高考数学-集合与常用逻辑用语、不等式 基本不等式 （附解析）

基本不等式

激活思维

1.（教材经典题改编）已知x>l,则x+士的最小值为（C）

1

A.1B.2

C.3D.4

【解析】因为x>1,所以X—1>0,配以X+-7Z7=（X—1）+-ZT7+

JC11

L

1^2A/（X-1）--7+1=3,当且仅当工一1=」Y，即x=2时等号成立，此时

\lX—1X—1

x+—\取得最小值3.

X—1

2.（教材经典题改编）若函数府）=_x+±（x>2）在处取最小值，则实

数4=（C）

A.1+也B.1+小

C.3D.4

【解析】当x>2时，”一2>0,段）=（工一2）+二7+222'/。-2）•三?

+2=4,当且仅当x—2=±。>2）,即x=3时取等号，即当人处取得最小值时，

x=3,即4=3.

3.（多选）已知。，力£R,则下列不等式成立的是（BD）

ci+b_//+〃

A.B,2

2aha+ba2-\-b2

D.abW3

【解析】对于A,由选项可知。与/?同号，当。>0且/?>0时，由基本不

等式可知等2屈恒成立；当。<0且。<0时，等<0,标>0,该不等式

不成立，故A错误.对于B,当。+〃>0时，事>0,贝《等｝一（、的字'

+Z?2+2ab—2a2—2b1—(a—b)1^^上、

=--------------4--------------一^0恒成立,

即空W'/嗒^恒成立；当。+力W0时，原不等式恒成立，故B正确.对

221

_..(a~\-b)—(a—b),ari(a-Vb)2ab

于C,当〃+/?>()时，2ab—2=-----2-----忘。，即2ab《—,.+.W1

l上、।..(。+/?)2—(a—b)2,,(«+/?)22ab

怛成3L;当aIb<0时，2ab=-------熊0,即arI2ab^~~,(

I>21/2

2=，故C错误.对于D,由重要不等式可知，〃，b£R,H'WZj土恒成立,

故D正确.

4L

4.(教材经典题改编)已知Q0,则2—3工一;■的最大值是2—4小.

•V

【解析】因为Q0,所以2—3x—[=2—„)<2-2\^37^^=2—4\/5,

当且仅当3尤=§,即时等号成立.

5.(教材经典题改编)用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,

墙长18m,当这个矩形与墙相对的一边长为-15m时，菜园面积最大，最大

面积是_季_0?.

【解析】设矩形与墙相对的一边长为xm(0VxWl8),另一边长为ym,菜

园面积为Sm\贝ijx+2y=30,S=xy=%.2)忘，蓝)

仅当x=2y,即x=15,y=m时等号成立.

聚焦知识

1.基本不等式

基本不等式：/"wge(条件：一正二定三相等)

(1)基本不等式成立的条件：〃>0,b>0.

基本不等式

(2)等号成立的条件：当且仅当_a=b_时取等号.

(3)其中叫做正数小〃的算术平均数，、挑叫做

正数4,b的几何平均数

(4)已知x,)>0,由知若积xy=P(定值)，则当

x=)，E寸，和干+y有最小值2市.

利用基本不

等式求最值(5)已知x,y>0,由知若和x+y=S(定值)，则

当x=y时，积外有最大值

己知“，x,b,y£(O,+°°),若以+外=1,则有：

工+),一(依+b)(+)—〃+〃+£+),2。+力+2M—(或十

力”的代换

2.常用不等式链

2__安〈芈岁，当且仅当。=力时等号成

若〃>0,b>0,则-J—

一a十工b

立，其中高是小〃的调和平均数，\1立产是。，/?的平方平均数.

_V

a+Tb

题型突破思维拓展

▲

举题说法

目标u利用基本不等式求最值

视角1直接求最值

例1—1⑴函数y="1-1的最大值为

【解析】由1一/20知一IWXWI.当OVxVi时，上)

当且仅当f=i—f,即X=当时等号成立；当入=0或工=±1

时，x\]1-f=O；当一IVxVO时，x\]1—x2VO.综上所述，y=x\]1一『的最大

值为

(2)已知正实数〃，人满足必=1,则—+4〃的最小值为4.

【解析】。+4心2，^石=25=4,当且仅当a=4b,即a=2,8=5时等

号成立，则。+4〃的最小值为4.

视角2配凑法求最值

例1-2（1）若则叶占的最小值为—唔军一

JJ人i*

【解析】因为所以3x—1>0.由基本不等式可得叶白7=:（3]

JD人1

—1）+丁彳+〉2、区二N叫‘，当且仅当显甘=丁彳

3x—133'/3x—13333x—1

QH即X=誓，时等号成立.故叶壮y的最小值为铝土1.

