2025-2026学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={−1,0,1,2,3}，B={x∈N|3−2x>0}，则A∩B=(

)A.{−1,0,1} B.{0,1} C.{1} D.{2,3}2.在复平面内，复数z=i1−i(i为虚数单位)对应的点所在的象限是A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设向量a=(2,1+x)，b=(x,1)，则”x=1”是“a//bA.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知cosθ=45，θ∈(0,π2)A.−25 B.−2105.函数y=|x2−1|A. B.

C. D.6.设x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,−4)，且a⊥c，bA.5 B.10 C.27.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，PA=PB=2，PC=22，则三棱锥外接球的表面积为(

)A.4π B.8π C.16π D.32π8.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别a，b，c，则A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.数据1，2，3，4，5，6的中位数是3

B.数据x1，x2，…，xn的方差是1，则CD=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cos∠CBD，CD=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cos∠CBD，…，3xn−1的方差是9

C.若事件10.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AP=AC=4，AB=2，则(

)A.异面直线AB与PC所成的角为π2

B.点A到平面PBC的距离为6

C.二面角A−PC−B的正弦值为33

D.三棱锥11.函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则(

)A.φ=π3

B.f(x)的图象关于点(π12,0)对称

C.函数f(x)在区间[−11π12,−7π12]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面内向量a=(3,4),b=(−1,2)，若ka−b和a垂直，则k的值为

13.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P−EFGH，下半部分是长方体ABCD−EFGH，PE=3，EF=2，AE=1，则该组合体的体积为

．14.一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为63海里，则灯塔与轮船原来的距离为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB+(b−2c)cosA=0．

(1)求A；

(2)若a=5，△ABC的面积为16.(本小题15分)

2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求该样本的第75百分位数；

(2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格(60分以下)的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50)，[50,60)各一人的概率．

17.(本小题15分)

某企业积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工品，已知该企业日加工处理量x(吨)最少为70吨，最多为120吨，日加工处理总成本y(元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=12x2+40x+3200，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元．

(1)该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低？此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态？(平均成本=yx)

(2)为了该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方式有两种方案：

方案一：每日进行定额财政补贴，金额为230018.(本小题17分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别为AB，CC1的中点．

(1)求证：DE/​/平面AB1C119.(本小题17分)

设函数f(x)=ln1−x1+x．

(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(2)设a，b∈(−1,1)，经研究，此时有a+b1+ab∈(−1,1)，证明：f(a)+f(b)=f(a+b1+ab)；

(3)设−1<a<b<1，且f(a−b1−ab)=21.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】1513.【答案】16314.【答案】6

15.【答案】解：(1)由acosB+(b−2c)cosA=0，

可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，

即sin(A+B)=sinC=2sinCcosA，

又sinC≠0，所以cosA=22，

又A∈(0,π)，所以A=π4；

(2)由题意，S=12bcsinA=24bc=2−1，所以16.【答案】解：(1)根据频率分布直方图可得：

(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得：a=0.030；

∵0.1+0.15+0.15+0.3<0.75，

0.1+0.15+0.15+0.3+0.25>0.75

∴该样本的第75百分位数在区间[80,90)内，

∴设该样本的第75百分位数为x，

则可得方程：

0.1+0.15+0.15+0.3+(x−80)×0.025=0.75，

解得：x=82，

∴该样本的第75百分位数为82；

(2)∵45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3

+85×0.25+95×0.05=71，

∴估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为71；

(3)

采用分层抽样从[40,50)和[50,60)抽取5名同学，

∵0.1：0.15=2：3，

则应在成绩为[40,50)的学生中抽取2人，记为a，b，在成绩为[50,60)的学生中抽取3人，记为A，B，C，

再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学有如下(a,b)，(a,A)，(a,B)，(a,C)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(A,B)，(A,C)，(B,C)共10种可能结果，其中在[40,50)，[50,60)各一人的共6种；

∴所求概率P=610=35，

则这2名同学分数在[40,50)，17.【答案】解：(1)由题意得每吨厨余垃圾平均加工成本为yx=x2+3200x+40,x∈[70,100]，

又x2+3200x+40≥2x2⋅3200x+40=2×40+40=120，

当且仅当x2=3200x，即x=80时等号成立，

该企业日加工处理量为80吨时，每吨厨余垃圾的平均加工成本最低，

∵120>100，

∴此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态；

(2)若该企业采用补贴方式①：设该企业每日获利为y1，

则y1=100x−(12x2+40x+3200)+2300=−12x2+60x−900=−12(x−60)2+900，

∵x∈[70,100]，18.【答案】解：(1)证明：如图，取AC的中点F，连接DF，EF，

又D，E分别为AB，CC1的中点，

∴EF//AC1，DF/​/BC，又BC/​/B1C1，

∴DF//B1C1且EF//AC1，

又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，

且EF⊄平面AB1C1，AC1⊂平面AB1C1，

∴DF/​/平面AB1C1，EF/​/平面AB1C1，

又DF∩EF=F，且DF，EF⊂平面DEF，

∴平面DEF/​/平面AB1C1，又DE⊂19.【答案】解：(1)函数f(x)是奇函数，理由如下：

由1+x1−x>0，得−1<x<1，

∀x∈(−1,1)，f(−x)+f(x)=ln1−x1+x+ln1+x1−x