2024年湖南省邵阳市高二下学期期末数学试题及答案

秘密★启用前姓名准考证号2024年邵阳市高二联考试题卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡上“贴条形码区”。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.保持答题卡的整洁。考试结束后,只交答题卡,试题卷自行保存。一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x∈Z-2<x<4},B={xx2+2x≤0},则A∩B=A.(-2,0]B.[-2,4)C.{-1,0}D.{-2,-1,0}2.已知复数z=8i2024+6i(i为虚数单位),则z=A.B.C.D.4.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是A.若m⊥α,α⊥β,则m∥βB.若m∥α,n∥α,则m∥nC.若m⊥α,m∥n,n⊥β,则α∥βD.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β5.某大桥的一侧依次安装有13盏路灯,因环保节能的需求,计划关掉其中的5盏.如果两端的路灯不能关,且相邻的路灯不能同时关,则不同关灯方式的种数是4,则的最小值为A.B.1C.D.22024年邵阳市高二联考(数学)第1页(共4页)7.已知奇函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,当x<0时,f′>0.若a=fb=-πf(-π),c=ef(e),则a,b,c的大小关系正确的是二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.下列说法正确的有A.(1+2x)7的展开式的第4项的系数是280B.对于随机变量X,若E(X)=2,则E(2X-2)=2C.已知随机变量X~N(1,σ2),若P(X>0)=0.6,则P(0<X<2)=0.410.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为A,B,P是E上异于A,B的一个动点.若3AF1=BF1,则下列说法正确的有A.椭圆E的离心率为B.若PF1⊥F1F2,则cos∠PF2F1=C.直线PA的斜率与直线PB的斜率之积等于-D.符合条件=0的点P有且仅有2个11.已知A,B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M(x,y),且直线AM的斜率与直线BM的斜率之和是2,则下列说法正确的有A.点M的轨迹关于y轴对称B.点M的轨迹关于原点对称C.若x>0且x≠1,则y<x恒成立D.若x>0且x≠1,则y>lnx恒成立三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)12.有甲、乙两个工厂生产同一型号的产品,甲厂生产的次品率为2%,乙厂生产的次品率为3%,生产出来的产品混放在一起.已知甲、乙两个工厂生产的产品数分别占总数的40%,60%,从中任取一件产品,则取得的产品为次品的概率为.13.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图(一)所2024年邵阳市高二联考(数学)第2页(共4页)图(一)14.祖暅在数学上做出了突出贡献,他提出了体积计算原理:“幂势既同,则积不容异”.这就是“祖暅原理”,用现代语言可以描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.由曲线,x,y=±3共同围成的图形绕y轴旋转一周所得几何体的体积为V,则V=.四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(1)求A;(2)若a=14,E是边BC的中点,且AE⊥AB,求AE.16.(15分)如图(二)所示,AB是☉O的直径,点C是☉O上异于A,B的动点,PC⊥平面ABC,E,F分别为PA,PC的中点.(1)求证:EF⊥平面PBC;(2)若PC=2,AB=22,二面角B-PA-C的正弦值为,求BC.图(二)2024年邵阳市高二联考(数学)第3页(共4页)17.(15分)已知动点M(x,y)到直线x=-3的距离比它到定点(2,0)的距离多1,记M的(2)若过点D(4,4)的直线l与Γ相交于A,B两点,且OA⊥OB,求直线l的方程.18.(17分)已知函数=4-2x--lnx,其中a>0.(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程;(2)讨论函数g(x)的单调性;(3)当a=1时,令函数h(x)=f(x)-xg(x),证明:h(x)>0.数列{an+1-an}是“一阶等差数列”,则称数列{an}是“二阶等差数列数列{an+1-an}是“k阶等差数列”,则称数列{an}为“k+1阶等差数列”.例如:1,3,7,13,21,31…后项与前项的差值:2,4,6,8,10,…(1)若数列{an}的通项公式为an=n2,试判断数列{an}是否为“二阶等差数列”,并说明理由;(2)若数列{an}为“二阶等差数列”,且a1=1,对应的“一阶等差数列”首项为1,公差为3,求an;(3)若“三阶等差数列”{an}的前4项依次为1,4,10,20,其前n项和为Sn,求Sn.2024年邵阳市高二联考(数学)第4页(共4页)2024年邵阳市高二联考参考答案与评分标准一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678CCBCABDB7.D【解析】根据题意,设g(x)=xf(x),若y=f(x)为奇函数,则g(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=g(x),则函数g(x)为偶函数.g′(x)=(x)′f(x)+xf′(x)=f(x)+xf′(x).