江苏宿迁市2025~2026学年下学期八年级期中学业水平监测数学（试卷+解析）

2025〜2026学年第二学期八年级期中学业水平监测

数学

分值：150分时间：120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项是正确的，请

将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）

1.下列各式：①2,②?，③一一,④生中，是分式的有（）

x52-a兀

A.©@B.③④C.①②D.①③④

2.小明抛掷一枚质地均匀的硬币10次，若抛掷的前6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是

（）

,37

A.-B.—C.yD.无法确定

510

3.下列性质中矩形有而菱形没有的是（）

A,对角相等B.对角线互相垂直

C.对边平行且相等D.对角线相等

4.如果把分式一工中的x和V都扩大3倍，那么分式的值（）

x+y

A.扩大3倍B.缩小3倍C.扩大6倍D.不变

5.一个不透明的盒子中装有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个

球，下列事件属于必然事件的是（）

A,摸出的2个球中有黑球B.摸出的2个球中有白球

C.摸出的2个球都是黑球D.摸出的2个球都是白球

6.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（)

A.x(x-2)=x2-2xB.(x+1)=x2+2x+1

(2)

C.x+2=x1+—D.x2-4=(x+2)(x-2)

Ixj

7.下列分式是最简分式的是（）

\-xx-1八2x4

A.----B.—：——C.D.

x-\x2-\x72+\2x

8.小军不慎将一块平行四边形玻陶打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相

同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（)

A.①0B,③④C.②③D.①④

9.如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形48CQ.固定一张纸条，另一

张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A.四边形的周长不变B.四边形力BCD的面积不变

C.AD=ABD.AB=CD

10.如图，平地上4、8两点被池塘隔开，测最员在岸边选一点C,并分别在/C、8c上各找一点。、

E,已知NO=3C。，BE=3CE,若测量得。石=16米，则力、8两点间的距离为（）

A.8米B.32米C.48米D.64米

11.对于算式9式一99,卜列说法错误的是（)

A.能被98整除B.能被99整除C.能被100整除D.能被101整除

12.如图，平行四边形46CO的周长为24,点尸、。分别是边.4。、4C上的两个动点，若线段尸。长的

最大值为10,最小值为6,则平行四边形的面积为（)

11

D.

2~2

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

13.神舟二十二号飞船于北京时间2025年11月25日12时11分在酒泉卫星发射中心发射，二十二号载人

航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为.（填“普查”或“抽样

调查”）

14.若分式工有意义，则x的取值范围是____.

x+2

15.在平行四边形力中，Z/l=130°,MZC=

11

16.分式丁，/石的最简公分母是____.

2xy47DT

17.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中Na的度数是.

18.已知在平面直角坐标系中，原点为O,点力，8的坐标分别为（1,3）,（6,5）,若四边形0/8C是平行

四边形，则点。的坐标为.

19.如图，矩形Z3C。中，AB=6,BC=8,点£为边力。上一点，过点E分别作3。、的垂线，

垂足分别为E、G,则M+EG的值为.

20.如图，点七、尸分别在正方形力BCD边CO、4。上，CE=DF,线段ZE与8b相交于点G,

AG=4,分别取8。、8G的中点A/、N,若MN=2,则正方形48CQ的边长为

2

三、解答题（共8小题，共82分.解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明.）

21.分解因式

(1)5X3-10X2

(2)x2-6xy+9y2

22.将下列分式化简

(I)36〃b'c

6abe2

(2)2。+1

1-a2

23.如图，在平行四边形48CQ中，点E,厂在对角线力C上，AE=CF.连接4E,ED,DF,

FB.求证：四边形是平行四边形.

且

BC

24.如图，在V/8C中，AB=AC,D、E、厂分别为45、BC、CZ边上的中点.

A

AE

(1)求证：四边形尸是菱形.

(2)若48=13,8。=10,求四边形4OE歹的面积.

25.已知。+力=7,ab=12

(1)求242b+2a/的值.

