2025-2026学年上海市宝山中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年上海市宝山中学高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。1.如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是（）A.AB和C1D1

B.AA1和CC1

C.BD1和B1D

D.A1D1和AB2.某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况进行了调研，并统计得到右表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，则下列说法不正确的是（）x3456y56.27.49.4A.变量x、y之间呈正相关 B.样本数据y的第40百分位数为6.8

C.预测投入2千元时，书籍销量约为400本 D.拟合误差Q=0.483.下列命题正确的个数是（）

（1）若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）

（2）若事件A与B相互独立，则P（A∩B）=P（A）•P（B）

（3）若随机变量X～B（30，，则E[X]=10

（4）若随机变量Y的方差D[Y]=3，则D[2Y+1]=12A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.已知平面直角坐标系中的点集Q={（x,y）|（x-k）2+（y-k2）2=4|k|，k∈Z}.

①存在直线l与Q没有公共点，且Q中存在两点在1的两侧；

②存在直线l经过Q中的无数个点，则（）A.①成立②成立 B.①不成立②成立 C.①成立②不成立 D.①不成立②不成立二、填空题：本题共12小题，共54分。5.若l1：ax+2y+6=0与l2：x+y+3=0垂直，则a=

.6.已知函数f（x）=ex，则=

.7.随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（2＜X≤2.5）=0.4，则P（X＜1.5）=

.8.已知向量，，则在方向上的数量投影为

.9.在等差数列{an}中，an=n+c,Sn是数列{an}的前n项和，若S7＜0，则c的取值范围是

.10.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图（图中仅列出[50，60），[90，100）的数据）和频率分布直方图，则x-y=______.11.某单位有两条生产线，第一条产线生产12000件产品，第二条产线生产8000件产品，若第一条产线次品率是0.01，第二条产线次品率是0.02.则随机抽取一件产品，它的次品率是

.12.在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为

.13.4男2女去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是男生，则不同的排列种数有

种.14.已知椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2=45°，则抛物线的准线方程是______．15.如图所示，正方形ABCD是一块边长为4的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线PQ为以AD为对称轴的抛物线的一部分，DM=DN=3.工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料BQRR，当其面积有最大值时，AQ的长为

.

16.设{an}是由正整数组成且项数为m的增数列，已知a1=1，am=100，数列{an}任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于{an}中任意序数不同的两项as和at在剩下的项中总存在序数不同的两项ap和aq使得as+at=ap+aq，则的最小值为

.三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

PA、PB、PC为圆锥的三条母线，BC为底面直径，BC=2，AB=AC.

（1）证明：PA⊥BC；

（2）若圆锥的侧面积为，求二面角P-AB-C的大小.18.(本小题14分)

为了解某地高中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区20000名学生中抽取500人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围[0.0.5）[0.5，1）[1，1.5）[1.5，2）[2，2.5）学业成绩优秀5383731不优秀1171251183620（1）该地区20000名学生中体育锻炼时长大于1小时的人数约为多少，并估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长；

（2）是否有0.95的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？

附：

19.(本小题14分)

为响应国家促进消费的政策，某大型商场举办了优惠活动，顾客消费满1000元（含1000元）可抽奖一次，抽奖方案有两种（顾客只能选择其中的一种）.

方案1：从装有5个红球，3个蓝球（完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，立减150元，若3次都摸到红球，则额外再减200元（即总共减650元）；

方案2：从装有5个红球，3个蓝球（完全相同）的抽奖盒中，直接摸出3个球，中奖规则：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则打5折；其余情况无优惠.

（1）顾客A选择方案2，已知他至少摸出1个红球的情况下，求他能够享受优惠的概率；

（2）顾客B恰好消费了1000元，

①若他选择方案1，求他实付金额X的分布列和期望（结果精确到整数）；

②若他选择方案2，求他实付金额Y的分布列和期望（结果精确到整数）；

试从实付金额的期望值分析顾客B选择何种抽奖方案更合理20.(本小题18分)

已知双曲线Γ：，过点M（m,0）作不垂直于x轴的直线l交双曲线Γ于A、B两点.

（1）求双曲线离心率；

（2）若点，点B在双曲线的右支上，且B是AM的中点，求直线l的斜率；

（3）若m＞0，F1，F2分别是双曲线Γ的左右焦点，A′是A关于y轴的对称点，若存在直线l使得，求m的取值范围.21.(本小题18分)

已知函数f（x）=ex-x,g（x）=e-x+x,其中e为自然对数的底数.

