人教版九年级数学上册：因式分解法（讲义）

第二十五章一元二次方程

25.2.3因式分解法

知识噪理我脉络一£佣奉®.

两个一次式相乘

椅一元二次方程化为

乘积为0

依据一若两数乘积为0,则至少f数为0

(x+a)(x+b)=0

霜正

适用于左边多项式能因式分解的一元二次方程

「提取公共因式

提公因式法1｛初■:石一二区二一6二二好二6

知识清单利用平方差/完全平方公式

常见方法公式法

便；『二4=0;(x+2)(6二一2)一10!

「拆分二次项、常数项配系数

十字相乘法彳例：a;?-3a；4-2=0—>(x—lj(ai-2)=0

❶整理方程将方程化为右边为0的形式

❷分解因式把左边多项式分解为两个一次式的乘积

步骤

-❸求根一令每个一次式为。，解一元一次方程一得41=-Q，x2

右化零，左分解，两因式，各求解

方程右边必须先化为0,否则不能亘接分解

因式分解5去使用前提

左边多项式必须能分解为两个一次因式的乘积

解方程时，不能亘接在方程两边同除以公未知数的因式

因式分解法

易借点避坑十字相乘时，符号容易出错，需注意次顷系数的正负

学法指导

分解因式后，必须令每个因式分别为o,不能只写一个解

首选直接平方法

其次考虑因式分解法

［选用合适的方法解方程■

■对任何方程都能用公式法

有特殊要求时用配方法

提公因式i去解一元二次方程★

公式法解一元二次方程*

判断因式分解法解方程的止误*

非标准形式方程，先整理再因式分解★★

因式分解法解含括号的方程★★

常见考题-

十字相乘法解简单一元二次方程★★

换元法解一元二次方程★★★

因式分解法与含参问题综合★★★

选用合适的方法解一元二次方程★★

解含绝双值/根号的一元二^方程★★★

知识梳理级地敷材▲套实,勒

▼

分知识点一因式分解法

定义：将一元二次方程因式分解，使方程化为两个一次因式乘积等于。的形式，再使这两个一次因式分别

等于0,从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.

关键：将•元二次方程因式分解，降次为•元•次方程.

依据：如果两个因式的乘积为0,那么这两个因式中至少一个为0,即若ab=0,则a=o或b=0.

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

一般步骤方法典例(2/_1)=3(2-1)

移项将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0r(2/-l)-3(2r-l)=0

化积将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式原方程变形为("3)(2"l)=0

转化令两个一次式分别为零，得到两个一元一次方程.“一3=0或2f-1=0

求解解这两个•元•次方程，它们的解就是原方程的解.1

/.t,=3,t=—

22

》即学即练

••••

1.(25-26九年级上•辽宁丹东•期口)一元二次方程/="的根是.

【答案】芮=0,々=1

【分析】将原方程移项整理为一般形式，再用因式分解法求解一元二次方程，即可得到方程的根.

【详解】解：

移项，得f一3=0，

提取公因式，得x(xT)=0，

x=0或=0,

解得X=o,x2=\.

2.(25-26九年级上•四川泸州•月考)方程2*-1)2=1-1的两个根是.

【答案】％=1，匕=3

【分析】本题考查一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、公式法.解题的关键是正确移

项后因式分解转化为两个一次方程求解.题目给出方程2(X-1)2=/-1.将方程展开并移项，得到

2^-4X+2-X2+I=0.整理得父-4/3=()利用卜字相乘法因式分解得到两个一次方程，分别求解即可得

到方程的两个根.

【详解】解：2(x-l)2=x2-l,

展开得2/-4%+2=/-1,

移顶得2/—4X+2—Y+I=。，

即f-4/3=0,

整理得。-1）（%-3）=0,

所以尸1=0或x-3=0,

解得x=l或x=3,

故答案为七=1，〜=3

3.（25-26九年级」二四川眉山•期口）方程Y-12x+27=0的两个根是等腰三角形的腰和底，贝!该三角形的

周长为.

【答案】21

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是正确求解方

程的两个根.

先解一元二次方程得到两个根，再根据等腰三角形的性质分类讨论腰和底的取值，利用三角形三边关系判

断是否成立，最后计算周长.