(2)求一Ib+q/的值.

26.如图，菱形/8CO的对角线.4C,8。相交于点点E是力。的中点，点/，G在48边上,

EFVAB,OGVAB.

D

(1)求证：四边形OE/G是矩形.

(2)若4G=4,EF=8,求力8的长.

27.【问题背景】苏科版八年级下册数学教材第98页第16题如下：

如图1,正方形4BCD的对角线.4C、80相交于点。，正方形43'。'。的顶点H与点。重合，将正方

形,4'B'C'D'绕点、A旋转,在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗？

图4图5备用图

经过探究，我们可以有如下两种解题思路：

思路I：如图2,证明AOEC且A。尸Z),则S°£C=,这样，可实现四边形OECF的面积向

面积的转化；

思路2：如图3,过点O分别作0G_L5C于点G,0〃ICO于点，，证明aOGE丝△O”/，从而将四

边形OECF的面积转化成小正方形。GC”的面积.

(1)【问题思考】结合以上两种思路的点拨，深入思考，我们可以得到一系列正确的结论.

结论①：阴影部分。Eb与正方形ABCD的面积关系是：5四边形戊.c尸=S正方形.⑦.

结论②：线段BE、DF、之间的数量关系是.

结论③：线段BE、DF、斯之间的数量关系是.

(2)【类比迁移】如图4,如果把图1的正方形48co和正方形4"C'Q'分别都换成矩形4BCO和矩形

AB'C'D',其余条件都保持不变，则线段8£、DF、斯之间是否依然存在结论③的数量关系，若成

立，请加以证明：若不成立，请写出新的数量关系，并加以证明.

(3)【延伸应用】如图5,在直隹梯形力BC。和宜角梯形HB'C'Q'中，AD//BC,C,D,//A,B,,

ZADC=ZA,D,C,=90°,AB=BC,CD=4,力0=2，点/为对角线8。的中点，直角梯形

HBC'。可绕点4旋转，在旋转的过程中，的两边分别与直线4C、CD相交于点E、F,若

=3时，请直接写出线段8£的长.

28.本学期，在第八章四边形的学习中，我们通过平移、轴对称、旋转等变换对特殊的平行四边形、三角

形的中位线进行了深入的探究，请结合己有的经验和知识，对下列特殊的四边形进行研究，并解决问题.

【定义】在四边形内取一点，把四边形的四个顶点分别与该点相连，在该点处形成四个依次柞邻的角.如

果其中有一组相邻的两个角相等，并且余下的一组相邻的两个角也相等，我们把这样的点称为这个四边形

的内等邻角点，这个四边形就称为内等邻角四边形.

例：在四边形44。。中，点尸为四边形内一点，若/APB=/APD,4BPC=4DPC,则点尸为四边

形48CQ的内等邻角点，四边形力38为内等邻角四边形.

【概念内化】

（1）已知点”是四边形/SCO的内等邻角点，且满足N4W8=N8WC,则NBA/C与NQMC的数最

关系为•

（2）下列四边形中，一定不是内等邻角四边形的是.

①梯形；②普通矩形；③普通菱形；④正方形.

【理解判定】

（3）如图1,小明使用尺规作图的方法在给定的四边形/BCQ中作内等邻角点，其作图步骤如下：

①用直尺连接力C；

②以点。为圆心，适当长为半径画弧，交AC于点、E、F；

③分别以点£、尸为圆心，大于1上厂长为半径画弧，两弧相交于点G；

④用直尺作射线。G,交线段4c于点O；

⑤以点。为圆心，。。长为半径间弧交射线QG于点〃；

⑥用直尺连接并延长，交线段4c于点尸.

请你根据作图痕迹和作图的步骤，判断点。是否为四边形44CZ）的内等邻角点，并说明理由.

【升华应用】

(4)仅用无刻度直尺，在图2网格中作出四边形44C。的一个内等邻角点。.

