高考数学一轮复习 第三章 第4节 不等式恒（能）成立问题-含解析

第4节不等式恒(能)成立问题

9重难解读恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及其几何意义、

函数、方程等相交汇，综合考查分析问题、解决问题的能力，一般作为压轴题出现，试题难度略大.

—L««««考点突破能力提升——:-----------c

考点一分离参数法求参数范围

【例1]已知函数/(x)=sinx-2ax,a《R,若关于x的不等式f(x)Wcosx-1在区间上恒成立,求实数a

的取值范围.

解不等式/G)Wcosx-l在区间gn)上恒成立，

即2心---------在区间上怛成立，

、儿/\sinx-cosx+1

设g(<)=-------；-------，

Fil，/x_xcosx+xsinx-sinx+cosx-l

火」gw=------------------------------------

设h(x)=xcosA'+Asinx-sinx+cosx-i,贝U/zz(x)="xsinx+xcosx=x(cosx-sinx).

因为当&TT)时,sinJC>0,COSX<0,

所以当x£(Q)时,"(x)vO,

所以函数力⑺在&Ti)上单调递减，且皑)=短2<()，所以当时，〃㈤<°，

即g'(x)<。，则函数g(x)在e，7T)上单调递减，且

所以当不£&口)时,g(x)q,所以启*

故实数CI的取值范围为[：,+8).

I思维升华,

I.分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，这要比分类讨论法简便很多.

2.(12/(外恒成立max；

a勺(X)恒成立勺(X)min；

a2/G)能成立0427(x)min；

aWf(x)能成立0awy(x)nm.

【跟踪训练1]已知函数/(x)=lnx,g(x)=l*QO,〃£R).若/⑺图象恒在晨x)图象的上方,求a的取值范

围.

解由/(x)图象恒在g(x)图象的上方，得lnx・l+£>0恒成立，

所以<7>.r-xlnA在(0,+oo)上恒成立，

令y=x-x\nx,贝Uy--Inx.

当0<x<l时,y>0,所以)=x-xlnx在(0,1)上单调递增,

当x>l时,y'<0,所以.y=x-xlnx在(1,+oo)上单调递减，

所以Vmax=1-lxln1=1,故a>L

考点二分类讨论法求参数范围

【例2】已知函数/U)=er+(m+1)x,加£R.若存在x£[1,2],使得不等式el+y+/?Hnx+in2fix)成立，求in

的取值范围.

解不等式e'+^-+//?lnx+m2/金)可化为nx-(/??+1)x+m20,

即存在xW[1,2],使得不等式^"+〃?」】x-(〃?+l)x+m20成立.

构造函数[(x)=y+//Hnx-(7«+1)x+m[1,2],

则h*(x)=JK+^-(m+1)=-(x-ni)•(x-1).

XX

①当mWl时，/?'(x)NO恒成立，故Qx)在[1,2]上单调递增，故h(x)max=/»(2)=mln2-〃?2(),解得〃?WO,故

机W()：

②当l<m<2时，令人'(x)>0,解得m<x<2;令〃'(x)<0,解得1<x<m，故万(外在[1,m]上单调递减，在(闭,2]上单

调递增，又人⑴=-1,故介⑵=〃71n2-/〃N0,解得WO,这与1<〃?<2相矛盾，舍去；

③当汨力2时,“(x)WO恒成立，故h(x)在11,2]上单调递减，故11(x)max=/?(i)=-1<0,不符合题意，舍去.

综上所述，机的取值范围为(-00,0].

I思维升华，

对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单

调性、最值，从而得出参数范围.

【跟踪训练2](2026•陕西汉中月考)已知函数f(x)=f+"hix

⑴讨论/(x)的单调性；

⑵若/(%)NO恒成立,求a的取值范围.

解⑴易知/(x)=2r4*Q0,

①若GO,则/G)>0恒成立J1)在(0,+8)上单调递增.