【详解】解：f-⑵+27=0,

解得石=3,Xj=9,

若腰为3、底为9,则三边长为3、3、9,但3+3=6<9,不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不成

立；

若腰为9、底为3,则三边长为9、9、3,满足三角形三边关系，周长为9+9+3=21,

故答案为：21.

.知识点二选用合适的方法解一元二次方程

方法说明

直接开平方法方程没有一次项时用直接开平方法较为简单（最直接的方法）

配方法二次项系数为1,一次项系数为偶数时，比此方法较为简单（最基本的方法）

在配方法和公式法中，当各项系数均为整数，且绝对值较小时，首选公式法（万能

公式法

方法）

方程没有常数项时用因式分解法较为简单；当方程中含有括号时，不要急于去括

因式分解法

号，应观察是否能看作整体，直接因式分解（最简便的方法）

分即学即练

••••

1.(24-25九年级上•安徽淮南•期天)解下列方程：

(1)X2+4X-5=0

(2)|>-4)2=(5-2X)2

【答案】(IM=1，/=-5

(2)X)=3,工2=1

【详解】⑴解:炉+4%-5=0,

移项，得产+4戈=5,

配方，得八4%+4=5+4,

即(工+2『=9,

得了+2=3或x+2=-3,

解得％=1,9=-5；

(2)解："一4)2=(5-2力2,

移项，得(x—4f—(5-2力2=0,

因式分解,得(x-4-5+2r)(I+5-2x)=0,

即(3x-9)(r+l)=0,

二3工一9=0或一x+1=0

••・新得看=?，丫2=।.

2.(25-26九年级上•新疆乌鲁木齐•月考)解下列方程:

(1)2(X+1)2=18

⑵|*-3『=5"-3)

(3)3X2-4X-2=0

【答案】(1)%=2,x2=—4

⑵%=3,=8

小2+x/fO2-屈

⑶再=---，/=―—

【详解】(1)解：2(X+1)2=18

(X+1)?=9

x+1=±3

解得%=2,x2=-4；

(2)解：(X-3)2=5(X-3)

(X-3)2-5(X-3)=0

(x-3)(x-3-5)=0

(x-3)(x-8)=0

，x-3=0或x-8=0

解得为=3,X2=8；

(3)解：3X2-4X-2=0

a=3,b=-4,c=-2

△=(T)2-4X3X(_2)=40

一(-4)土质_4±2亚_2土质

X~-2^3~-63

解得y笞叵，占=产.

3.(25-26九年级上•辽宁鞍山・月考)解下列一元二次方程:

(I)4X2-4%-2=0；

(2)x(x-4)+5x-20=0.

【答案】(1)%=匕正，%=三回

(2)玉=4,=-5

【分析】(1)利用配方法求解用可;

(2)利用因式分解法求解即可.

【详解】(1)解：4X2-4X-2=0,

4x:-4x+l=2+1,

(2A-1)2=3,

2x-1=>/3或2A1-1=—>/3,

1+E1-5^

•'*%=~2_-2-；

(2)解：x(x-4)+5x-20=0

x(x-4)+5(.r-4)=0,

(x-4)(x+5)=0,

x-4=0或x+5=0,

二.4=4,x2=-5.

题型等建抓住垓M▲突破步匕

A题型()1提公因式法解一元二次方程

典［例1精事

1.(25-26九年级上•河南驻马店•期末)用因式分解法解方程V—5x=0,正确的是()

2

A.x(x-5)=0,%=0,X2=5B.(x-5)=0,=x2=5

C.x(x+5)=0,玉=0,x2=-5D.(X+5)2=0,xt=x2=-5

【答案】A

【分析】本题主要考查一元二次方程的解法.根据因式分解法求解方程即可.

【详解】解：X2-5X=0，

x(x-5)=0,

x=0或x-5=0,

解得：x,=0,x2=5,

故选：A.

变I式I巩I固

1.(25-26九年级上•吉林长春•期天)方程x(x-2)=2-x的解是()

A.x=-lB.x=2

C.内=-1,占=2D.玉=1,%=2

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法,

公式法，因式分解法等.

先移项，再根据因式分解法解一元二次方程求解即可.

【详解】解：x(x-2)=2-x,

x(x-2)+(x-2)=0,

(x-2)(x+1)=0,

•,.工一2=0或x+l=0,

•••方程的解为王=一1，W=2.