2025〜2026学年第二学期八年级期中学业水平监测

数学

分值：150分时间：120分钟

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个选项是正确的，请

将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置）

1.下列各式：①2,②?，③一一，④生中，是分式的有（）

x52-a兀

A.©@B.③④C.①②D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】本题考存分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意）是常数不是字母.

【详解】解：•・•①2的分母x是字母，符合分式定义；

X

②号的分母5是常数，不符合分式定义；

③——的分母2-。含字母。，符合分式定义；

2-a

④画中乃是常数，分母不含字母，不符合分式定义；

71

・•・是分式的是①③.

2.小明抛掷一枚质地均匀的硬币10次，若抛掷的前6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是

（）

37

A.-B.—C.yD.无法确定

5102

【答案】C

【解析】

【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上概率等于;，

前6次的结果都是正面朝上，不影响下一次抛掷正面朝上概率，

则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为:

3.下列性质中矩形有而菱形没有的是（）

A,对角相等B.对角线互相垂直

C.对边平行且相等D,对角线相等

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查矩形与菱形的性质，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比两者的特有性质，找

出符合要求的选项即可.

【详解】解：•••矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有对角相等、对边平行且相等的性质，

/.A,C选项是矩形和菱形都具有的性质，排除；

•・•对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形不具有该性质，

・・・B选项不符合要求，排除；

•・•矩形的对角线相等，•般菱形的对角线不相等，

因此对角线相等是矩形有而菱形没有的性质，

故选D.

2丫

4.如果把分式中的X和y都扩大3倍，那么分式的值（）

x+y

A.扩大3倍B.缩小3倍C.扩大6倍D.不变

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果.

2x3.r6.Y2.Y

【详解】解：•••把》和j都扩大3倍后，得到新分式为——=T7——;=——，

3x+5y3（x+y）x+y

・•・新分式与原分式相等，分式的值不变.

5.一个不透明的盒子中装有I个黑球，2个白球，这些球除颜色外没有其他差别，随机从盒子中摸出2个

球，下列事件属于必然事件的是（）

A.摸出的2个球中有黑球B.摸出的2个球中有白球

C.摸出的2个球都是黑球D.摸出的2个球都是白球

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐

项分析即可得解，熟练掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解此题的关键.

【详解】解：A、摸出的2个球中有黑球是随机事件，故不符合题意；

B、摸出的2个球中有白球是必然事件，故符合题意;

C、摸出的2个球都是黑球是不可能事件，故不符合题意；

D、摸出的2个球都是白球是随机事件，故不符合题意；

故选:B.

6.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.X(X-2)=X2-2XB.(x+I)2=x2+2x+l

(2

C.x+2=x1+—D.x2-4=(x+2)(x-2)

Ix

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键.根据因式分解的定义，对

选项逐个分析即可.

【详解】解：X(X-2)=X2-2X,是整式的乘法，不是因式分解，故A选项错误；

(X+1)2=X2+2X+1,是整式的乘法，不是因式分解，故B选项错误：

(2}2

x+2=x1+-L等式右边中的一不是整式，不是因式分解，故C选项错误;

kX)x

F-4=(x+2)(x-2),把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故D选项正确.

故选:D.

7.下列分式是最简分式的是()

1-xx-12x4

A.---B.-rC.-；D.—

X—1X"—1X~4-I2,x

【答案】C

【解析】

【分析】根据最简分式的定义”一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最

简分式”，逐个进行判断即可.

本搜考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键.

1-rE-1

【详解】解：A、—=-=-1,故选项不是最简分式，不符合题意；

x-1x-1

X—1X—11

B、丁7=7―故选项不是最简分式，不符合题意；

X-11W1)X+1

2Y

C、一二是最简分式，符合题意；

犬+1

D、f=2,故选项不是最简分式，不符合题意；

2AA

故选：C.

8.小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相

同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（）

A.①②B,③④C.②③D.①④

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查平行四边形的判定，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可.

【详解】解：•・•只有③④两块角的两边互相平行，，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四

边形的顶点，

・•・带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小.

