直线与圆的位置关系【十大题型】-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

专题2.7直线与圆的位置关系【十大题型】

【人教A版(2019)]

>题型梳理

【题型I判断直线与圆的位置关系】.............................................................2

【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】.......................................................2

【题型3圆的切线长】..........................................................................3

【题型4圆的切线方程的求解】.................................................................4

【题型5已知切线求参数】......................................................................4

【题型6求圆的弦长与中点弦】.................................................................5

【题型7已知圆的弦长求方程或参数】............................................................6

【题型8直线与部分网的相交何题】.............................................................7

【题型9直线与圆有关的最值何题】.............................................................8

【题型10直线与圆的方程的实际应用】..........................................................9

A举一反三

【知识点1直线与圆的位置关系及判定】

i.直线与圆的位置关系及判定方法

(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下:

位置相交相切相离

交点个

两个一个零个

数

/、

(/

图形

",

d与r的

d<rd=rci>r

关系

方程组

有两组不

解的情仅有一组解无解

同的解

况

(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的

实数解，即△>(),则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即△=(),则直线与圆相切；若无实数解，即

△<0,则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径，•的大小来判断，当dvr时，直线与圆相交；当公r时，直线

与圆相切;当力，•时,直线与圆相离.

【题型1判断直线与圆的位置关系】

【例1】（23-24高二下•陕西榆林,阶段练习）直线丫=k（工一5）-2（4£幻与圆。一3）2+。+1）2=6的位

置关系为（）

A.相离B.相交C.相切D.无法确定

【变式1-1］（23-24高二下•云南曲靖•期末）已知圆C:（%-2/+V=16,直线/:m%+y-3m-1=0,

则下列结论中正确的是（）

A.直线I恒过定点（2,1）B.直线I与圆C相切

C.直线1与圆。相交D.直线I与圆。相离

【变式1-2］（23-24高二下•上海•期中）已知直线上ax+by—r2=。与圆C:x2+y2=r2（r>0）,点A（a,b）,

则下列说法错误的是（）

A.若点A在圆C上，则直线［与圆C相切

B.若点4在圆C内，则直线，与圆。相离

C.若点4在圆C外，则直线［与圆C相离

D.若点4在直线［上，则直线L与圆C相切

【变式1-3］（23-24高二下.上海.期末）已知圆。的方程为X2+严=r2,点、pg/）,（MW0）是圆。内一点,

设以P为中点的弦所在的直线为m,方程为ax+by=r2的直线为m则（）

A.m||n,且ri与圆。相交B.m||n,且几与圆。相离

C.mln,月.n与圆。相交D.m1九，且n与圆。相高

【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】

【例2】（2024.山东烟台.三模）若圆/+y2+Q%+百y+2Q-3=o与无轴没有交点，则实数a的取值范围

为（）

A.（2,6）B.（3,5）

C.（2,3）U（5,6）D.（2,3）U（6,+8）

【变式2-1］（23-24高二下.四川达州•期中）“一4VmV6”是直线Z:%+y-m=O和圆C:（x-I）2+

（y+1）2=8相交的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【变式2-2］（2U24•江西吉安・模拟预测）已知圆（::％2+丫2-6%+8=。与直线/^一、+2=。有公共点，则

整数k的值为()

A.-3B.-1C.1D.2

【变式2-3](23-24高二下•河南濮阳•阶段练习)已知直线，:y=%+a与圆7+=2和圆(％-4)2+y2=

祖2〔小＞0)都相切，则实数血的值为()

A.V2B.2^2C.3V2D.a或3或

【知识点2圆的切线及切线方程】

1.自一点引圆的切线的条数：

(1)若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

(2)若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

(3)若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

2.求过圆上的一点(右,％)的圆的切线方程：

(1)求法：先求切点与圆心连线的斜率M后0),则由垂直关系可知切线斜率为-)，由点斜式方程可求

得切线方程.如果k=O或k不存在，则由图形可直接得切线方程.

(2)重要结论：

①经过圆/+必=,.2上一点PG。,％)的切线方程为+=〃2.

222

②经过圆(x—a)2+(y—b)=r上一点「(.，此)的切线方程为(凡一a)(x—a)+(yQ—b)(y—b)=r.

③经过圆M+y2+DI+E)，+F4)上一点p(x°,%)的切线方程为+D•土甘+E・丐a+F

=0.