②若*/<0,令=0,得x=p,

当x£(O，F|)时/⑴<°4外单调递减;

当x£(F1,+8)时,/(力>0,

/(X)单调递增.

综上所述，当时J(x)在(0,+oo)上单调递增;

当。<0时JG)在(0,上单调递减，在,+8上单调递增.

⑵由(1)知/⑺=号">0),

当。>0时J(x)>0,所以/(X)单调递增，又X-0+J(x)T-8,故/&)20不恒成立；

当4=0时,/(%)=•『>(),符合题意；

当。《)时JG)在(0,51)上单调递减，在(P，+8)上单调递增，

所以mi„=/(5I)=一]+Qin”由f(x)20恒成立，可得彳+alnR?。,解得a，-2e,所以-2eWa<0.

综上,a的取值范围为[・2e,0].

考点三双变量的恒(能)成立问题

【例3】设f(x)二，xlnx,g(x)二公-%2々.

(1)如果存在汨,x2e[0,2],使得g3)-g(X2)2加成立,求满足上述条件的最大整数M；

(2)如果对于任意的邛力,2],都有/(5)及⑺成立,求实数a的取值范围.

解(1)存在.，及6[0,2],使得g(xi)-g(x2)2M成立，等价于

[gCxi)-g(X2)1max》M成立.

g'(x)=3x2-2x=x(3x-2),

令g'(x)=0,得x=0或x=|,

因为？(l)=若,g(①=3g(2)=l,

所以当[0,2]时,g(x)max=g⑵=l,g(x)min=g(|)=

1[2

则[g3)-gU2)]max=g(X)max-g(X)min=—,

所以满足条件的最大整数M为4.

⑵对任意的S,/K2]都有/(5)2gs,则/(X)minNg(X)nrn.

由⑴知当X理闾时,

gWmax招(2)=1,

所以当2]时,/(x)彳+xln工21恒成立，即a^x-jr\nx恒成立.

1

令h(x)=x-x\nx,x^,2\,则h'M=\-Zx\nx-x,

令9(x)=l-2dnx-x,则，(x)=-3-21nx<0,即//(x)在悖,2上单调递减，

又"⑴力,所以当工4，1]时，

"(x)》0,当x£[l,2]时,*G)W0,

所以人鱼)在假,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，

所以力(X)g=/?⑴二।,故421.

所以实数4的取值范围是[1,+8).

I思维升华〉

“双变量”的恒(能)成立问题，常见的转化有:

1.VX1eM,3X2EN,/(X1)>g(X2)叼U)min>g5)min.

2.V.VIEM,VX2£N,f(X\)>gCv2)可(1)min>g(X)max.

3.3X|GM,3.V2£N,f(x\)>g(M)<=>/'(A)mM>g(工)min.

4.3X1EM,V.r2£N,f(x])>gCv2)max>g(x)max，

【跟踪训练3］(2026•辽宁沈阳质检)已知/(x)=^-3x+3-^,g(x)=ln(x+1)+a,3xie［0,2］,V*£［0,2］,使

得/«)Wg(x2)成立,则实数a的取值范围是11-1+8).

解析£［0,2］,V.t2£［0,2］,使得/(为)Wg(⑹成立等价于在O2］上J(x)minWg(X)min.易得/(X)=(X-

D⑶+3+斜,当［0,2］时,3x+3+$0,

令了(上)>0得1<A<2,令/(x)v0得OWrd,所以/(x)在［0,1］上单调递减，在［1,2］上单调递增，所以函数/(x)

在［0,2］上的最小值为了(口与已易知g(x)在［0,2］上单调递增，所以函数g(x)在［0,2］上的最小值为g(0)=a,

所以即实数。的取值范围是［1一，,+8).

微点拓展

端点效应法是一种必要性探路法,是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定义域内的某些

特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或去验证其充分性,进而得到

参数的准确范围的方法.