（2）已知正实数小人满足4〃2+庐=2,则g//+1的最大值为

【解析】〃•赤不1=；-2〃•诉不7号•宜芋土1岩，当且仅当2。=

q序+i,即。=乎，力=乎时取等号.

视角3常值代换法求最值

例1-3(1)已知x,y为正实数，月/+)，=1,则'+R+的最小值为(C)

八)।

A.2g+1B.2^2-1

C.2^6+5D.2^6-5

■旬L、L।*i、/+2y+lx+2y+x+y2x+3y2.3

【解析】因为x+y=l,所以一士一=—1一Z=——^=-4--因

人)人)•**,yy人

为鸿=（、+）>修+*+3+2+?=?+彳+5》2哈•亨+5=2加+5,

当且仅当卜一）'，x=3一加，时等号成立，所以正沪■的最小值为2#

即1

J=-2+加

AIJ=1,

+5.

I?

(2)己知3大＞)，＞0,且7x+5y=l,则受二7+“有的最小值为(B)

A.1()B.9

C.8D.7

I21

【解析】因为3x>y>0,所以3x—))0,由题意得，+.二Q=;

"3x~y2x十3y3x-y

4(I।4)4犬+6y4(3x-y)、

+=—>+4x+6)，)=5+I^r+^T^25+

2寸^^U：；62=9当且仅当2(3x—)，)=4x+6y，即*=*，>=表时取等

号.

视角4消元法

例1-4(1)若。>0,/?>0,且向=。+〃+1,则。+妨的最小值为(C)

A.15B.8+4/

C.17D.6+4/

【解析】因为出?=。+6+1,所以〃(/?-1)=8+1,其中/?W1,所以。=

b-\-1b-\-1。

7—T.又因为。>0,/?>0,所以匕一1>0,贝U。+防=「7+8。=广彳+8。+1=

b-Ib~Ib-I

2/72

^77|"+8（/?—1）+922、*8（/?—1）+9=17,当且仅当^771=8（/?—1）,即b=

3

衬等号成立，所以。一8〃的最小值为17.

（2）己知正实数工，y满足f+3邛­2=（）,则2r+），的最小值为（A）

A出B迎

A.3凡3

C.|D.g

2x

【解析】由正实数x,），满足f+3盯一2=0,则y=3x~y则2x+y=2x

2x5x,22-2Vio当仅当皇=2即、=迎v=也叵

3x333x223'当且仅当3-3x'岗"—515

所以2i+y的最小值为平

时等号成立,

目恤旧基本不等式的综合应用

视角1基本不等式常见变形及其应用

例2-1（2025•浙江联考）（多选）已知正数x,y满足级+），=1,则（BCD）

孙磊19

A.B.一+二28

xy

c.也D.f+y2*

【解析】对于A,由基本不等式知122吸石，可得盯W〃，

当且仅当2x=y=；时取等号，A错误；对于B,：+：=（：+目（2%+），）=4+廿竽

乙入）、人J7xy

24+2、不坐=8,当且仅当?=¥，即2x=y=J时取等号，B正确；对于C,

（4^+U，）2=2r+y+2机己，=1+2近4，由A知盯W：,所以（6^+在长1+

2^2><|=2,则叵+5<小,当且仅当2K=y=T时取等号，C正确；对于D,

X2+），2=（」¥，2+y2=1y2—%+1,根据二次函数性质，其对称轴为）'=!,当）=

121

§时，X=亍『十产取得最小值予D正确.

视角2利用基本不等式解恒成立问题

I1?

例2—2己知x>0,)>0,且/VyVZr,工+y=3.若°_+■二2〃恒

乙LXyzyx

成立，则实数。的取值范围是

【解析】若让恒成立,贝”庐（七十六1•

又2x-y"

2、_1,2y--v,2(2x-y)

37++

2y-x-y+2y-X)―3[2r-y2y-x_》3

3+2痔小3+2也当日依当生M=2（2x二四

即x=y[2y=

3'者目叭目2/—），-2y~x't

3一立时等号成立，所以上普，即实数。的取值范围是（一8,土卓但

<总结提燎A

分离参数是处理此类问题的首选方法，一般转化为基本不等式求最值或转化

为求某个函数的最值问题.

变式2若正实数-y满足：+：=1，且不等式3加恒成立，则

实数m的取值范围是「一141

【解析】由正实数尤，y满足！+；=1,得#^=1+；）已+号=2+?•微

22+2寸^^=4,当且仅当个=卷，即x=2,y=8时等号成立，此时x+与取

得最小值4.要使不等式尤+；2m2—3/〃恒成立，则加2—3mW4,解得一

lWmW4.所以实数〃2的取值范围是[-1,4].