故选：C.

2.(2026.内蒙古通辽•二模)已知一元二次方程1+5尤=0的两个实数根为不修，则2阳+2%=

【答案】-10

【分析】解法一：根据因式分解法求出方程的解；

解法二：利用根与系数的关系求解.

【详解】解法一：e+5x=0，

x(x+5)=0

解得玉=0,七=一5,

2X[+2X2=—10；

解法二：在方程炉+51=0中，a=\,b=5,

由根与系数的关系可得2%+2%=2(%+W)=一§=一1。.

3

3.(25-26八年级下•全国,课后作业)小华在解方程4/=3x时，只得出一个根是工==,则被他漏掉的一个

根是x=.

【答案】0

【分析】利用因式分解法解一元二次方程，即可得到被漏掉的根.

【详解】解：•,4/=3X

/.4X2-3X=0

/.A(4X-3)=0

解得：』=0或/=(3

因此被小华漏掉的一个根是0.

A题型02公式法解一元二次方程

典I例I精I析

1.(25-26九年级上•福建•期末)方程k・1=0的根为()

A.x=lB.%=1

C.=1,x,=-lD.=x2=-l

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，运用因式分解法解方程，即可作答.

【详解】解：

.­.(jr-l)(x+1)=0,

Xj=1,x2=-1

故选：C.

变I式T巩[固

1.(25-26九年级上•甘肃武威・月考)方程36=0的解为()

A.x=6B.x=-6C.=6,x2=-6D.=\/6,x2=—y/b

【答案】C

【分析】本题考查解一元二次方程，可通过因式分解法直接求解.

【详解】v36=0,

(x-6)(x+6)=0,

•••x-6=0或x+6=0,

X]=6或x2=-6,

即解为x.=6,x2=-6,

故选：C.

2.(25-26九年级上•四川眉山・期⑴方程丁―4x=0的解是()

A.2或()B.±2或0C.±2D.-2或0

【答案】B

【分析】本题主要考查了因式分解法解高次方程，熟练掌握提取公因式法、平方差公式因式分解的方法是

解题的关键.

先对方程左边提取公因式，再用平方差公式因式分解，最后利用零乘积性质求解方程的解.

【详解】•••/_4x=0,

.♦.3俨-4)=0,

.-.x(x-2)(x+2)=0,

•••x=0或x=2或x=-2.

故方程的解为±2或0.

故选：B.

3.(25-26九年级上•广东惠州•期巾)我们规定一种运算：^C=ad-hc.依据以上规定计算：当工=—

b(1

0.5工x-0.5

时，।=0.

1X

【答案】1

【分析】本题主要考查了新运算规则、解一元二次方程等知识点，理解新运算法则是解题的关键.

根据规定的运算规则将行列式转化为关于X的一元二次方程，然后解方程求得X的值即可.

【详解】解：由运算规则，得0.5.LAlx(x-0.5)=0,

整理得：X2-2X+1=0.

解得：x=\.

故答案为1.

I►题型03判断因式分解法解方程的正误

典！例1精西

1.(25-26九年级上•湖南长沙•期口)解方程的“规范”就像建筑的“地基”，错一步可能满盘皆错.学习解一

元二次方程，必须严格遵守方程变形的基本法则.例如：下面解一元二次方程的过程所得出的错误结果，

就是由于不遵守数学基本法则导致的.求解一元二次方程3(x-l『=2x-2时，推理过程如下：

第一步：根据因式分解法，将右边分解为3(X-1)2=2(X-1)；

第二步：直接将方程两边同时除以(x-l),得到3。=1)=2；

第三步：去括号，得到3x-3=2；

第四步：移项，得到版=5；

第五步：系数化为1,解得x=g

请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则.

【答案】二

【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程.第二步直接除以代数式(x-l),但(x-l)可能为零，违

背了方程变形的基本法则：等式两边不能除以可能为零的代数式，否则会丢失根，据此进行分析，即可作

答.