故选：B.

9.如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形44。。.固定一张纸条，另一

张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（）

A.四边形力BCD的周长不变B.四边形48CQ的面积不变

C.AD=ABD.AB=CD

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得44〃。，

AD//BC,则可满足四边形/8C。是平行四边形，得到48=CO,随着一张纸条在转动过程中，AD

不一定等于力4,四边形/8CQ周长、面积都会改变，据此可得答案.

【详解】解：由矩形的性质可得48〃CD，AD//BC,

・•・四边形ABCD是平行四边形，

・・・.48=CD,故D符合题意,

随着一张纸条在转动过程中，4。不一定等于力8,四边形49C。周长、面积都会改变，故A、B、C不

符合题意，

故选：D.

10.如图，平地上4、8两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C,并分别在8c上各找一点。、

E,已知NO=3CO,BE=3CE,若测量得。石=16米，则力、8两点间的距离为（）

A.8米B.32米C.48米D.64米

【答案】D

【解析】

【分析】证明列比例式解答即可.

【详解】解：VAD=3CD,BE=3CE,

CDCE1

:.一=一=一，

ACBC4

•・•/DCE=Z.ACB,

・•・XBACSXEDC,

.DEDC

161

.*.---=—,

AB4

解得＜8=64（米）.

11.对于算式99，-99,下列说法错误的是（）

A.能被98整除B.能被99整除C.能被100整除D.能被101整除

【答案】D

【解析】

【分析】将993・99化成99x98x100,故能被99、98、100整除，即可得到答案.

【详解】解：99二99

=99x(992-1)

=99x(99+1)x(99-1)

=99x100x98,

故能被99、100、98整除,

故选：D.

本题考查了整除，熟练分解囚式是解题的关键.

12.如图，平行四边形48CQ的周长为24,点、P、。分别是边4。、8c上的两个动点，若线段尸。长的

则平行四边形ABCD的面积为()

3311

B.30C.—D.—

22

【答案】A

【解析】

【分析】连接80,过点D作DE1BC,交BC的延长线于点E,根据题意可得。七=6,BD=10,设

BC=x,在中和在RtZXCOE中，运用两次勾股定理即可求解.

【详解】解：连接80,过点。作。E_L4C,交的延长线于点如图，

•・•四边形ABCD是平行四边形，

:.CD-AB,

由题意得，尸。的最小值就是力。与8c之间的距离，即平行四边形的高,

h=6=DE,

当P与。重合、。与8重合时，叱?取到最大值,

・•・3。=1(),

•・•平行四边形周长为24,

：.2(AB+BC)=24,即4B+BC=12,

设BC=x,则力B=12-x,

CD=AB=12—x»

在RtZ\3OE中，30=10,DE=6,

・•・BE=ylBD2-DE2=8，

/.CE=BE-BC=8-x.

在RtZXCQE中，CD2=DE1+CE2

（12-X）2=62+（8-X）2

144-24X+X2=36+64-16x+x2

144-24x=100-16x

8x=44

解得x——,

2

：.S=BCDE=«x6=33.

2

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

13.神舟二十二号飞船于北京时同2025年11月25日12时11分在酒泉卫星发射中心发射，二十二号载人

航天飞船在发射前，需调查其零部件的质量，则采用最合适的调查方式为.（填“普查”或“抽样

调查”）

【答案】普查

【解析】

【分析】本题考查调杏方式的选择，需根据调查的重要性与要求，结合普查和抽样调查的适用场景进行判

断.

【详解】解：根据题意，飞船零部件质量直接关系发射安全，必须保证每个零部件都合格，因此需要对所

有零部件进行检查，最合适的调查方式为普查.

14.若分式二一有意义，则x的取值范围是____.

x+2

【答案】工工一2

【解析】

【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件.

根据分母不为零即可求出答案.

【详解】解：•••分式三有意义，

工+2

，x+2w0

•••xw-2.

