2025-2026学年安徽省合肥168中学教育集团淮北五中分校高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年安徽省合肥168中学教育集团淮北五中分校高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数=（）A.2+i B.-2+i C.-2-i D.2-i2.若直线l1：x+2y-3=0与直线l2：kx-2y+1=0（k∈R）平行，则这两条直线间的距离为（）A. B. C. D.3.已知向量，且∥，那么=（）A.4 B.5 C.6 D.4.抛物线y2=6x的焦点到准线的距离为（）A.1 B.2 C.3 D.45.已知空间向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.双曲线=1的渐近线方程为（）A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x7.若直线2x+y-1=0是圆x2+（y+a）2=1的一条对称轴，则圆心坐标为（）A.（0，1） B.（0，-1） C. D.8.已知O为坐标原点，过双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（）A.1 B. C. D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知点P（-1，2）到直线l：4x-3y+C=0的距离为1，则C的值可以是（）A.5 B.10 C.-5 D.1510.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，，则l1∥l2

B.两个不同的平面α，β的法向量分别是，，则α⊥β

C.直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α

D.直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α11.如图，直角梯形ABCD中AB=2，CD=4，AD=2．则下列说法正确的是（）A.以AD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的侧面积为

B.以CD所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为

C.以AB所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的全面积为

D.以BC所在直线为旋转轴，将此梯形旋转一周，所得旋转体的体积为3+

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过点（-4，3）的圆（x+3）2+（y-1）2=1的切线方程为

.13.两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为______.14.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A在C上，且|AF|=5，O为坐标原点，则△AOF的面积为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）经过点（2，3），且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点；

（2）经过两点．16.(本小题15分)

如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．设=．

（1）用表示；

（2）设E是棱DD1上的点，且，用，，表示．17.(本小题15分)

如图,在三棱锥中,,,,,D为线段AC的中点,

E为线段PC上一点．

求证：；

求证：平面平面PAC；

当​​​​​​​平面BDE时,求三棱锥的体积．18.(本小题17分)

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．19.(本小题17分)

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，BM=λBC，且二面角M-PA-C为30°，求λ的值．

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】AD

10.【答案】AB

11.【答案】CD

12.【答案】x=-4或3x+4y=0

13.【答案】

14.【答案】2

15.【答案】解：（1）椭圆9x2+4y2=36，即，

所以a2=9，b2=4，故，

焦点为，

所求椭圆经过点（2，3），且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点，

设所求椭圆的标准方程，

所以，

解得a2=15，b2=10，

所以所求椭圆的标准方程为；

（2）设所求椭圆的方程mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），

将代入上式得，

解得，

所以所求椭圆的标准方程为．

16.【答案】解：（1）∵=，=，

∴．

（2）=．

17.【答案】（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，

AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，

可得PA⊥平面ABC，

由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；

（2）证明：由AB=BC，D为线段AC的中点，

可得BD⊥AC，

由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，

可得平面PAC⊥平面ABC，

又平面PAC∩平面ABC=AC，

BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，

即有BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDE，

可得平面BDE⊥平面PAC；

（3）解：PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，

且平面PAC∩平面BDE=DE，

可得PA∥DE，

又D为AC的中点，

可得E为PC的中点，且DE=PA=1，

由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，

可得==××2×2=1，

则三棱锥E-BCD的体积为DE•​​​​​​​=×1×1=．

18.【答案】解：（1）依题意知，求得a=3，b=2，

∴椭圆的方程为+=1．

（2）①当两条切线中有一条斜率不存在时，即两切点A、B分别位于椭圆长轴与短轴的端点，

P的坐标为（3，2），（3，-2），（-3，2），（-3，-2），符合题意；

②当两条切线斜率均存在时，设为,

设过点P（x0，y0）的切线为y=k（x-x0）+y0，

与椭圆方程联立并整理得（9k2+4）x2+18k（y0-kx0）x+9[（y0-kx0）2-4]=0，

∴=[18k（y0-kx0）]2-4（9k2+4）×9[（y0-kx0）2-4]=0，

整理得（x02-9）k2-2x0×y0×k+（y02-4）=0，

∴-1=k1•k2=，

∴x02+y02=13．

当两条切线中有一条斜率不存在时的点P坐标亦满足，

∴点P的轨迹方程为：x2+y2=13．

19.【答案】解：（1）证明：连接OB，

因为PA=PC，O为AC的中点，

所以OP⊥AC，且，

又AB2+BC2=AC2，则AB⊥BC，

所以，

则OB2+OP2=PB2，

所以OB⊥OP，

又OB∩AC=O，OB