1.如图(1),如果连续函数/G)在区间加上单调J(x)20恒成立,则/320且/S)20.

2.一阶端点效应:如图(2),如果连续函数f(x)在某一点即处的函数值/(xo)恰好为零,则当时J(x)20

成立的一个必要条件为端点项处的导数值/(xo)2O.因为如果/(沏)<0,那么函数会在松右侧的一个小区间

内先单调递减，此时函数/G)在工力沏时不恒为非负值,不满足要求，如图(3).

这个方法把某个区间上函数的恒成立问题转化为判断端点处的导数值符号，这就是端点效应.

类似地,如果连续函数/(x)在某一点刖处的函数值/(xo)恰好为零，当Qxo时J(x)<0成立的一个必要条件为

项处的导数值f(xo)<O.

3.二阶端点效应:如图(4),如果连续函数/金)在区间［出切上JG)20恒成立,且/(加=0,/(〃)=0,则/320.

端点效应的核心思想是必要性探路，充分性护航.我们在解决一类恒成立问题时,可以利用端点处需满足的必

要条件缩小参数的取值范围,而往往得到的范围即为所求,再去做充分性论证即可.

【应用】(1)设函数/(x)=ln(1+x),g(x)=xf(x),其中/(X)是fix)的导函数.若/(x)2ag(x)恒成立,求

实数。的取值范围.

解依题意,/英)二士，

又g(.i)=Va)»2O,

则屋”=士，*6

而/⑺2〃g(x)恒成立，

即ln(l+.r)力上二恒成立.

1+X

令F(x)=ln(l+x)--(x^O),

l+x

则”a)2o恒成立.

由于F(0)=0,故此时必须保证函数FG)在.『0右侧附近区间上单调递增，

即保证广⑺20在A-0右侧附近区间上恒成立，

而-----

H-7l+x(l+x)2(l+x)2*

则广｛0)=1/,

贝iJaWl.

下面证明当时,”(x)20恒成立.

当时，函数尸&)岩三2品"°，

故函数F(x)在［0,+oo)上单调递增,

即F(x)^F(O)=O,

故当＜7^1时，函数尸320恒成立，

即原命题成立，

故实数。的取值范围是(-8,1］.

⑵设函数/(4)=X©-1)-加.若当GO时J(x)20恒成立,求。的取值范围.

解由于当x20时，函数/(x)20恒成立，而/(0)=0,

故要保证函数人工)20在［0,+8)上恒成立，需保证/G)在尸0右侧附近区间上单调递增,

即保证函数/(x)20在入=0右侧附近区间上恒成立.

而f(.r)=er-1+xex-2ax=(,v+1)e'-2av-1,故/(0)=1-1=0,

即此时需保证函数F(x)在尸。右侧附近区间上单调递增，

即保证函数尸(x)20在x=0右侧附近区间上恒成立.

而广⑨=(x+2)e-2a,故/'(0)=2e°-2«=2-2«,

而要函数/⑺20在户0右侧附近区间上恒成立，

则/(0)20,即

下面证明当。＜1时,/(分20在［0,旧)上恒成立，

当aW1时,/'(x)=(x+2)e-2a^(x+2)ev-2,

令(p(.r)=(x+2)e'-2,x20,则/(x)=(x+3)ev＞0,故函数*(x)单调递增，

故(p(x)(0)=2-2=0,

即.r'a)~(p(x)NO,

故此时函数/(x)单调递增，即/(x)2/(0)=0,

故函数/⑺单调递增，即/(x)2/(0)=0,

此时即可得当时，函数/(x)20在［0,+oo)上恒成立，即。的取值范围是(-8,1］.

课时作业

［基础巩固］

1.(2025•山师附中一模)已知函数f(x)=vlnx-cix.

⑴当a=0时,求函数/&)的单调区间；

⑵若对任意(0,+oo),/(x)Wf+2恒成立,求实数a的取值范围.