视角3实际应用问题

例2—3（2025•郑州一模）已知正方形/WCD的边长为2,E,”分别为4。，

上的点，当aAE厂的周长为4时，/XAEF面积的最大值为」2^啦

【解析】设AE=x,AF=y（0WxW2,0WyW2）,则E-+广由aAE/

的周长为4,所以x+,+庐子=4,因为x+y+Jf+），2=4》2而+后,当

且仅当％=），时取等号，故G%；巾=4_2®贝IJA>W24-166,则△八瓦'的

面积S=5）W12-8，i故面积的最大值为12-8^2.

随堂内化

1.（2025•汕头一模）已知。>0,/A0,。+6=4,则而的最大值为（C）

A.1B.2

C.4D.不存在

【解析】由基本不等式得（空|2=%当且仅当。=8=2时取等号.

2.（2026•武汉期初）（多选）已知正实数m8满足。+622,则（BD）

A.ab?\B.。2+及，2

蜂

C.-a+Tb^2D.2—24

【解析】对于A,取。=2,/?=0.1,此时。+/?=2.1>2,但。。=0.2<1,

故A错误；对于B,4+序20^22,当且仅当。=〃=1时等号成立，故B

正确；对于C,取。=2,b=2,此时。+力=4>2,但!+[=1V2,故C错误；

对于D,2"+2/'22、/2a-2"=2芦耳，2转=4,当且仅当〃=6=1时等号成立，

故D正确.

3.（2025•许昌二模）（多选）若b>l,a+2b~ab=09则下列说法正确的是

（ACD）

A.a>2

B-5+3+1的最小值是,

C.必的最小值是8

D.士+尚的最小值是也

【解析】田〃+2Z?—（ib=0得Z?=l+1，解得。>2,A正确；774~

ta~24/7

134

bg-\-2bb,1/a+2J%-=-+2

4+2Z?+—4A+a+2b十4b♦224/;

（（：2人,即。+2/?=2b时等号成立，而此时〃，Z?不存在，B错误；由。+2/?一〃/?

=0,得出?=〃+2822展行=2加•丽，所以当且仅当〃=2仇即〃=

4,〃=2时等号成立，C正确；由。+28—而=0,得（〃-2）3—1）=2,则士+

C<J

上沁"—・1=也,当且仅当一=占，即。

b—1\ja—24b—=12\7j（7a——2）（b—\）、va—2b—1=2

+色，Z?=l+啦时等号成立，D正确.

配套精练

A组夯基精练

一、单项选择题

1.（2025•厦门模拟）己知亡>0,）>0,且4x+9y=6,则孙的最大值为（A）

A."B.I

C.1D.2

【解析】町=需（旬♦（9）,）〈表）=；,当且仅当，尸;时取等

号，即孙的最大值为京

14

2.（2025•武汉一模）若。>02>0,且。+b=l,则一£一g的最大值为（A）

A.—9B.-7

C.-5D.-3

14rl4、h

【解析】由。>0,b>0,且〃+8=1,所以£+1=《+/（〃+与=5+%+

华25+21/£・华=9,当且仅当）=华，即〃=:，时等号成立，所以一:一

Uv<UC<UJc*

4

g的最大值为-9.

3.（2025•六安期末）已知A,B两地的距离是20（）km,根据交通法规，两地

之间的公路车速应限制在50〜1（）0km/h.假设油价是8元/L,以xkm/h的速度

行驶时，汽车的耗油率为（3+就L/h,司机每小时的工资是56元，那么最经济

的车速是（C）

A.24小km/hB.55km/h

C.60km/hD.80km/h

【解析】由题意可知，行车的总费用为1犬）=[56+8（3+孟）]•平=

粤2+竽，其中504W100.由基本不等式可得加）=160"+%）

2160X2、呼益=等（元），当且仅当¥=a，即％=60时等号成立，因

\/人DIJD,IDVz

此，最经济的车速是60km/h.

32

4.（2025•石家庄质检）已知x>0,y>0,且彳6+不短;=1，则3x+3y的

最小值为（C）

A.3+2般B.4+2加

C.5+2&D.6+2加

32

【解析】令，〃一2x+y,〃一x+2y,贝I3x+3y—，〃十〃.由题意得前十1—1,

所以38+3尸（,"+礁+（|=3+2+"+呼=5+辞+号?5+2骋m=5

+2册,当且仅当黑=邛且?+[=1,即〃2=而-3,〃=#+2时等号成立，所

以31+3），的最小值为5+2班.

I]?