【题型3圆的切线长】

【例3】(23-24高二上•安徽马鞍山•期末)由点P(-l,4)向圆工2+必一4%-6丫+12=0引的切线长是()

A.3B.V5C.gD.5

【变式3-1](23-24高二上•北京平谷•期末)已知半径为I的圆经过点4(2,3),过点M(—2,0)向圆作切线，

则切线长的最大值为()

A.V35B.2nC.V15D.473

【变式3-2](23-24高二上.重庆北硝.阶段练习)过点4(2,3)作圄M:/+y2=1的一条切线，切点为⑶则

\AB\=()

A.3B.2V3C.V7D.V10

【变式3・3】(2024・湖北•模拟预测)已知点P为直线1:3%-4丫+12=0上的一点,过点P作圆C:(x-3/+

(y-2)2=1的切线PM,切点为M,则切线长|PM|的最小值为()

.12D13厂V170「\/194

【题型4圆的切线方程的求解】

【例4】（23・24高二下•北京•期中）已知圆O:/+y2=5,直线，经过点（1,2）,且I与圆0相切，则，的方程

为（）

A.x+2y-5=0B.x-2y+3=0C.2x-y=0D.2x+y-4=0

【变式4-1]（23-24高二上.河南许昌.期末）直线/过点P（2,l）,且与圆/+/=1相切，则直线/的方程

为（）

A.3x+4y+2=0B.4%-3y+5=0

C.4x4-3y+5=0D.4x—3y—5=0或y=1

【变式4-2]（23-24高二上•湖南长沙•期中）过点（4,0）的直线2与圆/+川一轨一町+16=0相切，则

直线/的方程为（）

A.3x+4y-12=0或y=0B.3%+4y-12=0或X=4

C.4k+3y—12=0或y=0D.4%+3y—12=0或k=4

【变式4-3]（23-24高二上.天津・期末）过（1,0）点旦与圆/+丫2一4X-4y+7=0相切的直线方程为（）

A.2x-y-2=0B.3x-4y-3=0

C.2%-y-2=0或x=lD.3x-4y-3=0或x=1

【题型5已知切线求参数】

[例5]（23-24高二上•福建泉州•阶段练习）若直线y=V3z+7tl与圆/+y2-2y=0相切，则实数TH的值

为（）

A.一百+2或-75-2B.1或-3

C.-1或3D.“+1或百一1

【变式5-1]（23-24高二下•广东江门•期末）若直线％-y+3=0与圆/+y2-2x+2-a=0相切，则a=

（）

A.9B.8C.7D.6

【变式5-2]（23-24高二下.江西.阶段练习）已知圆O:/+y2=%直线I的方程为％-y+m=0,若在直

线Lt存在点P,过点P作圆。的切线P4PB,切点分别为点48,使得乙408为直角，则实数m的取值范围为

（）

A.（—oo,—4）U（4,4-00）B.（―oo,-4]u[4,4-oo）

C.（-4,4）D.[-4,4]

【变式5-3]（23-24高二上•安徽芜湖•阶段练习）已知圆C：（x+1尸+（y-1尸=4,若直线y=依+5上

总存在点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为60。，则实数k的取值范围是()

B.女工一盘或攵21

JLD

C.k<一个或k>0D./c>1

JLO

【知识点3圆的弦长】

1.圆的弦长问题

设首线/的方程为严丘+〃，网C的方程为(X—工0)2+(y—%)2=厂2,求弦长的方法有以下几种:

(1)几何法

如图所示，半径八圆心到直线的距离4弦长/三者具有关系式：，==*+(《)2

(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A(M，M)](M，n).

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

y=kx+b

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元

22

(x-xoy+(y-y0)=i

二次方程中根与系数的关系可得汨+必,汨•必或以十必，州•乃的关系式，通常把I4—x?|或

|力用=+土|凹一叫作弦长公式.

【题型6求圆的弦长与中点弦】

[例6](23-24高二下•山东烟台•阶段练习)已知圆/+y2-12A-+20=0,过点M(4,2)的直线与圆交于4,8

两点，线段48的中点为M

(1)若点N的坐标为(4,0),求历例；

(2)若线段MN的垂直平分线经过点P(2,0),求直线的方程.

【变式6-1](23-24高二上.山东日照.期末)已知直线，1：4x-3y+5=0与％垂直，且，2经过点(一1」)・

(1)求，2的一般式方程；

(2)若月与圆c：/+(y-4)2=25相交于48两点，求|4B|.

【变式6-2](23-24高二上•河南驻马店•期末)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一

书中证明了平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,kH1)的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯

圆.在平面直角坐标系xOy中，N(0,0),M(3,0),动点Q满足需=2,设动点Q的轨迹为曲线C.

⑴求曲线。的方程；

(2)直线Lx+my+m=0(m6R)与曲线C交于4B两点，若mW{-l,0,l},从中任选一个血值，求此时相应

的弦长|4B|.

【变式6-3](23-24高二上.湖北荆州.期末)已知圆。:必+y2-4m%+2y+5m2-6nl-6=0,直线，:％+

y-3=0.

⑴求m的取值范围;

(2)当圆。的面积最大时，求直线/被圆C截得的弦长.