【详解】解：正确解法应从第一步3(x-l)2=2(x-1)开始，

移项得3(1)2-2(x-1)=0,

再因式分解得。-l)［3(x-l)-2］=0,

由因式分解法可得工-1=0或3(x-l)-2=0,

解得x=I或x=|,

第二步直接除以(x-l)时，未考虑x-1=0的情况，导致丢失根工=1,违背了方程变形的基本法则，

即第二步是错误的，它违背了数学的基本法则

故答案为：二

变］式［巩］固

1.(25-26九年级上•河南郑州•期口)下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程2(工-2)2=丁-4的过

程，

请仔细阅读并完成相应的任务.

小刚同学：小颖同学：

解：2(x-2)2=(x-2)(x+2)第一步解：2(五-2『=(1-2)(1+2)第一步

2a-2)=(x+2)第二步2(X_2)2_(A2)(X+2)=0第二步

2、-4=工+2第三步(x-2)(2x-4-x+2)=0第三步

解得x=6第四步

文-2=0或工-2=0第四步

解得％=々=2第五步

任务一：

①小刚同学的解答过程中，从第步开始出现错误.错误的原因是;

②小颖同学的解答过程中，从第步开始出现错误.错误的原因是___________

任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解

任务三：解方程：X2+7x-18=0:

【答案】任务一：①二，方程两边同时除以可能为。的代数式卜-2)；②三，去括号时，括号前面是负

号，(x+2)中的2没有变号；

任务二：5=2,々=6；

任务三：百=2,x2=-9.

【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

任务■：①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解：

任务二：利用因式分解法解方程即可求解；

任务三：利用因式分解法解答即可求解.

【详解】解：任务一：①小刚向学的解答过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是方程两边I可时除

以可能为0的代数式(1-2),

故答案为：二，方程两边同时除以可能为0的代数式(1-2)；

②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，(x+2)中

的2没有变号，

故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，(x+2)中的2没有变号；

任务二：2(X-2)2=(X-2)(X+2),

2(X-2)2-(X-2)(X+2)=0

(x-2)(2x-4-x-2)=0,

即(x—2)(x—6)=0,

工一2=0或尤-6=0,

解得玉=2,x2=6；

故答案为：5=2,w=6；

任务三：x2+7x-18=0»

.-.(^-2)(x+9)=0,

•••x-2=0或x+9=0,

*'•%=2,Xj=-9.

2.(25-26九年级上•河北唐山•期口)下面分别是甲、乙两位同学板演的解题过程.

用同学：

2X2+3X-5=0乙同学：

解：。=2,b=3,c=-5第一步(X+1)2=2(x+l)

.­.^-4^=9+40=49第二步

x+l=2第一步

9±>/49

•••x=-------第三步x=2-\第二步

2x2

x=\第三步

内=耳，%=4第四步

(1)甲同学解一元二次方程的方法是「

(2)甲乙两名同学板演都出现了错误，分别写出他们从第几步开始出现错误；

(3)从甲、乙两位同学中任选•个方程进行正确解答.

【答案】(1)公式法

(2)甲从第三步，乙从第一步

(3)见解析

【分析】本题考查了•元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解答本题的关键.

(1)根据甲同学的解题步骤分析即可；

(2)根据甲同学和乙同学的解题步骤分析即可；

(3)分别根据公式法和因式分解法的步骤求解即可.

【详解】(1)解：甲同学解一元二次方程的方法是公式法，

故答案为：公式法；

(2)根据工=二^匣可知甲从第三步开始出现错误；根据工+1可能等于0可知乙从第一步升始出现错

2x2

误；

(3)选择甲或乙:

乙同学：

甲同学：

(X+1)2=2(X+1)

2X2+3X-5=O

解：。=2,b=3,c--5(X+1)2-2(X+I)=O

.必=从-4。。=9+40=49(x+l)(x+l-2)=0

-3±x/49x+1=0或x+1-2=0

,,A

2x2

%二-1,x2=1

,5

司=1，巧="

A题型04非标准形式方程，先整理再因式分解

典I例I精I而

1.(25-26九年级上•江西萍乡•期口)对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如

min{l,2}=l,min卜夜，一>/5}=-&.若min{x,l}=^——~!■，则x=().

A.3或2+逐B.-1或2+逐C.-1或2-6D.3或2-6

【答案】D

【分析】根据min{x,l}的定义，分x<\和x>\两种情况讨论，分别解方程并验证条件是否满足.

