4+3产

k\_ty\yi—(yi+yi)+yi

因此

女2例"+3)2

9/।6f3f+"

4+3-4+3於4+3»”=：,得证.

%9t

+3/

4+3於4+3P

规律方法此类问题的解决方案有：

方案一和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系；

方案二配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换，剩下的部分进行配凑.

训练3（2024•保定模拟改编）点4,8是椭圆氏5十）：=1的左右顶点，若直线/：

43

尸的一1）与椭圆石交于〃，N两点，求证：直线4〃与直线8N的交点在一条定

直线上.

+；=匕

证明联立’43化简得(3+4F.2一弘2,+4斤-12=0,

y=k(x-1),

/＞。…+汹=8庐WM=4AJ2

3+4F3+4公

直线彳M：y=y：(x+2),

xi+2

直线BN：y=yi(x—2),

X2~2

口¥〜用2C2X\X2—3X]+X2)

联立付x=

xi+3x2-4

法一（配凑半代换）

原弋_2[2X|X2—3(Xl+x2)+4x2]

(X]+X2)+2x2-4

4k2—128Zr..

2-、-3-.+4x2

23+4公3+43

8k2/

,+2x2-4

3+4公

一16尸一24.-8^-12

c+4X2+2x2

213+4FJ413+43

Sk2-12小-『2+2「4

,,+2X2

3+4F3+4h

故直线川必与直线8V交点在定直线x=4上.

法二（和积转换）

分离常数得标=2-3%

小2=底—12=一15

3+4?3+4后

则有X|*X2=j(Xl+x2)—4,

小、用2(2XIX2-3XI+X2)

代入付x=

片+3x2-4

.5(工]+%2)-8—3R1+X2

=2=4.

xi+3x2-4

【精准强化练】

1.(2024・武汉模拟)已知小，生分别是椭圆E：5+5=1(公>3>0)的左右顶点，离心

a-b-

率e=，，尸是椭圆上的上顶点，且才「才2=—1.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若动直线/过点(0,-4),且与椭圆E交于4,B两点,点M与点8关于歹轴

对称，求证：直线40恒过定点.

(1)解由题意得4(一%0),42(。，0),P(0,6),

222

则属i•属2=（一〃，~b）（af—b）=-a-i~b=—c=—1,所以。=1,

c

e==2

又02所以a=2,b=\,

所以椭圆E的方程为:+f=l.

(2)证明当直线/的斜率不存在时，直线41/过点O'J,

当直线/的斜率存在时，设直线/：y=kx-4fA(x\,JI),Bg,户),

则M(—X2,、2),

(2

；Y+V=l，

由2

y=kx~4,

消去y得(1+23.2-16依+30=0.

由1=(一16%)2—120(1+2?)>0,得

叱1、？_16Z_30

所以为+刈=]+2庐和2=-2庐

y\—yi_kx\-4—te+4_Z:（xi-X2）

kAM=

X\+x2X\+及X]+x2

直线ZM的方程为J—yi="（X，"2）（X-%]）,

X\+x2

/（X1—X2）/\

0即n〉=>1+।（x—Xi）

Xl~\-X2

,一k（xi-X2）

=hi—4+（LX|）

X\+X2

（A；¥|-4）（Xi+x2）+〃（xi—X2）（x-Xl）

Xl+》2

2米1X2-4（Xl+x2）-\~kx（Xl—X2）

X|+X2

k（xi-X2）.2kxiX2.

=X±2

由当—16〃_30

因为汨+*=|+2庐M=]+2F，

2k

心、.l+〃21

所以,—4=—4=—,

X1+X216k4

1+2F

直线4M的方程可化为y="(X，~X2)x~\,

X\+x24

则直线4"恒过定点(°，4]

综上知直线力M恒过定点[仇J.

2.已知双曲线氏£一丫=1(加>0,b>0)的左、右焦点分别为E,B,|QB|=23,

aLb-

且双曲线E经过点/(3,2).

(1)求双曲线E的方程；

(2)过点P(2,