故答案为：xw-2.

15.在平行四边形力4C。中，Z/f=130°,则NC=

【答案】130。##130度

【解析】

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等.

根据平行四边形的性质即可进行解答.

【洋解】解：如图：

ZZ

•・•四边形ABCD是平行四边形，

AZJ=ZC=130°,

故答案为：130。.

11

16.分式丁，「■的最简公分母是____.

2xy46

【答案】4nx2y

【解析】

【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次思，计算得到结果即可.

【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次累的积作为公分母.

两个分式的分母分别为2个和4万一，系数部分的最小公倍数为4兀，x的最高次幕为2,N的最高次暴为

1,因此最简公分母为4乃.

17.如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中Na的度数是

【答案】60

【解析】

【分析】根据四边形内角和360。，等腰梯形的两个底角相等，得到6a=360。，求解即可;

【详解】解：根据题意，得四边形内角和360。,

由等腰梯形的两个底角相等，得到6a=360。,

解得a=60。：

18.已知在平面直角坐标系中，原点为。，点4,8的坐标分别为（1,3）,（6,5）,若四边形048C是平行

四边形，则点C的坐标为

【答案】（5,2）

【解^5]

【分析】利用平行四边形对角线互相平分，运用中点的坐标公式可求点C的坐标.

【详解】解：・・・口。48。的顶点顺序为0—4—8fC—O,

・♦.OB和AC是口OABC的对角线,

设点。是。8和/C的交点，设点。（xj）,

V0(0,0),5(6,5),

‘0+60+5

：.D,即。,

V2，

1+x3+y

V.4(1,3),C(x,y),4。的中点坐标为

22)

1+X'

----=3

,2

‘3+y5

［亍=5

x=5

解得

)二2

.••点。的坐标为（5.2）.

19.如图，矩形48C。中，48=6,8C=8,点£为边力。上一点，过点E分别作B。、4C的垂线,

垂足分别为尸、G,则£“+EG的值为

&

【解析】

【分析】过点。作OA/14C于点M,设矩形对角线的交点为点O,连接。£,根据矩形的性质，勾股

定理，三角形的面积求解即可:

【详解】解：过点。作。于点"，设矩形对角线的交点为点O,连接0E,

矩形力8co中，力8=6,8C=3,

则N/8C=90。，DC=AB=6,AD=BC=S,

；.AC=ylAB2+BC2=10*

：.()A=OC=()B=OD==AC=5,

2

根据题意，得LACDMJQDC,

22

故杵四江二”二二

AC105

根据题意，得SS°E+SGDOE=SNOD

,\-AOEG+-DOEF=-AODM,

222

：.-AOEG+-AOEF=-AODM,

222

24

:.EF+EG=DMT

20.如图，点E、尸分别在正方形力BCD边C。、4。上，CE=DF,线段力石与8厂相交于点G,

AG=4,分别取B。、8G的中点A/、N,若"'二』，则正方形48CO的边长为

2------

【答案】屈

【解析】

【分析】如图，过点。作。于点〃，连接GD,根据三角形中位线定理得GO=2WN=5,证

明△44"g七(SAS),根据全等三角形的性质推出=4,最后根据勾股定理可得答案.

【详解】解：如图，过点。作Q//14E于点H,连接GQ,

・•・4AHD=90。,

•・•点/、N分别是80、8G的中点，MN="

2

・・・MN是aBOG的中位线，

：.GD=2MN=2x-=5,

2

•.•在正方形.44。。中，CE=DF,

：.AB=AD=CD,NBAF=90。=/ADE,

・•・/ABF+N4FB=90。，

：.AD-DF=CD-CE,即力尸=OE,

在△以厂和V/1OE中，

BA=AD

NBAF=AADE,

AF=DE

・•・AB42"QE(SAS),

Z.ABF=Z.DAE»BF=AE,^^BAF=^AADE»

・•・乙DAE+NAFB=AABF+乙4FB=90°，

/./AGF=90°,即

,・FG=4,DHLAE,

***yBF-AG—SABAF~S^ADE=54E-DH,

:・DH=AG=4,

在RtZXQG〃中，GH=4GD?-DH?=正-4?=3,

:・AH=AG+GH=4+3=7,

在Rt△力OH中，AD=LH?+DH?=々+42=病,

・•・正方形ABCD的边长为V65.