5.已知x>0,y>0,且(+，+1=,,若x+y>"P+3〃7恒成立，则实数m

的取值范围是(C)

A.(-4,6)B.(-3,0)

C.(-4,1)D.(1,3)

11?3(1n

【解析】由]>0,)>0,且后所以x+2+y=2(x+2+y)(Tw+1,

+2

yXvv-1-2

X+2y=6,当且仅当由=丁，即），

=3,x=1时取等号，所以x+y24.因为x+y>"+3〃？恒成立，所以加2+3〃?

<4,即（加一1）（〃?+4）<0,解得一4VI.

二、多项选择题

6.（2025•上饶二模）若正实数〃，〃满足〃+〃=1,贝川ABC）

A.或+班的最大值是啦

14

B.，和勺最小值是9

9

C（1+〃）（1+力）的最大值是a

D.黯+2/的最小值是1

【解析】对于A,也+也=1〃+/?+2^^。4〃+匕+（。+〃）=啦,当且仅

14£4船

-+份525+

一-

方

+■+-人

人

当。=/?=5时取等号，A正确；对于B,。

♦牛=9,当且仅当〃=2o=1时取等号，B正确；对于C,（1+〃）（1+

力）41+"11+”4号,当且仅当。=力=义时取等号，C正确；对于D,a=\—bfi

<b<\,贝［苏+2加=（1一〃）2+2/=3〃­2/2+1=3,一，2+|2争当且仅当6=

；时取等号，D错误.

7.（2025•三明5月质检）以下结论正确的是（ACD）

A.若〃+82=1,则的最大值为也

B.若3+1）（〃+1）—4,贝lJa+A22

C.若。>0,b>Q,则/+加+±的最小值为26

D.若。£(。，兀)，则磊+岛百>2

【解析】对于A,3+8)2=，+庐+2帅=1+2必忘1+32+/)=2,当且

仅当a=/?=±f时等号成立，所以一pWa+bWj^,故A正确；对于B,(a+

1)S+l)=aZ?+a+b+1=4,所以次?=3—(a+/?)W,即(〃+〃)?+4(〃+Z?)一

1220,解得。+〃22(当且仅当a=b=\时等号成立)或a+bW—6(当且仅当。=

b=-3时等号成立)，故B错误；对于C,因为6/>0,b>0,所以/+从+京

(a=bfi-

22岫+二22啦，当且仅当1即/="=当时等号成立，故C正确；

ab吐茄，2

对于D,系+舄m=如焉+岛百)Gin%+cos2^+1)=1

2

cos%+1siMO।，।当।n且/仅।c当os三^+^1一=s嬴in2。诉，即

1sin%+cos2^+l+lj2X(2+2)=2,cos

jr

0=0,sin〃=l,即。=2时等号成立，故D正确.

三、填空题

8.(2025•石家庄一检)已知x£(0,4),则yU)=：+F-的最小值为—与_.

【解析】由x£(0,4),得一xW(—4,0),4—x£(0,4),AX)=^T~^=A.

g+占卜+4-x)$7+・+署/*+2］宁•图号当且仅

当宁=胃，即1=5时等号成立・

9.若。>0,/?>(),〃+8=9,则邛+押最小值为_JL_.

【解析】非+A吗%>4+?+注4+2仔=8,当且仅当〃

=6,〃=3时取等号，故算+钠最小值为8・

2

10.(2025•亳州期末)已知。>0,且£是关于x的方程『+法一8=0的一个

根，则人+'的最小值是3

【解析】f+饭一8=0中，/=〃+32>0,故方程『十法一8=0有两个不

12+加=_仇

等实根.设f+法-8=0的另一个根为“，由题意得J2由j-m=一

[「〃=-8,

8得用=—4〃，故,一4〃=一从即〃=4〃一。，故b+)=4a—,+$=4a+).因为

L<-v«VC-v*L<

64/44

a>0,所以由基本不等式得力+-=4〃+-22、/加•一=8,当且仅当4〃=一，即

a=\时等号成立.

四、解答题

11.已知。>1,h>2.

(1)若3—l)S—2)=4,求的最小值及此时小人的值；

a—1o—2

【解答】因为a>l,b>2,所以6—2>0,所以」7+匚三

a~10—2

7—L>=二当且仅当〃=3,8=4时等号成立，所以」7+广、的

最小值为1,此时〃=3,b=4.

(2)若2a+A=6,求六+七的最小值及此时a,b的值；

b—2

【解答】由2〃+/2=6,得2(〃-1)+(8-2)=2,所以(〃-1)+——=1，所

^1,1rI.O「,b-2\3,4—1,b—2_3+2镜

^67-1+/?-2-L]+〃2)*|_(6Z_1)+2J-2+/?-2+2(6t-l)^2

b-2=y/2(a-l)f

且仅当即。=3一6"=2限时等号成立，所以占+六

2(。一1)+1—2)=2,

的最小值为3+；也,