本题考查新定义下的方程求解，根据取值范围分类讨论并验证，注意舍去不符合条件的解.

【详解】解：•.・min{x,l}=二手口,

当xWl时，min{x,l}=x,

X2-2X-\

•••x=-------------，

2

整理得：x2-4.V-1=0»

解得：x=2±5/5;

VA-<1,

•••x=2-75<1；

当天21时，min{x,l}=l,

1X2-2X-\

A1=-------------,

2

整理得；x2—2x—3=0»

.•.(x+l)(x-3)=0,

解得：W=3,

x>l,

x=3；

综上，x=3或x=2-石.

故选：D.

变」式1巩I固

1.（25-26九年级上•山东聊城•月考）一元二次方程4（『2）2=5公10的解为.

【答案】司=2,匕=；13

4

【分析】本题考查了解一元二次方程.

通过因式分解法求解一元二次方程，先将方程右边进行因式分解，然后移项并提取公因式，最后转化为两

个一次方程求解.

【详解】解：方程4（x-2）2=5x-10可变形为4（刀一2）2=5（工一2）,

4（X-2）2-5（X-2）=0,

（x-2）（4x-8-5）=0,

（x-2）（4x-13）=0,

所以工-2=0或4x73=0,

13

解得芭=2,

4

13

故答案为：$=2,x=—.

24

2.（24-25九年级上•甘肃酒泉・期口）若6:x=（4+x）:2,则“

【答案】-6或2

【分析】本题考查了比例的基本性质，•元二次方程的解法，熟练掌握比例的性质，灵活解方程是解题的

关键.转化为方程炉+41-12=0,求解即可.

【详解】解：••・6:x=（4+x）:2,

/.A2+4x-12=0>

解得演=一6,七=2,

故答案为：-6或2.

3.（25-26九年级上•广东湛江•期天）解方程：（2x+l）（x-3）=-6.

3

【答案】x,=^x2=l

【分析】本题考查解一元二次方程一因式分解法，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法.方程整理

后，利用因式分解法解方程即可.

【详解】解：整理，得2/一5%+3=0,

（2J-3）（X-1）=0,

则21-3=0或工-1=0,

3

解得王=*9=1・

I►题型05因式分解法解含括号的方程

典！例1精病

1.(25-26九年级上•广东江门•期口)一元二次方程(\-4)2=(5-2x)2的解是

【答案】

芭=1,X2=3

【分析】将方程移项后，利用平方差公式分解因式，转化为两个一元一次方程，进而求解方程的根.

【详解】解：(x—4)2—(5—2x)2=0,

[-4)+(5-2力][(14)-(5-2切=0,

(-x+l)(3x-9)=0,

-x+l=0或3x-9=0；

解得玉=1,x2=3.

变I式I巩I固

1.(25-26九年级上•宁夏银川・期口)解下列方程

4(21『="+3)2

【详解】

解:4(21)2++3)2,

两边同时开平方，得2(2x-l)=±(x+3),

2(2x-1)=(x+3)2(2x-1)=-(x+3),

51

c，%=_g.

2.(25-26九年级上•河南洛阳・期天)用适当的方法解方程：

(l)x2-8x+12=0：

(2)4f-7x+2=0；

⑶l：2x+3)2=(3x+2)2.

【答案】(1)X=6,x2=2;

力7+V177-717

(3)再=1,x2=-1.

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键;

(1)根据因式分解法求解即可；

(2)先求出根的判别式，再根据求根公式求解即可；

(3)利用直接开平方法求解即可.

2

【详解】(1)解：X-8X+12=0；

因式分解得(x-6)(x-2)=0,

x-6=0,x-2=0,

解得玉=6,w=2；

(2)解：4X2-7X+2=0,

〃=4,〃=-7,c=2,

A=Z?2-4«C=49-32=17>0,

解得寸小叵，x”小叵;

88

(3)解：(2X+3)2=(3X+2)\

开方得2x+3=±(3x+2),

2.v+3=3x+2,2.x+3=-3x-2,

解得％=1,占=-1.

3.(25-26九年级上•江西上饶•期天)解下列方程:

(1)X2-3X=O；

⑵口一2『=(2工+5『

【答案】(1)%=。，占=3

(2)怎=-1,x2=-l

【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键.