又当x<0时,f′>0,∴g′则函数g(x)在(-∞,0)上为减函数,故g(x)在(0,+∞)上为增函数.则a=f(1)=g(1),b=-πf(-π)=g(-π)=g(π),c=ef(e)=g(e),且1<e<π,则有a<c<b;故选D.8.B【解析】设P(x,y),=+ta=(-2,0)+t(1,1)=(-2+t,t),点P的轨迹方程为x-y+2= →,点Q的轨迹方程为:x2+y2=1,PQ为圆上一点到直线上一点的距离,=-1.选B.二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)题号9ABDACBC11.BC【解析】因为直线AM,BM的斜率存在,所以x≠±1.BM=2,即整理可得y=x-所以点M(x,y)在函数y=x-上.如图,选BC.三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)2024年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)第1页(共5页)cdsinB≤,∴△BCD面积最大值为.2,x2.记点(x1,h),(x2,h)绕y轴旋转一周得到的圆的半径分别为R,r.∴R2=8+h2,r2=此圆环的面积S=πR2-=8π,恒为定值.根据祖暅原理该几何体的体积与底面圆半径为22,高为6的圆柱的体四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)2,………2分222∴cosA=-,又0<A<……………………4分.……………………6分(2)∵S△ABE=S△ACE,·c·AE=·b·AEsin30°,…………8分22-4c2cos,…………………10分∴c=27,由勾股定理得AE=49-28=21.…………13分16.(15分)解:(1)由PC⊥平面ABC,知PC⊥AC.由AB是☉O的直径,知AC⊥BC.…………2分∴AC⊥平面PBC.……………4分由E,F分别是PA,PC的中点,知EF∥AC.∴EF⊥平面PBC.……………6分2024年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)第2页(共5页)(2)以C为原点,CA,CB,CP所在直线分建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),设A(a,0,0),B(0,b,0),且a2+b2=8(a>0,b>0).易知平面PAC的一个法向量m=(0,1,0).…8分设平面PAB的一个法向量n=(x,y,z),则取z=ab,得x=2b,y=2a,则n=(2b,2a,ab),……………10分 3 3∵二面角B-PA-C的正弦值为则其余弦值为3,3,,………12分2=8,(a>0,b>0),解得a=2,b=2.……………………15分17.(15分)解:(1)由动点M(x,y)到直线x=-3的距离比它到定点(2,0)的距离多1,知动点M(x,y)到直线x=-2的距离等于它到定点(2,0)的距离,故动点M(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,故Γ的方程为:y2=8x.……………………6分(2)由题意,可设直线l:x=t(y-4)+4,代入y2=8x,消去x得:y2-8ty+32t-32=0.显然有Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=8t,y1y2=32t-32.…………………9分…11分…………………13分当t=1时,直线l:x-y=0不合题意;当t=-1时,直线l:x+y-8=0符合题意;综上,所求直线l的方程为:x+y-8=0.……………………15分解:=4-2×0-=3,………1分1f′(x)=-2+x,∴f′(0)=-2+1=-1.………2分e∴切线方程为:y-3=-1·(x-0),即y=-x+3.……………3分2024年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)第3页(共5页)(2)由题意得函数g(x)的定义域为(0,+∞).,………………4分①当0<a≤1时,g′(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减;………………6分②当a>1时,x∈时,g′<0,∴g在上单调递减.时,g′(x)>0,∴g(x)在上单调递增.…………8分综上,当0<a≤1时,g(x)在(0,+∞)上单调递减.当a>1时,g(x)在(0,-上单调递减,在上单调递增.……9分证明:当a=1时,h=4-2x-=xlnx--2x+3,………………………10分令,则c′构建函数p(x)=ex-x,∴p′(x)=ex-1.∴当x>0时,p′(x)=ex-1>0,∴函数p(x)单调递增.∴当x>0时,p(x)=ex-x>p(0)=1>0,∴c′(x)>0,∴函数h′(x)单调递增.-1<0,h′>0,∴h′在内有唯一零点x0.∴当x∈(0,x0),h′(x)<h′(x0)=0,∴函数h(x)单调递减.当x∈(x0,+∞),h′(x)>h′(x0)=0,∴函数h(x)单调递增.∴当x=x0时,函数h(x)取最小值=x0lnx0--2x0+3.…………14分e∴h(x0)=(x0+1)lnx0-2x0+2,x0∈(1,e).构造函数lnx-2x+2,∴q′+lnx-1.∴当x>1时,d′(x)>0,∴函数q′(x)单调递增.2024年邵阳市高二联考参考答案与评分标准(数学)第4页(共5页)∴当x>1时,q′(x)>q′(1)=0.∴函数q(x)单调递增.∴h(x0)>q(1)=0,∴h(x)≥h(x0)>0.…………………