三、解答题(共8小题，共82分.解答时应写出必要的步骤、过程或文字说明.)

21.分解因式

(1)5X3-10X2

(2)工2-6孙+9、2

【答案】⑴5X2(X-2)

(2)(工-3歹)2

【解析】

【分析】(1)利用提公因式法提出相同的因数5/即可求出答案.

(2)利用完全平方公式/一2砧+/=(。一与2即可求出答案.

【小问1详解】

解：5x3-10x2=5.r2(x-2).

【小问2详解】

解：X2-6xy+9y2=(x-3y/.

22.将下列分式化简

36463c

6abe-

⑵42*

\-a2

【答案】（1）丝

【解析】

【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可；

（2）先分解因式，然后约分计算即可：

【小问1详解】

女”36abic6abex6b，6b1

解：------=----------=——：

6abc6abexcc

【小问2详解】

42—2q+]=（q—I）?二（1—a）?二]一4

\-a2一（1一。）（1+。）一（1—。）（1+。）―1+。'

23.如图，在平行四边形44co中，点£,尸在对角线/C上，AE=CF.连接3E,ED,DF,

卜8.求证：四边形4”。上是平行四边形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可.

【详解】证明：连接交/C于点。，

H

•••匹边形48C。为平行四边形,

OA=OC,OB=0D.

•・•AE=CF,

:.OA-AE=OC-CF

OE=OF,

・•・四边形BFDE是平行四边形.

24.如图，在V/18C中，AB=AC,D、E、尸分别为48、BC、C4边上的中点.

（1）求证：四边形力OEE是菱形.

（2）若48=13,BC=\O,求四边形力。后斤的面积.

【答案】（1）见解析（2）30

【解^5]

【分析】（1）根据三角形中位线定理，得DE='4c=4F=FC,FE=-AB=AD=DB,继而得到

22

AD=DE=EF=FA证明即可.

（2）根据等腰三角形三线合一，得"E=KC=gAC=5,根据三角形中位线得到。F=；〃C=5,根据

勾股定理，得AE={AB2—BE2=12,利用菱形的性质求解即可.

【小问1详解】

证明：•・•48=4。，D、E、F分别为4B、BC、。边上的中点.

CE//A31DE=—AC=AF=FC,

2

FE//AB,FE=-AB=AD=DB,

2

:・AD=DE=EF=FA,

二.四边形力。£厂是菱形；

【小问2详解】

解：连接力民。”，

vAB=AC,BE=EC=2BC=5、

2

AEA.BC,

•・・。、E、产分别为48、BC、。边上的中点.

ADF//BC,DF=-BC=5,

2

-：AB=13,

二AE=>jAB2-BE2=12>

•・•四边形力。E/是菱形：

・・四边形。厂的面积为：-JE/)F=-xl2x5=30.

•/£99

AMAM

25.已知。+6=7,ab=12

(1)求2/力+2R，的值.

(2)求一2//)2+/6+(力3的值.

【答案】(1)168(2)12

【解析】

【分析】(1)根据题意，得242H2M2=2"(。+8),代入求解即可.

(2)根据题意，得一2a2b2+苏1)+就3=帅(f-2ab+b2)=ab(a-b)2,变形代入求解即可.

【小问1详解】

解：Qa+b=7,ab=12,

la2b+2ab2=2ab(a+8)=2x12x7=168；

【小问2详解】

解：根据题意，得一2a2b2+db+(山3=ab(a?-2ab+*)=ab(a-b)?