(1)方程运用因式分解法求解即可；

(2)方程移项后运用因式分解法求解即可.

【详解】(1)解：X2-3X=0,

x(.r-3)=0,

x=0,x-3=0,

解得X=o,x2=3；

(2)解：(X-2)2=(2%+5)2,

(X-2)2-(2X+5)2=0,

[(A-2)+(2X+5)][(X-2)-(2X+5)]=0,

(3A+3)(-X-7)=0,

3x4-3=0,—x—7=0,

.,.X|=-l,x2=-l.

A题型06十字相乘法解简单一元二次方程

-^十字相乘法是因式分解当中的•种方法，分解二次项系数和常数项为两数相乘的形式，竖

排排列，十字交叉相乘并相加后的结果等于一次项系数，即分解完成，“数分成竖，交叉验;横写成因，

不能乱

典I例I精I析

1.(山东省荷泽市成武县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题)若一元二次方程的两根分别是

%=4,〜=-5,则这个方程可以是()

A.X2-X_20=0B.X2+X-2O=O

C.X2-A:+2O=OD.*2+X+20=0

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式的关系，关键是灵活应用；

由两根写出方程的因式分解形式，再展开得到一般式，与选项对比即可.

【详解】解：■:方程的两根分别为百=4,勺=-5,

•••方程可写为(x-4)(x+5)=0,

展开得：x2+5x-4.v-20=x2+x-20=0»

,这个方程可以是X2+A-20=0,

故答案选：B.

变I式I巩I固

1.(25-26九年级上•宁夏固原・期口)已知关于工的一元二次方程V-5x+6=0的两根分别是直角三角形的

两直角边，则这个直角三角形的面积为()

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程.

根据因式分解法解一元二次方程，然后利用面积公式求解即可.

【详解】解：•••/一51+6=0,

.­.(x-2)(x-3)=0,

二两根分别为x=2和x=3,

即两直角边长为2和3,

二面积S=,x2x3=3,

2

故选:D

ab

2.(25-26九年级上•山东聊城・月考)我们将‘这样子的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示

ca

ab12,xx—2

就是c例如3=lx4-2x3=4-6=-2,若6x贝)

4

A.2B.4C.2或4D.-2或-4

【答案】C

【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，正确理解二阶行列式的运算法则是解题的关键.

根据二阶行列式的运算法则列出方程，解方程即可得到答案.

xv—2

【详解】解一7，=4,

.,.X2-6(x-2)=4,

X2-6X+S=0,

(x-2)(x-4)=0,

.,•X-2=0^CX-4=0,

解得玉=2,々=4.

故选：C.

3.(25-26九年级上•山东聊城・月考)三角形的两边长分别是3和4,第三边长是方程/-13工+30=0的

根，则该三角形的周长为.

【答案】10

【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型.

根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案.

【详解】解：•.=2_13%+30=0,

.­.(x-3)(x-10)=0,

x,=3,x2=10,

当x=3时，

由于3+3>4,故能围成三角形;

三角形的周长为3+3+4=10,

当x=10时，

由于3+4<10,故不能围成三角形，

故答案为：10.

4.(河南省洛阳市宜阳县2025-2026学年上学期九年级数学期中考试试卷)已知工。0,且

/一外一6)J=0,则上的值为()

x

A.3B.gC.--D.g或」

3232

【答案】D

【分析】本题主要考查求分式的值，利用因式分解法求出相关的关系式是解题的关键.

利用因式分解法求出关于小)，的关系式，进而可求解.

【详解】解：由题意得，A2-A7-6/=0

(x-3y)(x+2y)=0,

二x-3y=0或x+2y=0,

解得％=3y，w=-2y,

,••工工()，

y1—y1

.•.一=1或一=一二，

x3x2

故选D.

5.(25-26九年级上•天津•期末)已知方程3x+2=0的两个解为与々，则二三的值为()

2323

A.-B.-C.——D.--

3232

【答案】A

【分析】本题考查解一元二次方程、代数式求值，通过因式分解求出方程的两个根，然后代入表达式计算

即可.

【详解】解：•.•方程/-3%+2=0可因式分解为(x—l)(x-2)=0,

，否=1,吃=2,

X|X21x22

xt+x21+23'

故选：A.