（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）设函数F（x）=af（x）-g（x），

①若a=e,求函数y=F（x）的单调区间，并写出函数y=F（x）-m有三个零点时实数m的取值范围；

②当0＜a＜1时，x1、x2分别为函数y=F（x）的极大值点和极小值点，且不等式F（x1）+tF（x2）＞0对任意a∈（0，1）恒成立，求实数t的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】-2

6.【答案】e2

7.【答案】0.1

8.【答案】

9.【答案】（-∞，-4）

10.【答案】0.004

11.【答案】0.014

12.【答案】10

13.【答案】288

14.【答案】x=1-

15.【答案】

16.【答案】5454

17.【答案】证明：设底面圆心为O，则O为BC中点，连接AO，PO，

所以PO⊥平面ABC，

在底面△ABC中，AB=AC，所以AO⊥BC，

又因为PO⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PO⊥BC，

因为AO∩PO=O，AO、PO⊂平面PAO，

所以BC⊥平面PAO，

因为PA⊂平面PAO，

所以PA⊥BC

由直径BC=2，得底面半径R=1，且∠BAC=90°，

又AB=AC，所以，

圆锥侧面积，得母线长：，

所以，

取AB的中点D，连接PD，OD，所以PD⊥AB，OD∥AC，

因为BC为底面直径，所以AC⊥AB，所以OD⊥AB，

所以∠PDO是二面角P-AB-C的平面角，

在直角△POB中，，

因为，所以，

所以∠PDO=arctan2，即二面角P-AB-C的大小为arctan2

18.【答案】由题意可知，500名学生体育锻炼时长大于1小时的人数为37+3+1+118+36+20=215人，

则人，

所以估计该地区20000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为8600人；

由题意，利用组中值计算平均数可得，

所以估计该地区高中学生日均体育锻炼的时长为0.924小时

2×2列联表如下：[1，2）其他合计优秀404484不优秀154262416合计194306500零假设H0：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关，

，

所以没有足够证据拒绝零假设，

所以没有95%的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关

19.【答案】设事件A：至少摸出1个红球；事件B：享受优惠（2红或3红），

总基本事件数：，

A的对立事件：3个全蓝，，

，

B包含：3红、2红1蓝，

，

，

因此，在已知至少摸出1个红球的条件下，顾客A享受优惠的概率为

方案1：单次摸到红球的概率，单次摸到蓝球的概率，

设摸到红球次数为k,k=0，1，2，3，则，

k=0：不减钱，实付X=1000，，

k=1：减150，实付X=850，，

k=2：减300，实付X=700，，

k=3：共减650，实付X=350，，

X的分布列为：实付金额X（元）1000850700350概率P，

因此，选择方案1时，实付金额的期望精确到整数为670元；

方案2：3红：实付Y=0，，

2红1蓝：实付Y=500，，

其余：无优惠，Y=1000，，

Y的分布列为：实付金额Y（元）10005000概率P，

因此，选择方案2时，实付金额的期望精确到整数为554元，

方案比较554＜670，

方案2的实付金额期望更小，因此，从实付金额的期望值看，顾客B选择方案2更合理

20.【答案】

（，2）∪（2，+∞）

21.【答案】解：（1）函数f（x）=ex-x,求导得f′（x）=ex-1，得f′（1）=e-1，而f（1）=e-1，

所以切线方程为y-（e-1）=（e-1）（x-1），即y=（e-1）x.

（2）F（x）=a（ex-x）-e-x-x,，

①当a=e时，F（x）=ex+1-ex-e-x-x,，

由F′（x）=0，得x=-1或x=0，

当x＜-1或x＞0时，F′（x）＞0，当-1＜x＜0时，F′（x）＜0，

因此F（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（0，+∞），单调减区间为（-1，0）；

极大值F（-1）=2，极小值F（0）=e-1，

又，

F（-2）=e-1+2e-e2+2=（e-1）+（e-1+e+3-e2）＜e-1，

所以函数y=F（x）-m有三个零点时，m的取值范围为（e-1，2）．

②令F′（x）=0，得ex=1或，解得x=0或，

当x＜0或x＞-lna时，F′（x）＞0，当0＜x＜-lna时，F′（x）＜0，

即函数F（x）在（-∞，0），（-lna,+∞）上单调递增，在（0，-lna）上单调递减，

因此当x=0时，F（x）取得极大值，当x=-lna时，F（x）取得极小值，即有x1=0，x2=-lna,

而F（x1）=F（0）=a-1＜0，，

又不等式F（x1）+tF（x2）＞0对任意a∈（0，1）恒成立，于是t＜0，

设φ（a）=F（x1）+tF（x2）=a-1+t[（a+1）lna