=呻4+〃)-]=12x(49-4x12)=12

26.如图，菱形力8c力的对角线,4C,80相交于点。，点E是力D的中点，点、F,G在nB边上,

EFLAB,0GLAB.

D

(1)求证：四边形OE/G是矩形.

(2)若8G=4,EF=8,求力3的长.

【答案】(1)见解析(2)2()

【解析】

【分析】(1)根据有一个角是史角的平行四边形是矩形证明即可；

(2)根据题意，得NB4O=90。-NOBG=NBOG,结合N8GO=90。=N304,证明

△BAOs^BOG,列比例式解答即可.

【小问1详解】

证明：因为菱形48CQ的对角线4C,3。相交于点。，点E是力。的中点，

故04=OCQB=OD,AE=DE,

故0E是“DB的中位线，

;.OE1[FG,OE=；4B,

vEFA.AB,OGVAB,

:.EF\\OG^EFG=90°,

二.四边形OEFG是平行四边形，

•••ZEFG=90°,

四边形OERG是矩形.

【小问2详解】

解：•・•四边形0ER7是矩形，菱形48。的对角线/C,5。相交于点。，EF=3,

A/BGO=90Q=ABOA,OG=EF=8,

•・•ABAC)=90。一/OBG=N80G,

:.ABAOS^BOG,

.ABOB

••布一记

•・・BG=4,OG=8,

•••BO=^BG2+OG2=VS2+42=4>/5，

.AB_475

・・亚F'

解得48=20.

27.【问题背景】苏科版八年级下册数学教材第98页第16题如下:

如图1,正方形4BCQ的对角线.4C、3。相交于点。，正方形4B‘C'Q'的顶点H与点。重合，将正方

形44'CZ>'绕点W旋转，在这个过程中，这两个正方形重合部分的面积会发生变化吗？

图1图2图3

图4图5

经过探究，我们可以有如卜两种解题思路:

思路1：如图2,证明△OECg△。/。，则SaMcuS.o。，这样，可实现四边形OKCE的面积向△08

面积的转化；

思路2：如图3,过点O分别作0G_L8C于点G,。”_1。。于点“，证明△OGE乌从而将四

边形OECF的面积转化成小正方形OGC”的面积.

(1)【问题思考】结合以上两种思路的点拨，深入思考，我们可以得到一系列正确的结论.

结论①：阴影部分。ECb与正方形48CQ的面积关系是：5四边形。反尸=S正方形彳底7).

结论②：线段8E、DF、CO之间的数量关系是.

结论③：线段BE、DF、E尸之间的数量关系是.

(2)【类比迁移】如图4,如果把图1的正方形48co和正方形4"CZ)'分别都换成矩形力BCO和矩形

AB'C'D',其余条件都保持不变，则线段笈£、DF、E尸之间是否依然存在结论③的数量关系，若成

立，请加以证明：若不成立，请写出新的数量关系，并加以证明.

(3)【延伸应用】如图5,在直先梯形44。。和直角梯形中，AD〃BC,C'D7/A,B,,

ZADC=ZA,D,C,=90°,AB=BC,CD=4,40=2,点W为对角线4。的中点，直角梯形

/'B'C'Q'可绕点W旋转，在旋转的过程中，的两边分别与直线5C、CQ相交于点七、F,若

。尸=3时，请直接写出线段8E的长.

【答案】(1)结论①：!；结论②：BE+DF=CD；结论③：BE2+DF2=EF2

4

(2)依然成立，证明见解析

(3)8E=U或U

102

【解析】

【分析】(1)①根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，证明54以=5.惭，结合正方形的性

质，得Svm,qs四边形说爪等量代换求解即可•

②根据三角形全等，得到"二。/，结合BE+CE=BC,根据正方形的性质，等量代换求解即可.