A题型07换元法解一元二次方程

方it

@-^换元法是一种数学的基本方法，一般用来简化运算，初中数学中常用的换元法有整体换

元、部分换元、韦达换元、平均值换元、增量型换元等，正确运用换元法的前提是要对题目的特征有比

较清晰合理的认识.

典I例I精I析一

1.(四川省射洪中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题)若(斤亍-1『=4.则而5

A.3或TB.-3或1C.-1D.3

【答案】D

【分析】本题主要考查了换无法解一元二次方程，整体求出国的值是解题的关键.通过设

。=新石，将方程转化为关于。的方程，求解后根据算术平方根的非负性排除无效解.

【详解】解：设。=新行，则原方程化为（。-炉=4,

=4,

二。—1=±2,

•••々=3或。=-1,

又行20（算术平方根非负），

二。二-1不符合题意，舍去，

二“+y=3.

故选：D.

变I式I巩I固

I.（湖北省应城市2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷）已知+/丫+3（〃P+〃]一1（）=（）,

则m2+n2=.

【答案】2

【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键.

根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答.

【详解】解：设/=/+〃2（d0）,

•••"+〃2丫+3（"「+〃2）—]°=0

则『+3f-10=0,

.-.（r-2）（r+5）=0,

贝|J/+5=O或l2=0,

.••，=2或1=-5<0（舍去）；

•••W+〃2=2.

故答案为：2.

2.（25-26九年级上•江苏南京・月考）方程5+32—4〃+,]—5=0,则x+,=______.

XVx）X

【答案】5

【分析】本题主要考杳了换元法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知换元法是解题的关键.

利用换元法对所给方程进行求解，然后再根据一元二次方程根的判别式确定答案即可.

【详解】解：令x+L=，〃，

X

则原方程可化为m--4m-5=0,

解得〃?=一1或5,

当力+1=一1时，

x

x2+x+l=O,

则八一1一4一一3V（）,

故此情况不符合题意；

当力+』=5时，

x

x2-5x+l=0♦

则A=25-4=21>（）,

故此情况符合题意.

故答案为：5.

3.（25-26九年级上•江苏扬州・月考）请阅读下列材料：

解方程（/_1『一5k2-1）+4=0.

解法如下：

将炉—1视为一个整体，然后设Gl=y,则［2一］）2=小

原方程可化为丁-5y+4=o,解得y=l,M=4.

（1）当，=1时，x2-l=l，解得x=±&;

（2）当y=4时，/一1=4,解得x=土石.

综合（1）（2）,可得原方程的解为%==—\/5,玉=石,%=一6.

请你参考明明同学的思路，解方程（x-1）“一5（x-1『一6=0.

【答案】占=1+#,x,=1-\/6

【分析】设（x-l『=y,则原方程化为一元二次方程：），2-5丁-6=0,先解出），的值，再进一步解出工的

值.

【详解】解：设（x-l>=y,则原方程可化为：y2-5y-6=0,

解得：））=6,y2=-l,

（1）当y=6时，（X-1）2=6,解得百=1+«,毛=1一指，

（2）当尸-1时，（x-l）2=-l,此方程无实数根，

综合（1）（2）,可得原方程的解是：％=1+#,&=1一戈.

4.(25-26九年级上•贵州遵义•期口)阅读材料,解答问题.

解方程：(4X-1)2-10(4X-1)+24=0.

解：把4x-l视为一个整体，设4x-l=y,

则原方程化为-l()y+24=0,

解得X=6,y2=4.

.•.4工-1=6或4工-1=4.

75

以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想.

请仿照材料解下列方程：

(1)/-3X2+2=0.

(2)|x2-2X)2-5X2+10X-6=0.

【答案】⑴

X]=l,x2=-1,&=夜，x4=-41

(2)

X,=1+y/l，=1—\/7>“3=七=1

【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键.

(1)设)，=/,将方程转化为关于y的一元二次方程求解，再解关于x的方程；

(2)设)，=f-2x,将方程转化为关于y的一元二次方程求解，再解关于x的方程.