【题型7已知圆的弦长求方程或参数】

2

[例7](23-24高二下•安徽六安・期末)“a=一5”是“直线+乃y+a=0被圆(％-I)2+(y-2⑹=5

截得的弦长为4”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

【变式7-1]（23-24高二下.安徽安庆・期末）已知圆心为（1,1）的圆与x轴交于A、B两点,\AB\=2t则该

圆的方程是（）

A.x2+y2+2x+2y=0B.x2+y2+2x4-2y-4=0

C.x2+y2-2x-2y=0D.x2+y2-2x-2y-4=0

【变式7-2]（2024•贵州六盘水•三模）已知直线ax—y+2=0与圆（％-1）2+丫2=4相交于A，B两点,

若[48|=28，则a=（）

43

A.-B.1C.--D.-2

34

【变式7-3]（2024•全国•模拟预测）已知圆C:7+y2-6%=0,直线位。都经过原点0,且匕,小若。与

。被圆。所截得的弦长之比为2:1,则直线。的斜率为（）

A.--B.-C.±-D.±-

2323

【题型8直线与部分圆的相交问题】

【例8】（23-24高二上•江苏连云港•阶段练习）若直线/:y=%+b与曲线、=斤中有两个交点，则实数b

的取值范围是（）

A.（-V2,V2）B.（1,V2）

C.[1,V2）D.[1,V2]

【变式8-1]（23-24高二下•重庆阶段练习）直线上x—my-l—3m=0与曲线C:x=2+6手有两个

交点，则m的取值范围是（）

【变式8-21（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）若直线y=m（x-1）+2与曲线y=^/?二77有且仅有两个

不同的交点，则实数m的取值范围是（）

A.卜2,-加（0可B.（-00,0）U（^,+oo）

C.[-2,-^）U（0,^]D.（-03,0）U（1,4-03）

【变式8-3]（23-24高二上•山西朔州•期末）直线-y-2k+1=0与曲线C:y+1=+6%-5有

交点，则实数A的取值范围是（）

A.[-1,2]B.(-co,-^]u[2,+oo)

C.[-2,|]D.(_8,-2]U原+8)

【知识点4与圆有美的最值问题的解题策略】

1.解与圆有关的最值问题

(I)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-14S,当直线/与圆C相交时，最小距离为0,最大距离为4力=-4其中r为圆的半径，〃

为圆心到直线的距离；

②如图2-5-ld②，当直线/与圆C相切时，最小距离为0,最大距离为AO二2八

③如图251d③，当直线/与圆C相离时，最小距离为最大距离为

图2-5_I-4

(2)利用直线与圆的位置关系脩决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标一函数关系式，然后根据函数关系式的特征选

用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几

何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如〃=汇二2的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

X—a

②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如(x-〃)2+()，—份2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.

【题型9直线与圆有关的最值问题】

【例9】(2024.陕西汉中•二模)已知OM:x2+y2-2x-2y-2=0,直线，:2%+y+2=0,P为/上的一

动点，A,3为OM上任意不重合的两点，则cos乙4PB的最小值为()

人2百4西门3

A.----DB.——C.---D.——

5555

【变式9-1](2024.四川攀枝花.三模)由直线＞=%上的一点P向圆(％—4)2+y2=4引切线，切点为Q,则

|PQ|的最小值为()

A.V2B.2C.遍D.2V2

2

[变式9-2](23-24高二下•湖南•期中)设4为直线3+y-2=0上一点，P,Q分别在圆G：1+J+y2=;

与圆。2：(无一1)2+(y—4)2=1上运动，则I/1QI—|入0|的最大值为()

A3+V13D1+V13厂3+V73n-3+V73

•2a•2。•2u•2

【变式9-3](2024•陕西西安・一模)己知圆。的方程为：x2+y2=1,点4(2,0),8(0,2),P是线段48上的

动点，过P作圆。的切线，切点分别为C,D,现有以下四种说法：①四边形PC。。的面枳的最小值为1：②

四边形PC0D的面积的最大值为倔③丽•丽的最小值为-1；④卮•而的最大值为看其中所有正确说法

的序号为()

A.①③④B.®@@C.②③④D.①④

【知识点5直线与圆的方程的应用】

1.直线与圆的方程的应用

(1)解决实际问题的步骤：

①审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出儿何模型，明确题中已知和待求的数据；

②建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的坐标及已知条件，求出几何模型的方程；

③求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解；

④还原：将运算结果还原为对实际问题的解释.

(2)建系原则

建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：

①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可

以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则川选其为坐

标轴.

②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形

的三个顶点全部放在坐标轴上.

【题型10直线与圆的方程的实际应用】

【例10】(23-24高二上•湖北武汉・期末)为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台。的正东方向

设立了观测站4在平台。的正北方向设立了观测站B,它们到平台。的距离分别为12海里和0)海里,

记海平面上到观测站4和平台。的距离之比