解⑴当。二。时，函数/(x)=xlnx的定义域是(0,+8)/(x)=Inx+l,

令/(6<0,得1nx+1<0,解得0<x<i故f(x)的单调递减区间是(0弓)，

令/⑺>0,得lnx+l>0,解得心*故/(%)的单调递增区间是Q,+8),

综上J(x)的单调递减区间是(0,J,单调递增区间是(%+8).

(2)由对任意xe(0,+oo),/WW』+2恒成立知xlnx-f-ZWat恒成立.

因为.v>0,所以a21n在工£(0.+co)上恒成立.

X

设h(x)=lnx-x--(x>0),则h^x)=--1+g=—2^x+1\

XXxzxz

令人'3=0,得3=2,及=-1(舍去),

当Xf(0,2)时，"(x)、0,〃(x)单调遢增，

当XG(2,+oo)时,/?’(只<0,〃6)单调递减，

故当尸2时,〃(x)取得极大值，也是最大值，则力6)皿、=〃(2)=1112-3,

所以若a^h(x)在(0,+co)上恒成立，则a2/?(x)max=ln2-3,

故实数。的取值范围是［h］2-3,+8).

2.已知函数/金)二燮.

(I)求函数/(x)的极值；

⑵若不等式ey(A)+«ln.G1恒成立,求实数。的取值范围.

解⑴由题意可知/(x)的定义域为R,且/(x)=M，令「金)=0,得尸0,

当x变化时,/金)J(x)的变化情况如表，

X(-8,0)0(0,+oo)

/W+0-

/(X)单调递噌极大值单调递减

所以当40时J(x)取得极大值1,没有极小值.

⑵ey(x)+a\n1恒成立，即x+alnx20恒成立，

设gCv)=x+6/lnx,x>0,则gr(x)=1寸=资

①当<7=0时,g(x)=x>0恒成立，符合题意；

②当</>0时,/⑺>0,可知g(x)在(0,+8)上单调递增,

因为g(eW)=eT-l<0,

所以<+alnx20不恒成立；

③当«/<0时,x变化时,gQ),g(x)的变化情况如表，

X(0,-a)-a(-a,十8)

gG)-0+

g(X)1极小值单调递增

可知g(x)的最小值为g(-a)=-a+aln(-a),则-a+Hn(-a)20,

因为“<0,故解得-eW〃<0.

综上所述，实数。的取值范围是[-e.O].

3.(2026,辽宁省部分重点中学协作体考试)己知函数f(x)=(Inx-x+1)(e'-ar)(a£R).

⑴当“0时，求/G)的单调区间；

(2)若/(x)W0恒成立,求实数a的取值范围.

解⑴由题意可知J(x)的定义域为(0,+00),

若a=0,则f{x)=(lnx-x+\)e\

f(x)=(lnx—x+：)e*,

设g(1)=lnx-x+-,x>0,

/1\23

ml，/、X2-X+l(X-2)+4八

贝U8^=-^—=-3〈°，

可知g(x)在定义域(0,+oo)内单调递减，且g(l)=O,

故当Q1时,g(x)<0,即/(x)<0；当0<rd时,g(x)X),即/。)>0,

所以/(公的单调递减区间为(1,+8),单调递增区间为(0,1).

⑵设力⑺=lnx-x+luX),

则h,M=—X,

令h'M>0,解得0<r<l；令/2fCv)<0,解得x>\,

可知人(%)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，

则MOW>⑴=0,即lnx-x+1^0,

若/⑺W0恒成立，则e'-ax'O在定义域(0,+oo)内恒成立，

可得《2。在定义域(0,+8)内恒成立，

X

设FM=-,.x>0,则9(x)二"孚二

XX2

令F<»>0,解得x>l；令F(x)<0,解得0<r<l,

故“外在(I,十oo)内单调递增，在(0,1)内单调递减，

则F(x)^