【详解】(1)解：设)，=/,则原方程化为y2—3y+2=(),

/.(y-l)(y-2)=0,

.,.了-1=0或y-2=。，

=1或y=2,

V=1或丁=2,

「•原方程的解为玉=1,x2=-},玉=&，七二一及：

(2)解：原方程为(/-29'-5丁+10x-6=0,

即一2疗-5-2x)-6=0,

设y-—2x,则原方程化为)；一5)，-6=。，

.\(y-6)(y+l)=0,

.•.»-6=0或)，+1=0,

「•)=6或y=-l,

对于f-2x=6,即f-2x-6=0，

A=(-2)2-4xlx(-6)=4+24=28,

…2叵—币.

22

对于Y-2X=-1,即于-2X+1=0,

v(x-l)2=O,

:./=%=1,

・'•原方程的解为h=1+»Xy=1—>/7>工3=~=1.

A题型08因式分解法与含参问题综合

典！例1精尊

I.(25-26九年级上•江西九江•期天)已知关于x的方程2/-〃吠-12=0的一根为I，则该方程的另一根为

【答案】-6

【分析】把x=l代入方程，求出加=-10,再解方程即可.

【详解】把％=1代入方程,得2x12fxl-12=0,

解得〃7=-10,

二•一元二次方程为2/+10工_12=0,

两边同除以2,得寸+5工一6=0,

/.(x4-6)(x-l)=0,

."=-6,x2=1,

•••该方程的另一根为-6.

变I式I巩I固

1.(25・26九年级上•山东济宁.期天)已知关于》的一元二次方程9+(2左+1)工+公+1=。的一个解是

x=-l,则上的值为.

【答案】1

【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，将x=-l代入方程，得到关于〃的方程，求解

即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：将工=一1代入方程f+(2〃+l)x+F+i=0,得㈠)2+(2%+1)(-1)+二+1=0,

••・1-2&-1+&2+1=。整理得力2-2左+1=0,

.-.(A-l)2=0,解得攵=1,

故答案为：1.

2.（2025九年级上•全国・专题练习）用分解因式法解方程/-/次-6=0,将左边分解后有一个因式是

（x-3）,则〃的值是（）

A.—5B.5C.—1D.1

【答案】D

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键.

由于方程左边分解因式后有一个因式是3）,则R=3是方程的一个根，代入原方程即可求出P的值.

【详解】解：•.•将方程左边分解后有一个因式是（x-3）,

，x=3是方程的一个根，

代入x=3得，32-3/?-6=0,

解得P=l,

故选：D.

3.（25-26九年级上•江苏徐州・月考）关于工的一元二次方程〃M+一〃?二。有一根为0,贝］〃i的值为

【答案】1

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的概念，掌握此概念是关键.

将根x=0代入方程，得到关于小的方程，解出〃?的值，并根据一元二次方程的定义排除无效值即可.

【详解】解：•.・方程有一根为0,

二将x=0代入方程nix2+x+m2-/n=0»

得〃zC+0+nr-〃z=0

-m=0

解得〃?=0或，〃=1.

又•.该方程是一元二次方程，

•••二次项系数〃冲0,

.•.5=0不符合题意，舍去.

故雁=1.

故答案为：1.

A题型09选用合适的方法解一元二次方程

典I例I精I析

1.（24-25八年级下•全国•课后作业）不解方程，指出用什么方法解下列一元二次方程比较合适.

①/-9=0；

②/-3x7=0：

（3）?-5x+6=0;

@/-2y-624=0.

【答案】①直接开平方法：②公式法：③因式分解法；④配方法

【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次

方程的方法是解题的关键.根据方程的特点选择合适的方法即可.

【详解】解：®x2-9=0.选用直接开平方法比较合适；

②/_3..1=0,选用公式法比较合适：

③/—5X+6=0,选用因式分解法比较合适；

@/-2y-624=0,选用配方法比较合适.

变I式I巩I固

1.（22-23八年级下•山东泰安・月考）用合适方法解下列方程

（I）2x2-x-6=0:

⑵=—2）;

（3）3X2-7X=O

（4）l；x-2）（2x-3）=2（x-2）

3

【答案】（1）外=2,x2=--

⑵再=4,x2=2

7

（3）占=0,x2=-

（4）占=2,x2=|

【分析】（1）利用公式法求解即可；

（2）变形后，利用因式分解法求解；

（3）利用因式分解法求解；

（4）移项后，利用因式分解法求解.

【详解】（D解：2X