③证明得到=利用勾股定理，正方形的性质，等量代换即可得到如下

BE2+DF2=EF2^

(2)过点。作0G_L3C于点G,作O，_LDC于点儿证明△“0尸s^GOE,设

BE=x,DF=y,AB=CD=b,AD=BC=a,得到aGE=bHF,连接收，根据勾股定理，得

A'E2+A'F2=EF1，整理，得到aGE+BE?+DF?-bHF=EF?,结合aG£=求解即可・

4

(3)当DF=3,且交点都在边BC,CO上时，M/=CO-QW=1,EN=—,得到

5

(3八

加户+9=1+—解得BE=—；当=3,且交点都在边8C,C。的延长线上时,

MF=DMTDF=5,EN=4,得到852+9=49+(方)，解得6万=当

【小问1详解】

解：连接

•・•正方形/BCD,ZEOF=90°,

・•.OA=OB=OC=OD,ZBOC=/COD=90°,

ZODF-Z.OCD-/OBC-NOCB_45°,

・•・/DOF=90°-4cOF=ZCOE,

在△OCE和△。。b中，

'/DOF=/COE

<OD=OC,

40DF=NOCE

:NCOE小DOF,

•c-c

••°ACOE~°C.DOF'

：•SYCOE+SVCOFTVDOF+SVCOF，

:，四边形CEO尸»

A________DD・

B-

在正方形ABCD中＞KCOD=*S四边形488,

,•S四边形二W，四边形/8CO；

,:NCOEaDOF,

・•・CE=DF；

•・•BE+CE=BC,

BE+DF=BC»

•・•四边形NBC。是正方形,

ABC=CD

:・BE+DF=CD；

•・•四边形45CO是正方形,

・•・NBCD=90。，

二CF2+CE2=EF2，

・•・CF2+DF2=EF-

•・•正方形48CD,ZEOF=90°,

OA=OB=OC=OD/BOC=4COD=90°,ZODF=£OCD=NOBC=Z.OCB=45°，

・•・/COF=90°-/COE=NBOE,

在△OBE和△Ob中，

'/COF=NBOE

：.<OC=OB,

k/LOBE=NOCF

:・△OBEQAOCF,

・•・BE=CF,

:'BE2+DF2=EF2；

【小问2详解】

证明：8七2+。尸2=£尸2成立：理由如下：

过点。作OG15C于点G,作。“1。。于点〃，

•・•四边形/48CO是矩形，

/.OA=OB=OC=OD,ZBCD=90°,

•・•乙OGE=NOGC=90°,40HF=90°,

・•・四边形OGC”是矩形，

:,乙GOH=90°,OG=CH,OH=CG,

•・•乙EOF=90°,

・•・/HOF=90°-AFOG=ZGOE,

HOFsqOE,

.GEOGOE

,•而一而一而'

*/OA=OB=OC=OD,OGIBC,OH1DC,

:.BG=CG=—BC»CH=DH=-DC>

22

：.OH=BG=CG=-BC,OG=CH=DH=-DC,

22

设BE=x,DF=y,AB=CD=b,AD=BC=a,

：.OH=BG=CG=-a,OG=CH=DH='b,

22

.GEOGABb

^~HF=~OH=~BC='ay

・•・aGE=bHF,

连接石厂，根据勾股定理，得H£2+47r2=.2,

:.GE2+OG2+HF2+OH2=EF2，

^-b2DF-b\+-a2=EF2,

[2)4I2)4

：,-a2-aBE+BE1+-b2+DF2-bDF+-b2+-a2=EF?,

4444

：,-a2-aBE+BE2+-b2+DF2-hDF=EF2,

22

：,-a2-a[-a-GE\+BE2+-b2+DF2-b[-b+HF\=EF2

212J2U)

：,-a2--a2+aGE+BE2+-b2+DF2--b2-bHF=EF\

2222

・•・aGE+BE2+DF1-bHF=EF"

•・•aGE=bHF,

・•・BE2+DF2=EF2^

【小问3详解】

解：过点力作力。于点°,

VAD//BC，

.・・ZC+ZJZ)C=180°

,：ZADC=90°,

・•・/C=ZADC=90°,

・•・四边形"。CQ是矩形,

/