江西南昌聚仁高级中学2026-2027学年高三8月数学第一次素养训练（含答案）

江西南昌聚仁高级中学2026-2027学年高三8月数学第一次素养训练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A=x−1<x≤1，B=x0<x<2，则A．x0<x≤1 B．x−1<x<2 C．x0<x<12．若命题“∃x∈R，使得mx2−2mx−3≥0”是假命题，则实数mA．[−3,0) B．(−3,0) C．[−3,0] D．(−3,0]3．复数z1=1+i1−i2A．10 B．−3−i C．1+i 4．等比数列an的各项均为正数，且a4a6+A．2+log35 B．18log325．已知定义在R上的可导函数fx满足fx+f′A．f1<e B．f1>e6．已知函数fx=4cosωx−π12ω>0在区间0,π3上的最小值恰为−ω，方程x27−m+yA．ω∈B B．ω∉B C．A⊊B D．B⊊A7．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数，一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于R0>1，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数R0=2，平均感染周期为6天（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，经过一个周期后这A．48 B．54 C．60 D．668．中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面ABCD为矩形，侧棱EF//平面ABCD，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：AB=4,AD=2,EF=2，且各侧面与底面ABCD所成角均为π4，则该“刍甍”的体积为（

A．73 C．103 D．二、多选题9．某研究小组调查学生每周课外阅读时间x（单位：小时）与语文作业中错别字个数y（单位：个）的关系，随机抽取5位学生的数据如下表所示：x12345y86542根据表中的数据计算得经验回归方程为y=bx+8A．y与x负相关 B．bC．当x=1与x=5时，残差相等 D．x每增加1小时，y平均减少1个10．函数fx=AsinA．ω=2B．图象关于x=5C．fx在3D．fx的图象可由y=2sin2x11．两千多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯发现，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，其截口曲线是圆锥曲线（如图）.已知圆锥轴截面的顶角为2θ，一个不过圆锥顶点的平面与圆锥的轴的夹角为α.当θ<α<π2，截口曲线为椭圆；当α=θ时，截口曲线为抛物线；当0<α<θ时，截口曲线为双曲线.在长方体ABCD−A1B1C1DA．若点P到直线CC1的距离与点P到平面BBB．若点P到直线CC1的距离与点P到AA1的距离之和等于C．若∠BD1P=45°D．若∠BD1P=60°三、填空题12．已知向量a=1,1,1,b=2,0,−1，则向量13．若fx，gx满足fx−2f1x14．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D，E，F分别为线段PA，PB，BC的中点，则平面DEF截鳖臑P−ABC外接球所得截面的面积为______.四、解答题15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边a,b,c计算三角形面积的公式S=14a2c2−(1)若a=2,b=7(2)若b=2，且3ccosB+216．如图，在三棱锥A−BCD中，CD⊥平面ABD，AB=BD=CD，E是AD的中点，F是线段AC上的一点（不含端点）．(1)证明：BE⊥平面ACD；(2)若二面角A−CD−B的大小为π3，判断是否存在点F使得直线BF与平面ACD所成角的正弦值为427？若存在，求17．2025年8月31日，哈尔滨马拉松赛事成功举行，志愿者服务是赛事有序开展的重要保障，共青团哈尔滨市委员会统筹了志愿者选拔的面试工作，现随机抽取了100名候选志愿者的面试成绩，已知100名候选志愿者的分数xii=1,2,…,100全部介于50分到100分之间（满分100分），工作人员将所有测试分数分成5组：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100(1)求a的值；(2)由频率分布直方图估计这100名候选志愿者面试分数的平均数以及第30百分位数；(3)此前工作人员已按照分层抽样的方法，从分数在80,100内的候选志愿者中抽取出甲、乙、丙、丁、戊5人，查阅他们的答题记录．求从甲、乙、丙、丁、戊5人中选出2人进行复核面试时，所选出的2人中恰有1人分数在90,100内的概率．18．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e（离心率）的点的轨迹叫作圆锥曲线：当0<e<1时，轨迹为椭圆；当e>1时，轨迹为双曲线．已知曲线C：mx(1)分别求出曲线C表示椭圆、双曲线时m的取值范围．(2)已知曲线C的离心率为62，曲线C向右平移.23个单位长度得到曲线（i）求曲线C′（ii）已知O为坐标原点，P，M，N是曲线C′上3个不同的点，OP+OM19．“拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数y=fx满足如下条件：①在区间a,b上的图象是连续的；②在区间a,b上可导，则在区间a,b上至少存在一个实数ξ，使得fb−f(1)∀a,b∈0,+∞，且a<b，若fa(2)当m=−32时，是否存在区间a,ba>0(3)当m<−1时，设fx的两个极值点为x1，x2，且x《江西南昌聚仁高级中学2026-2027学年高三8月数学第一次素养训练》参考答案题号12345678910答案BDDCDBCCABDAD题号11答案ABD1．B2．D3．D4．C5．D6．B7．C8．C9．ABD10．AD11．ABD12．213．814．515．(1)S(2)S16．(1)因为CD⊥平面ABD，BE⊂平面ABD，所以CD⊥BE；又AB=BD，E是AD的中点，所以BE⊥AD；因为AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，所以BE⊥平面ACD．(2)存在，AF17．(1)a=0.020(2)平均数73，第30百分位数66.25(3)218．(1)3,+∞；(2)（i）x2819．(1)m≥−1+2(2)存在，证明如下：当m=−32时，函数验证是否存在区间[a,b]（a>0）使得f(a)+f(b)2方法一：不等式f(a)+f(b)2>fa+b由拉格朗日中值定理，可知存在a<t<a+b2<s<b因此只需保证f′s>f′由于函数f′x=ex所以f′x的单调递增区间为所以只需要ln2≤a<b方法二：f(a)+f(b)2>fa+b2等价于函数当ex−2>0（即x>ln2）时，当x<ln2时，f′在凹区间（如0<x<ln2）取a,b(a<b)，则在凸区间（如x>ln2）取a,b(a<b)，则因此存在这样的区间.(3)由f'x=ex−2x+m,设